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Sucesión de funciones continuas (25.04.2014)
“Sea {fn } una sucesión de funciones fn , definidas en I. Si {fn } converge uniformemente a f en I y las fn son continuas en I, entonces f es continua en I”.
D: Para demostrarlo hemos de probar que, para todo punto a de I, se cumple
∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ε.
• Por la convergencia uniforme de la sucesión {fn }n∈N en I tenemos que
∀ε > 0 ∃n0 (ε) / |fm (x) − f (x)| < ε/3, ∀m ≥ n0 , ∀x ∈ I.
• Por la continuidad de las funciones fn en I podemos asegurar que, ∀a ∈ I,
∀ε > 0 ∃δ > 0 / 0 < |x − a| < δ =⇒ |fm (x) − fm (a)| < ε/3, ∀m ∈ N.
• Entonces, dado ε obtenemos n0 (ε) y elegimos un m cualquiera (m ≥ n0 ). Tomamos
ahora la función fm y el ε anterior y, fijado el punto a, obtenemos δ.
Ası́ pues, dado ε, existen m, δ tales que se cumplen las dos condiciones al tiempo,
resultando que, si 0 < |x − a| < δ,
|f (x) − f (a)| = |(f (x) − fm (x)) + (fm (x) − fm (a)) + (fm (a) − f (a))| ≤
ε ε ε
|f (x) − fm (x)| + |fm (x) − fm (a)| + |fm (a) − f (a)| < + + = ε.
|
{z
} |
{z
} |
{z
} 3 3 3
(1)
(2)
(3)
donde
- (1) y (3) son menores que ε/3 por la continuidad uniforme de {fn }.
- (2) es menor que ε/3 por la continuidad de fm en a.
Serie de funciones continuas (14.04.2016)
P
Sea I = [a, b]. “Si una serie
fn , de funciones continuas en I, converge uniformemente a F en I, F es continua en I”.
D: Sabemos que “si una sucesión de funciones continuas converge uniformemente a su
función lı́mite f , ésta es continua” (apdo. 1.4).
P
Entonces, si las fn son continuas en I, la suma parcial Fn = n1 fi es también continua
en I, por ser una suma de funciones continuas.
Como Fn converge uniformemente a su función suma F en I, F es continua en I.
Integración de una serie de funciones (23.04.2014)
P
Sea I = [a, b]. “Si una serie
fn , de funciones integrables en I, converge uniformemente a F en I, F es integrable en I y su integral es la suma de la serie de integrales”.
∞
X
∞
xX
Z
c.u.
fi (x) = F (x) =⇒
a
i=1
c.u.
fi (t)dt =
i=1
∞ Z
X
x
fi (t)dt, x ∈ [a, b]
a
i=1
Dicho de otra forma, “si una serie de funciones integrables, converge uniformemente a
F , la serie de las integrales converge uniformemente a la integral de F ”.
D: Lo demostraremos para el caso de funciones fn continuas (por tanto integrables).
P
Sea laPserie
fn , de fn continuas, que converge uniformemente a F en I. Tanto
Fn = n1 fi como F son funciones continuas (apdo. 2.5), luego el resto Rn = F − Fn
será también continua y por tanto integrable. Entonces
Z x
Z x
Z x
F (t)dt =
Fn (t)dt +
Rn (t)dt, ∀x ∈ I
a
a
a
Al ser Fn una suma de funciones integrables, su integral será la suma de las integrales.
Escribiendo además F como suma de la serie, la expresión anterior se convierte en
Z xX
Z x
Z x
∞
n
X
fi (t)dt +
Rn (t)dt
(1)
fi (t)dt =
a
i=1
i=1
a
a
P
Queremos demostrar que la integral de la suma de la serie
fn es la suma de la serie
de las integrales de las fn , es decir el lı́mite de la suma parcial, cuando n → ∞. Para
ello veamos que la integral de Rn tiende a 0 cuando n → ∞.
En efecto, como Fn converge uniformemente a F , se cumple
ε
b−a
∀ε ∃n(ε) / |Rn (t)| = |F (t) − Fn (t)| <
(2)
con lo que
Z
x
a
Z
Rn (t)dt ≤
x
Z
|Rn (t)dt| <
a
a
x
ε
ε
dt =
(x − a) ≤ ε
b−a
b−a
Por lo tanto, tomando lı́mites en (1) obtenemos
!
Z xX
Z x
Z
∞
n
X
lı́m
fi (t)dt +
fi (t)dt = lı́m
n→∞
a
i=1
n→∞
i=1
a
a
x
!
