Campo Magnetostático

Campo Magnetostático
A. Zozaya S.
Índice
Índice 1
1. Magnetostática
2
1.1. Ley de fuerza de Ampere, 2. —1.2. Campo magnetostático, 2 –1.2.1. Ley de Biot-Savart, 2. –
1.2.2. Campo de una carga puntual, 2. –1.2.3. Campo de una distribución cualquiera de corriente, 3 . —1.3.
Divergencia del campo magnetostático, 4. —1.4. Vector potencial magnético, 4. —1.5. Rotacional del
campo magnetostático, 5.
2. Ley circuital de Ampere 5
3. Medios materiales inmersos en un campo magnetostático
7
3.1. Dipolo magnético, 7 –3.1.1. Analogías con el dipolo eléctrico, 8 . —3.2. Imanación o polarización
magnética, 8 –3.2.1. Vector de magnetización, 9 . —3.3. Ley de Ampere en el interior de un medio
material, 11. —3.4. Condiciones en la frontera, 12.
4. Energía magnética
13
4.1. Inductancia, 13.
5. Mini-proyectos
13
5.1. Mini-proyecto 1, 13.
A. Calculo del rotacional del campo de inducción magnética
A.1. Procedimiento primero., 15. —A.2. Procedimiento segundo, 16.
Bibliografía
16
Índice alfabético
18
1
15
1.
Magnetostática
1.1.
Ley de fuerza de Ampere
Ampere determinó que la fuerza que experimenta un circuito 𝐶2 de corriente continua 𝐼2 , debido a la «influencia» de un
segundo circuito 𝐶1 de corriente continua 𝐼1 , ambos en el vacío,
vale (Fig. 1):
∮
∮
𝜇0
𝒂𝑹
(1)
𝑭21 =
𝐼2 dℓ2 ×
𝐼1 dℓ1 × 221
4𝜋 𝐶2
𝑅21
𝐶1
donde 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 [H/m]1 es la permeabilidad magnética
del vacío, 𝑹21 = 𝒓2 − 𝒓1 y 𝒂𝑹21 = 𝑹21 /𝑅21 .
La Ecuación 1 se conoce como ley de fuerza de Ampere.
Figura 1: Ley de fuerza de Ampere.
1.2.
1.2.1.
Campo magnetostático
Ley de Biot-Savart
El término:
𝜇0
𝑩=
4𝜋
∮
𝐼1 dℓ1 ×
𝐶1
𝒂𝑹21
2
𝑅21
(2)
que solo depende de la geometría y de la corriente del circuito 𝐶1 , es el campo densidad de flujo
magnético o inducción magnética 𝑩 [W/m2 ]2 o [T]3 producido por el circuito 𝐶1 . La Ecuación
2 se conoce como ley de Biot-Savart.
1.2.2.
Campo magnetostático producido por un carga puntual que se mueve a una
velocidad uniforme
El campo magnético producido por un elemento de corriente puntual se puede definir a partir
de la fuerza entre dos elementos infinitesimales de corriente, extrayéndola de la Ec. (1):
d𝑭12 =
𝜇0
𝒂𝑹
𝐼1 dℓ1 × 𝐼2 dℓ2 × 212
4𝜋
𝑅12
(3)
Al reemplazar los elementos infinitesimales de corriente 𝐼1 dℓ1 y 𝐼2 dℓ2 en la Ec. (3) por elementos infinitesimales de corriente de convección:
d𝑭12 =
𝜇0
𝒂𝑹
𝜌𝜈1 d𝜈1 𝒗1 × 𝜌𝜈2 d𝜈2 𝒗2 × 212
4𝜋
𝑅12
(4)
y al poner 𝜌𝜈1 = 𝑞1 𝛿(𝒓 − 𝒓1 ) y 𝜌𝜈2 = 𝑞2 𝛿(𝒓 − 𝒓2 ), se obtiene:
𝑭12 =
𝜇0
𝒂𝑹
𝑞1 𝒗1 × 𝑞2 𝒗2 × 212
4𝜋
𝑅12
1
H=Henrios
W=Weber
3
T=Yesla
2
2
(5)
Finalmente, al dividir la fuerza 𝑭12 entre el elemento de corriente puntual 𝑞1 𝒗1 y al tomar el
limite 𝑞1 𝒗1 → 0, obtenemos el campo magnético producido por 𝑞2 𝒗2 en el punto 𝒓2 :
𝑭12
𝜇0
𝒂𝑹
=
𝑞2 𝒗2 × 212
𝑞1 𝒗1 →0 𝑞1 𝒗1
4𝜋
𝑅12
𝑩12 = lı́m
(6)
De esta forma definimos el campo magnético en 𝒓 producido
por un elemento puntual de corriente 𝑞𝒗 puesto en 𝒓 ′ , despreciando los efectos relativistas y el retardo de propagación del
campo, mediante la expresión:
𝜇0
𝒂𝑹
𝑩(𝒓) =
𝑞𝒗 × 2
(7)
4𝜋
𝑅
donde 𝑹 = 𝒓 − 𝒓 ′ y 𝒂𝑹 = 𝑹/𝑅.
Obsérvese que el campo magnético se puede expresar de la Figura 2: Carga puntual con velocidad 𝒗.
siguiente manera equivalente:
𝒂𝑹
𝜇0
𝑩 = 𝑞𝒗 × 2
4𝜋
𝑅
𝑞 𝒂𝑹
= 𝜇 0 𝜀0 𝒗 ×
|{z}
4𝜋𝜀0 𝑅2
| {z
}
1/𝑐2
𝑬
𝒗
= 2 ×𝑬
𝑐
donde 𝑬 es el campo eléctrico producido por 𝑞.
Cuadro 1: Campo magnético para diferentes distribuciones de corriente.
Distribución
Campo Magnetostático
𝑩=
puntual de convección
𝜇0
𝑛=1 4𝜋 𝑞𝑛 𝒗𝒏
𝑩=
lineal
1.2.3.
