Long Version 9 Conv Arit Noviembre 2014

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LONG VERSION (8) (NOVIEMBRE 2014)
[A] Apostol
[C-E] Cashwell, E. D.; Everett, C. J. The ring of number-theoretic functions.
Pacific Journal of Mathematics 9 (1959), no. 4, 975--985.
http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038878.
[H] Hildebrandt
§1. La convolución aritmética (o de Dirichlet). Pág. 1
§2. Algunos ideales en A. Pág. 7
§3. La Transformación de Dirichlet Generalizada:§3.1) Definición y propiedades básicas:
Pág. 15. §3.2) Imágenes racionales: Pág. 18. §3.3) Extensiones analíticas: Pág. 24. §3.2)
Secciones polinómicas: Pág. 26
§4. Generatrices y elementos de orden polinómico. Pág. 32
§5. Desplazamientos. Pág. 35-39 [Casi completo]
§6. Funciones aritméticas simétricas. Pág. 42 [Incompleto]
§6. Algunos automorfismos. Pág..
§7. Sobre derivaciones. Pág. …
Apéndice 1: Series de Lambert. Pág….
Apéndice 2: Una topología aritmética. Pág. ….
Apéndice 3: Notas y observaciones sueltas. Pág. …
§1. LA CONVOLUCIÓN ARITMÉTICA (O DE DIRICHLET)
Sea A el espacio vectorial complejo de las funciones f : N  C . Con el producto
n
( f  g )(n)   f (d ) g     f (h) g (k )
 d  hk  n
dn
(1.1)
es una C -álgebra asociativa, conmutativa con identidad ( =  1 : n  1n )
En particular, para la función f = 1 (constante), la fórmula (1.1) nos da la transformada
de Möebius de g:

(1 g )(n)  1.g (d )  g (n)
(1.2)(a)
dn

Ahora, de la fórmula de inversión de Möebius se tiene, para f = μ y g  h ,


(   h )( n )    ( d ) h  dn   h ( n )
d n
(1.2)(b)
2
Es decir, la fórmula (1.1) permite expresar la transformación de Möebius y su inversión
mediante convoluciones particulares.
Las unidades (= inversibles) en A son los elementos f  A tales que f (1)  0 .
Indicando con
recurrencia:
f *1 la inversa de f respecto del producto (1), se tienen las fórmulas de
(i ) f *1 (1) 
1
f (1)
(ii ) f *1 ( n)  
(1.3)
1
f ( dn ) f *1 ( d )

f (1) d n
d n
Dos normas, un logartimo y un grado en A (Ref:[C-E]):
(1) Sea
N : A Z 0 tal que
N (0)  0 y para toda f  A no nula es
N ( f )  Minn  N : f (n)  0
(1.4)
(Observación “histórica”: a esta función - bastante natural, por cierto -, yo la llamaba
“orden”, pues para la generatriz clásica f ( z )   f (n) z n de f, N(f) es el orden de la serie).
n 1
PROP. 1.1 (Propiedades fundamentales de N):
(i) f  A : N ( f )  0 y N ( f )  0  f  0
(ii) f , g  A : N ( f  g )  N ( f ) N ( g )
P/ (i) es consecuencia inmediata de la definición. Respecto de (ii), es trivial si alguna de las
funciones es nula. Ahora, supóngase que f (1)  f (2)  ...  f (n1  1)  0  f (n1 ) (el caso
f (1)  0 incluido, es decir: puede ser n1  1 ) y que g (1)  g (2)  ...  g (n1  1)  0  g (n2 )
(ídem). Entonces, para todo n  n1n2 se verifica que ( f  g )(n) 
 f (h) g (k )  0 , pues si
hk  n
hk = n y h  n1 , necesariamente es k  n2 (caso contrario sería n  hk  n1n2 ) y por lo tanto
g(k) = 0; análogamente, si k  n2 , necesariamente es h  n1 y resulta f(h) = 0. Obviamente,
3
si h  n1 y k  n2 , es f(h)g(k) = 0. Ahora, ( f  g )(n1n2 ) 
 f ( h ) g (k )  f ( n ) g ( n )  0 ,
1
2
hk  n1n 2
pues para todo h  n1 es f(h) = 0 y para todo k  n2 , es g(k) = 0 □
Corolario 1.1:
(i) f  A : N ( f )  1  f (1)  0  f es inversible.
(ii) A no tiene divisores de cero.
P/ (i) es consecuencia de la caracterización de los inversibles dada ut-supra y (ii) es inmediato
a partir de las propiedades de N: f  g  0  N ( f ) N ( g )  0  N ( f )  0  N ( g )  0  f =
0 ˅ g = 0. □
(2) Sea L : N  Z  0 tal que L ( n) 
v
p
( n) (suma sobre todos los primos positivos; para
pP
cada n es una suma finita). En [C-E] a esta función se la indica con λ y se define
“descriptivamente”, es decir: L(1) = 0 y L( p1 p2 ... pl )  l para todo producto de primos (no
necesariamente distintos) p1, p2 ,..., pl . La propiedad L ( nm )  L ( n )  L ( m ) es inmediata (de
hecho la tiene toda valuación p-ádica) y esta función “has the property of classifying all
natural numbers according to their length” [C-E]. Para nosotros, nos puede resultar
especialmente útil para simplificar la inducción en la demostración del Lema 2.2. Por otra
parte, permite definir el grado de cada elemento de A, como veremos a continuación.
(3) Sea Deg : A  0  Z  0 tal que Deg( f )  MinL(n) : f (n)  0 . Es decir: Deg ( f )  d
sii f(n) = 0 para todo n de longitud L(n) menor que d y existe al menos un n0 de longitud
L(n0 )  d tal que f (n0 )  0 . Equivalentemente: Deg ( f )  Min ( L ( soporte ( f ))
PROP. 1.2 (Propiedades fundamentales de Deg):
(i) f  A  0: Deg( f )  0  f (1)  0  f es inversible.
(ii) f , g  A  0: Deg( f  g )  Deg( f )  Deg( g )
P/ (i) f  A  0: Deg ( f )  0  Min( L( soporte( f ))  0  n0  soporte ( f ) : L(n0 )  0
 n0 : f (n0 )  0  L(n0 )  0 . Pero el único elemento de longitud 0 es 1.
P/(ii) Dado que f y g son no nulas, existen (y son únicos):
n f  Minn  N : f (n)  0  L(n)  Deg ( f ) , ng  Minn  N : g (n)  0  L(n)  Deg ( g )
4
Entonces:
(a) Para todo n tal que L(n)  L(n f ng ) : ( f  g )(n)  0 . Probemos esto probando que se anula
cada término de ( f  g )(n) 
 f (h) g (k ) : dado que
hk  n
L(h)  L(k )  L(hk )  L(n)  L(n f ng )  L(n f )  L(ng )  Deg ( f )  Deg ( g ) ,
si L(h)  L(n f ) , es f(h) = 0; si L(h)  L(n f ) , es L(k )  L(n f )  L(k )  L(ng )  L(ng ) y por
lo tanto g(k) = 0.
(b) ( f  g )(n f ng )  0 : Probaremos que el único término de ( f  g )(n f ng ) 
 f ( h) g ( k )
hk  n f n g
que no se anula es precisamente f (n f ) g (ng ) , que es no nulo: dado que
L(h)  L(k )  L(hk )  L(n f ng )  L(n f )  L(ng )  Deg ( f )  Deg ( g ) ,
si L(h)  L(n f ) , es f(h) = 0; si L(h)  L (n f ) , es L(k )  L(n f )  L(k )  L(ng )  L(ng ) y por
lo tanto g(k) = 0; falta ver el caso L(h)  L(n f ) : aquí resulta L(k )  L(ng ) . Pero si h  n f ,
por definición de n f  Minn  N : f (n)  0  L(n)  Deg ( f ) , es f(h) = 0, y si h  n f , de la
igualdad hk  n f ng se deduce que k  ng , y dado que L(k )  L(ng ) , por la definición de
ng  Minn  N : g (n)  0  L(n)  Deg ( g ) es g(k) = 0. Por lo tanto, para que el término
f(h)g(k) sea no nulo, necesariamente debe ser h  n f , de donde resulta (pues hk  n f ng ) que
k  ng .
Hemos probado que
Deg ( f  g )  MinL(n) : ( f  g )(n)  0  L(n f ng )  L(n f )  L(ng )  Deg ( f )  Deg ( g ) □
Nota: obsérvese que la última línea de la demostración es algo más precisa que la tesis (ii).
Esta información adicional permite definir la siguiente norma.
(4) Sea M : A  Z  0 tal que M(0) = 0 y para toda f no nula es
M ( f )  n f  Minn  N : f (n)  0  L(n)  Deg ( f )
5
En el transcurso de la demostración precedente hemos demostrado precisamente que
M ( f  g )  n f ng  M ( f ) M ( g ) (verificar si no falta algún detalle; en [C-E] está comentado
brevemente). Obsérvese que Deg ( f )  L ( M ( f )) (para toda f no nula).
Algunas observaciones finales sobre estas normas & co.:
1. En [C - E] se demuestra que A es un DFU, utilizando series formales de potencias en
infinitas variables como generatrices y ordenando los términos según las longitudes.
2. Dado un elemento f (no nulo) de A:
(a) Si N(f ) es un número primo entonces f es un elemento primo de A.
(b) Si M(f ) es un número primo entonces f es un elemento primo de A.
(c) Si Deg(f) = 1 entonces f es un elemento primo de A.
[Estas tres afirmaciones son evidentes a partir de las propiedades de las normas y de la
relación Deg(f) = L(M(f)); tener presente que f es inversible sii N(f) = 1, sii D(f) = 0, sii M(f)
= 1]. Un ejemplo (distinto al dado en [C-E] 1) es el siguiente: (   )            Id  
donde la función constante  es inversible (no se anula en 1 …), N (   )  N ( Id   )  3 ,
pues
(   )(1)  (   )( 2)  0  1  (   )(3)
( Id   )(1)  ( Id   )( 2)  0  1  ( Id   )(3)
(que ambas normas son iguales es consecuencia de la propiedad multiplicativa de la norma
y del hecho de que la norma de un inversible es 1). Por lo tanto, dado que sus normas son
números primos,    e Id   son elementos primos de A, y son asociados. Finalmente,
los autores observan que en realidad, cada elemento primo f de A tiene un “continuo” de
asociados v  f , v  A ( = grupo de invesibles de A). En la sección 16 de [C-E] los autores
dan una caracterización de los primos resulta que la variedad de los mismos es realmente
“grande”…
1
En [C-E] los autores utilizan la identidad      : ejercicio.
3. La existencia de grados en A no significa que sea un anillo euclídeo (de hecho, no es
noetheriano, como demostraremos - nosotros - en la sección siguiente). De todos modos, la
posibilidad de elegir un elemento de grado mínimo en un ideal no nulo puede ser
eventualmente útil.
6
7
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
§2) ALGUNOS IDEALES EN A
§2.a) Los ideales I(n).


