como ∂F (x,y)

1.13 Convergencia uniforme, derivación bajo la integral
Unidad 1 Integrales Múltiples
Supongamos que una función F esta denida en R = [a, b] × [α, β] y que para toda x ∈ [a, b], F es una
función integrable de y. Entonces la integral
Z
β
F (x, y)dy
α
dene una función de x en [a,b] que podemos denotar
β
Z
f (x) =
F (x, y)dy
α
Teorema 1.
Sea F una función continua en (x, y) ∈ R y sea
β
Z
f (x) =
F (x, y)dy
α
entonces f es continua en [a,b] y por tanto integrable en [a, b] y
b
Z
β
Z
f (x)dx =
a
b
Z
dy
α
F (x, y)dx
a
Demostración.
Tenemos que dados x1 , x2 ∈ R con |x1 − x2 | < δ
Z
Z
Z β
Z β
β
β
dy = |f (x1 − f (x2 )| = F (x1 , y)dy −
F (x2 , y)dy ≤
|F (x1 , y) − F (x2 , y)−| dy ≤
α
β
−
α
α
α
α
∴ f es una función continua y por tanto integrable en [a,b]
Z
b
Z
b
Z
β
f (x)dx =
a
Teorema 2.
β
Z
Z
F (x, y)dydx =
a
b
Z
b
F (x, y)dxdy =
α
α
Sean tanto F (x, y) como
a
∂F (x,y)
∂x
Z
β
F (x, y)dx
a
Z
β
dy =
α
Z
dy
α
b
F (x, y)dx
a
continuas en [a, b] × [α, β] entonces
Z
β
f (x) =
F (x, y)dy
α
es diferenciable en [a,b] y
f 0 (x) = f (x) =
Z
β
α
es decir
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Cálculo Diferencial e Integral IV
∂
∂x
Z
β
∂F (x, y)
dy
∂x
Z
β
F (x, y)dxdy =
α
α
∂F (x, y)
dy
∂x
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1
1.13 Convergencia uniforme, derivación bajo la integral
Unidad 1 Integrales Múltiples
Demostración. Sea g(x) =
x
Z
Z
β
Z
Rβ
α
x
a
α
a
β
Z
∂F (t, y)
dt =
∂t
dy
g(t)dt =
tenemos entonces que
∂F (x,y)
dy
∂x
Z
β
Z
F (a, y)dy =
α
α
α
β
F (x, y)dy −
[F (x, y) − F (a, y)] dy =
f (x) − f (a)
∴ derivando g(x) = f (x)
0
Ejemplo
Para cualquier a > 0 sea f denida en I = {−a ≤ x ≤ a}
Z
1
e−xt dt
f (x) =
0
a) Demostrar que f es continua en I
b) Evaluar la integral
c) Derivar mediante la derivación de la integral. Evaluar la integral resultante
d) Vericar que se obtiene el mismo resultado al derivar la parte b)
Para el inciso a) se tiene que dados x1 , x2 en I tal que |x1 − x2 | < δ
Z
|f (x1 ) − f (x2 )| = 1
e−x1 t dt −
1
Z
0
Z
e−x2 t dt = 0
0
1
Z
e−x1 t dt − e−x2 t dt ≤
1
−x t
e 1 dt − e−x2 t dt
0
1
Z
≤
dt = 0
Para el inciso b)
1
Z
e−xt dt = −
0
e−xt 1
e−x
1
+
0 =−
x
x
x
Para el inciso c)
Z
f (x) =
1
e−xt dt ⇒ f 0 (x) =
0
∂
∂x
Z
1
0
e−xt
1
t
−
x
x
Z 1
Z 1 −xt
∂ −xt
e−xt
e
e dt =
−te−xt dt = t
−
=
x
x
0 ∂x
0
0
e−xt
1 e−xt
1
e−xt
dt =
−
−
x
x
x
x
x
e−xt dt =
Z
0
1
Z
1
Para el inciso d) solo debemos derivar el resultado de la integral
−
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e−x
1
+
x
x
0
=
e−xt
1
−
x
x
e−xt
1
−
x
x
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2
1.13 Convergencia uniforme, derivación bajo la integral
Unidad 1 Integrales Múltiples
Convergencia Uniforme
Se dice que la integral F (x) =
Z
∞
f (x, y)dy converge uniformemente en el intevalo a ≤ x ≤ b siempre
0
que el 'residuo' de la integral pueda hacerse arbitrariamente pequeño simultaneamente para todos los
valores de x en el intervalo bajo consideración o, más precisamente, siempre que para un número positivo
ε, ∃A = A(ε) que no dependa de x y sea tal que para B ≥ A se tiene que
Z
∞
B
f (x, y)dy < ε
Supongamos que una función F es continua R = [a, b] × [α, β] donde β < ∞ ó β = ∞ y
supóngase que para toda x ∈ [a, b], f esta denida por
Teorema 3.