∑𝑁
𝜇0
4𝜋
superficial
𝑩=
𝜇0
4𝜋
∫
volumétrica
𝑩=
𝜇0
4𝜋
∫
∮
𝑆′
𝑉′
𝐶
×
𝐼dℓ′ ×
𝒂𝑹𝒏
2
𝑅𝑛
𝒂𝑹
𝑅2
𝑱𝒔 (𝒓 ′ ) ×
𝒂𝑹
𝑅2
d𝑠′
𝑱 (𝒓 ′ ) ×
𝒂𝑹
𝑅2
d𝜈 ′
Campo magnetostático producido por una distribución cualquiera de corriente
Las expresiones del campo magnético producido por un número discreto 𝑁 de elementos de
corriente y por las distribuciones lineal 𝑰(𝒓 ′ ), superficial 𝑱𝒔 (𝒓 ′ ) y volumétrica 𝑱 (𝒓 ′ ) de corriente
se muestran en el cuadro 1.
La fórmula en la cuarta casilla del cuadro 1 es, entre todas, la más general expresión del campo
magnético:
∫
𝜇0
𝒂𝑹
𝑩=
𝑱 (𝒓 ′ ) × 2 d𝜈 ′
(8)
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
3
1.3.
Divergencia del campo magnetostático
Calculemos la divergencia del campo magnético:
[ ∫
]
𝜇0
𝒂𝑹 ′
′
∇ ⋅ 𝑩 =∇ ⋅
𝑱 (𝒓 ) × 2 d𝜈
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
∫
[
𝜇0
𝒂𝑹 ] ′
′
=
∇ ⋅ 𝑱 (𝒓 ) × 2 d𝜈
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
usando la identidad vectorial ∇ ⋅ (𝑭 × 𝑮) = 𝑮 ⋅ (∇ × 𝑭 ) − 𝑭 ⋅ (∇ × 𝑮) obtenemos
∫
∫
[
𝜇0
𝒂𝑹
𝒂𝑹 ] ′
𝜇0
′
′
′
∇⋅𝑩 =
𝑱
(𝒓
)
⋅
∇
×
d𝜈
⋅
[∇
×
𝑱
(𝒓
)]
d𝜈
−
4𝜋 𝑉 ′ 𝑅2
4𝜋 𝑉 ′
𝑅2
y tomando en cuenta que ∇× opera sobre las variables no primadas y que 𝑱 (𝒓 ′ ) es una función
de la variables primadas, y que ∇ × 𝒂𝑅𝑹2 = 0 (porque 𝒂𝑅𝑹2 = −∇( 𝑅1 )), sigue que
∇⋅𝑩 =0
1.4.
(9)
Vector potencial magnético
En virtud de la Ecuación (9), el campo de inducción magnética 𝑩 se podrá expresar como el
rotacional de cierto campo auxiliar 𝑨:
𝑩 =∇×𝑨
(10)
donde 𝑨 es el Vector Potencial Magnético, el cual, invocando el Teorema de Helmholtz,
viene dado por:
∫
∇×𝑩 ′
1
d𝜈
(11)
𝑨=
4𝜋 𝑉 ′ 𝑅
Al «manipular» lícitamente la Ec. 8 se obtiene:
𝜇0
𝑩=
4𝜋
( )
∫
𝒂𝑹 ′
1
𝜇0
𝑱 (𝒓 ) × 2 d𝜈 =
∇
× 𝑱 (𝒓 ′ ) d𝜈 ′
𝑅
4𝜋
𝑅
′
′
𝑉
𝑉
(
)
∫
∫
𝜇0
𝜇0
𝑱 (𝒓 ′ )
∇ × 𝑱 (𝒓 ′ ) ′
′
=
∇×
d𝜈 −
d𝜈
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
[ ∫
]
1
𝜇0 𝑱 (𝒓 ′ ) ′
=∇×
d𝜈
(12)
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
∫
′
de donde, por comparación con la Ec. (10), sigue que:
∫
1
𝜇0 𝑱 (𝒓 ′ )
𝑨=
d𝜈 ′
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
(13)
Ejemplo Se desea calcular el campo 𝑨 en el punto 𝑃 (0, 0, 5) producido por una corriente de
40
nA que se desarrolla a lo largo de una espira circular de radio 2 m la cual yace sobre el plano
3
𝑧 = 0 y su centro coincide con el origen.
4
Solución La expresión general del Vector Potencial Magnético dada en la Ec. (13) consiste, a
𝜇0
menos de la constante 4𝜋
, en la suma vectorial de los elementos de corriente pesados por el inverso
de la distancia al punto de observación. Para el caso de una distribución filamentaria, la Ec. (13)
asume la forma particular
∮
𝜇0 𝐼
dℓ′
𝑨=
4𝜋 Γ′ 𝑅
√
Ya que el punto considerado equidista 𝑅 = 29 m de todos los elementos de corriente, será
∮
𝜇0 𝐼
√
𝑨(0, 0, 5) =
dℓ′
4𝜋 29 Γ′
= 0
1.5.
Rotacional del campo magnetostático
El campo magnético –ver Cuadro (1)– parece «rotar» alrededor de las corrientes que lo producen, por ello, y con base en la comparación de las Ecs. (11) y (20), anticipamos que su rotacional,
que consiste en la densidad de sus fuentes vectoriales por unidad de área, debe conincidir con 𝜇0 𝑱 .
∇ × 𝑩 = 𝜇0 𝑱
(14)
El Cálculo de ∇ × 𝑩 a partir de la expresión general de 𝑩 –Ec. (8)– es bastante engorroso, sin
embargo, para fines didácticos en el Apéndice (A) presentamos dos formas de calcularlo.
2.
Ley circuital de Ampere
Las Ecuaciones (9) y (14) constituyen la ecuaciones de Maxwell del campo magnético estático:
∇ × 𝑩 = 𝜇0 𝑱
∇⋅𝑩 =0
Las versiones integrales de las ecuaciones 15 y 16 son, respectivamente:
∮
∫
𝑩 ⋅ dℓ = 𝜇0
𝑱 ⋅ d𝒔
𝐶
𝑆(𝐶)
∮
𝑩 ⋅ d𝒔 = 0
(15)
(16)
(17)
(18)
𝑆
La Ecuación 17 se conoce como ley circuital de Ampere.