 : d n el conjunto de sus divisores positivos y sea
Para cada n  N
 , sea D(n)  d  N
I (n)   f  A : D(n)  ker( f ) 
(2.1)
Entonces:
PROP.2a.1: Para todo par de naturales n y m: n m  D( n)  D( m)  I (m)  I ( n) . Si
además es n  m , entonces la inclusión es estricta.
P/ La inclusión es trivial. En cuanto a la inclusión estricta en el caso en que n es un divisor
de m distinto de m, basta considerar  n , pues esta función se anula en todos los divisores de
n (si d es divisor de n es d  n < m ) pero no se anula en m, que es divisor de m. □
PROP. 2a.2: Para cada entero positivo n, I(n) es un ideal en A .
P/ Que I(n) es un subgrupo aditivo de A es trivial. Ahora, dada f  I (n ) y g  A , para cada
d 
divisor d0 de n: ( f  g )(d0 )   f (d ) g  0   0 , pues d d0  d n  f (d )  0 □
d 
d d0
PROP.2a.3:
(i) I (1)   f  A : f (1)  0 es el único ideal maximal en A.
(ii) A
I (1)
 C
 1  I (1) (suma directa de subálgebras).
(iii) A  C
P/ Que se trata de un ideal es un caso particular de la proposición precedente. Que es maximal
se deduce inmediatamente de la caracterización de los inversibles de A, que son precisamente
las funciones f  A tales que f (1)  0 (ver ítem §1). El isomorfismo de (ii) es el natural:
f  I (1)  f (1) . Obsérvese que ( f  g )(1)  f (1) g (1) . Finalmente, la descomposición (iii)
es obvia: f  f (1)1  f  f (1)1 . □
8
PROP. 2a.4: Para todo par de enteros positivos n0 y m0: I(n0) + I(m0) = I(mcd(n0,m0))
P/ La inclusión I(n0) + I(m0)
 I(mcd(n0,m0)) es inmediata: si f = g + h, donde
g  I (n0 ) y
h I (m0 ) , entonces para todo divisor d de mcd(n0,m0) se tiene g(d) = 0 (pues d divide a n0 y
h(d) = 0 (pues d divide a m0). Veamos la inclusión recíproca. Sea
Indicando con S
f  I(mcd(n0,m0)).
la función característica de cada conjunto S de enteros positivos,
definamos las funciones g : N  C , h : N  C y r : N  C tales que
g(n)  [1 D(n0 ) (n)]f (n) ,
h(n)  [1 D(m0 ) (n)] f (n) y
r(n)  [1 D(n0 )D(m0 ) (n)] f (n)
Entonces:
(a) g  I (n0 ) (obvio)
(b) h  I ( m 0 ) (obvio)
(c) r  I (n0 )  I (m0 ) (obvio)
(c) g + h - r = f : dado un entero positivo n:
- si n  D ( n 0 )  D ( m 0 ) , entonces g(n) = h(n) = r(n) = f(n);
- si n  D ( n0 ) y n  D ( m0 ) , entonces g(n) = r(n) = 0 y h(n) = f(n);
- si n D(m0 ) y n  D ( n 0 ) , entonces g(n) = f(n) y h(n) = r(n) = 0;
- si n  D(m0 )  D(n0 ) , entonces g(n) = h(n) = r(n) = 0, pero por otra parte, también es f(n) =
0, pues en este caso n es divisor común de de
mcd(n0,m0) y resulta f(n) = 0.
m0 y de n0 y por lo tanto también es divisor de
Dado que g  I (n0 ) y h  r  I (m0 ) , hemos demostrado la proposición. □
PROP. 2a.5: n0 y m0 son coprimos sii I (n0 )  I (m0 )  I (1) , el ideal maximal de A.
P/ Corolario inmediato de la proposición anterior □
PROP. 2a.6: Dado un conjunto finito n1 , n2 ,..., nk de enteros positivos, se tiene
I (n1 )  I (n2 )  ...  I (nk )  I (mcd (n1, n2 ,..., nk ))
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P/ Inducción sobre k. Para k = 1 no hay nada que demostrar y para k = 2 es el caso de la
Proposición 1. Hipótesis inductiva: I (n1 )  I (n2 )  ...  I (nk1 )  I (mcd (n1, n2 ,...,nk1 )) . Sea
m  mcd (n1 , n2 ,..., nk 1 )) . Por Prop. 2.4 es I (m)  I (nk )  I (mcd (m, nk )) . Pero
mcd (m, nk )  mcd [mcd (n1, n2 ,..., nk 1 ), nk ]  mcd (n1 , n2 ,..., nk )) ,
por lo tanto
H .I
I (n1 )  I ( n2 )  ...  I ( nk 1 )  I (nk )  I (mcd ( n1 , n2 ,..., nk 1 ))  I ( nk ) 
 I (m)  I (nk )  I (mcd (m, nk ))  I (mcd (n1, n2 ,...,nk ))
□
PROP. 2a.7:
(a) Para cada entero n  2 , si I(n) es un ideal primo entonces n es primo.
(b) Para cada primo p  2 , I(p) no es un ideal primo.
(c) Para todo entero positivo n: I (n) es primo sii n = 1.
P/(a): Probaremos que si n no es primo, entonces I(n) no es un ideal primo. Sea n  p k m ,
donde m >1, p es un primo que no divide a m, y k  1 . Entonces, la función
verifica: f  I (n ) pues f ( p k )  1 ; por otra parte f  f   p 2 k  I (n) , pues
 
I (n)   N  ker( f  f )   I (n)  p 2 k  
Por lo tanto, I(n) no es ideal primo. □
P/(b):  p   p   p 2  I ( p) y
 p  I (p) . □
P/(c): Consecuencia inmediata de (a) y (b).□
PROP. 2a.8: Sea P el conjunto de primos positivos.
notación
(i) Para cada subconjunto Q  P :  I ( p)   f  A : 1 Q  ker( f )  J (Q)
pQ
(ii) I (1)  I (1) 
 I ( p)   f  A : f (1)  f ( p)  0 p  P (¿vale igualdad?)
pP
f   pk
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(iii) Dada una secuencia infinita de números primos positivos p1  p2  p3  ... , sean
Q 0  P , Q 1  P \ p 1 , Q2  P \ p1 , p2  , Q 3  P \ p1 , p 2 , p 3  , …. Entonces, se tiene
la cadena infinita 1  Q 0  1  Q 1 1  Q 2  1  Q 3  .... estrictamente decreciente de
conjuntos y la correspondiente cadena J (Q 0)  J (Q 1)  J (Q 2)  J (Q 3)  .... infinita y
estrictamente decreciente de ideales. En particular resulta que A no es noetheriano.
P/ (i): Para cada primo positivo p es D( p)  1, p (por definición) y por lo tanto
I ( p)   f  A : f (1)  f ( p)  0.
Entonces,
f   I ( p)  p  Q : f (1)  f ( p )  0 
pQ
p  Q : 1  Q  Ker( f ) .
s
P/(ii) f  I (1)  I (1)  g1 ,.., gs , h1 ,..., hs  I (1) : f   gi  hi . Ahora, para i = 1,…,s y cada
i 1


primo positivo p: ( g i  hi )( p )  g i (1) hi ( p )  g i ( p ) hi ( p )  0 .
0
0
P/(iii) Que la cadena J (Q 0)  J (Q 1)  J (Q 2)  J (Q 3)  .... es creciente es trivial, pues en
general dados dos subconjuntos B y C de N se tiene
B  C   f  A : C  Ker( f )   f  A : B  Ker( f )
Por otra parte, si la inclusión B  C es estricta, para cada elemento c de C que no pertenece
a B,  c   f  A : B  Ker ( f ) y obviamente c  f  A : C  Ker( f ) . □
[Ver topología de Zariski y completación m-ádica, donde m = I(1). En el Apéndice 2 puede
verse una “topología aritmética”] .
§2.b) Los ideales K(n).
PROP. 2b.1: Para cada entero positivo m, sea  ( m )  N \ m N el conjunto de no-múltiplos
de m. Entonces, el conjunto K ( m )   f  A :  ( m )  Ker ( f )  es un ideal que contiene al
ideal principal
 m  . En particular,
 (1)   y por lo tanto K (1)  A .
P/ Dada f  K (m ) , para toda g  A y todo n   (m ) ,
11
0

n
( f  g )( n )   f ( d ) g    0
d
d n
pues si d fuera múltiplo de m y divisor de n, n sería múltiplo de m (de otra manera:
m d  d n  m n ). Hemos probado que K(m) es ideal. Ahora, dada
f  m  g m  , para
n
todo n   (m ) es f ( n)    m (d ) g    0 pues  m ( d )  0  d  m (no es divisor de n).
d
d n
□
LEMA 2.1: Para todo entero m  2 , K(m) es un ideal primo sii m es un número primo. .
P/ (  ) Veamos que si m no es primo, entonces K(m) no es un ideal primo: sean h  2 y
k  2 tales que m = hk. Entonces,  m   h   k  K (m) , pues  m  K (m) , pues se anula en
todos los no-múltiplos de m,  h  K (m) pues no se anula en h, que no es múltiplo de m, y
 k  K (m) pues no se anula en k, que no es múltiplo de m.
P/ (  )(revisar!) Sea p un primo positivo y sean f y g en A tales que f  g  K (p) . Si fuera
f (1)  0 (resp. g (1)  0 ), entonces f (resp. g) sería inversible y resultaría inmediatamente
1
g  f 1  ( f  g )  K ( p) (resp. f  g (g  f ) K( p) ). Supondremos entonces f(1) =
g(1) = 0 . Demostraremos que si f ( q )  0 para algún primo q  p (lo que implica que
f  K ( p ) ), entonces g  K ( p ) (obviamente, mutatis mutandi, quedará demostrado que si
g ( q )  0 , entonces f  K ( p ) ). Es decir: demostraremos que si f  g  K ( p ) y f(1) = 0 y
g(1) = 0 y f ( q )  0 para algún primo q  p , entonces g(n) = 0 para todo n no divisible por
m
p. Ahora bien: todo n no divisible por p es de la forma n  q p1 p2...pr , donde m es un entero
no negativo y p 1 , p 2 ,..., p r son primos (no necesariamente distintos entre sí) distintos de p y
de q.
m
(a) Para todo entero m ≥ 1: g(q )  0 : (para m = 0 es hipótesis)
0
0
0



