EJERCICIOS DE ARITMÉTICA 08.11.2011

EJERCICIOS DE ARITMÉTICA 08.11.2011
(con algunas soluciones y notas)
Primero: ¿Es cierto que (
)
(
)? Demostrar o poner un contraejemplo.
Solución: Como es natural, supondremos que
Probando con números
pequeños, p. ej. n=1 y n=2, no vemos nada, pero aumentando un poco el valor de n, p. ej. n =
6, tendremos: ( )
, pero (
)
(
)
. La igualdad no es, por tanto, cierta.
Segundo: Demostrar de dos formas (por inducción y usando la fórmula de la suma de
una progresión geométrica) que 3 divide á
.
Solución (sólo por inducción, la otra queda como ejercicio): Escribamos la expresión
dada en la forma ( )
. Demos los pasos de inducción:
Para n=1 se cumple que ( )
Supongamos cierto que (
, que es múltiplo de 3.
)
es múltiplo de 3 (hipótesis de inducción).
( )
Conclusión: Trabajemos un poco con
restando una misma cantidad vemos que:
. Sumando y
( )
(
)
es múltiplo de 3, pues el paréntesis lo es por la hipótesis de inducción, y el 3, por ser 3.
Tercero:
¿Es cierto que (
)
(
)? Demostrar o poner un
contraejemplo.
Solución: Sí es cierto. Es un cálculo inmediato con números combinatorios ¡Para hacer
en casa!
Cuarto: Demostrar que dos números naturales consecutivos son siempre primos entre sí.
Vamos a dar dos demostraciones. Ambas se basan en el hecho de que dos primos entre sí
tienen el 1 como MCD.
Demostración 1 (basada en una propiedad general). Sean M>N dos números naturales
mayores que 1, y sea d su MCD. Entonces se puede escribir que M-N=dn-dm para ciertos
números m y n. Pero dn-dm=d(n-m), esto es, el MCD(M,N) es divisor de la diferencia de M y N.
Si M y N fuesen consecutivos, su diferencia sería 1, luego su MCD debería ser divisor de 1, y el
único divisor (positivo, claro) de 1 es 1 es él mismo. Luego M y M-1 son primos entre sí.
1
Demostración 2 (esta es la fácil, basada en el uso inmediato del Algoritmo de Euclides).
Apliquemos el Algoritmo a dos números consecutivos cualesquiera n y n+1. Conviene suponer
que n es por lo menos 1. La primera división es:
n+1=nx1+1
La segunda es:
n=1xn+0
Por tanto, MCD(n, n+1)=1, luego son primos entre sí.
Quinto:
Sea n un natural mayor que 2. Demostrar que entre n y n! hay siempre un
número primo (usar el ejercicio anterior).
Solución: Vemos que para n=1 y n=2 no se cumple, por lo cual estos números se han
excluido en el enunciado. Probando p. ej. para n=3 sí que se cumple, pues entre 3 y 3!=6
encontramos el 5, que es primo. En el caso n=4 encontramos varios, no sólo uno. Escribamos
ahora n!=nx(n-1)x(n-2)x…x3x2x1. La factorial n! es desde luego un número compuesto, y todos
sus divisores se construyen como productos de números primos menores o iguales que n.
Consideremos ahora el número n!-1. Si éste es primo, la demostración está lista, pues es
menor que n! y mayor que n. Si no es primo, entonces sus factores primos ha de incluir alguno
que sea mayor que n, pues al ser n! y n!-1 primos entre sí, no pueden tener factores primos
comunes.
Sexto:
nunca es primo, cualquiera que sea n>1. Demostrarlo.
Éste es fácil: Sólo falla si n=1, pues en tal caso
demás casos, vemos que existe una factorización
compuesto (no primo).
(
Séptimo: Si n>2 es primo, entonces 24 es divisor de
que sí es primo. En los
), lo cual prueba que es
. Probarlo.
(
) (
Demostración: Escribamos
). Entonces, por ser n>2 y primo,
se tiene que n es impar y que o bien n-1 ó n+1 es múltiplo de 3. Estos dos últimos números
son pares, y además consecutivos. Pero en todo par de números pares consecutivos, uno es
múltiplo de 4. Luego
es múltiplo de 2, de 3 y de 4, o sea de 2x3x4=24.
Octavo:
Resolver, detallando todo el proceso y escribiendo finalmente TODAS las
posibles soluciones, la ecuación diofántica lineal 80x+48y = 112.
Éste es directo, pues la ecuación dada es lineal. El MCD(80,48)=16 es divisor del
término independiente 112, pues 112=16x7. Por tanto existen soluciones (de hecho, infinitas)
de la ecuación propuesta. Dividiendo todo por 16 queda 5x+3y=7. Consideremos el primer
miembro 5x+3y, donde 5 y 3 son primos entre sí (pues los hemos obtenido tras dividir 80 y 48
por su MCD). Por tanto el teorema de Bézout nos garantiza que existen unos números r y s
tales que 5r+3s=1. Por simple inspección, obtenemos r=2 y s=-3.
2
Para obtener una solución, multipliquemos la ecuación de Bézout sucesivamente por 7 y 16,
para obtener: (5x16)x(2x7)+(3x16)x((-3)x7)=80x(14)+48x(-21)=112, luego x=14, y=-21.
Para escribir TODAS las soluciones, consideremos el conjunto de todos los divisores de 16, esto
es,D(16)= {1,2,4,8,16}. El conjunto de todas las soluciones es:
)}
{(
(
)
Noveno (para verdaderos aficionados a las Matemáticas): Sea (x,y,z) una solución de la
ecuación pitagórica. Demostrar que 12 es divisor de xy, y que 60 lo es de xyz.
Una indicación: Usar demostraciones por contradicción. La ecuación pitagórica es
, y se puede suponer siempre que
. Para ver que xy es divisible por 12,
veamos si lo es por 3 y por 4.
Para “divisible por 3”: Si xy va a ser divisible por 3, entonces ó x ó y (o ambos) han de serlo. Si
ninguno de ellos lo fuera, la observación de que los cuadrados de los números no múltiplos de
tres siempre dejan resto 1 al dividirlos por 3 implicaría que el resto de dividir el cuadrado de z
entre tres sería 2, lo cual es imposible: ¡ésta es la contradicción!
Las demás cuestiones siguen la misma pauta… un poco de paciencia, y listo.
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