En algunos casos de elevada simetría de la distribución de corriente es posible resolver facílmente
el campo magnético usando la Ley Circuital de Ampere en forma integral. Para ello es necesario
poder inferir a priori la estructura del campo en un sistema de coordenadas en el cual dicha
estructura quede expresada de manera natural. Si, inferida la estructura del campo, resulta posible
concebir un camino cerrado especial, dígase Γ, de modo que el campo magnético sea en cierta
porción de Γ tangente y uniforme, y en el resto de Γ simplemente normal o nulo, entonces la
componente tangencial 𝐵𝑡 se podrá factorizar de la integral de linea y se la podrá calcular como
la razón de la corriente que se eslabona con Γ a la longitud de la porción de Γ tangente al campo
𝑩, pesada por 𝜇0 :
𝐼 eslabonada con Γ
𝐵𝑡 = 𝜇0
longitud de la porción de Γ tangente a 𝑩
5
(a)
(b)
(c)
Figura 3: Distribución de corriente 𝑱 = 2𝛿(𝜌 − 𝑎)𝒂𝝋 A/m2 . a) La corriente se distribuye sobre la superficie 𝜌 = 𝑎 en
dirección de 𝒂𝝋 . b) Una distribución como esta se puede obtener de una similar sobre la superficie de un toroide, cuyo
radio 𝑟 tiende a infinito. c) Elección de una curva Γ cerrada para la alpicación de la Ley Circuital de Ampere.
Ejemplo Se desea calcular el campo mágnetico 𝑩 que produce una distribución de corriente
𝑱 = 2𝛿(𝜌 − 𝑎)𝒂𝝋 A/m2 como se ilustra en la Fig. 3(a).
Solución En la aplicación de la Ley Circuital de Ampere para resolver el campo magnético,
es imprescindible inferir a priori la estructura del campo. La inferencia de la estructura del campo
parte del intimo conocimiento del campo que nos proporcionan las Ecs. (15) y (16). De la Ecuación
(15) comprendemos que el campo 𝑩 rota, o circula, transversalmente alrededor de sus fuentes (las
corrientes). Por ello, no queda otra alternativa que admitir que el campo que deseamos resolver ha
de tener la estructura
{
𝐵0 𝒂𝒛 ; 𝜌 < 𝑎
𝑩=
(19)
0
;𝜌 > 𝑎
Para aquel lector a quien resulte dificil aceptar la validez de esta expresión puede proceder
imaginando la corriente como distribuida sobre la superficie cilíndrica de un toroide de radio
infinito –ver Fig. 3(b)– , lo cual le ayudará a aceptar que 𝑩 = 0 para 𝜌 > 𝑎. En admitir que la
dirección del campo sea en 𝒂𝒛 para 𝜌 < 𝑎 no creo que hayan mayores incovenientes, pero su valor
constante puede que no resulte evidente a primera vista. Para comprobar que el campo magnético
ha de ser uniforme en la región 𝜌 < 𝑎 podríamos postular, al contrario, que 𝑩 = 𝐵𝑧 (𝜌)𝒂𝒛 , ya
que las dependencias eventuales de 𝐵𝑧 con las variables 𝜑 y 𝑧 si se pueden descartar de manera
𝑧
obvia. Procediendo de esta manera comprobaríamos que ∇ × 𝑩 = −𝒂𝝋 ∂𝐵
∕= 0, lo cual implicaría
∂𝜌
𝑧
la presencia de fuentes del campo en la región 𝜌 < 𝑎, cosa que no es cierta y por tanto ∂𝐵
= 0,
∂𝜌
comprobándose, efectivamente, que el campo ha de ser uniforme en dicha región.
Una vez determinada la estructura del campo (Ec. (19)) la selección de una camino cerrado
para calcular 𝐵0 es fácil: en la Fig. 3(c) se muestra un camino rectangular de altura ℎ dispuesto
coplanaramente con el eje 𝑧 tal que uno de sus lados se desarrolle en el interior de la región 𝜌 < 𝑎
y otro completamente afuera. Utilizando la Ec. (17), sustituyendo en ella 𝑩 = 𝐵0 𝒂𝒛 y 𝐶 = Γ, se
6
podrá despejar 𝐵0 como
𝐽𝑠 ℎ
𝐵0 = 𝜇0 ∫ ℎ
d𝑧
0
= 2𝜇0
y el campo magnético valdrá 𝑩 = 2𝜇0 𝒂𝒛 T.
3.
Medios materiales inmersos en un campo magnetostático
Un medio material, desde el punto de vista magnético y macroscópico, se puede pensar como
una agrupación de incontables dipolos magnéticos atómicos4 suspendidos en el vacío, cuyas orientaciones en el espacio en la mayoría de los materiales, a excepción de los imanes permanentes, es
talmente aleatoria que no es posible detectar algún campo magnético resultante. Para poder describir cuantitativamente la interacción entre un medio material y el campo de inducción magnética
es conveniente revisar el concepto de dipolo magnético.
3.1.
Dipolo magnético
Un dipolo magnético se puede definir a partir de un circuito cualquiera de corriente observando
el circuito desde una distancia tal que se lo pueda considerar como un circuito puntual de corriente
y que allí, sin embargo, su campo magnético no sea nulo. Todo circuito de corriente observado
desde una distancia apropiadamente alejada es un dipolo magnético.