2
2
◊ m = 1: 0  ( f  g )(q )  f (1) g (q )  f (q) g (q)  f (q ) g (1) , por lo tanto: g(q) = 0.
hip
2
12
k
◊ Hipótesis inductiva: k  m : g(q )  0 :
hip
0  ( f  g )( q
m2
 0 ( hip .ind )
 0 ( hip .ind )
0
0
0







m2
m 1
2
m
3
)  f (1) g ( q
)  f ( q ) g ( q )  f ( q ) g ( q )  f ( q ) g ( q m 1 )  ...  f ( q m  2 ) g (1)
m 1
por lo tanto, g (q )  0 ♠
(b): Para todo entero m ≥ 0 y todo primo
p1 p, q: g(qm p1)  0
(b.1) Para todo primo p 1  p , q : g ( p1 )  0
◊ m = 0:
Para p1  p , q  tenemos
 0( a )
0
0
0




hip
0  ( f  g )( qp1 )  f (1) g ( qp1 )  f ( q) g ( p1 )  f ( p1 ) g ( q)  f ( qp1 ) g (1)
y por lo tanto g ( p 1 )  0 . ♠
◊ Hipótesis inductiva:
Para todo entero no negativo k < m y todo primo
p1 p, q: g(qk p1)  0
Entonces:
hip
0  ( f  g )( q
m 1
0

p1 )  f (1) g ( q m 1 p1 ) 
 0 ( hip.ind )
0 ( hip .ind )
 0 ( b.1)
0









m
2
m 1
3
m 2
m 1
 f ( q ) g ( q p1 )  f ( q ) g ( q p1 )  f ( q ) g ( q p1 )  ...  f ( q ) g ( p1 ) 
0(a)
0( a )
0(a)
0








m
2
m 1
m
m 1
 f ( qp1 ) g ( q )  f ( q p1 ) g ( q )  ...  f ( q p1 ) g ( q )  f ( q p1 ) g (1)
♠
m
(c) Inducción sobre la cantidad r de factores primos p 1 , p 2 ,..., p r de n  q p1 p2...pr (no se
supone que estos factores sean todos distintos, como establecimos al principio de la
demostración; lo que sí se supone es que todos estos factores son distintos de p y de q). Para
r = 0 y r = 1, está demostrado en (b).
13
◊ Hipótesis inductiva: para toda secuencia de primos
p1, p2,...,ps distintos de p y de q, tal
que s < r, es g ( q m p1 p 2 ... p s )  0 .
Entonces:
♪ Caso m = 0:
0
0


0  ( f  g )( qp1 p2 ... pr )  f (1) g (qp1 p2 ... pr )  f (q ) g ( p1 p2 ... p r ) 
0 ( hip .ind .)
 0 ( hip .ind .)
0 ( hip .ind )



 




 f ( p1 ) g ( qp2 ...qr )  f ( p2 ) g ( qp1 p3 ...qr )  ...  f ( pr ) g ( qp1 p2 ... pr 1 ) 

d qp1 p 2 ... p r
d 1, q , p1 , p 2 ,..., p r 
 qp p ... p 
f (d ) g  1 2 r 
d


[Nota importante: si pi  pj los correspondientes dos términos de la segunda fila se reducen
a uno solo, no se repiten; esto no altera la anulación de estos términos (se anulan por la
hipótesis inductiva), ni afecta a la primera ni a la tercera filas.]
Pero cada término de la sumatoria de la tercera fila es nulo por la hipótesis inductiva, pues si
d qp1... pr y
d  1, q , p1 ,..., p r ,
entonces d es producto de por lo menos dos factores pi pj y
qp1 p2 ... pr
 q h pi1 pi2 ... pis
d
por lo tanto
0

0  f (q) g ( p1 p2 ... pr ) y por lo tanto
donde s < r (y h ≤1). En definitiva resulta
g ( p 1 p 2 ... p r )  0
♪ Caso m = 1:
0 ( caso m  0 )
0
0




2
2
0  ( f  g )(q p1 p2 ... pr )  f (1) g (q p1 p2 ... pr )  f (q ) g (qp1 p2 ... pr )  f (q ) g ( p1 p2 ... pr )
2
 0 ( hip .ind .)
0 ( hip .ind .)
0 ( hip .ind )







2
2
2
 f ( p1 ) g (q p2 ...qr )  f ( p2 ) g (q p1 p3 ...qr )  ...  f ( pr ) g (q p1 p2 ... pr 1 ) 
 q 2 p1 p2 ... pr
f (d ) g 
d


d q 2 p1 p 2 ... p r

d  1, q , q 2 , p1 , p 2 ,..., p r




[Nota importante: si pi  pj los correspondientes dos términos de la segunda fila se reducen
a uno solo, no se repiten; esto no altera la anulación de estos términos (se anulan por la
hipótesis inductiva), ni afecta a la primera ni a la tercera filas.]
14
Pero cada término de la sumatoria de la tercera fila es nulo por la hipótesis inductiva, pues si
d q 2 p1... p r y d  1, q, q 2 , p1,..., pr , entonces d es producto de por lo menos dos factores


q2 p1 p2...pr
pi pj y por lo tanto
 qh pi1 pi2 ...pis donde s < r (y h ≤ 2). En definitiva resulta
d
0

0  f (q) g (qp1 p2 ... pr ) y por lo tanto g ( qp 1 p 2 ... p r )  0
♪ Caso m = 2:
0
0


3
0  ( f  g )( q p1 p2 ... pr )  f (1) g ( q p1 p2 ... pr )  f ( q) g ( q 2 p1 p2 ... pr ) 
3
0 ( caso m 1)
0 ( caso m 0 )





3
 f ( q ) g ( qp1 p2 ... pr )  f ( q ) g ( p1 p2 ... pr ) 
2
0 ( hip.ind .)
 0 ( hip.ind .)
0 ( hip .ind )







3
3
3
 f ( p1 ) g ( q p2 ...qr )  f ( p2 ) g ( q p1 p3 ...qr )  ...  f ( pr ) g ( q p1 p2 ... pr 1 ) 

d q3 p1 p2 ... pr

d 1,q ,q 2 ,q3 , p1 , p2 ,..., pr

 q 3 p1 p2 ... pr
f ( d ) g 
d




[Nota importante: si pi  pj los correspondientes dos términos de la tercera fila se reducen
a uno solo, no se repiten; esto no altera la anulación de estos términos (se anulan por la
hipótesis inductiva), ni afecta a las otras filas.]
Pero cada término de la sumatoria de la última fila es nulo por la hipótesis inductiva, pues si


2
3
d q 3 p1... p r y d  1, q, q , q , p1,..., pr , entonces d es producto de por lo menos dos factores
q3 p1 p2...pr
pi pj y por lo tanto
 qh pi1 pi2 ...pis donde s < r (y h ≤ 3). En definitiva resulta
d

0

0  f (q) g (q 2 p1 p2 ... pr ) y por lo tanto g (q h p1 p2 ... pr )  0
(Etc: inducción sobre m). ♠♠♠♠♠♠♠♠♠
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
§3. TRANSFORMADA DE DIRICHLET GENERALIZADA
§3.1. Definición y propiedades básicas
Dada una función logarítmica l : N  C (es decir: l ( nm )  l ( n )  l ( m ) ) y un número
complejo  , para cada f : N  C sea  l ,  ( f ) : D  C tal que
z l (n)
 l , ( f )( z )   f (n) 
n
n 1

(1)
La convergencia de esta serie (y por lo tanto el dominio D), depende, obviamente, del
parámetro  , de la función logarítmica l y de la función f. Por ejemplo: si l  vp es una
valuación p-ádica y la serie de Dirichlet

l ,  ( f )(1)  
n 1
f (n)
n
tiene abscisa de convergencia absoluta c  , entonces para todo complejo λ tal que
Re( )   c , la serie (1) converge en el disco D(0;1)   z  C : z  1.
1
En particular, si f es de soporte finito, l , ( f )(z) es un polinomio en z y l , ( f )( z )
un polinomio de Laurent. Otra posibilidad es liberar a las series formales por un tiempo…
La propiedad fundamental siguiente se debe principalmente a que (1) es una
generalización de la transformación de Dirichlet.
16
PROP.3.1: l, ( f  g)(z)  l , ( f )(z)l , ( f )(z) . Es decir: cada l , es un morfismo de
álgebras (módulo cuestiones de convergencia).
P/

 l ,  ( f  g )( z )   ( f  g )( n )
n 1


  f ( h ) g ( k )
h 1 k 1

z l(n)

 z l(n)

f
(
h
)
g
(
k
)

  


n
n 1  hk  n
 n
 
z l ( hk )
z l(h) l (k )

f
(
h
)
g
(
k
)


( hk )  h 1 k 1
h k 
 
z l ( h )  
z l (k ) 
   f ( h )    g ( k )     l ,  ( f )( z ) l ,  ( f )( z )
h  k 1
k 
 h 1
□
En el caso en que la función logarítmica es una valuación p-ádica, se tiene un
desarrollo en potencias de z cuyos coeficientes son determinadas sumas ponderadas de la
función aritmética f:

 v p ,  ( f )( z )   f ( n )
n 1
z
v p ( n)


n
n 1
p/n
f (n)
z
 

n
p


n 1
p/n
f ( pn )
z2

n
p 2


n 1
p/n
f ( p 2 n)
 ...
n
(2)
Se trata de un reordenamiento de la serie (1) agrupando los términos por las potencias de z,
lo que requiere especial cuidado con el tema de la convergencia. Suponiendo que el dominio
de validez del desarrollo contenga un disco centrado en el origen, podemos obtener las sumas
ponderadas de f mediante las sucesivas derivadas en z = 0 o bien mediante la fórmula
1
p m


n 1
p/n
f ( p m n)
1

 v p ,  ( f )( z ) z  m 1dz


n
2 i 
para cualquier circuito simple Γ entorno del origen (y contenido en D).
Por último, si f es multiplicativa, la fórmula (2) resulta
(3)
17

v p , ( f )( z )   f (n)
n 1
z
v p (n)


n
n 1
p/n
f (n) zf ( p)  f (n) z 2 f ( p 2 )  f (n)
    
  ...
n
p n 1 n
p 2 n 1 n
p/n
p/n
(4)
 zf ( p) z 2 f ( p 2 ) z 3 f ( p3 )
  f (n)
 
 1   


...
p
p 2
p3

n 1 n
p/n
PROP. 3. 2: Pseudoinyectividad y límite para Re(  )   :
(a) Para cada 0 y cada primo p, v p ,0 no es inyectiva.
(b) Dado un primo p, sean
todo
z0 C no nulo y  0 real tal que v ,  ( f )(z0 ) converge para
p
  H0  wC : Re(w)  0 . Entonces, [  H : v , ( f )(z0 )  0]  f  0
0
(c) Con las notaciones de (b):
Re( )
p
Limv p , ( f )(z0 )  f (1)
P/(a): Por ejemplo, para p = 2, la función f : N  C tal que f(n) = 0 para todo n par,

(2k  1)0
1
f (2k  1) 
v2 ,0 ( f )(z)  0 para
f
(
1
)


para
todo
k

1
y

2
2 verifica
k
k 1 (2k  1)
todo z. (Puede generalizarse el ejemplo a cualquier otro primo)
P/(b) Se deduce de la inyectividad de la Transformada de Dirichlet (caso z = 1) y puede verse,
por ejemplo en [Hildebrant] Th. 4.8., pues de este teorema se obtiene que para todo natural
v ( n)
n es f (n) z0 p
 0.
P/(c) Se deduce de (2), pues el único término que no depende de λ es el primero de la primera
suma, es decir: f(1). Todos los demás tienden a cero.
□
PROP. 3.3 (Relaciones de ortogonalidad):
2
 
i
v p ,
i
( r )(e ) v q , ( r )(e ) e
r  P 0
P/ Por definición tenemos
 2 i
0

d   2
 p 

if p  q
if p  q
(6)
18
2

2
i
i
 2 i
  v p , ( r )(e ) vq , ( r )(e )e d  
r  P 0

e
r  P 0
i v p ( r )
r

e
i v q ( r )
r

e  2 i d   
r  P
1
r
 
2
e
i [ v p ( r )  v q ( r )  2 ]
0
Ahora bien, si el número entero vp (r)  vq (r)  2 es distinto de cero, la integral es nula (caso
contrario es 2 ). Dado que p, q y r son primos, vp (r)  vq (r)  2 solo puede ser cero sii p =
q = r (en cualquier otro caso, es estrictamente menor que cero).
□
§3. 2. Ejemplos importantes de imágenes racionales (para el caso en que la función
logarítmica es una valuación p-ádica)
La mayoría de las funciones aritméticas más interesantes tienen imágenes racionales
para cualquier morfismo v p , . En el caso particular de la función de Moebius, la
transformada es directamente un polinomio de grado 1 (¡!).

