Análisis Real

PROGRAMA DE CONCURSO DE ANÁLISIS REAL EN
UNA VARIABLE REAL
NIVEL INSTRUCTOR
OBJETIVO: El concursante deberá demostrar dominio eii el Cálculo
Diferencial e Integral con funciones reales de una variable real. Por
otro lado, debe conocer los fiindcmcntoosteóricos d d mismo con siificiente rigor y organicidad, a saber: el cuerpo de los números redes, su
topología ordinaria y la teoria de las funciones reales de una variable red,
incluyendo límites, continuidad, diferenciación, integración (en el sentido
de Riemann), y el estudio de sucesiones y series funcionales.
T e m a 1. Números Reales y Topología de la Recta.
(a) Sucesiones en Q: convergencia. Sucesiones de Cauchy en Q:
Q no es completo. Construcción del cuerpo de los números redes
por el método de las siicesiones de Cauchy. Q como parte de R.
Relación de orden en R: propiedad arquimediana. Valor absoluto
en R. Intervalos en R. Sucesiones en R: convergencia. Sucesiones
de Cauchy en W: W es completo. Cotas superiores e inferiores.
Supremo e fnfimo: Axioma del supremo. Propiedades relativas
al supremo y al ínñmo. Q es denso e R. Números Irracionales.
Aproximaciones racionales de un Irracional: escritura decimal,
errores. Cálculo aproximado. No numerabilidad de R.
(b) Distiliicia mclíclea. R coirio espacio inktrico corripleto. EIItorno#. Plintos interiores, ext,eriore,s, aislados y de ac1imiilac.ión.
Teorema de Bobano-Weirstrass. Puntos adherentes y clausura
de un conjunto. F'rontera de un conjunto. Conjuntos abiertos y
cerrados. Conjuntos compacto (por recubrimientos y por sucesiones). Teorema de Borel-Lebesgue. Conjuntos conexos y conjuntos arco-conexos.
Tema 2. Sucesiones y Series en B.
Concepto de siibsucesión. Sucesiones acotadas. Caracterización
de los cerrados por sucesiones. Signo del knite de una sucesión y
consecuencias. Sucesiones monótonas. El número e. Suma, diferencia, producto y cociente de sucesiones. Sucesiones de medias aritméticas y geométricas. Series de números reales: convergencia.
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N N E L INSTRUCTOR
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La condición de Cauchy para series. Propiedades básicas de las
series: producto por un iiúinero real, suma término a término. Introduccióri y supresión de p;ll.é~ltwis.Series geométricas y urriónicas.
Serie!. alternadas. Series de tkrminos no negativos: criterios de
comparación, del cociente y de la raíz. Fórmula de sumación de
Abel: criterios de Dirichlet y Abel. Series de términos positivos
y negativos: convergencia absoluta y condicional. Reordenación
de series. Teorema de Riemann para series condicionalmente convergentes.
Tema 3. Límites y continuidad.
Funciones reales de una variable real. Limite de una función en
un punto de acumulación de su dominio. Caracterización del
limite de una función por sucesiones. Límites laterales en un
punto. Líiriitcs cu cl iufiriito. Iritcrprctxioiics gcoiu6tricas dclc
los distintos casos de limite. Limites de sumas; diferencias, productos y cocientes: casos de indeterminación. Continuidad de
una función en un punto de sil dominio. Relación entre límite y
continuidad. Tipos de discontinuidad en un punto del dominio.
Caracterización de la continuidad en un punto por sucesiones.
Continuidad de sumas, diferencias, productos y cocientes. Continuidad de una función en un conjunto. Caracterización de la
continuidad en conjuntos abiertos y cerrados. Continuidad en
conipactos: existencia de valores máximo y mfnimo absolutos.
Teorema de Bolzano. Teorema de los valores intermedios para
funciones continuas en intervalos y consecuencias. Continuidad
uniforme. Teorema de Heine. La imagen uniformemente continua
de un acotado. Continiiidad de funciones monótonas: Caso de
las funciones xn, f i ,ax,log, x, senx, cosx, tagx, arcsenx, arccosx
y arctagx. Liinites de potencias: casos de indeterminacióu.
Tema 4. Diferenciación.
Derivada de iina fiinción en iin pimto. Derivadas lat,erales Interpretaciones geométricas. Relación entre derivabilidad y continuidad. Funciones crecientes y decrecientes en un punto. Extremos relativos: condición necesaria para funciones derivables.
Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Crecimiento y decrecimiento en intervalos. Derivadas de sumas, diferencias, productos y cocientes. Derivada de una función compuesta: regla de
la cadena. Derivada de la inversa de una función. Teorema de
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PROGRAMA DE CONCURSO DE A N ~ L I S I SREAL EN UNA VARTABLE REAL 3
Cauchy. Regla de L'Hopital. Derivadas de orden superior. Funciones de clase n en un intervalo. Teorema de Taylor: Diversas
expresioiieu del residuo. Coridiciones suficierites piirsi la existericia de extremos relativos. Concavidacl y pimt,os de, inflexión. La
diferencia de una función en un punto. Propiedades de la diferencial. Uso de la diferencial y de la Fórmula de Taylor en el Cálculo
aproximado.
Tema 5. Integración Riemann.
Funciones acotadas en un intervalo [a,b]. Particiones de un intervalo [a,bj. Sumas superiores e inferiores de una funcional acotada
en [a,b]: propiedades. Integrales superior e inferior de Riemann.
Funciones R-integrables: condición de Riemann. Integrabilidad
de las funciones monótonas y continuas. Propiedades de la integral dc Ricicm~~m:
lincdiclsd rcspccto dcl i~itcguido,iriouotorriia,
integral del valor absoluto de una función, integrabilidad de un
producto, aditividad respecto del intervalo. Integrabilidad de las
funciones escalonadas. Teorema fundamental del Cálculo Integral. Regla de Barrov. Integración por partes. Cambio de variable en una integral de Riemann. Teoremas del valor medio del
CAlciilo Intcgd. Int,cgrdcs impropias cn intcrvdos acotados. Integrales impropias en intervalos no acotados. Criterio de la integral para series de términos no negativos.
Tema 6. Sucesiones y series de funciones.
Sucesió~ide fuiicioiies: corivergeticia puiitual y uiliforirie. La
condición do Ca~ichypara siiccioncs iiniformcmcnt,c!c~nvcrgcnt~cs.
Continuidad de la función limite. Derivación e integración Riemann de una sucesión de funciones. Series de funciones: convergencia puntual y uniforme. La condición de Cauchy para series
uniformemente convergentes. Criterios de la Weirstrass, Dirichlet
y Abel para la convergencia uniforme de series. Continuidad de la
sima de ima serie. Derivmihn e integracihn Ríemann de iina serie
de funciones. Series de potencias: radio de convergencia, Serie de
Taylor asociada a una función. Una condición suficiente para que
una función sea desarrollable en serie de Taylor alrededor de un
punto.
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Bibliografía
1 Apostol, T. Análisis matemático. Barcelona, Reverté, 1976.
2 Lima, E. Ciirso de análise. R.io de Jmeiro: In~tit~iito
de Matemát,ica
Pura e Aplicada, 1989.
3 Rudin, W. Principios de Análisis Matemático. México, McGrawHill, 1980.
4 Tineo, A. y Uzcátegui, C. Introducción al Análisis Real.
http://matematicas.ula.ve/publicaciones.