Rn (t)dt
=
∞ Z
X
i=1
a
x
fi (t)dt
Y como el término entre paréntesis del primer miembro no depende de n,
Z
∞
xX
a
fi (t)dt =
i=1
∞ Z
X
i=1
x
fi (t)dt
a
Nota: obsérvese que el n calculado en (2) depende sólo de ε, por lo que la serie de las
integrales converge uniformemente a la integral de la suma de la serie.
Derivación de una serie de funciones (23.04.2014)
P
Sea I = [a, b]. “DadaPuna serie
fn , de funciones derivables en I,Pque converge en
0
un punto de I, tal que
fn converge uniformemente en I, entonces
fn c. u. en I a
F , que es derivable en I y su derivada es la suma de la serie de derivadas”.
∞
X
fn (x0 ) = F (x0 ) y
n=1
∞
X
c.u.
fn0 (x) =
G(x) =⇒
∞
X
c.u.
fn (x) = F (x) y F 0 (x) = G(x)
n=1
n=1
D: Lo demostraremos para el caso de funciones fn con derivada fn0 continua.
P
P 0
Sea la serie
fn , de fn derivables, tales que las fn0 son continuas. Como
fn converge
uniformemente en I a G, ésta será continua (apdo. 2.5).
Al ser las fn0 continuas, son integrables. Entonces, a partir de lo visto en el apdo. 2.6,
G es integrable y su integral es la suma de la serie de las integrales. Por lo tanto, dado
x0 ∈ I, ∀x ∈ I se cumplirá
x
Z
∞ Z
X
c.u.
G(t)dt =
x0
n=1
x
fn0 (t)dt =
x0
∞
X
(fn (x) − fn (x0 ))
n=1
P
Al ser G integrable, la serie
(fn (x) − fn (x0 )) converge P
(uniformemente) a la integral
de G. Por otro lado, al ser
convergente
la
serie
numérica
fn (x0 ), convergerá también
P
la serie suma de ambas
fn (x). Llamando F (x) a la suma de esta última, resulta
Z
x
G(t)dt =
x0
∞
X
fn (x) −
n=1
∞
X
fn (x0 ) = F (x) − F (x0 )
n=1
Derivando ahora respecto a x y aplicando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
resulta
Z x
d
G(t)dt = G(x) = (F (x) − F (x0 ))0 = F 0 (x)
dx x0
O, lo que es lo mismo
∞
X
n=1
fn0 (x) =
∞
X
n=1
!0
fn (x)
Teorema de Cauchy-Hadamard (15.04.2016)
“ Para toda serie de potencias, existe un r / 0 ≤ r ≤ ∞ (radio de convergencia) tal que:
- Si |x| < r, la serie es absolutamente convergente.
- Si |x| > r, la serie no es convergente.”
D: Vimos en series numéricas que la convergencia absoluta
a la incondicional,
Pes equivalente
n
por lo que aplicamos el criterio de la raı́z n-ésima a
|an x |.
p
p
p
p
• lı́m n |an xn | = lı́m n |an | n |x|n = lı́m n |an | |x| = l |x|. Si l 6= 0 y l 6= ∞, se cumple:
n→∞
n→∞
n→∞
P
P
- Si |x| < 1 =⇒ l |x| < 1 =⇒
|an xn | convergente =⇒
an xn convergente.
l
p
p
- Si |x| > 1 =⇒ l |x| > 1 =⇒ lı́m n |an xn | > 1 =⇒ ∃n0 / n |an xn | > 1 ∀n ≥ n0 =⇒
l
n→∞
|an xn | > 1 ∀n ≥ n0 , por lo que no se cumple la cond. necesaria de convergencia.
• Si l = 0 =⇒ l |x| < 1 ∀x =⇒ r = ∞.
p
• Si l = ∞ =⇒ lı́m n |an | |x| < 1 sólo en x = 0 =⇒ r = 0.
n→∞
• Es decir,pcomprobamos que existe un r que cumple la condición del enunciado. Si
l = lı́m n |an | = ∞, r es nulo; si l es nulo, r vale ∞. En los restantes casos, r = 1 .
l
n→∞
Notas:
a) Para |x| = r, el teorema no afirma nada, por lo que la serie puede ser convergente o no
y hemos de estudiar la serie numérica que resulta para x = ±r.
b) Se dice que α ∈ R, o α ∈ ∞, es un lı́mite de oscilación de {αn } si existe alguna
subsucesión de {αn } que tiene lı́mite α (o, lo que es equivalente, si en todo entorno de
α hay infinitos elementos de {αn }). Esto puede ocurrir, por ejemplo, si αn no tiene una
expresión única, sino que es distinto para términos pares e impares.
Una sucesión de números reales no tiene por qué tener lı́mite, pero siempre tendrá algún
lı́mite de oscilación, finito o infinito (J. Burgos, p. 73). Si además está acotada, tendrá
un
p
n
|a
lı́mite de oscilación finito (T. de Bolzano-Weierstrass
para
sucesiones).