 ( n) z
0)  v p ,  ( k )( z )   k 
n
n 1
v p (n)

z
v p (k )
(en particular, v p ,  (1 )( z)  1 , obviamente, dado
k

que se trata de un morfismo). Obsérvese que v p , ( p  p )( z)  z y que por lo tanto C [z ] está
contenida en la imagen de cada v p , .

1)  v p ,  (1)( z )  
z
v p ( n)
n
n 1
p  1
 ( ) , z  p  , Re (  )  1 .

p z

P/ Utilizando el desarrollo (2) para la función f constante = 1, tenemos (siempre y cuando
z  p , Re (  )  1 ):

 v p ,  (1)( z )  
z
n 1

1
1
z
p

1
(1)
 n 
n 1
p/n
v p (n)


n
n 1
p/n
1
1
z
p
1
z
 

n
p

qP
q p
1
z2



p 2
n 1 n

p/n
1
1
1
q
( 2)


 1
1
z
z2

  

...

1



...



p  p 2
n 1 n

 n 1 n

p/n
p/n


1 
p 1
1    ( )  
 ( )
z 
p
p

z

1 
p
1
Indicamos con P el conjunto de todos los primos. La identidad (1) se obtiene mediante el
mismo argumento de la fórmula del producto de Euler y puede verse una generalización en
[Hildebrant] pag. 114; nuestro caso corresponde al conjunto de todos los primos distintos de
p. La identidad (2) es consecuencia inmediata de la fórmula del producto mencionada. □
d
19

2)  v p ,  (  )( z )    (n)
z
v p ( n)

n
n 1
p  z
, z  p  , Re (  )  1 .
( p   1) ( )
P/ Se deduce inmediatamente de Prop. 1, de la identidad 1     1 y de la transformada de la
constante (1) calculada en (1), pues obviamente v p ,  (1 )(z )  1 para todo z. □
2

z l ( n )  p  1
 ()  , z  p  , Re (  )  1 .
3) v p ,  ( )(z)   (n)    
n
n 1
 p z


P/ Se deduce de la identidad   11 □

4)  v p ,  ( Id )( z )   n
z
v p ( n)

n
n 1
p  1  1
 (  1) , z  p  , Re ( )  2 .
 1
p z
En general, para cada  C , indicando

 v p ,  (  )( z )   n
z
v p (n)
n
n 1

 (n)  n se tiene
p    1
 (   ) , z  p  , Re (   )  1 .
p    z

P/ Se deduce trivialmente de la identidad

n 1

5)  v p , ( )( z )    ( n )
n 1
z
v p ( n)
n


z
v p (n)
n

p  1
 ( ) probada en (1) □
p  z
p  1  1 p   z  (  1)
p   1 p  1  z  ( )
, z  p  , Re ( )  2 .
P/ Se deduce de la identidad 1    Id y de los cálculos precedentes □
20

z
6)  v p ,  ( vq )( z )   vq ( n )
v p (n)
n
n 1

 ( p   1) (  )
 ( q   1)( p   z ) if q  p



 z ( p  1) ( )
if q  p
 ( p   z ) 2
z  p  , Re (  )  1 .
,
P/ Este cálculo se facilita a partir de la identidad vq 1 wq , donde wq es la función


2 3
característica del conjunto q, q , q ,... : para cada n  q k m , donde m no es divisible por q,
se tiene (1 wq )(n) 
 w (d )  k  v (n) .
q
q
Ahora, si q  p :
d/n

 v p ,  ( wq )( z )   wq ( n )
n 1
z
v p (n)
n



z
vp (qk )
q
k 1

1
1
 
 k
q 1
k 1 ( q )

k
y si q = p:

 v p ,  ( w p )( z )   w p ( n )
n 1
z
v p (n)
n


k 1
z
vp ( pk )
p k
zk
z
 
 k
p z
k 1 ( p )


(etc). □
Observación: La expresión (2) para el caso q  p es

 v p ,  (vq )( z )   vq (n)
n 1
z
v p ( n)
n


n 1
p/n
vq (n)
n
z
 
p


n 1
p/n
vq ( pn)
n
z2
 2
p


vq ( p 2 n)
n 1
p/n
n
 ...
k
Pero si p  q , vq ( p n)  vq (n) . Por lo tanto,

 v p ,  (vq )( z )  
n 1
p/n
vq (n) 

z
z2
p   vq ( n )


1



...

 p   z  n
n  
p  p 2
n 1

p/n
Resulta, entonces:
Ex . 6 ( p   z )
vq ( n ) p   z
( p   1) (  )
( p   1) ( )


(
v
)(
z
)



v p ,
q
n
p
p
( q   1)( p   z )
( q   1) p 
n 1

p/n
21
7) Transformadas de la función de Von Mangoldt:
v p ( n)

 z
1 
log( q ) ( 2.2 )
   
 log( p ) 
 

 p  z p  1  qP q  1
p  ( z  1)
 ' ( )
 log( p ) 


( p  z )( p  1)  ( )
(n) z
 v p ,  (  )( z )  
n
n 1
, z  p  , Re (  )  1
P/ La función de Von Mangoldt está dada por
log( p ) si n  p k para p  P y k  1
 (n)  
otro caso
0
(7.1)
Resulta entonces:
(a) 1    log
k
k
k
P/ (1  )( p1 1 p2 2 ... pmm ) 
(1) m
 (d )  ki log(pi )  log( p1k1 p2k2 ...pmkm ) □
d p1k1 p2k2 ... pmkm
i 1
(1) se debe a que la función Von Mangoldt se anula en los productos de primos distintos y
entonces los divisores a tener en cuenta son las potencias de un mismo primo.

(n)  log(n)
     ' ( ) y por lo tanto

n
n
n 1
n 1
(b) Para Re(  )  1 se tiene entonces  ( )

 ' (  )   ( n)


 ( ) n 1 n 

  1 
log( p )
log( p)
  k    

log(
p
)

k
p
pP k 1
p P
 k 1 p  pP p  1

(c) Ahora, para cada primo positivo p, si Re(  )  1 y z  p  :
(7.2)
22

( n ) z
 v p ,  ()( z)  
n
n 1
v p (n)

log(q ) z
 
q k
q P k 1
v p (q k )
log( p) z k 
log(q)

  k 
k
p
q
k 1
k 1 q P

q p
 log( p)

z
log(q)  log( p )

  k 

p   z k 1 qP q k
p
k 1
 log( p)

  1 
z
1



q
p
log(
)

log(
)





k 
k

p  z qP
k 1 p
 k 1 q 
 log( p)
z
1
1
  log(q) 
 log( p ) 

p  z qP
q 1
p 1

 z
p  ( z  1)
1 
log(q ) ( 2.2)
 ' ( )
 log( p) 
 
   
 log( p) 


( p  z )( p  1)  ( )
 p  z p  1  qP q  1
Observación: Una propiedad de la función de Von Mangoldt que conviene ver si se puede
generalizar es la siguiente: dada una función f : N  N completamente multiplicativa y

f (n)
F ' ()  f (n)(n)

dada su trasnformada de Dirichlet F ( )    , se verifica 
.
F () n 1
n
n 1 n
8)  v
p ,
 p  1

p  ( z  1)
 ' ( ) 
(log)( z )   v p ,  (1)( z ) v p ,  (  )( z )   
 ( )  log( p ) 


( p  z )( p  1)  ( ) 
p z

 log( p) ( )
p ( z  1)
p  1


'
(

)
( p  z ) 2
p  z
(Se deduce de 1    log , ver ítem precedente), es decir:
log(n) v p ( n)
p ( z  1)
p  1
z
 log( p) ( ) 
  ' ( ) 

n
( p  z )2
p z
n 1

, , z  p  , Re (  )  1
9) Contraejemplo: una familia de funciones cuyas imágenes no son racionales: Para cada
n
número real b tal que 0  b  1 , sea expb  A tal que expb (n)  b . Entonces,
bn v p (n)
z

n 1 n

 v p , (expb )( z )  
23
bn

 para cualquier  ; para
n 1 n

(la condición b  1 garantiza la convergencia absoluta de
b  1 esta serie converge para Re(  )  1 y para b  1 diverge en todos los casos: utilizar
el criterio del cociente para el caso b  1 y el integral para b  1). Veamos que esta función
no es racional. En primer lugar, el desarrollo en series de potencias de z es
b n v p ( n)
z

n 1 n

 v p ,  (exp b )( z )  
k ( )
S


  np k  k

 b  z
      k
k  0  n 1 n
p
 p/n

(9.1)
y para cada k es

S k ( ) 

n 1
p/n
bp
k
n
bp


n
n 1
k
n
Re(  )  0 
b

n Re(  )
pk
n b 1
b

pk
1 b
n 1
pk
b 1
b

1 b
pk
(9.2)
Por lo tanto, volviendo a la serie (9.1):

S
k
( )
k 0
z
p
k
Re(  )
1

1 b

p
b
pk
k Re(  )
z
k
k 0
y esta serie tiene radio de convergencia infinito, pues
b
p
p k 1
( k 1) Re(  )
p k Re(  )
b
pk

1
p
Re(  )
b
p k 1  p k

1
p
Re(  )
b
p k ( p 1)
k
 0

(Recordar que 0  b  1 ). Por lo tanto, v p , (expb ) es analítica en todo el plano complejo. En
particular, no tiene polos y entonces, si fuera racional sería un polinomio. Para esto, debería
np

existir algún k0 tal que los coeficientes Sk ()   b 
se anulen para todo k > k0.
n 1 n
k
p/n
(Recordemos que b es un real tal que 0  b  1 ) Esto en general no es cierto. Por ejemplo si
b es un real en el intervalo (0,1) y λ es un real positivo, estas sumas son todas reales positivas
(por lo tanto no nulas). Por otra parte, si fuera Sk ()  0 para todo λ de parte real mayor que
algún número fijo, esto implicaría (Teorema de inyectividad de la T. de Dirichlet: ver
demostración de Prop. 2) que b  0 . □
24
§3. 3) Extensiones analíticas
El procedimiento clásico para las extensiones analíticas de las funciones definidas por
series de Dirichlet puede generalizarse fácilmente en algunos casos. Por ejemplo: del ejemplo
1 ut-supra tenemos

 v p , s (1)( z )  
z
n 1
(1) n z

ns
n 1

Ahora,
v p (n)

ns
v p (n)


n 1
ps 1
 ( s ) , z  p s  p Re( s ) , Re ( s )  1 .
ps  z
z
v p (n)
ns
[(1) n  1]z
ns
n 1

v p (n)


v ( 2k )
z p
. Pero v p (2k ) 
s
k 1 ( 2 k )
 2
 v p (2)  v p (k ) y por otra parte (2k ) s  (2k ) s  e s ln( 2 k )  e s ln( 2)  s ln( k )  e s ln( 2) e s ln( k )  2 s k s , por
lo tanto
(1) n z

ns
n 1

v p ( n)