Con base en la Fig. 4 el Vector Potencial 𝑨(𝒓) producido por un
circuito de corriente vale
∮
𝜇0
𝐼dℓ
𝑨(𝒓) =
(20)
4𝜋 Γ ∣𝒓 − 𝒓 ′ ∣
Sin pérdida de generalidad, ubicando el origen lo más cerca posible
Figura 4: Circuito Γ genérico del circuito, procederemos a evaluar 𝑨 a una distancia suficientemente
de corriente.
grande como para aceptar que máx{𝑟′ } ≪ 𝑟, lo cual nos permitirá,
en las aproximaciones que introduciremos de seguido, despreciar los
′
términos en 𝑟 de orden igual o superior a dos. En efecto, el término ∣𝒓 − 𝒓 ′ ∣−1 se aproximará por
1
1
′
′
)− 2 , y éste, truncando la expansión binomial del termino (1 − 2𝒓⋅𝒓
)− 2 , por la expresión
𝑟−1 (1 − 2𝒓⋅𝒓
𝑟2
𝑟2
′
( 1𝑟 + 𝒓⋅𝒓
), de tal suerte de poder reescribir la Ec. (20) de la forma aproximada (para 𝑟 ≫ 𝑟′ ):
𝑟3
[ ∮
]
∮
𝜇0 𝐼
𝐼
′
𝑨(𝒓) ≈
(21)
dℓ + 3 (𝒓 ⋅ 𝒓 ) dℓ
4𝜋 𝑟 Γ
𝑟 Γ
∮
La primera integral es nula porque Γ dℓ = 0, mientras la segunda se la puede resolver para
obtener (pags. 190–191 de [1])
( ∮
)
𝜇0 𝐼
𝒓
′
𝑨(𝒓) ≈
(22)
𝒓 × dℓ × 3
4𝜋 2 Γ
𝑟
4
La rotación o spin de los electrones, así como su traslación alrededor del núcleo se pueden modelar como sendos
dipolos magnéticos elementales desde un punto de vista macroscópico.
7
∮
donde la cantidad entre paréntesis se denomina momento dipolar magnético 𝒎 = 𝐼2 Γ 𝒓 ′ × dℓ
[A⋅m2 ]. Aunque para obtener la Ec. (22) se ha ubicado el origen muy cerca del circuito, se puede
demostrar (pags. 369–370 de [? ]) que el momento dipolar magnético es independiente de la posición
relativa del origen del sistema de coordenadas. El Vector Potencial magnético expresado en la Ec.
(22) se puede reescribir de la manera compacta
𝑨(𝒓) ≈
𝒓
𝜇0
𝒎× 3
4𝜋
𝑟
(23)
El campo magnético 𝑩(𝒓) producido por el circuito de corriente de la Fig. en los puntos
distantes 𝑟 ≫ 𝑟′ se puede calcular tomando el rotacional de la Ec. (23) (pag. 191 de [1]):
[
]
𝒎
𝜇0 3𝒎 ⋅ 𝒓
′
(24)
𝒓− 3
𝑩(𝒓 ) ≈
4𝜋
𝑟5
𝑟
∮
Para un circuito de corriente en forma de espira circular (Figura 5), la integral 12 Γ 𝒓 ′ × dℓ
coincide con el área 𝑆 coplanar de la espira y el momento dipolar magnético asume la forma:
𝒎 = 𝐼𝜋𝑎2 𝒂𝒏 = 𝐼𝑆𝒂𝒏 = 𝑚𝒂𝒏 [A/m2 ]
(25)
donde 𝐼 es la corriente que circula por la espira, 𝑎 es el radio de la
espira, 𝑆 el área de la espira y 𝒂𝒏 y el sentido de circulación de la
corriente respetan la regla de la mano derecha.
Los campos potencial magnético y magnético producidos por un
dipolo magnético, con 𝒎 en la dirección de 𝒂𝒛 y centrado en el
origen, son, respectivamente:
Figura 5: Dipolo magnético.
𝜇0 𝒎 × 𝒂 𝒓
𝑨=
4𝜋 𝑟2
𝜇0 𝐼𝑎2
𝑩=
(2 cos 𝜃𝒂𝒓 + sin 𝜃𝒂𝜽 )
𝑟3
3.1.1.
(26)
(27)
Analogías con el dipolo eléctrico
Entre el dipolo magnético y el dipolo eléctrico existen evidentes analogías. En el Cuadro 2 se
resumen las principales propiedades asociadas a ambos dipolos.
3.2.
Imanación o polarización magnética
La imanación o magnetización es la reacción natural de la materia ante un campo magnético inicialmente externo. Esta «reacción» se puede modelar mediante la utilización del concepto
previamente descrito del dipolo magnético.
¿Y cómo reacciona un dipolo magnético ante la presencia de un campo magnético externo?
La clave es la ley de fuerza de Ampere: la fuerza magnética que experimenta una espira microscópica
debido a un campo magnético es nulo al asumir que el campo 𝑩 es el mismo en todos los puntos
de la espira:
(∮
)
∮
𝐼dℓ × 𝑩 =
𝑭 =
𝑐
𝐼dℓ × 𝑩 = 0
𝑐
8
Cuadro 2: Analogías entre los dipolos magnético y eléctrico.
dipolo eléctrico
d
−q
+q
R
ap
r'
r
𝒑 = 𝑞𝑑𝒂𝒑
momento dipolar
𝑉 =
potencial asociado
campo producido
dipolo magnético
𝑬=
𝒎 = 𝐼𝑆𝒂𝒏
1 𝒑⋅𝒂𝒓
4𝜋𝜀0 𝑟2
𝑝
(2 cos 𝜃𝒂𝒓
4𝜋𝜀0 𝑟3
+ sin 𝜃𝒂𝜽 )
𝑨=
𝑩=
𝜇0 𝒎×𝒂𝒓
4𝜋 𝑟2
𝜇0 𝑚
(2 cos 𝜃𝒂𝒓
4𝜋𝑟3
+ sin 𝜃𝒂𝜽 )
La espira experimenta entonces un torque 𝑻 que es independiente del origen respecto al cual
se mide [2]:
∮
𝑻 = 𝒓 × d𝑭
(28)
𝑐
∮
= 𝒓 × (𝐼dℓ × 𝑩)
)
(𝑐∫
𝐼d𝒔 ×𝑩
=
𝑠(𝑐)
|
{z
}
𝒎
donde hemos tomado el centro de la espira (Fig. 5) como origen para el cálculo del torque.
𝑻 =𝒎×𝑩
(29)
En virtud de este torque, el dipolo magnético tiende a alinearse con el campo magnético externo.
Una generalización de esta idea al caso de una agrupación continua de dipolos magneticos, como
sería el caso de un medio material –ver Fig.6(a)–, permite inferir que cada dipolo magnético dentro
del medio material tenderá, dentro de ciertos límites físicos, a alinearse igualmente con el campo
magnético externo. El resultado es la imanación o magnetización del material –ver Fig. 6(b)–.