β
Z
f (x) =
F (x, y)dy
α
donde la integral es uniformemente convergente. Entonces f es continua en [a,b] y
b
Z
Z
β
f (x)dx =
a
Z
dy
α
b
F (x, y)dx
a
Demostración. Como la integral es uniformemente convergente ∃ η() tal que ∀β, η > η() se tiene
Z
β
F (x, y)dy < η
y al ser F (x, y) continua ∃δ > 0 tal que |x1 − x2 | < δ entonces |F (x1 , y) − F (x2 , y)| < se tiene entonces
que
Z
Z
Z β
β
η
|f (x1 ) − f (x2 )| = F (x1 , y) − F (x2 , y)dy = F (x1 , y) − F (x2 )dy +
F (x1 , y) − F (x2 )dy α
α
η
Z
≤ η
α
Z
Z
Z β
β
β
F (x1 , y)dy + F (x2 , y)dy ≤
F (x1 , y) − F (x2 , y)dy + dy + + = η
η
3(β
−
η)
3
3
η
∴ f es continua en [a,b] y por tanto integrable en [a,b] y
Z b
Z bZ β
f (x)dx =
F (x, y)dydx
a
a
α
Me voy a jar en la diferencia
Z Z
Z η Z b
b β
F (x, y)dydx −
dy
F (x, y)dx
a α
α
a
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1.13 Convergencia uniforme, derivación bajo la integral
Unidad 1 Integrales Múltiples
y veremos que tiende a cero cuando η → β tenemos entonces que
Z Z
Z Z
Z b Z η
Z η Z b
b β
b β
dyF (x, y) =
dx
F (x, y)dydx −
F (x, y)dx = dy
F (x, y)dydx −
a α
α
a
α
a
a
α
Z
Z b
Z b Z β
b Z β
F (x, y)dy dx <
dx
F (x, y)dy ≤
dx = a
b
−
a
a
η
a
η
para todo η, β > η()
Sean F (x, y) y
∃ x0 en [a,b] para el cual
Teorema 4.
∂F (x,y)
∂x
continuas en {a ≤ x ≤ b, α ≤ y ≤ β} donde β = ∞. Supóngase que
β
Z
F (x0 , y)dy
α
converge uniformemente en [a,b]. Si se denota por f (x) a este valor, entonces f es diferenciable y
Z
f 0 (x)dx =
β
α
Demostración. Sea
Z
β
g(x) =
α
por tanto tenemos que
Z
x
Z
β
g(t)dt =
x0
Z
x
dy
α
x0
∂
F (t, y)dy =
∂t
Z
∂
F (x, y)dy
∂x
∂
F (x, y)dy
∂x
β
Z
β
F (x, y) − F (x0 , y)dy =
α
Z
β
F (x, y)dy −
α
F (x0 , y)dy =
α
f (x) − f (x0 )
y derivando de ambos lados se tiene
ahora bien como
g(x) = f 0 (x)
Z
β
∂
F (t, y)dy
∂t
α
converge uniformemente ∃ η() tal que ∀η, β > η() se tiene
Z
β ∂
F (t, y)dy <
η ∂t
b−a
∴
Z
Z Z
Z
β
β x ∂F (t, y)
β Z x ∂F (t, y) Z β
F (x, y)dy = dt + F (x0 , y)dy ≤ dy
dt + F (x0 , y)dy η
η x0
η
η
∂t
∂t
x0
Z
Z b Z β
Z b
x Z β ∂F (t, y) ∂F (t, y) dy + ≤
dy dt + ≤
+ =
=
dt
x0
∂t
2
∂t
2
2(b
−
a)
2
a
η
a
η
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1.13 Convergencia uniforme, derivación bajo la integral
Unidad 1 Integrales Múltiples
Crieterio de la M(Weierstrass)
Si
Teorema 5.
entonces
∞
M (x)dx converge y si |f (x, y)| ≤ M (x)
∀y ∈ [c, d] y ∀x suciendemente grande,
a
∞
Z
Z
f (x, y)dx converge absoluta y uniformemente sobre [c, d].
0
Demostración. Por el criterio de comparación
Sea F (y) =
Z
∞
Z
∞
f (x, y)dx es absolutamente convergente y ∀y ∈ [c, d].
0
f (x, y)dx si |f (x, y)| ≤ M (x)
∀x > N1 y ∀y ∈ [c, d], entonces ∀y ∈ [c, d] y todos los
a
b1 , b2 > N1 tenemos
Z 2
Z
Z b1
Z b2
Z b2
b
b1
M (x)dx
f (x, y)dx −
f (x, y)dx = f (x, y)dx ≤
|f (x, y) |dx ≤
b1
a
a
b1
b1
Z
Z b2
Z b1
b2
M (x)dx
∴ lı́m f (x, y)dx −
f (x, y)dx ≤ lı́m
b2 →∞ b1
b1 →∞ a
a
Z b1
R
∞
es decir F (y) −
f (x, y)dx ≤ b1 M (x)dx
a
Z ∞
tómese un ε > 0 cualquiera. Como
M (x)dx converge, existe un número N ≥ N1 tal que
a
Z ∞
M (x)dx < ε siempre que b1 > N
b1
∞
Z
∴
f (x, y)dx es uniformemente convergente sobre [c, d]
a
Ejemplo
Pruebe que
Z
0
∞
sen(xt)
dt converge uniformemente ∀x
1 + t2
sen(xt) 1 1
≤
1 + t2 1 + t2 = 1 + t2 = M (t)
∞
Z ∞
1
∴
dt = artg(t) = π2 converge
2
1
+
t
0
0
Z ∞
sen(xt)
∴
dt converge uniformemente
1 + t2
0
Solución
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