(1) n z
Entonces, 
ns
n 1

z
n 1
v p ( n)
ns
v p ( n)
[(1) n  1]z
ns
n 1

v p (n)


 2
z
k 1
v p ( 2) v p ( k )
z
s s
2 k
v ( 2)

z p
2s 1


z
k 1
v p (k )
ks
.
 z v p ( 2)
  z v p ( n ) z v p ( 2)  2 s 1  z v p ( n )

  s 1  1 s 
, de donde se obtiene,

s
2 s 1
n 1 n
 2
 n 1 n
en definitiva:
v (n)

z p
ps  1

(
1
)(
z
)


(
s
)


v
,
s
s
p
ps  z
n 1 n

2 s 1
(1) n z
 v p (2)
 ns
z
 2 s 1 n 1
v p (n)
donde la identidad

ps  1
2 s 1
(1) n z
 ( s)  v p ( 2)
 ns
ps  z
z
 2 s 1 n 1
v p ( n)
(3.3.1)
se verifica para todo complejo s tal que Re(s) > 0 y todo complejo z tal que z  p s (controlar
si no se requiere z  1 ). Obsérvese que si p es un primo mayor que 2, entonces
ps  1
2 s 1  (1) n z
 ( s) 
 ns
ps  z
1  2 s 1 n 1

2 s 1   (1) n
z

 s
s 1  
s
1  2  n 1 n
p
 p/n
v p ( n)

( 1) pn
z2


ns
p2s
n 1
(1) p

ns
n 1
p/n
p/n


2
n


 ...


25
k
Pero por ser p primo impar, todas sus potencias p k son impares y por lo tanto (1) p n  (1)n
y tenemos
2 s 1  (1) n z
ps  1

(
s
)

 ns
ps  z
1  2 s 1 n 1
v p ( n)

 (s)
p




  (1) n
z
z2
2 s 1
2 s 1 
2 s 1
1
ps



1



...


(
s
)

 p (s)
p
 n s
1  2 s 1 
p s p 2s
1  2 s 1 1  z
1  2 s 1 p s  z
 n 1
p/n
ps
Es decir:
2 s 1
ps
 ( s) 
 p (s) ,
1  2s 1 p s  1
(3.3.2)
identidad que ya no depende de z y vale para todo complejo s de parte real positiva.
Obsérvese que de la identidad (3.3.1) se obtiene
 (s ) 

ps  z
2 s 1
(1) n z
 ns
p s  1 z v p ( 2 )  2 s 1 n 1
v p (n)
y por lo tanto la serie del segundo miembro no puede ser convergente para z  p s , pues caso
contrario, la función de Riemann sería idénticamente nula…
De todos modos, lo más
probable es que estas identidades se puedan deducir directamente de la fórmula del producto
de Euler y sus variantes más generales como las que aparecen, por ejemplo, en [Hildebrant].
Una posible ventaja de estas extensiones analíticas al semiplano de inecuación Re(s)
s 1
1 w
, con inversa w  s 
, transforma dicho
> 0 es que la homografía s  w 
s 1
1 w
semiplano en el interior del disco central unitario. En particular, la “recta crítica” de ecuación
Re(s) = ½ se transforma en la circunferencia de ecuación w  13  23 , el polo simple s = 1 de
ξ en el w = 0 y la banda crítica de inecuaciones 0 < Re(s) < 1 en la región del disco dada por
w  13  23 . [Ver ceros y polos, teorema de Rouché, etc.]
§3. 4) Secciones polinómicas de los morfismos v p , 
26
Hemos visto que el anillo C [z ] está contenido en la imagen de cada v p ,  y que estos
morfismos no son inyectivos. Entonces:
Para cada primo positivo p y cada complejo λ, sea

1

Ap,    v p ,  (C [ z ])  f  A :  v p ,  ( f )  C [ z ]
(4.7)
Obsérvese que la condición v p ,  ( f )  C [ z ] , es decir, que

 v p ,  ( f )( z )   f ( n )
z
n 1
v p ( n)
n
S 0 ( f , p )(  )
2 ( f , p )(  )
1 ( f , p )(  )
S




S


2



f (n)
z
f ( pn )
z
f ( p 2 n)
   

 ...

p n 1 n 
p 2  n 1 n 
n 1 n
p/n
p/n
(4.8)
p/n
sea una función polinómica, implica no solo la convergencia de cada una de las sumas

S k ( f , p)( )  
n 1
p/n
f ( p k n)
n
(4.9)
(para el complejo λ dado), si no que estas sumas sean todas nulas a partir de determinado
índice = grado del polinomio. Para cualquier primo p y cualquier complejo λ, Ap ,  contiene
a las funciones de soporte finito, obviamente. Pero, por ejemplo, el caso de la función de
Möebius es mucho más interesante, pues (ver cálculos ut-supra):

 v p ,  (  )( z )    (n)
n 1
z
v p ( n)
n

p  z
, z  p  , Re (  )  1 .

( p  1) ( )
y por lo tanto admite una extensión polinómica a todo el plano complejo. Conviene
considerar entonces, como elementos de Ap ,  a todas las funciones cuya transformada admite
una extensión polinómica a todo el plano, lo que significa que (4.8) es válida para todo z en
algún disco de radio no nulo (finito o infinito), mientras que las condiciones de convergencia
y anulación de las sumas (4.9) se mantienen (para el complejo λ dado).
Ahora, sea  p,  : C [ z ]  A tal que para cada F ( z )  c0  c1z  ..  cm z m es
27
 p ,  ( F )(1)  c0
 p ,  ( F )( p)  c1 p 
 p ,  ( F )( p 2 )  c2 p 2
y
 p,  (n)  0 otherwise
(4.10)
...
 p ,  ( F )( p m )  cm p m
Es decir:
F ( k ) (0) k
p  pk
k!
k 0

m
 p,  ( F )   ck p k p k  
k 0
Puesto que  p k
(4.10)(bis)
k  times




  p   p  ... p , la fórmula (4.10)(bis) puede escribirse simbólicamente de
una manera mucho más sugerente:
 p ,  ( F )  F ( p  p )
(4.10)(tris)
Es decir: se trata de un caso particular de la siguiente situación más general y natural: para
cada f  A se tiene el morfismo de C - álgebras
 f : C [ z ]  A , F  F ( f )
(4.11)
y nuestra función (4.10) no es otra cosa que  p,    p   .

PROP. 4.4: Para cada f  A ,  f : C [ z ]  A es efectivamente un morfismo de C - álgebras.
(Esto es absolutamente “standard”)
28
 
 notacion  F ( k ) (0)
F ( k ) (0) 
f  f  ...  f  
f k (la suma es
P/ Por definición es  f ( F )  F ( f )  
k!
k!
k 0
k 0

k  times
obviamente finita y se sobreentiende que para k = 0 es f 0  1 ). Entonces, para todo par de
polinomios F y G y cualquier constante compleja c:

( F  G ) ( k ) ( 0)  k
F ( k ) ( 0)  c G ( k ) ( 0)  k
f 
f 
k!
k!
k 0
k 0

(a)  f ( F  c G )  

F ( k ) ( 0)  k
G ( k ) ( 0)  k
f  c
f   f ( F )  c  f (G )
k!
k!
k 0
k 0


  F ( k ) (0) k   G ( h ) (0) h    F ( k ) (0)G ( h ) (0) ( k  h)
(b)  f ( F ) f (G )   
f  
f   
f

k!h!
 k 0 k!
 h0 h!
 k  0 h 0


 m F ( k ) (0)G ( h) (0)  m
 m F ( k ) (0)G ( mk ) (0)  m (1)  ( FG )( m ) (0) m
 f    
f 
   
f   f ( FG )
k!h!
k!(m  k )! 
m!
m  0  k  h 0
m 0  k 0
m 0

(1): Regla de Leibniz:
m
m
m
F ( k ) (0)G ( m  k ) (0)
( FG )( m ) (0)    F ( k ) (0)G ( m  k ) (0)  m!
k!(m  k )!
k 0  k 
k 0
♠
PROP. 4. 5:
(i) v p ,    p,   IdC [ z ] (en particular, resulta que la imagen de  p ,  está contenida en Ap ,  ,
que  p ,  es inyectiva y que  v p ,  : Ap ,   C [ z ] es sobreyectiva)
(ii)  p,    p ,    v p ,  : Ap,   Ap,  es un endomorfismo (de álgebras) idempotente, por lo
tanto
(ii)(a) Ap ,   IM ( p ,  )  KER ( p ,  ) (suma directa de subálgebras), donde para todo
f  Ap ,  : f  IM ( p,  )   p ,  ( f )  f
 p , es inyectiva
(ii)(b) KER( p ,  )

KER( v p ,  ) es un ideal primo en Ap ,  .
29
 


f ( p k n) 
 
 k
n  p
k  0  n 1
 p/n



(iii) (a)  p,  ( f )   p ,  ( v p ,  ( f ))   S k ( f , p,  ) p k
k 0

(b)  p,  ( f )  0  k  0,1,2,... : 
n 1
p/n
f ( p k n)
0
n


(c)  p,  ( f )  f  soporte ( f )  1, p, p 2 , p 3 ,...
F ( k ) (0) k
P/ (i) Para cada F  C [z ] es  p, ( F )  
p  pk y por lo tanto, recordando que
k!
k 0

 v p ,  ( h )( z ) 
z
v p (h)
h
, tenemos
F ( k ) ( 0 ) k
p  v p , ( p k )( z ) 
k!
k 0

 v p ,  ( p ,  ( F ))( z )  
v ( pk )
F ( k ) ( 0 ) k z p

p
k!
p k
k 0

F ( k ) ( 0) k
z  F ( z)
k!
k 0


P/ (ii) es una colección de propiedades básicas: la idempotencia de  p ,  es consecuencia
trivial de (i); por ser composición de morfismos de álgebras es endomorfismo en Ap ,  y por
lo tanto su imagen es una subálgebra y su núclo es un ideal primo (pues A no tiene divisores
de 0 y por lo tanto tampoco Ap ,  ); la descomposición de Ap ,  es consecuencia trivial de la
idempotencia de  p ,  , lo mismo que la doble implicación de (ii)(b).

