Métodos Numéricos Avanzados

Cálculo
DEPARTAMENTO:
Métodos Matemáticos y de Representación
PROFESOR RESPONSABLE: Xesús Nogueira
OTROS PROFESORES:
Raquel López Jato, Jaime Fe, Juan Villar
E-MAIL DE CONTACTO:
PÁGINA WEB:
{ xnogueira, jfe,jvillar}@udc.es, [email protected]
http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_itop/102/
CURSO:
TIPO DE ASIGNATURA:
CARGA LECTIVA:
Primero, 2010/2011
Troncal, Anual
3 h/semana (9 créditos)
Objetivos:
Proporcionar al estudiante una sólida base en cálculo en una y varias variables, para posibilitar el aprendizaje de otras
asignaturas de cursos superiores, así como una herramienta para afrontar los problemas que se le presenten en el ejercicio
de la profesión.
Organización Docente:
Durante 3 horas a la semana se imparten clases de teoría y prácticas. Durante estas últimas se resuelven problemas
propuestos con antelación en la página web de la asignatura. Periódicamente se propondrán y recogerán algunos ejercicios
para su resolución individual voluntaria.
Bibliografía Básica, Apuntes y Material Pedagógico:
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Bradley, G. L., Smith, K. J.:Cálculo de varias variables. Prentice-Hall Iberia, 1998.
García, A. y otros: Cálculo II (2a ed.). CLAGSA, 2002.
Larson, R. y otros: Cálculo I. (8a ed.) Ed. Pirámide, 2006.
Spivak, M.: Cálculo infinitesimal. Reverté, 1991.
Burgos, J. de: Cálculo infinitesimal de una variable. McGraw-Hill, 1994.
Piskunov, N: Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simón, Barcelona, 1983.
Ortega, J. M.: Introducción al análisis matemático. Universidad Autónoma de Barcelona, 1990.
Larson, R. y otros: Cálculo II. (7a ed.) McGraw–Hill, 2002.
Burgos, J. de: Cálculo infinitesimal de varias variables. McGraw-Hill, 1995.
Franco, J. R.: Introducción al cálculo. Problemas y ejercicios resueltos. Prentice-Hall. Madrid, 2003.
Besada, M. y otros: Cálculo de varias variables. Problemas y ejercicios resueltos. Prentice-Hall, 2001.
Coquillat, F: Cálculo Integral. Metodología y Problemas, Tébar Flores, 1997.
Granero, F: Cálculo Infinitesimal. Una y varias variables, Mc Graw-Hill, Madrid, 1996
Sistema de Evaluación: Habrá un examen parcial y dos exámenes finales, uno en Junio y otro en Julio. El aprobado en el
examen parcial liberará materia para el examen final de Junio, pero no para el de Julio. El examen final constará de dos
partes, correspondientes a cada parcial, cada una evaluada sobre 10 puntos. Es necesario obtener un mínimo de 3.5 puntos
en cada parte para aprobar. La nota final se obtiene como media de las dos partes. El aprobado se obtiene con un 5 de nota
media. Es posible obtener 0.5 puntos adicionales mediante la entrega de ejercicios propuestos en clase a lo largo del curso.
Además, se realizarán una serie de controles voluntarios que puntuarán hasta 0.5 puntos.
Horas de Consulta:
En horas de trabajo.
Información Adicional:
Programa:
1.
NÚMEROS. ESPACIOS MÉTRICOS
1.1. Sucesivas ampliaciones del concepto de número. Números naturales. Números enteros. Números racionales.
1.2. El cuerpo ordenado de los números reales. Representación decimal. Cotas. Conjuntos acotados. Números
irracionales.
1.3. Valor absoluto. Propiedades.
1.4. Números Complejos.
1.5. Espacios métricos. Topología elemental de R y Rn
2.
SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
2.1. Sucesiones. Definición. Límite de una sucesión. Tipo de sucesiones. Sucesiones acotadas.
2.2. Propiedades de los límites.
2.3. Sucesiones monótonas.
2.4. Operaciones con límites.
2.5. Indeterminaciones.
2.6. Criterios de convergencia. Criterio de Stolz.
2.7. Infinitos e infinitésimos. Sucesiones equivalentes. Métodos de cálculo de límites.
3.
FUNCIONES EN R
3.1. Funciones reales de variable real. Dominio y recorrido. Extremos de una función.
3.2. Límite funcional. Definición. Límites laterales. Límite infinito y límite en el infinito. Relación entre el límite
funcional y el límite por sucesiones. Propiedades de los límites. Tipos de indeterminación. Infinitos e
infinitésimos. Funciones equivalentes en un punto. Sustitución por funciones equivalentes.
3.3. Funciones continuas. Definición Continuidad lateral. Discontinuidades. Operaciones con funciones continuas.
Teoremas de las funciones continuas.
3.4. Funciones diferenciables. Derivada y diferencial. Relación entre continuidad y diferenciabilidad. Operaciones
con funciones diferenciables. Regla de la cadena. Derivada de la función inversa. Teoremas del valor medio.
Derivadas laterales. Reglas de L’Hôpital. Derivadas sucesivas. Desarrollos de Taylor y MacLaurin. Resto de
Lagrange. Extremos relativos y absolutos. Cálculo de extremos de funciones.
4.
INTEGRACIÓN
4.1. Primitiva de una función.
4.2. Integral de Riemann. Definición. Propiedades. Teorema del valor medio del cálculo integral.
4.3. Teorema fundamental del cálculo. Regla de Barrow.
4.4. Aplicaciones geométricas de la integral.
4.5. Integrales impropias.
5.
FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
5.1. Límites y continuidad. Diferenciabilidad. Derivada direccional. Derivadas parciales. Derivadas de orden
superior.
5.2. Composición de funciones. Regla de la cadena.
5.3. Cálculo de extremos de funciones reales de varias variables. Puntos críticos. Matriz Hessiana.
5.4. Función implícita.
5.5. Extremos condicionados.
5.6. Integración de varias variables.
6.
SERIES DE NÚMEROS REALES
6.1. Definiciones. Serie aritmética y geométrica. Condición necesaria de convergencia.
6.2. Propiedades de las series.
6.3. Series de términos positivos. Criterios de convergencia.
6.4. Series de términos positivos y negativos. Convergencia y divergencia absoluta e incondicional. Series alternadas.
Teorema de Leibnitz.