3.2.1.
Vector de magnetización
Magnetizado cierto medio, se define la siguiente densidad volumétrica de momento dipolar
magnético (cantidad macroscópica) denominada vector de magnetización:
∑𝑛Δ𝜈
𝑴 = lı́m
𝒎𝒌
[A/m]
Δ𝜈
𝑘=1
Δ𝜈→0
9
(30)
(a) Medio material no magnetizado
(b) Medio magnetizado
Figura 6: Magnetización de un medio material.
De esta suerte, el diferencial de potencial magnético producido por la combinación vectorial de
los momentos magnéticos contenidos en un volumen diferencial de cierto medio material vale:
𝜇0 𝑴 (𝒓 ′ )d𝜈 ′ × 𝒂𝑹
(31)
d𝑨 =
4𝜋
𝑅2
El potencial magnético producido por la totalidad de los dipolos magnéticos del medio material,
se puede calcular como –ver Fig. 7(a)–:
∫
𝜇0
𝑴 (𝒓 ′ ) × 𝒂𝑹 ′
𝑨=
d𝜈
4𝜋 𝑉 ′
𝑅2
( )
∫
𝜇0
1
′
′
=
𝑴 (𝒓 ) × ∇
d𝜈 ′
(32)
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
Empleando la identidad vectorial ∇×(𝜓𝑭 ) = 𝜓∇×𝑭 +∇𝜓 ×𝑭 , la Ec. (32) se puede reescribir
de la forma
( )
∫
1
𝜇0
′
′
𝑴 (𝒓 ) × ∇
d𝜈 ′
𝑨=
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
(
)
∫
∫
𝑴 (𝒓 ′ )
𝜇0
∇′ × 𝑴 (𝒓 ′ ) ′ 𝜇0
′
=
d𝜈 −
∇ ×
d𝜈 ′
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
∫
∮
utilizando la identidad vectorial 𝑉 ∇ × 𝑭 d𝜈 = 𝑆(𝑉 ) 𝒂𝒏 × 𝑭 d𝑠 se obtiene finalmente:
∫
∫
𝑱𝒎 (𝒓 ′ ) ′ 𝜇0
𝑱𝒔𝒎 (𝒓 ′ ) ′
𝜇0
d𝜈 +
d𝑠
(33)
𝑨=
4𝜋 𝑉 ′ 𝑅
4𝜋 𝑆 ′
𝑅
donde
𝑱𝒎 (𝒓 ′ ) = ∇′ × 𝑴 (𝒓 ′ )
𝑱𝒔𝒎 (𝒓 ′ ) = 𝑴 (𝒓 ′ ) × 𝒂𝒏
(34)
(35)
son las densidades de corriente de magnetización volumétrica y superficial, respectivamente. Con
la introducción de estas densidades de corriente ficticias el problema de calcular el campo de
inducción magnética producido por un medio magnetizado se reduce a una integración similar a
la que se tiene en los problemas de corrientes reales. Este procedimiento implica que el medio
magnetizado sea reemplazado por las correspondientes densidades de corriente de magnetización
𝑱𝒔𝒎 y 𝑱𝒎 , suspendidas en el vacío y distribuidas, respectivamente, sobre la superficie exterior y
en el volumen interior del mismpo medio –ver Fig. 7(b)–.
10
(a) Campo 𝑨 producido por un medio magnetizado en términos de 𝑴 directamente, tal que
d𝒎 = 𝑴 (𝒓 ′ )d𝜈.
(b) Campo 𝑨 producido por un medio magnetizado en términos de 𝑱𝒎 = ∇ × 𝑴 y 𝑱𝒔𝒎 =
𝑴 × 𝒂𝒏 .
Figura 7: Visión cuantitativa de la magnetización. En la Figura 7(b) se pretender expresar que el medio ha sido substituido
por las densidades de corriente de magnetización 𝑱𝒔𝒎 y 𝑱𝒎 , suspendidas en el vacío y distribuidas sobre la superficie y
en el volumen interior del medio, respectivamente.
3.3.
Ley de Ampere en el interior de un medio material
Ya que un medio magnetizado produce un campo magnético, al tomar el rotacional del campo
magnético en el interior de cierto medio infinitamente extenso, deberán tenerse presente todos los
tipos de corriente capaces de producir campo magnético: ∇ × 𝑩 = 𝜇0 (𝑱 + 𝑱𝒎 ). Queda claro,
también, que al magnetizarse el medio material, lo hará por la acción del campo de inducción
magnética producido tanto por las corrientes libres 𝑱 presentes, como por las de magnetización
𝑱𝒎 = ∇ × 𝑴 inducidas. Matemáticamente:
∇ × 𝑩 = 𝜇0 (𝑱 + ∇ × 𝑴 )
Las cantidades bajo el operador rotacional se pueden agrupar de la manera siguiente
)
(
𝑩
−𝑴 =𝑱
∇×
𝜇0
(36)
(37)
La cantidad 𝜇𝑩0 − 𝑴 de la Ecuación 37, se puede concebir como un nuevo vector, más bien de
caracter auxiliar que físico: es el vector intensidad de campo magnético 𝑯 = 𝜇𝑩0 − 𝑴 [A/m],
que depende solo de las corrientes libres:
∇×𝑯 =𝑱
(38)
De la Ecuación 𝑯 = 𝜇𝑩0 − 𝑴 se puede despejar 𝑩 para obtener, luego, una expresión de
utilidad en una gran cantidad de aplicaciones
𝑩 = 𝜇0 (𝑯 + 𝑴 )
(39)
En efecto, en algunos materiales, el vector de magnetización 𝑴 se puede expresar mediante
una función muy simple de la intensidad de campo magnético 𝑯. Para ello, se define un parámetro adimensional denominado susceptibilidad magnética 𝜒𝑚 : 𝑴 = 𝜒𝑚 𝑯, tal que, para estos
11
materiales, la Ec. (39) se puede reescribir de la forma
𝑩 = 𝜇0 (𝑯 + 𝜒𝑚 𝑯)
= 𝜇0 (1 + 𝜒𝑚 ) 𝑯
| {z }
𝜇𝑟
|
{z
}
(40)
(41)
𝑩 = 𝜇𝑯
(42)
𝜇
donde 𝜇𝑟 y 𝜇 son las permeabilidades magnéticas relativa y absoluta, respectivamente, del medio.
