Demostración de que √ 2 es irracional
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Demostración de que √ 2 es irracional √ El número 2 no puede escribirse como p/q, p ∈ Z, q ∈ N, siendo p/q una fracción irreducible. Para demostrarlo procedemos por reducción al absurdo. √ Supongamos que existe p/q = 2. Entonces 2 p • q = 2 =⇒ p2 = 2q 2 , luego p2 es par. Entonces p es par, por lo que puede expresarse como p = 2m, m ∈ N. • Sustituyendo p por 2m, resulta p2 = 2q 2 = 4m2 =⇒ q 2 = 2m2 , luego q 2 es par, luego q es par. • Por lo tanto p/q no es una fracción irreducible, como habı́amos supuesto. Nota: De que p2 sea par se deduce que p lo es, pues, si fuera impar, su cuadrado también lo serı́a. En efecto, p = 2n − 1, n ∈ N =⇒ p2 = 4n2 − 4n + 1, que es impar.
