Técnicas de Integración Fracciones Parciales (II)

Técnicas de Integración
Fracciones Parciales (II)
¿Como separo una fracción cuando el denominador tiene (dentro de un paréntesis) el término x2 ?.
Primero debes fijarte que no puedas factorizar la expresión. Por ejemplo la expresión x2 − 1 no
entra en este caso, por que la puedes escribir como (x + 1)(x − 1). Te mostraré algunos ejemplos.
Ejemplo 1: Separa la fracción
x
(x2 + 2)(x2 + 1)
Este tipo de fracciones puede separarse y quedar con la siguiente forma
(x2
x
Ax + B
Cx + D
= 2
+ 2
2
+ 2)(x + 1)
x +2
x +1
Cada vez que tenga un denominador con x2 el numerador tendrá la forma Ax + B. Si sumo las
fracciones, la expresión tendrá la forma
(x2
x
(Ax + B)(x2 + 1) + (Cx + D)(x2 + 2)
=
2
+ 2)(x + 1)
x2 (x2 + 1)
Ahora, los numeradores deben ser iguales
x = (Ax + B)(x2 + 1) + (Cx + D)(x2 + 2)
Para encontrar el valor de las incógnitas, deberé usar un procedimiento un poco diferente al método
mostrado antes. Comenzaré expandiendo toda la expresión ası́
x = Ax3 + Ax + Bx2 + B + Cx3 + 2Cx + Dx2 + 2D
Agruparé términos
x = (A + C)x3 + (B + D)x2 + (A + 2C)x + (B + 2D)
1
La expresión A + C es el coeficiente de x3 . Pero como del lado izquierdo de la ecuación no tiene un
término x3 entonces puedo decir que A + C = 0, para que se cumpla la igualdad. Del lado izquierdo
tampoco hay un término x2 por eso B + D debe ser 0.
Como del lado izquierdo hay un término x (cuyo coeficiente es 1) puedo decir entonces que A+2C =
1. Mira que la expresión B + 2D representa las constantes (sin ninguna x) del lado derecho, pero
al lado izquierdo no hay constantes por eso B + 2D = 0. Las ecuaciones que tengo son entonces,
A+C =0
B+D =0
A + 2C = 1
B + 2D = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones encuentras entonces el valor de las constantes. Para este
problema A = −1 , C = 1, B = 0, D = 0. Con estos coeficientes, sé que la fracción se puede separar
de la siguiente manera
(x2
Ejemplo 2: Separa la fracción
x
x
x
= 2
− 2
2
+ 2)(x + 1)
x +1 x +1
x+2
(x + 1)(x2 + 1)
Esta fracción es una combinación de los dos casos que te he mostrado. La fracción expandida será
de la forma
A
Bx + C
x+2
=
+ 2
2
(x + 1)(x + 1)
x+1
x +1
Sumando las fracciones e igualando numeradores tendré la expresión
A(x2 + 1) + (Bx + C)(x + 1) = x + 2
2
Expandiendo el lado izquierdo de la ecuación
Ax2 + A + Bx2 + Bx + Cx + C = x + 2
Agrupando
[A + B]x2 + [B + C]x + [A + C] = x + 2
No hay x2 del lado derecho, por eso A+B = 0. Como hay un término x del lado derecho , B+C = 1.
La expresión A + C es una constante, por ende A + C = 2. Mis ecuaciones son
A+B =0
B+C =1
A+C =2
Resolviendo el sistema de ecuaciones encuentro que el valor de las incógnitas son A =
− 12 , C
=
3
2.
La expansión de la fracción será entonces
− 12 x + 32
x+2
1
=
+
(x + 1)(x2 + 1)
2(x + 1)
x2 + 1
Arreglando un poco mas la expansión
1
x−3
x+2
=
−
(x + 1)(x2 + 1)
2(x + 1) 2(x2 + 1)
Problema Práctica 1: Separa la fracción
Respuesta:
(x2
2x − 3
− 1)(x2 + 3)
3 − 2x
1
5
−
+
4(x2 + 3) 8(x − 1) 8(x + 1)
Z
Ejemplo 3: Encuentra la solución a
(2x3 − 3x2 + 2x − 12)dx
(x2 + 4)(x2 + 1)
3
1
2, B
=
Como un muy buen ejercicio, dejaré que demuestres que
2x3 − 3x2 + 2x − 12
2x
3
= 2
− 2
2
2
(x + 4)(x + 1)
x +4 x +1
De todos modos, haré un documento exclusivo para la solución de ese ejercicio.
Z
(2x3 − 3x2 + 2x − 12)dx
=
(x2 + 4)(x2 + 1)
Z
2xdx
−
x2 + 4
Z
3dx
+1
x2
Ambas integrales deben ser integrales conocidas. Aplicando las fórmulas de capı́tulos anteriores o
sustitución simple, fácilmente llego a la respuesta
Z
(2x3 − 3x2 + 2x − 12)dx
= ln|x2 + 4| − 3 tan−1 (x)
(x2 + 4)(x2 + 1)
Antes de cerrar con este documento, quiero recordarte algunas cosas antes de resolver algo por el
método de fracciones parciales.
REPASO (I y II)
1.) Cuando una de tus nuevas fracciones tenga un denominador de la forma (ax + b), entonces
su numerador será simplemente una constante.
2.) Cuando una de tus nuevas fracciones tenga un denominador de la forma (ax2 + b) y que no
se pueda factorizar, entonces su numerador tendrá la forma Ax + B
3.) No puedes aplicar lo de los puntos anteriores si tienes un denominador de la
forma (ax + b)n . Para esto necesitarás otro método.
4.) No apliques ninguno de los puntos anteriores si el numerador de tu fracción
original (la que no está separada), tiene una variable que tenga mayor exponente a
las variables del denominador. Ejemplos
x3
x5
x2 + 1 (x2 + 1)(x2 + 4)
4
Si los exponentes del numerador tienen el mismo valor que los exponentes del denominador, entonces
el método es aplicable.
Para esos dos casos restantes, mira el documento Fracciones Parciales III.
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