Los parámetros 𝜒𝑚 y 𝜇 expresan, de manera concentrada, las propiedades magnéticas del medio.
En el sistema mks la permeabilidad magnética se expresa en unidades de Henrios sobre metro.
Aunque la relación entre las cantidades 𝑯 y 𝑩 según se expresa mediante la Ec. 42, es la más
difundida, una relación más conveniente, porque describe mejor la realidad física del asunto es
𝑯 = 𝜇−1 𝑩
donde 𝑩 ocupa el lugar de campo mágnetico primario, o campo físico, y 𝑯 de campo auxiliar,
como corresponde [3].
Cuadro 3: Otras analogías entre las polarizaciones eléctrica y magnética.
dipolo magnético
𝑴 = lı́mΔ𝜈→0
𝑨=
𝜇0
4𝜋
𝑘=1
𝒎𝒌
Δ𝜈
𝑷 = lı́mΔ𝑉 →0
[A/m]
∑𝑁
𝑛 𝒑𝒏
Δ𝑉
[C/m2 ]
𝑱𝒎 (𝒓 ′ ) = ∇′ × 𝑴 (𝒓 ′ )
𝜌𝜈𝑝𝑜ℓ (𝒓 ′ ) = −∇′ ⋅ 𝑷
𝑱𝒔𝒎 (𝒓 ′ ) = 𝑴 (𝒓 ′ ) × 𝒂𝒏
𝜌𝑠𝑝𝑜ℓ (𝒓 ′ ) = 𝑷 (𝒓 ′ ) ⋅ 𝒂𝒏 (𝒓 ′ )
∫
𝑉′
𝑱𝒎 (𝒓 ′ )
𝑅
d𝜈 ′ +
𝑯=
3.4.
∑𝑛Δ𝜈
dipolo eléctrico
𝑩
𝜇0
𝜇0
4𝜋
∫
𝑆′
𝑱𝒔𝒎 (𝒓 ′ )
𝑅
d𝑠′
𝑉 =
1
4𝜋𝜀0
∮
𝑆′
−𝑴
𝜌𝑠𝑝𝑜ℓ (𝒓 ′ )
𝑅
d𝑠′ +
1
4𝜋𝜀0
∫
𝑉′
𝜌𝜈𝑝𝑜ℓ (𝒓 ′ )
𝑅
d𝜈 ′
𝑫 = 𝜀0 𝑬 + 𝑷
𝑴 = 𝜒𝑚 𝑯
𝑷 = 𝜀0 𝜒 𝑒 𝑬
𝜇 = 𝜇0 (1 + 𝜒𝑚 )
𝜀 = 𝜀0 (1 + 𝜒𝑒 )
𝑯 = 𝜇−1 𝑩
𝑫 = 𝜀𝑬
Condiciones en la frontera
En la frontera entre dos medios materiales, el campo magnético se comporta como sigue:
(𝑩1 − 𝑩2 ) ⋅ 𝒂𝒏 = 0
𝒂𝒏 × (𝑯1 − 𝑯2 ) = 𝑱𝒔
12
(43)
(44)
4.
Energía magnética
Ya que toda vez que se establece una corriente en un circuito se debe realizar un trabajo en
contra de la f.e.m. auto-inducida, mientras perdura la corriente, queda almacenada en la distribución de corriente, o en el campo magnético que esta produce, una energía magnética. La densidad
volumétrica de energía magnética vale:
1
(45)
𝑤𝑚 = 𝑯 ⋅ 𝑩
2
Para un circuito en particular, la energía magnética almacenada en su entorno cercano se
obtiene integrando la Ecuación (45):
∫
1
𝑊𝑚 =
𝑯 ⋅ 𝑩 d𝜈 ′
(46)
2 𝑉′
la cual se extiende en el espacio hasta los puntos donde los campos posean un valor significativo.
Una deducción de la Ecuación 45 solo será posible cuando hayamos estudiado la ley de inducción
de Faraday.
4.1.
Inductancia
Todo sistema que pueda albergar una corriente tiene asociada cierta «capacidad» para almacenar energía magnética. Una medida de esta capacidad es la autoinductancia o simplemente
inductancia 𝐿:
∫
𝑩 ⋅ d𝒔
Φ
𝑆(Γ)
(47)
𝐿= = ∮
𝐼
𝑯 ⋅ dℓ
Γ
donde Φ es el flujo total que se enlaza con el circuito de corriente, e 𝐼 es la corriente del circuito
que produce el campo magnético 𝑩. El campo 𝑩 de la Ecuación (47) se puede calcular a partir
de la ley de Biot-Savart (2), de modo que:
)
(𝜇 ∮
∫
𝒂𝑹
𝐼dℓ
×
⋅ d𝒔
2
𝑅
𝑆(Γ) 4𝜋 Γ
𝐿=
𝐼
que al ser la corriente constante da lugar a:
(∮
)
∫
𝜇
𝒂𝑹
dℓ × 2 ⋅ d𝒔
𝐿=
4𝜋 𝑆(Γ) Γ
𝑅
(48)
De la Ecuación (48) se desprende que la inductancia es una función de las propiedades intrínsecas del medio –𝜇– en el que se encuentra inmerso el circuito de corriente y de la geometría de
este –𝑆(Γ) y Γ–: 𝐿 = 𝐿(medio, geometría).
5.
5.1.
Mini-proyectos
Mini-proyecto 1
Dada una espira rectangular de lado ℓ –ver Fig. 8(a)– recorrida por una corriente 𝐼0 , proceda
a resolver los problemas que se plantean a continuación.
13
∆1 ∆ 2
∆ N
∆s ∆s ∆s
1
2
Rmn
m
∆ n
∆sM
(a)
(b)
Figura 8: (a) Espira rectangular bajo estudio. (b) Espira discretizada
1. Intente calcular el campo 𝑩 analíticamente mediante los siguientes procedimientos:
∮
a) Por integración directa: 𝑩 = 𝜇/4𝜋 Γ 𝐼0 dℓ × 𝒂𝑹 /𝑅2 .