P/ (iii) Por definición, es  p ,  ( f )   p ,  ( v p ,  ( f ))  
 v p ,  ( f ) ( k ) ( 0)
k!
k 0
(4.8) y (4.9) tenemos
 v p , ( f )( k ) (0)
k!
Por lo tanto,

1
1
S ( f , p)( )  k
k k
p
p


n1
p/n
f ( p k n)
n
p k p k . Por parte, de
30
 


f ( p k n) 
 p,  ( f )   p ,  ( v p ,  ( f ))   S k ( f , p,  ) p k    
 k
n  p
k 0
k  0  n 1
 p/n

Dado que los elementos  n , n  N son independientes:


 p,  ( f )  0  k  0,1,2,... : 
n 1
p/n

(4.12)
f ( p k n)
0
n


(1) soporte ( f )  1, p, p 2 , p 3 ,...




  f ( p k n) 

f ( p k n) (1)
 p,  ( f )  f    


f

k
(2) f ( p k ) 
 p

 f ( pk )

n

k  0  n 1


n
n 1
 p/n

p/n

♠
Ejemplo: Para la función de Möebius, tenemos (ver sección 3):

 v p ,  (  )( z )    (n)
n 1
z
v p ( n)
n
p  z
 
, z  p  , Re (  )  1 .
( p  1) ( )
 

 

 

  ( p k n) 
  (n) 
  ( pn) 
 p,  (  )    
 k   
1      p
n   p  n 1 n 
k  0  n 1
 n /1 n 
 p/n

 p/n

p n


Dado que  es multiplicativa, si n no es divisible por el primo p, n y p son coprimos y resulta
 ( pn )   ( p )  ( n )    (n ) . Entonces
 

 

 

  ( n) 
  ( pn) 
  ( n) 
 p,  ( )     1      p     (1   p )  S0 ( , p,  )(1   p )
 np/1n n 
 np/1n n 
 np/1n n 






Por otra parte, de
31

 v p ,  (  )( z )    (n)
n 1


z
v p ( n)
n

  S k (  , p,  )
k 0
zk

p k

p z
p
1
 
 
z
( p  1) ( ) ( p  1) ( ) ( p  1) ( )

resulta S 0 (  , p,  ) 
p
. Por lo tanto:
( p   1) ( )
 p,  (  ) 
p
(1   p )
( p   1) ( )
(4.13)
(revisar el cálculo). Obsérvese que (4.13) tiene sentido para cualquier λ no nulo que no sea
un cero de  ; por otra parte, dado que  tiene un polo simple en 1, para λ=1 la proyección
(4.13) resulta idénticamente nula (para cualquier primo p). En cualquier otro caso,
p
 p,  (  )(1)  
 0 y por lo tanto se trata de un elemento inversible de A (en
( p  1) ( )
particular, esto implica que IM ( p,  ) no puede ser un ideal).

Nota 1: La condición  p,  ( f )  0  k  0,1,2,... : 
n 1
p/n
f ( p k n)
 0 no significa que se anule
n
cada f ( p k n) donde p no divide a n. Pero si esto se verifica para todo  en algún semiplano
donde la transformada de Dirichlet de f converge, entonces sí se tiene la anulación de cada
término (ver pseudoinyectividad).
Nota 2: Si f  IM ( p ,  ) , entonces f  Ap,   K ( p ) , pues por (iii)(c) se anula en todos lo
no-múltiplos de p (ver sección 2). Es decir:  : IM ( p,  )  Ap,   K ( p ) .


Nota 3: Si bien soporte(wp )  1, p, p 2 , p 3 ,... , donde wp es la función característica del
conjunto
 p, p , p ,...,
2
3
la transformada  v p ,  ( wp ) no es polinómica (ver ejemplo 6 de
sección 3), y lo mismo ocurre con vp 1 wp . Sus imágenes son racionales, y por lo tanto
para incluir estas funciones (como muchas de las interesantes) habría que extender las
secciones de los morfismos aquí presentadas.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
32
§4. GENERATRICES Y ELEMENTOS DE ORDEN POLINÓMICO

n
Para cada f  A , la serie (generatriz) f (z)   f (n)z define una función holomorfa
n1

en el disco del plano complejo centrado en el origen y de radio rf  n Limsup n f (n)

1
.
Por lo tanto, para cada f  A tal que rf  1, se tiene un elemento f  H (aunque el radio de
convergencia sea mayor que 1, nos interesa el disco unitario).
Diremos que f : N  C es de orden polinómico (o potencial) sii existen constantes

reales positivas c y α tales que f (n)  cn para todo n  . Para estas funciones se tiene
rf  1 y por lo tanto f  H (más precisamente, su restricción al disco unitario).
Observaciones: Supóngase que existen constantes positivas c y α y un
n0 tales que
f (n)  cn para todo n n0 . Sea   máx f (1) , f (2) ,..., f (n0 ) . Entonces, para todo
 1
n  N es f (n)  (1   )cn . Por otra parte, es claro que el exponente α se puede elegir
siempre entero.
Algunos ejemplos sencillos e importantes:


n
n
m
1) 1 ( z)  1 (n) z  z ; en general:  m ( z)   m (n) z  z
n1
n1

n
n
n
2) 1( z)  1(n) z   z 
n1

n1
z
( z 1)
1 z
n
n
n
3) id ( z)   id (n) z   nz 
n1
4) si
n1
z
(1  z) 2
(2.1)
( z 1)
2

n
p2 (n)  n2 , se tiene p2 ( z )   p2 (n) z n   n 2 z n  z  z 3 ( z  1 )
n 1
n1
(1  z )
(En el parágrafo siguiente veremos más ejemplos más interesantes)
Lema 1: Si f  A y g  A son de orden polinómico, también lo es f  g . □


P/ Supóngase que f (n)  cn y g (n)  c' n con 0     . Entonces,
33
( f  g )( n )   f ( dn ) g ( d )   c
d n
d n
n
c ' d   cc' n  d    cc ' n 1  cc ' n 1 .

d
d n
d n
Obsérvese que no se pierde generalidad en suponer 0     , pues: 1) f  g  g  f ; 2)
cn   cn    y 3)
 h(d )   h(
dn
n
d
) , dado que d  dn es una permutación de los divisores
dn
de n.

Lema 2: Sea f  A tal que f (1)  1 y f (n)  n para todo n (α = constante real positiva).
Entonces, f *1 (n)  n  2 para todo n.
P/ Inducción sobre n. De las fórmulas de recurrencia
(i ) f *1 (1) 
1
f (1)
(ii ) f *1 (n)  
1
f ( dn ) f  (d )

f (1) d n
d n
Tenemos f *1 (1)  1  1  2 .
Hipótesis inductiva: f *1 (k )  k  2 para todo k < n. En
particular, para los divisores d de n estrictamente menores que n se tiene f *1 (d )  d  2 .
Por lo tanto, de (ii) tenemos (para todo n  2 ):
f *1 ( n ) 
1
f (1)
f (1)1

d n
d n
f ( dn ) f *1 ( d ) 

d n
d n
f ( dn ) f *1 ( d )
H  H . Ind

n   2
d
 n  d 2


d
d n
d n
d n
d n
34
Puesto que d 
n
d
es una biyección entre el conjunto de divisores de n estrictamente
menores que n y el conjunto de divisores de n mayores que 1:
2
n
1
1 (*)
n
f * 1 ( n )  n      n   2  2  n   2  2  n   2 (1  1n )  n   2
d n  d 
d n d
k 2 k
d 1
d 1
n
1
1

1

. Esto se puede ver fácilmente comparado la integral
2
n
k 2 k
(*) Para todo n  2 : 
definida de x  x12 entre 1 y n con el área que representa el primer término de la desigualdad.
También se puede probar por inducción sobre n (a partir de 2): para n = 2 el primer miembro
n
es
1
4
1
1
 1  , se tiene
2
n
k 2 k
y el segundo es 12 . Ahora, si n  2 : 
n
1
k
k 2
2
1
1
1
1 
 1
2
n (n  1)
n 1
donde la última desigualdad es sencilla de probar:
1
1
1
1

1
2
n ( n  1)
n 1

(n  1) 2
n
n2
n 11 

1
1
1


2
n  1 ( n  1)
n
n 2  2n  1
n
 ( n 1)2

 n2 n2
1
n
(verificado)

Corolario 1: Sea f  A tal que f (1)  0 y f (n)  f (1) n para todo n  N (siendo α
constante). Entonces f *1 (n) 
1  2
n .□
f (1)
35
P/ Sea g 
1
1
f . Entonces, g (1)  1 y g (n) 
f (n)  n . Por Lema precedente,
f (1)
f (1)
*1
g *1 (n)  n  2 . Por otra parte, g
f *1 (n) 
 f (1) f *1 , por lo tanto;
1
1  2
g *1 (n) 
n
f (1)
f (1)

Corolario 2: Sea f  A tal que f (1 )  0 y f (n)  cn para todo n  N (siendo α y c
constantes). Entonces existe una constante β tal que f *1 (n) 
1    2
n
para todo entero
f (1)
positivo n.

P/ La desigualdad f (n)  cn , para n = 1 implica que f (1)  c . Puesto que f (1)  0 , existe
un entero positivo M tal que
g : N  C tal que g ( n ) 
(a) g (1) 
c
 f (1) . Ahora, sea   N tal que
M
M  2  y sea
1
 . Entonces:
f ( n ) para todo n  N
M
1
f (1)  0 .
M
 
(b) para todo n  1 : g(n)  g (1) n . Para n =1 esta (des)igualdad es trivial y para n  2
tenemos:
g ( n) 
n2
1
c 
f (n) 
n  f (1) n   M g (1) n  2  g (1) n   n  g (1) n  g (1) n   
M
M
(verificado)
Podemos aplicar, entonces, el corolario 1 a la función g: para todo entero positivo n se tiene
1    2
*1
*1
1
g *1 (n) 
n
. Puesto que g ( n ) 
f ( n ) , es g (n)  M f (n) y resulta
g (1)
M
finalmente
M f *1 (n) 
M    2
n
f (1)
36
Resumiendo:
TEOREMA 1:
Sea A( P )  A el conjunto de funciones f : N  C de orden polinómico. Entonces
(i) A( P ) es una subálgebra de A cerrada respecto de la inversión (i.e.: el inverso de un
elemento inversible de orden polinómico es también de orden polinómico).
(ii) Además, A( P ) es un anillo local con ideal maximal M  f  A( P ) : f (1)  0 (es decir: el
conjunto de los no inversibles).

