Fórmula integral de Cauchy

Fórmula integral de Cauchy
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Comentario: de acuerdo con esta fórmula, uno
puede conocer el valor de f dentro del entorno,
conociendo únicamente los valores que toma f
en el contorno C !
Fórmula integral de Cauchy
Otro resultado que se sigue de la fórmula
integral de Cauchy es el siguiente:
Sea C un camino cerrado simple, orientado
positivamente y sea f una función analítica en
el interior y sobre C. Si z es cualquier punto en
el interior de C, entonces:
(derivadas de funciones analíticas)
Fórmula integral de Cauchy
Mientras que para f ''
En general (extensión de la fórmula integral de
Cauchy):
Fórmula integral de Cauchy
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Una consecuencia importante de la fórmula
integral de Cauchy es la siguiente: si una
función es analítica en un punto, existen sus
derivadas (a todo orden) en ese punto y éstas
son también funciones analíticas
Similarmente, si f=u+iv es analítica en un
dominio D, entonces todas las derivadas
parciales de u y v existen y son analíticas.
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Dos consecuencias más de la extensión de la
fórmula de Cauchy son el teorema de Liouville
y el teorema fundamental del álgebra.
Teorema de Liouville y Teorema
fundamental del álgebra
Lema: Se f(z) una función analítica en el
interior y sobre los puntos de un círculo CR de
radio R. Si MR denota el máximo valor de |f(z)|
en CR, entonces
conocida como desigualdad de Cauchy
Teorema de Liouville y Teorema
fundamental del álgebra
Teorema de Liouville:
Si f(z) es una función entera y acotada en todo
el plano complejo, entonces f(z) es constante
en todo el plano.
Utilizando el T. de Liouville podemos demostrar
el T. fundamental del álgebra:
Todo polinomio no constante con coeficientes
complejos tiene al menos un cero
Sucesiones y Series
Veamos cómo se expande una función analítica
en una serie de potencias.
Preliminares:
Se dice que una sucesión infinita de números
complejos
tiene como límite z,
si para todo
existe un entero
tal que
siempre que
Como puede ser arbitrariamente pequeño, se
sigue que zn se aproxima a z
Sucesiones y Series
El límite de z es único, si existe. Cuando el
límite existe, se dice que la sucesión es
convergente y que converge a z, es decir,
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Si la sucesión no tiene límite se dice que es
divergente o que diverge. Sucesiones y Series
Teorema.
Sea
y
. Entonces
si y sólo si y
Sucesiones y Series
Se dice que una serie de números complejos
es convergente, si la sucesión de sumas
parciales
tiene un límite S, es decir,
Sucesiones y Series
Teorema.
Sea
y
.
Entonces
si y sólo si y
Sucesiones y Series
Comentario.
De forma similar a las series (reales), una
condición necesaria para la convergencia de
una serie de números complejos es que
Sucesiones y Series
Serie absolutamente convergente:
Se dice que una serie es absolutamente
convergente si la serie de números reales
es convergente. Además, como
las series
y
son convergentes
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Por lo tanto la convergencia absoluta de una
serie implica la convergencia de la serie misma.
Pero puede pasar que
y
la serie
converge
diverge. En este caso se dice que
es condicionalmente convergente.
Series de Taylor
Similarmente al caso de funciones reales,
supongamos que queremos encontrar un
polinomio Pn(z) que se aproxime a una función
analítica f(z) en una vecindad del punto z0
Las series de Taylor nos dan una forma de
construir dicho polinomio:
se busca que las derivadas (n derivadas) del
polinomio sean iguales a las derivadas de f(z)
en z0
Series de Taylor
Es decir,
De modo que:
Así tenemos el siguiente teorema:
Sea f una función analítica en un disco
Entonces f admite la representación de
potencias:
donde
conocida como serie de Taylor (o serie de
Maclaurin cuando
). Además la serie de
Taylor es única
Series de Laurent
Quisiéramos investigar la posibilidad de tener
una representación en serie de una función
alrededor de una singularidad z0.
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Notemos que la serie de Taylor ha sido
aplicada a funciones analíticas en una
vecindad de z0
El teorema de Laurent nos dice cómo y bajo
que condiciones podemos representar una
función alrededor de una singularidad
Series de Laurent
Teorema: Sea f una función analítica en el anillo
centrado z0 sea C un camino
cerrado simple contenido en ese dominio anular.
Entonces, f(z) admite la representación
Series de Laurent
Notemos que si f(z) fuera analítica en el interior
del disco
, entonces los
coeficientes bn serían nulos y el desarrollo se
reduce a una serie de Taylor, ya que
Series de Laurent
En la práctica, los coeficientes de una serie de
Laurent se obtienen por métodos distintos a las
expresiones integrales an y bn dadas anteriormente