∮
b) Por diferenciación de 𝑨: 𝑩 = ∇ × 𝑨, con 𝑨 = 𝜇/4𝜋 Γ 𝐼0 dℓ/𝑅2
∫
∮
2. Intente calcular la inductancia 𝐿 analíticamente como 𝐿 = 𝜇/4𝜋 𝑆(Γ) ( Γ dℓ × 𝒂𝑹 /𝑅2 ) ⋅ ds, o
usando el resultado de la pregunta anterior.
3. Calcule el campo 𝑩 analíticamente en el centro de la espira y evalúelo para un par de valores
dados de 𝐼0 y ℓ.
4. Discretice la espira como se ilustra en la Fig. 8(b) escogiendo un par de valores (𝑁, 𝑀 )
convenientes, y:
a) Calcule el campo 𝐵 en el centro de la espira
plana que contiene la espira)
∑𝑁 (en la supercie
2
usando la aproximación 𝐵𝑚0 ≈ 𝜇𝐼0 /4𝜋 𝑛 Δℓ𝑛 /𝑅𝑚0 𝑛 , donde 𝑅𝑚0 𝑛 es la distancia desde
el punto medio del segmento Δℓ𝑛 al centro de la espira.
b) Calcule el error relativo de 𝐵𝑚0 respecto del valor obtenido en la pregunta 3. Concluya.
c) Calcule el campo 𝐵 en el resto de los puntos centrales
superficie incremetal
∑𝑁 de cada
2
Δ𝑆𝑚 usando la misma aproximación 𝐵𝑚 ≈ 𝜇𝐼0 /4𝜋 𝑛 Δℓ𝑛 /𝑅𝑚𝑛 .
d ) Calcule la desviación relativa de estos valores (𝐵𝑚 ) respecto del valor del campo obtenido
en el punto 4a (𝐵𝑚0 ). Concluya.
5. Calcule la inductancia 𝐿 mediante las siguientes aproximaciones, compare los resultados y
concluya:
a) 𝐿 = 𝜇/4𝜋
∑ ∑
𝑚
𝑛
2
Δℓ𝑛 Δ𝑆𝑚 /𝑅𝑚𝑛
.
b) 𝐿 = Φ/𝐼0 , con Φ = 𝐵𝑚0 𝑆, donde 𝐵𝑚0 es el valor del campo magnético en el centro de
la espira obtenido en el punto 4a y 𝑆 es el área de la espira: 𝑆 = ℓ × ℓ.
14
A.
A.1.
Calculo del rotacional del campo de inducción magnética
Procedimiento primero.
Tómese el rotacional directamente de la expresión (8):
[ ∫
]
𝜇0
𝒂𝑹 ′
′
∇ × 𝑩 =∇ ×
𝑱 (𝒓 ) × 2 d𝜈
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
∫
[
𝜇0
𝒂𝑹 ]
=
∇ × 𝑱 (𝒓 ′ ) × 2 d𝜈 ′
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
(49)
usando la identidad vectorial:
∇ × (𝑭 × 𝑮) = 𝑭 (∇ ⋅ 𝑮) − 𝑮(∇ ⋅ 𝑭 ) + (𝑮 ⋅ ∇)𝑭 − (𝑭 ⋅ ∇)𝑮
obtenemos:
∫
[
𝒂𝑹 ]
𝜇0
∇ × 𝑱 (𝒓 ′ ) × 2 d𝜈 ′ =
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
∫
∫
[
( 𝒂 )]
𝜇0
𝒂𝑹
𝜇0
𝑹
′
′
𝑱 (𝒓 ) ∇ ⋅
d𝜈 −
[∇ ⋅ 𝑱 (𝒓 ′ )] d𝜈 ′ +
2
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
4𝜋 𝑉 ′ 𝑅2
∫ (
∫
)
𝜇0
𝒂𝑹
𝜇0
𝒂𝑹
′
′
⋅ ∇ 𝑱 (𝒓 ) d𝜈 −
[𝑱 (𝒓 ′ ) ⋅ ∇] 2 d𝜈 ′ (50)
2
4𝜋 𝑉 ′ 𝑅
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
tomando en cuenta que 𝑱 (𝒓 ′ ) no depende de las variables no primadas, las cantidades subintegrales
de la segunda y tercera integral del miembro de la derecha son nulas, resultando nulas también las
integrales correspondientes. Teniendo presente que ∇⋅( 𝒂𝑅𝑹2 ) = ∇⋅[−∇( 𝑅1 )] = −∇2 ( 𝑅1 ) = 4𝜋𝛿(𝒓−𝒓 ′ ):
−[𝑱 (𝒓 ′ ) ⋅ ∇]
𝒂𝑹
′
′ 𝒂𝑹
=
[𝑱
(𝒓
)
⋅
∇
] 2
𝑅2
𝑅[ (
)]
∑
𝑛 − 𝑛′
′
′
=
𝑱 (𝒓 ) ⋅ ∇
𝒂𝒏
𝑅3
𝑛=𝑥,𝑦,𝑧
y dado que
]
[ (
)]
′
𝑛 − 𝑛′
𝑛 − 𝑛′
′
′
′
′ 𝑛−𝑛
∇ ⋅ 𝑱 (𝒓 )
=
𝑱
(𝒓
)
⋅
∇
+
[∇
⋅
𝑱
(𝒓
)]
𝑅3
𝑅3
𝑅3
la Ec. 49, en vista de que ∇′ ⋅ 𝑱 (𝒓 ′ ) = 0, se puede reescribir como:
[
] }
∫
′
∑ { 𝜇0 ∫
𝜇0
′
′
′
′
′ 𝑛−𝑛
∇ × 𝑩 =
𝑱 (𝒓 )4𝜋𝛿(𝒓 − 𝒓 )d𝜈 +
∇ ⋅ 𝑱 (𝒓 )
d𝜈 ′ 𝒂𝒏 (51)
3
4𝜋 𝑉 ′
4𝜋
𝑅
′
𝑉
𝑛=𝑥,𝑦,𝑧
′
[
′
La primera de estas integrales será nula si se escoge el punto de observación fuera de la distribución
de corriente (𝒓 ∕= 𝒓 ′ ), ya que 𝛿(𝒓 − 𝒓 ′ ) será nula allí. Cuando se evalúe el rotacional del campo
magnético en un punto dentro de la distribución de corriente será 𝑱 ∕= 0, y la integral arrojará, a
menos del factor 4𝜋, el valor de la densidad de corriente en el punto de observación. Por otro lado,
la segunda integral se puede resolver aplicando el teorema de la divergencia:
}
∑ { 𝜇0 ∮
𝜇0
𝑛 − 𝑛′
′
′
∇ × 𝑩 = 𝑱 (𝒓)4𝜋 +
𝑱 (𝒓 ) ⋅ d𝒔 𝒂𝒏
4𝜋
4𝜋 𝑆 ′ (𝑉 ′ ) 𝑅3
𝑛=𝑥,𝑦,𝑧
=𝜇0 𝑱 (𝒓)
15
ya que al evaluar el flujo de 𝑱 a través de la superficie cerrada que delimita el recinto donde se
localiza la corriente, no es posible obtener un valor distinto de cero, pues de lo contrario, el volumen
𝑉 ′ no contendría toda la distribución de corriente.