(iii) La aplicación C -lineal A ( P )  H , f  f tal que f ( z ) 



f ( n ) z n está bien definida,
n 1
su imagen está contenida en el ideal maximal H0  F  H : F (0)  0 y para todo par de
elementos f y g en A( P ) se tiene:


( f  g )( z)   f (n) g( z n )   g (n) f ( z n )
n 1
(2.2)
n 1

n
(iv) H es un A -módulo respecto de ( f . F )( z )   f (n) F ( z ) .
( P)
n 1
Nota: En particular, A( P ) contiene los elementos de la forma f (n )  cn . Para estos
1
elementos, la inversión es particularmente sencilla: f * 1 ( n)   ( n) n , donde μ es la
c
función de Möebius. Obsérvese que las correspondientes series de Dirichlet son

n
1

c
 c ( z   )

z
z 
n 1 n
n1 n

F ( z )  c
y
1
1   (n) 1   (n)n
  z   
 F 1 ( z )
z
c ( z   ) c n 1 n
c n 1 n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
37
§5. DESPLAZAMIENTOS
Sea ( pk )k 1 la sucesión de primos positivos ordenada en sentido creciente. Para cada

v
( n)
entero n >1 tenemos entonces n   pk pk
, donde solamente una cantidad finita de factores
k 1
es distinta de 1. (Esta expresión también es válida para n =1, pero este caso lo consideraremos
aparte). Definimos  : N  N de la siguiente manera:
 (1)  1
  v ( n )   v ( n)
   pk pk    pk pk1
 k 1
 k 1
(5.1)
Entonces:
(1) α es multiplicativa (en sentido fuerte):
  v ( n)  v ( m ) 
  v ( m )  v pk ( n ) 
 

 (mn)     pk pk  ph ph      pk pk
     pkvk ( mn)  
h 1
 k 1

 k 1

 k 1


v
  pk pk1
( mn )
k 1

v
  pk pk1
( m )  v pk ( m )
k 1

v
  pk pk1
(n)
k 1

p
v ph ( m )
h 1
  (m) (n)
h 1
(2) α es inyectiva (unicidad de factorización en primos) y su imagen es ( p1 ) , donde ( p1 )
es el conjunto de no-múltiplos de p1 (notación de la sección §2.b). Que ningún múltiplo de
p1 está en la imagen de α se deduce directamente de la definición (5.1). Recíprocamente,

v
dado un entero n   pk pk
( n)
v
 p2 p2
(n)
v
(n)
p3 p3 ... no divisible por
p1 , se tiene que
k 2

v
 p1 p2
( n)
v
(n)

v
p2 p3 ...  p2 p2
(n)
v
( n)
p3 p3 ...  n .
[En el orden elegido, p1 = 2 y entonces la imagen de α es el conjunto de impares, pero
podría elegirse cualquier otro orden en los primos].
(3) d n   (d )  (n) (los divisores se consideran positivos salvo aclaración en contrario):

v
si n =1, su único divisor es 1 y es  (1)  1 . Si n   pk pk
k 1
( n)
y d es divisor de n, entonces es
38

v
d   p k pk
(d )
donde 0  v pk (d )  v pk (n) para todo k  N (el caso d =1 incluido, pues puede
k 1

v
ser v p k (d )  0 para todo k  N ). Entonces,  (d )   pk pk1
(d )
es claramente divisor de
k 1

v
 (n)   pk pk1
(n)
k 1
 (d )
 N



 




v ( n )  v pk ( d ) 
v (d ) 
   pk pk1
  pk pk1  .
 k 1
 k 1

(4) d '  (n)  !d : d n  (d )  d ' : (La unicidad es consecuencia de la inyectividad de α). Si

v
n = 1 la implicación es obvia, pues α(1) = 1. Ahora, dado n   pk pk
( n)
, todo divisor d ' de
k 1

v
 n    pk pk1
k 1
( n)

v
es necesariamente de la forma d '   pk pk11
( d ')
, donde 0  v pk 1 (d ' )  v pk (n)
k 1

v
(caso d ' = 1 incluido). Entonces, d   pk pk 1
( d ')
es claramente divisor de n y  (d )  d ' .
k 1
(5) Para todas f y g en A, ( f   )  ( g   )  ( f  g )   :
( f  g )( (n)) 


d ' (n)
  (n)  (1)
  (n)  (3)( 4)
 
f (d ' ) g 
   f ( (d )) g 
 d' 
dn
  (d ) 
(1)
  n 
  f ( (d )) g       (( f   )  ( g   ))(n)
dn
  d 
(6) De las propiedades precedentes se deduce que la aplicación  : A  A dada por
 ( f )  f   es un endomorfismo de álgebra (por ejemplo: la propiedad (5) se traduce en
 ( f  g )   ( f )   ( g ) ). Por otra parte:
(6.1) El núcleo de θ es (se trata de un ideal primo, pues A no tiene divisores de 0 y por lo
tanto 0 es ideal primo en A):
Ker ( )   f  A : f    0   f  A :  ( N )  Ker ( f ) 
  f  A : soporte ( f )  N   ( N )   f  A : soporte( f )  p1 N 
(En el orden elegido para la sucesión de los primos positivos, es p1  2 y el núcleo de θ
consiste en las funciones que se anulan en los impares, pero podría elegirse cualquier otro
orden)
39
(6.2) θ es epimorfismo: Dada g  A , definamos f  A de la siguiente manera: f (1)  g (1) ,
  v (n) 
  v ( n) 
f   pk pk1   g   pk pk  y f ( p1m ) arbitrario (por ejemplo = 0) para todo m  1 .
 k 1

 k 1

Entonces, claramente f ( (n))  g (n) para todo n, es decir:  ( f )  g .
(6.3) Se deduce que A  A
Ker ( )
, siendo el isomorfismo el inducido por θ.
(6.4) 1    1 ,  p1    0 y para todo k > 1:  p k     p k 1 : las dos primeras igualdades
son inmediatas (la primera significa que  (1 )  1 , como corresponde al hecho de que θ es
morfismo y 1 es el neutro para el producto en A, y la segunda se debe a que el soporte de
 p1 está obviamente contenido en p1N : ver (6.1)). Ahora, dado k > 1:  pk ( (n))  0 sii
 (n)  pk sii n  pk 1 , y en ese caso es  k ( ( pk 1 ))   pk ( pk )  1 .
(6.5) Se tiene una cadena infinita estrictamente creciente
Ker ( )  Ker (   )  Ker (     )  ...
de ideales primos. (Por lo tanto, A es un anillo local de dimensión de Krull infinita). Que se
trata de ideales primos es obvio, pues θ es un endomorfismo de álgebra y A no tiene divisores
de cero. Las inclusiones son triviales y para ver que son estrictas se pueden utilizar las
cuentitas hechas en (6.4):
(   )( p2 )   ( p1 )  0   p1   ( p 2 ) ,
(     )( p3 ))  (   )( p2 )   ( p1 )  0   p1  (   )( p3 )
(…)
(7) Algunos  -invariantes notables y otros notables no invariantes:
Veamos algunos elementos de la subálgebra de invariantes A   f  A :  ( f )  f 
(además de la unidad 1 …)
(7.1)   A . Probemos que para todo entero positivo n es  ( (n))   (n) : para n =1 es
m
v
inmediato, pues  (1)  1 y  (1)  1 ; ahora, dado n   pk pk
k 1
( n)
(donde pm es el mayor factor
40
m
v
primo de n, en el orden elegido para los primos), se tiene  (n)   pk pk1
( n)
y por lo tanto:
k 1
m
 v pk ( n )
(a)  (n)  0  v p k (n)  1, k  1, m y en ese caso es  (n)  (1) k 1
  ( (n))
(b)  (n)  0  i  1, 2,..., m : v pi (n)  2 , y en ese caso es  (n)   ( (n))
(7.2) La función constante n  1 , que indicamos 1, es otro elemento invariante, obviamente.
(Obsérvese que la invariancia de μ se puede demostrar directamente a partir de la identidad
1    1 aplicando θ, pues de 1   (  )  1  1   se deduce 1  [ (  )   ]  0 )
(7.3)   1  1  A : Se deduce inmediatamente de (7.2), aunque el resultado no parezca nada
inmediato (por lo menos para mí)
(7.4) La identidad  : N  N es claramente no invariante, de donde se deduce que tampoco
lo es la función de Euler, pues 1     .
[Seguir la lista. Utilizar el hecho de que A es subálgebra, y por lo tanto, todo polinomio en
invariantes es invariante]
(8) Una sección para θ: desplazamiento inverso:
Sea  : N  N dada por:
 (1)  1
n  p1 N   (n)  1
  v  
   pk pk ( n )    pkvk1( n)
 k 2
 k 2
Obviamente no es inyectiva y un poquito menos obviamente es sobreyectiva.
41
[No pude encontrar una relación interesante entre la función de desplazamiento y la
transformada de Dirichlet ni con las proyecciones  p ,  . Por otra parte, podría utilizarse la
función de Moebius para un sistema lineal invariante para el procesamiento de señales
aritméticas] [Otro tema habría que estudiar es comportamiento asintótico del cociente
v p ( n)

 p  k
n
   k 
 (n) k 1  pk 1 
según el ordenamiento elegido en la sucesión de los primos]
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
42
§.6. FUNCIONES ARITMÉTICAS SIMÉTRICAS
Sea N 0 el conjunto de enteros no negativos y sea S  el grupo de biyecciones (=
permutaciones)  : N 0  N 0 . 1 Para cada   S , sea N 0  k  N 0 :  (k )  k  el conjunto
de puntos fijos de α (puede ser vacío, obviamente). Denominaremos soporte de α al conjunto
sop ( )  N 0  N 0 e indicaremos con S 0 al subgrupo de S  de las permutaciones de soporte
finito.
Sea P  ( p1, p2 , p3 ,...) la sucesión de primos positivos ordenados - por ejemplo - en
forma creciente (puede ser cualquier otro orden).

v
Para cada entero positivo n   pk pk
( n)
y cada   S , sea
k 1
  v ( n)  def  v ( n )
 .n   .  pk pk    p pk1 ( k )
 k 1
 k 1
(1)
Se trata claramente de una acción a izquierda del grupo S  en el conjunto de enteros
positivos, es decir:  .( .n)  (    ).n (esta es la razón de la inversión de α en el tercer
miembro de (1)). Esta acción induce una acción (a derecha) natural del mismo grupo S  en
el conjunto de funciones f : N  C : f  (n)  f ( .n) . Claramente se trata de una acción
lineal, mientras que para la convolución tenemos
( f  g )  f   g 
(2)
Demostración:
(a)  .(nm)  ( .n)( .m) , pues
  v ( n )  v pk ( m )   v pk ( n)  v pk ( m )   v pk ( n)   v pk ( m ) 
 .(nm)   .  pk pk
   p 1 ( k )
   p 1 ( k )   p 1 ( k )   ( .n)( .m)
 k 1
 k 1
 k 1
 k 1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
Se trata del límite directo de los grupos de permutaciones S n .
43

v
(b) d n   (d )  (n) , pues d   pk pk
k 1

(d )

v
es divisor de n   pk pk
sii v p k (d )  v p k (n)
k 1

v pk ( d )
( n)
v
(n)
para todo k sii  .d   p 1 ( k ) es divisor de  .n   p pk1 ( k )
k 1
k 1
(c)
n
 n  (a)
  .n  (b)
( f   g  )(n)   f  (d ) g      f ( .n) g   .    f ( .d ) g 

d dn
 d dn
  .d 
dn

  .n 

  ( f  g )( .n)  ( f  g ) (n)
d' 
f (d ' )g 



d ' (n)
□
Por lo tanto, se tiene la subálgebra de invariantes

A S  f  A /   S  : f   f

(3)
cuyos elementos denominaremos “funciones aritméticas simétricas”, por razones evidentes.
Algunos ejemplos notables:
(1) La función (si tiene nombre no lo conozco, podría llamarse “traza p-ádica”)  : N  N 0
dada por

 ( n)   v p k ( n)
(4)
k 1
es obviamente simétrica. Obsérvese que para cada n la suma es finita, que ρ(n) = 0 sii n =1.
y que es logarítmica (o aditiva), es decir:  (nm)   (n)   (m) .
(2) La función de Liouville:  (n)  (1)  ( n ) .