En
el
caso
n |,
p
n
tomaremos para l el mayor de esos valores: l = lı́m |an | (lı́mite superior de oscilación).
n→∞
p
an+1 an+1 c) Otra forma de calcular l es como lı́m an ; pues, si existe lı́m an , existe lı́m n |an |
n→∞
n→∞
n→∞
y vale lo mismo.
d) A partir de este teorema, resulta que el campo de convergencia C de las series de
potencias adopta siempre una de estas cuatro formas: (−r, r), (−r, r], [−r, r), [−r, r].
Ejemplos propuestos (con solución). Calcular el campo de convergencia de:
P
P xn
1)
n!xn ; C = {0} . 2)
; C = R. 3) 2x+2x2 +23 x3 +23 x4 +. . . ; C = − 12 , 12 .
n!
Continuidad, derivación e integración
de una serie de potencias (25.04.2014)
Sea
P
an xn , de radio de convergencia r > 0, y sea S(x) su suma. Se cumple:
a) S(x) es continua en todo x ∈ (−r, r).
b) S(x) es derivable en todo x ∈ (−r, r) siendo su derivada S 0 (x) =
Z
c) S(x) es integrable en [0, x], ∀x ∈ (−r, r). Su integral es
X
x
S(t)dt =
0
nan xn−1
X an
xn+1
n+1
Es decir, las series de potencias pueden derivarse e integrarse término a
término y el radio de convergencia se mantiene.
D: a) Lo demostraremos en dos partes.
P
a.1)
an xn converge uniformemente en todo compacto [−ρ, ρ] ⊂ (−r, r).
En efecto,
P aln ser 0 < ρ < r, la serie converge absolutamente para x = ρ, es
decir
|an ρ | es convergente (T. de Cauchy-Hadamard).
Entonces, ∀x/ |x| < ρ,
P
se cumple |an xn | ≤ |an ρn |, por lo que
an xn tiene como mayorante a una serie
numérica de términos positivos convergente. Luego, por el teorema de Weierstrass,
es uniformemente convergente en [−ρ, ρ].
a.2) Para todo x ∈ (−r, r) podemos encontrar un ρ / − r < −ρ <
Px < nρ < r (por
ej., si x > 0, ρ = (x + r)/2). Como acabamos de ver, la serie
an x converge
n
uniformemente en [−ρ, ρ]. Al ser las funciones an x continuas ∀x ∈ R, la suma
S(x) será continua en todo x ∈ (−r, r) (ver 2.5. Serie de funciones continuas).
Nota: Como se verá (T. de Abel), si los puntos x = r ó x = −r pertenecen al
campo de convergencia, la serie es uniformemente convergente también en ellos, por
lo que S(x) es continua, no sólo en (−r, r), sino en todo su campo de convergencia.
P
b) Sea la serie de derivadas
nan xn−1 . Como
p
p
√ p
lı́m n |nan | = lı́m n n n |an | = lı́m n |an |
n→∞
n→∞
n→∞
P
vemos que su radio de convergencia coincide conP
el de an xn , por lo que convergen
uniformemente en los mismos intervalos. Como an xn converge al menos
Pen x n= 0
y sus sumandos son funciones derivables,
entonces
la
suma
S(x)
de
an x es
P
0
n−1
derivable en (−r, r) y se cumple S (x) = nan x
(ver 2.7. Derivación).
P an n+1
c) Sea la serie de primitivas
de
n + 1 x . Como el radio de convergencia
P
P
n
su serie derivada
an x es r, el suyo será también r (apdo. b). Como
an x n
converge uniformemente en [0, x], ∀x ∈ (−r, r) (apdo. a.1) y sus sumandos son
funciones integrables,
función suma S(x) es integrable en [0, x], ∀x ∈
Z xentonces laX
an n+1
(−r, r) y se cumple
S(t)dt =
x
(ver 2.6. Integración).
n+1
0
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Tema IV. Sucesiones y series funcionales
Test de Autoevaluación
(12 minutos)
Nota: Se marcarán con V las afirmaciones que se consideren correctas y con F
las consideradas falsas. Se puntuarán con +1 los aciertos, –1 los fallos y 0 las
respuestas en blanco.
• 1.- En el espacio funcional Fb (I, IR), hemos definido la distancia entre dos funciones como
el máximo de sus distancias punto a punto.
x
• 2.- Se cumple lı́m
+ x = x.
n→∞ 1 + nx2
1, x = 0
π
n
• 3.- La sucesión funcional fn (x) = cos x, x ∈ [0, 2 ] C. U. a f (x) =
0, x 6= 0
P
P
• 4.- Sea
fn definida en I. Si
|fP
n (x)| tiene como mayorante en I a una serie numérica
de términos positivos, convergente,
fn es uniformemente convergente en I.
