Algebra II. Curso 97/98 Tema n 2 1. Demostrar que 1 + i es

Tema no 2
Algebra II. Curso 97/98
1. Demostrar que 1 + i es irreducible en Z[i].
√
2. Probar que Z[ −6] no es un dominio de factorización única.
3. En un dominio de integridad conmutativo y con unidad demostrar que todo elemento
primo es irreducible.
√
√
4. Demostrar que 2 + −5 es irreducible en Z[ −5].
5. Sea n un número natural no nulo y libre
√ de cuadrados
√ (i.e. n no es divisible por el
cuadrado de ningún primo). Sea Z[ −n] = {a + b −n : a, b ∈ Z}.
√
1. Demostrar que la función definida√por N (α) = a2 + nb2 para α = a + b −n
es una norma multiplicativa en Z[ −n].
√
2. Demostrar que N (α) = 1 si y sólo si α es una unidad de Z[ −n].
3. Demostrar que todo α distinto de cero que no sea una unidad tiene una factorización finita en irreducibles.
6. Probar que en un dominio de ideales principales todo ideal primo es maximal.
7. Sean z = 20 + 17i y w = 4 + 5i dos elementos de Z[i]; encontrar c, r en Z[i] tales que
z = cw + r con r = 0 o N (r) < N (w).
√
√
8. Demostrar que Z[ −2] es un dominio euclı́deo con la aplicación N (a + −2) = a2 + 2b2 .
9. Dar una demostración algebraica del algoritmo de división en Z[i]. (Sugerencia: Para
α y β en Z[i] con β no nulo, pongamos α/β = r + si ∈ Q[i]. Sean x, y enteros lo
más cercanos posible a los números racionales r y s respectivamente. Mostrar que
para σ = x + yi y ρ = α − βσ se tiene N (ρ) < N (β) mediante la demostración de
que
2
N (ρ) α
= − σ < 1 ,
N (β)
β
donde | · | es el valor absoluto usual para los elementos de C.)
√
10. Sea Z[w] = {n + mw : n, m ∈ Z}, donde w = (−1 + −3)/2. Demostrar que Z[w] es
un dominio euclı́deo. Demostrar que 1 − w es irreducible en Z[w].
11. Sea (α) un ideal (principal) distinto de cero de Z[i].
1. Demostrar que Z[i]/(α) es un anillo finito.
2. Demostrar que si π es un irreducible, entonces Z[i]/(π) es un cuerpo.
3. Encontrar el orden (como grupos abelianos) y la caracterı́stica de los siguientes
cuerpos:
Z[i]/(3) , Z[i]/(1 + i) , Z[i]/(1 + 2i) .
1
12. Usar el algoritmo de Euclides en Z[i] para encontrar un máximo común divisor en Z[i]
de:
• 16 + 7i y 10 − 5i,
• 7 + 2i y 3 − 4i,
• 153 − 54i y 88 − 124i.
13. Si p es un entero positivo primo distinto de 2, probar que p no tiene a 1 + i como factor
primo en Z[i].
14. Si p es un primo distinto de 2 y p es suma de dos cuadrados, probar que p ≡ 1(4).
15. Determinar todos los primos de Z[i] de norma ≤ 5.
16. Sean K un cuerpo y f , g elementos de K[X]. Demostrar que
I = {rf + sg : r, s ∈ K[X]}
es un ideal de K[X]. Probar que si f y g tienen grados diferentes e I es un ideal
propio, entonces f y g no pueden ser ambos irreducibles sobre K.
17. Sea K = R ó C. Consideremos el polinomio con coeficientes reales:
f (x, y) = x2 + y 2 − 2x3 + x4 .
Demuestra que f (x, y) es irreducible en R[x, y], pero es reducible en C[x, y]. Demuestra que
R[x, y]/(f )
es un dominio de integridad y
C[x, y]/(f )
no lo es.
18. Sea x un elemento nilpotente de un anillo A conmutativo y con unidad (x ∈ A es
nilpotente si existe un número natural n tal que xn = 0). Probar que 1 + x es una
unidad en A. Deducir que la suma de un elemento nilpotente y una unidad es una
unidad.
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Repaso sobre irreducibilidad
19. Sea p un número primo. Demostrar que en Fp [X] se da la igualdad:
X p − X = X(X − 1) · · · (X − p + 1) .
Deducir de aquı́ la congruencia de Wilson: si p es primo, (p − 1)! ≡ −1(p).
20.
Usar el Pequeño teorema de Fermat para encontrar todos los ceros de
2X 219 + 3X 74 + 2X 57 + 3X 44 en F5
21. Decir si los siguientes ideales de Q[X] son primos o maximales:
I1 = (X 2 ) ,
I2 = (X − 2, X − 3) ,
I3 = (X 2 + 1) ,
I4 = (X 2 + 1, X − 3) .
22. Probar que 30X n = 91 no tiene raı́ces racionales para ningún n > 1 (usar el criterio
de Eisenstein).
23. Descomponer X 6 − 1 sobre Q[X], R[X],C[X], Z[X] y F7 [X].
24. Sea f un polinomio mónico con coeficientes enteros. Sea p un número primo. Demostrar
que si f es irreducible en Fp [X] también lo es en Z[X] y en Q[X]. Comprobar que
el recı́proco de este resultado no es cierto considerando X 4 + 5X + 12 en F3 [X] y
en Z[X].
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