CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES SERIES DE TÉRMINOS

CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES
SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES
GUÍA DE ESTUDIO
Este escrito pretende guiar el estudio que se debe hacer sobre series de
términos constantes antes de emprender el estudio sobre series de potencias.
Deberás tener a mano un libro de Cálculo para consultar los criterios de
convergencia.
Definición
{un }∞n=1 ,
Dada una sucesión de números reales
sucesión
construimos una nueva
{S n }∞n=1 sumando sus términos de la siguiente forma:
S1 = u1 , S 2 = u1 + u 2 , S 3 = u1 + u 2 + u3 ,
S n = u1 + u 2 + .......u n
A esta nueva sucesión la llamamos serie de términos constantes y la notamos:
∞
∑u
n =1
n
Como para analizar la convergencia de una sucesión es necesario conocer
su término n-esimo y sólo en muy contados casos (por ejemplo, cuáles) es posible
encontrar el término n-esimo de {S n }∞n =1 , debemos considerar otro tipo de
herramienta que nos permita concluir si una serie converge a algún número real.
Repasemos, entonces, algunos de los llamados criterios de convergencia para
series de términos constantes.
El primero de ellos que consideramos se conoce como la condición
necesaria y dice:
Si
∞
∑u
n =1
n
converge entonces Lim un = 0
n→∞
La forma como se aplica es usando el contrarrecíproco, es decir,
Si Lim un ≠ 0 entonces
n→∞
∞
∑u
n =1
n
no converge
Ejemplos: Verificar que las siguientes series no convergen:
1
∞
∞
n
∑
n =1 n + 1
∑ (− 1)
n
n =1
Otro resultado útil para analizar convergencia de series es que si tenemos
dos series convergentes entonces su suma también lo es. Además, si una de
ellas se multiplica por un escalar, la serie resultante también converge.
Los siguientes criterios que mencionamos sólo se aplican a series de
términos positivos. Los debe consultar y luego, utilizándolos, determinar si las
series que se proponen son convergentes.
Criterio de comparación
Criterio de comparación pasando al límite
Criterio de la integral
∞
∑
n =1
∞
∞
n!
∑
n =1 ( 2 n )!
1
n 2 + 4n
−1
 tan n
∑
2
n =1 n + 1
∞
∞
∑
n =1
∞
ln(n)
∑
2
n =1 n + 2
1
n3 + 1
∞
1
n =1
(n + 2) 2
∑
3
1
∑ n(ln(n))
3
n =2
El otro tipo de serie de términos constantes que se considera, es el de las
series alternas. Si an > 0 la serie alterna es de la forma:
∞
∑ (− 1) a
n
n =1
n
Una condición suficiente para garantizar que una serie alterna es
convergente es que {an }∞n=1 sea decreciente ( an ≥ an+1 a partir de cierto n ) y que
Lim an = 0 .
n→∞
Los criterios
decir, que
∞
∑a
n =1
n
de la razón y la raíz garantizan convergencia absoluta, es
converge.
Es claro que convergencia absoluta garantiza
convergencia. Cuando una serie converge pero no converge absolutamente se
dice que es condicionalmente convergente. El ejemplo típico es:
∞
∑ (− 1)
n =1
n
1
n
Determinar convergencia utilizando los criterios de la razón, la raíz y el criterio
para determinar la convergencia de series alternas.
2
∞
∑ (− 1)
n =1
n +1
2n
n!
⎛ 2n + 3 ⎞
⎜
⎟
∑
n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠
∞
n
∞
∑ (− 1)
n +1
n=2
∞
∑
n =1
−n
n!
∞
nn
∑
n =1 n!
1
n(ln(n) )
2
∞
1
∑n
n =1
3
∞
∑ (− 1)
n =1
n
n
2n
n
∑1+ n
n =1
∞
2
3