P
2−n , n impar
1, 1 .
n
.
Su
campo
de
convergencia
es
−
• 5.- Sea
an x /an =
2 2
2n−1 , n par
2
3
4
• 6.- Sea la serie de potencias −x − x2 − x3 − x4 . . ., cuya suma vale ln(1 − x), |x| < 1.
Se cumple que la serie −1 − x − x2 − x3 . . . tiene como suma (x − 1)−1 , |x| < 1.
• 7.- Una serie de potencias, su derivada y su primitiva tienen igual campo de convergencia.
P
P
n
• 8.- Sea
aP
an xn = f (x) en C. Se dice
n x , convergente en C. Sea f : IR −→ IR /
n
entonces que
an x es un desarrollo en serie de f (x), ∀x ∈ IR.
Nota (sobre 8):
.
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Test de Autoevaluación
Tema IV. Sucesiones y series funcionales
(12 minutos)
SOLUCIONES
• 1.- F. Se ha definido como “el supremo de sus distancias punto a punto”, el cual existe
siempre, por tratarse de funciones acotadas (propiedad del supremo), mientras que el
máximo puede no existir.
1 , g(x) = 1 y I = [1, ∞), el conjunto de las distancias punto a punto
Ej. Si f (x) = 2 − x
entre f y g no tiene máximo. El supremo vale 1 y se da cuando x −→ ∞.
• 2.- V. Para x 6= 0, el lı́mite vale x. Para x = 0, vale 0, es decir x.
• 3.- F. Pues las funciones fn son continuas y f no lo es (ver apdo 1.4 del programa).
• 4.- V. Por el criterio de la mayorante o teorema de Weierstrass.
V. Los lı́mites de oscilación son 2 y 12 , por lo que el lı́mite superior de oscilación es
2 y su radio de convergencia ρ = 21 . Pero la serie es divergente tanto para x = − 12 como
para x = 21 , por lo que el campo de convergencia no incluye los extremos del intervalo.
• 5.-
−1 = (x − 1)−1 , cuyo desarrollo es
• 6.- V. La derivada de f (x) = ln(1 − x) es f 0 (x) = (1−x)
la derivada del desarrollo de f , es decir −1 − x − x2 − x3 . . . Por lo tanto, esta serie tiene
como suma (x − 1)−1 (ver apdo. 3.2 del programa).
• 7.- F. Tienen igual radio de convergencia (apdo. 3.2). Por ejemplo, la serie de la cuestión
anterior tiene radio r = 1 y C = [−1, 1) (pues para x = −1 resulta la armónica alternada,
cuya suma es S = ln 2). La serie derivada tiene el mismo radio de convergencia, pero no
converge en x = −1.
P
• 8.- F.
an xn es un desarrollo en serie de f (x), ∀x ∈ C, no en todo IR.
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Tema IV. Sucesiones y series funcionales
Cuestión de autoevaluación
(10 minutos)
Cuestión.
El desarrollo en serie de la función f (x) = ln(1 + x) es
∞
X
(−1)n−1 n
x
n
n=1
y su radio de convergencia vale 1. Se pide, utilizando el segundo Teorema de Abel, obtener
la suma de la serie armónica alternada 1 − 21 + 13 − 14 + . . .
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Cuestión de autoevaluación
Tema IV. Sucesiones y series funcionales
(10 minutos)
Cuestión.
El desarrollo en serie de la función f (x) = ln(1 + x) es
∞
X
(−1)n−1 n
x
n
n=1
y su radio de convergencia vale 1. Se pide, utilizando el segundo Teorema de Abel, obtener
la suma de la serie armónica alternada 1 − 21 + 13 − 14 + . . .
Solución.
Según el enunciado, la serie dada tiene como suma la función S(x) = ln(1 + x), que es
válida para −1 < x < 1. En los extremos del intervalo de convergencia (x = ±1) puede
converger o no y hay que estudiarlo en cada caso.
Puede comprobarse que para x = −1 la serie diverge. Para x = +1, se convierte en la serie
numérica alternada 1 − 21 + 13 − 41 + . . ., que es convergente, según el teorema de Leibnitz,
pero en principio desconocemos su suma.
P
En el segundo teorema de Abel se afirma que “si una serie de potencias
an xn converge
para x = x0 , su suma es una función continua en [0, x0 ]”. Entonces la función S(x) es
continua en [0, 1], por lo que la expresión ln(1 + x) es válida también en x = 1 y la suma
solicitada vale ln 2, es decir:
S(x) continua en x = 1 ⇒ S(1) = lı́m ln(1 + x) = ln(1 + 1) = ln 2
x→1