A.2.
Procedimiento segundo
Tómese el rotacional de la Expresión (10):
∇ × ∇ × 𝑨 = ∇∇ ⋅ 𝑨 − ∇2 𝑨
y ya que tenemos libertad para fijar cualquier valor de ∇ ⋅ 𝑨, asúmase, por ahora arbitrariamente,
que ∇ ⋅ 𝑨 = 0, y resolvamos −∇2 𝑨:
∫
𝑱 (𝒓 ′ )
2
2 𝜇0
−∇ 𝑨 = −∇
d𝜈 ′
4𝜋 𝑉 ′ 𝑅
∫
𝜇0
𝑱 (𝒓 ′ )
=−
∇2
d𝜈 ′
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
∫
𝜇0
1
=−
𝑱 (𝒓 ′ )∇′2 d𝜈 ′
4𝜋 𝑉 ′
𝑅
∫
donde se ha tomado en cuenta que ∇2 ≡ ∇′2 . El cómputo de la integral 𝑉 ′ 𝑱 (𝒓 ′ )∇′2 𝑅1 d𝜈 ′ se debe
realizar teniendo mucho cuidado. Para ello es conveniente recordar que ∇′2 (1/𝑅) = ∇′ ⋅ (𝒂𝑹 /𝑅2 ) y
que ∇′ ⋅ (𝒂𝑹 /𝑅2 ) = 0 para todo 𝑟 ∕= 𝑟′ . Así, fijado el punto de observación en el interior de 𝑉 ′ , ya
que fuera nos consta que ∇ × 𝑩 = 0, justamente por lo que acabamos de observar, será necesario
aislar 𝑟 de 𝑟′ durante el proceso de integración y calcular su contribución por separado. Para ello
se divide el volumen 𝑉 ′ en dos partes: 𝑉𝜎 , infinitesimalmente pequeño en cuyo centro se encuentra
el punto de observación, y 𝑉 ′ − 𝑉𝜎 que contiene el resto de los puntos fuentes. Como en 𝑉 ′ − 𝑉𝜎
aun se cumple que 𝑟 ∕= 𝑟′ , allí será ∇ × 𝑩 = 0. En cambio, en 𝑉𝜎 :
∫
∫
𝜇0
𝒂𝑹
𝜇0
′
′ 𝒂𝑹
′
𝑱 (𝒓 )∇ ⋅ 2 d𝜈 = − 𝑱 (𝒓)
∇′ ⋅ 2 d𝜈 ′
−
4𝜋 𝑉𝜎
𝑅
4𝜋
𝑅
∫𝑉𝜎
𝜇0
𝒂𝑹
= − 𝑱 (𝒓)
⋅ d𝒔′
2
4𝜋
𝑅
𝑆 (𝑉 )
}
| 𝜎 𝜎 {z
−4𝜋
= 𝜇0 𝑱 (𝒓)
Bibliografía
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Addison-Wesley Iberoamericana, 1984.
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México: Prentice Hall Hipanoamericana, 1997.
[3] J. W. Arthur, “The fundamentals of electromagnetic theory revisited,” IEEE Antennas and
Propagation Magazine, vol. 50, pp. 19–65, 2008.
16
[4] D. K. Cheng, Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. USA: Addison-Wesley
Iberoamericana, 1997.
[5] W. H. Hayt, Teoría electromagnetica. Mexico: McGraw-Hill, 1991.
[6] S. A. Nasar, 2000 solved problems in electromegnetism. USA: McGraw Hill, 1992.
[7] Y. Lin and J. Richmond, “EM modeling of aircraft at low frequencies,” Antennas and Propagation, IEEE Transactions on, vol. 23, pp. 53–56, 1975.
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[9] R. Sanjurjo, Electromagnetismo. Madrid, España: Mc Graw Hill, 1988.
[10] M. A. Plonus, Electromagnetismo aplicado. Bercelona, España: Editorial Reverté S. A., 1982.
[11] R. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, Fisica. Volumen II: Electromagnetismo y materia.
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[12] S. Ramo, J. R. Whinnery, and T. V. Duzer, Fields and Waves in Communication Electronics.
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[13] P. Lorrain and D. R. Corson, Campos y ondas electromagnéticos. Madrid, España: Selecciones
Científicas, 1972.
17
Índice alfabético
autoinductancia, 13
corriente de magnetizaci, 10
corriente ligada, 10
densidad de flujo magn, 2
divergencia del campo magn, 4
imanaci, 9
inducci, 2
inductancia, 13
intensidad de campo magn, 11
ley circuital de Ampere, 5
ley de Biot-Savart, 2
ley de fuerza de Ampere, 2
magnetizaci, 9
momento dipolar magnético, 8
rotacional del campo magn, 5
vector de magnetizaci, 9
vector potencial magn, 4
18