Continuidad, derivación e integración de una serie de potencias.

Continuidad, derivación e integración
de una serie de potencias.
Sea
P
an xn , de radio de convergencia r > 0, y sea S(x) su suma. Se cumple:
a) S(x) es continua en todo x ∈ (−r, r).
P
b) S(x) es derivable en todo x ∈ (−r, r) siendo su derivada S 0 (x) = nan xn−1 .
Z x
X an
c) S(x) es integrable en [0, x], ∀x ∈ (−r, r). Su integral es
S(t)dt =
xn+1 .
n+1
0
D: a) Lo demostraremos en dos partes.
P
a.1)
an xn converge uniformemente en todo compacto [a, b] / − r < a < b < r.
P
En efecto, sea ρ = max{|a| , |b|}. Como ρ < r,
|an ρn |P
es convergente. Entonces,
n
n
∀x ∈ [a, b], es |x| ≤ ρ =⇒ |an x | ≤ |an ρ |, por lo que
an xn es uniformemente
convergente en [a, b] (teorema de Weierstrass).
a.2) Para todo x ∈ (−r, r) existen a, b/ − r < a < x < b < r, de modo que la serie
converge uniformemente en [a, b]. Como las funciones an xn son continuas ∀x ∈ R,
S(x) es continua en todo x ∈ (−r, r) (apartado 2.5. Series de funciones continuas).
Nota: Como se verá (T. de Abel), si x = r ó x = −r pertenecen al campo de
convergencia, la serie es uniformemente convergente también en esos puntos, por lo
que S(x) es continua, no sólo en (−r, r), sino en todo x del campo de convergencia.
P
b) Sea la serie de derivadas
nan xn−1 . Como
p
p
√ p
lı́m n |nan | = lı́m n n n |an | = lı́m n |an |
n→∞
n→∞
n→∞
P
su radio de convergencia coincide con el deP an xn , por lo que convergen uniformemente en los mismos intervalos. Como
an xn converge al menos P
en x0 = 0
y sus sumandos son funciones derivables,
entonces la suma S(x) de
an xn es
P
derivable en (−r, r) y se cumple S 0 (x) = nan xn−1 (apartado 2.7. Derivación).
P an n+1
será r por
c) Sea la serie de primitivas
n + 1 x . Su radio de convergencia
P
P
n
n
ser r el de
an x , derivada de ella (visto en el punto b). Como
an x converge
uniformemente en [0, x], ∀x ∈ (−r, r) y sus sumandos son funciones integrables,
entonces
la función suma S(x) es integrable en [0, x], ∀x ∈ (−r, r) y se cumple
Z x
X an
S(t)dt =
xn+1 (apartado 2.6. Integración) .
n
+
1
0
Es decir, las series de potencias pueden derivarse e integrarse término a término y
el radio de convergencia se mantiene.