(3) La función (ilustre desconocida?) V (n)  Max v p k (n) : k  N

(Esta función podría
llamarse “norma infinito”, y la (1) “norma 1”….).
(4) La función de Moebius:  (n)  V0 ( n )  (1)  ( n) V1 ( n )  V0 ( n )   (n)V1 ( n )
(5) Las constantes no son muy interesantes, pero   1 1 es una simétrica más interesante…
44
Suite 1: Ver teorema de las funciones simétricas en una cantidad numerable de variables. Por
ejemplo:  2 (n)   v p k (n)v pl (n) ,….,  h (n) 
 v pk1 (n)v p k2 (n)...v pkh (n) , …
1 k  l
1 k 1  k 2  ... k h
Suite 2: Series de Dirichlet y series de Dirichlet generalizadas de funciones simétricas
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
§7. ALGUNOS AUTOMORFISMOS
mmm♠♣♪◊δ§mbbb….
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
§8) SOBRE DERIVACIONES
LEMA 3.1: Sea l : N  C una función logarítmica (es decir: para todo par de naturales m y
n, l(mn) = l(m) +l(n); si esta identidad se verifica solamente cuando m y n son coprimos, estas
funciones se denominan aditivas). Entonces, la aplicación
l : AA tal que
l ( f )(n)  l(n) f (n)
es una C -derivación.
PREGUNTA 1: Son todas las derivaciones de esta forma? Probablemente se requiera algún
tipo de continuidad secuencial de las derivaciones.
PREGUNTA 2: ¿Son todas las funciones logarítmicas las valuaciones p-ádicas y los
logaritmos?
3.2) Diferenciales de Kahler.
(La notación para el ideal maximal en esta sección es m ; también es A en lugar de A)
Se tiene la descomposición A  m  C  1 (suma directa de subálgebras) dada por
m


y las proyecciones correspondientes son f  f  f (1 )  1 ,
f  f  f (1) 1  f (1) 1
f  f (1 )  1 . Ahora, para toda C - derivación  : A  M es   1  0 , pues
45
  1   (  1   1 )   1 .(   1 )   1 .(   1 )  2   1
(M es un A -módulo y por lo tanto
 1.x  x
.
para todo x  M ). Es decir:  queda
determinada por m .
Además:
(1)La aplicación
derivación:
D: A  m mm
tal que D ( f )  f  f (1 )  1  m  m es una C -
(La estructura de A - módulo de m / m  m es la canónica: f .( g  m  m )  f  g  m  m )
P/ Que es C -lineal es evidente. Ahora
D( f  g )  f . D ( g )  g . D ( f ) 
 f  g  ( f  g )(1)1  m  m  f . g  g (1)1  m  m  g.  f  f (1)1  m  m 
( f  g )(1)






  f  g  f (1) g (1)1  f .  g  g (1)1   g.  f  f (1)1   m  m 




f  1
g  1



  f  g  f (1) g (1)1  f  g  g (1) f  g  f  f (1) g   m  m 


  f  g  f (1) g (1)1  f (1) g  g (1) f   m  m 
m  m




  f  f (1)1    g  g (1)1   m  m  0  m  m




□
(2) Dado un A - módulo M y una C /- derivación ∂: A →M , existe un único morfismo
de A - módulos : m / m ∗m →M tal que el diagrama

A

M
D
m mm
es conmutativo.
ϕ
46
P/ la conmutatividad del diagrama equivale a la identidad ∂f  =(Df ) para toda f ∈A . Puesto
que D es claramente sobreyectiva, lo que hay que demostrar es que esta identidad define
correctamente el morfismo φ (la unicidad es consecuencia inmediata de la sobreyectividad
mencionada).
Df  Dg


f  f (1) 1  m  m  g  g (1) 1  m  m
 h  m  m : f  g  [ f (1)  g (1)] 1  h


0

f  g  [ f (1)  g (1)] 1  h
47
APÉNDICE 1: SERIES DE LAMBERT
La fórmula (2.2) permite trabajar cómodamente con las series de Lambert.
Recordemos que para cada f  A , el producto 1  f es la “transformada de Möebius” de f :
(1  f )( n)   f ( d )
d n
y se tiene la fórmula de inversión   1  f   1  f  f , es decir:
  (d )(1  f )(
n
d
)  f ( n)
dn
Utilizaremos los ejemplos (2.1). Para g = 1 la fórmula (2.2) es


f 1( z )   f (n)1( z)   f (n)
n 1
n 1
zn
1  zn
( z 1)
(3.1)
(serie de Lambert de la transformada de Möebius de f, resultado conocido desde hace ya
bastante tiempo y que hemos obtenido como caso particular de (2.2)). Utilizando la
conmutatividad del producto tenemos

 f ( n)
n 1


 n
zn
k
k

f

1
(
z
)

1

f
(
z
)

1
(
k
)
f
(
z
)

f
(
z
)

f (n) z kn



n
1 z
k 1
k 1
k 1 n 1

Pero esta identidad no es muy emocionante, pues

 z kn   ( z n )k 
k 1
k 1
zn
(siempre para
1 zn
z  1 ).
En particular, de la identidad
  (n)  n , es decir 1    id , de (3.1) obtenemos la
d n
conocida fórmula

  ( n)
n 1
Ahora, de 1     1
zn
z
 1   ( z )  id ( z ) 
n
1 z
(1  z )2
( z 1)
48

  ( n)
n 1
zn
 1   ( z )  1 ( z )  z
1 zn
( z 1)
(otra hermosura conocida). (Hacer lista de las funciones aritméticas importantes y calcular
sus series de Lambert).
En general, si
f  A(P) es inversible, eligiendo g  f  (inversa de f) en (2.2):


z  1 ( z)  ( f  f  )( z)   f (n) f  ( z n )   f  (n) f ( z n )
n 1
n 1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
APÉNDICE 2) UNA TOPOLOGÍA “ARITMÉTICA” EN N  Z  1
Para cada entero positivo n sea D(n) el conjunto de sus divisores positivos y para
cada subconjunto S  N sea
S   D(s)  n  N / s  S : n s  .
(2.1)
sS
(Obsérvese que
  y
N  N ). Entonces:
1) Para todo subconjunto S  N se verifica que S  S . (Trivial: todo entero no nulo es
divisor de sí mismo)
2) Para todo subconjunto S  N se verifica que
P/ Por (1) basta probar que S  S . Dado
m  S , existe s  S tal que
3) Para toda familia
S S.
nS , existe
m  S tal que
n m ; ahora, por ser
m s . Pero n m y m s implica ns y por lo tanto n  S □
S :   de subconjuntos de N
se verifica que
 S   S .

P/ Por (1) basta probar que
 S   S . Dado n   S

un m 
 S



, existe, por definición, al menos

tal que n m . Puesto que m S para todo    , para cada    existe al
49
menos un
s S tal que ms . Pero entonces, n m y ms implica n s y resulta que n  S
para todo    . □
4) Para toda familia
S :   de subconjuntos de N
se verifica que
 S   S .

P/ Por (1) basta probar que
 S   S . Dado n   S

un m 
S




, existe, por definición, al menos

tal que n m . Puesto que m S para algún
0  , existe al menos un

s0 S0 tal que m s . Pero entonces, n m y m s implica n s y resulta que n S para
0
algún
0
0
0
0  . □
Estas propiedades significan que el operador S  S es un operador de clausura


 : S  S es una familia de cerrados en N
topológica y por lo tanto que la familia  S  N
, con la propiedad particular de que las uniones cualesquiera (no necesariamente finitas) de
cerrados son cerrados (propiedad 4).
La condición de continuidad para los elementos f : N  C de A mediante este
operador de clausura (es decir: f (S )  f (S) ) es demasiado restrictiva si consideramos la
topología usual en C . Por ejemplo: para
S  p,
f (S)  f (S) sii  f (1), f ( p)  f ( p)   f ( p) sii
con p primo, es
S 1, p y entonces
f ( p )  f (1) . Es decir: si f es continua,

entonces es constante en 1  P . En particular, las únicas funciones multiplicativas
continuas resultan ser las constantes. Esta “violencia restrictiva” puede ser utilizada a favor
o bien atenuarla mediante una topología más gruesa en C .
Observación: Si se extiende esta topología a Z , resulta 0  Z .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
APENDICE 3: NOTAS Y OBSERVACIONES SUELTAS
(A) NOTAS Y OBSERVACIONES DE AGOSTO:

1) La fórmula obtenida en (Ex. 6),  v p ,  (vq )( z )   vq (n)
n 1
z
v p ( n)
n

( p   1) ( )
(para el
(q   1)( p   z )

caso p  q ), con las condiciones de validez z  p , Re (  )  1 , podría utilizarse para el
50
estudio de propiedades de pares de primos (v. gr. primos gemelos). [Para el estudio de ternas
de primos, no parece tener mucho sentido evaluar z  r   , con r primo y   0 , pues el
hecho de que r sea primo no es necesario en absoluto para la validez de la fórmula resultante.]
Utilizando el hecho de que

Lim1( 1)() 1se tiene


Lim1 (  1) vq (n)
z
n 1
v p ( n)
n


p 1
(q  1)( p  z )

vq ( n )
p 1
. Escribiendo  1   :


( q  1) p
n 1 n
Para z = 0:  Lim1 (  1) 
p/n

vq ( n)
p 1

1 
( q  1) p
n 1 n
Lim 0   

p/n
(seguirlo para intentar una estimación asintótica).
2) De la misma fórmula (Ex. 6) tenemos (siempre para p  q ):

 v p , (vq )( z )   v q , (v p )( z )  
n 1
vq (n) z
v p (n)
 v p (n) z
n


p  1
q  1
 ( )
  




 (q  1)( p  z ) ( p  1)(q  z ) 
vq ( n )

(7)
Sería interesante ver a esta identidad como un corchete de Lie de derivaciones (recordemos
que las valuaciones p-ádicas son logarítmicas y que las funciones logarítmicas están en
correspondencia biyectiva con las derivaciones en el álgebra de convolución aritmética). El
primer problema a resolver es el de determinar si el último miembro de (7) es l p ,q , (l ' p,q )(z)
para algunas logarítmicas l p , q , l ' p, q . Esto no parece ser nada trivial, pues ni siquiera es claro
 sean inyectivos, y en caso de serlo, ninguna
que los morfismos de álgebras l , : A  H
fórmula de inversión parecería sencilla de manejar. Para concluir: obsérvese que el primer
miembro de (7) tiene la forma del corchete de Lie de dos campos (i.e. diferencia de derivadas
direccionales), y que sea cual sea la interpretación geométrica de esta identidad, el segundo
miembro vuelve a tener a la función  en el centro de la escena…
51
(3) Una propiedad de la función de Von Mangoldt que conviene ver si se puede generalizar
es la siguiente: dada una función f : N  N completamente multiplicativa y dada su

trasnformada de Dirichlet F ( )  
n 1
f (n)
F ' ()  f (n)(n)


,
se
verifica
.
n
F () n 1
n
(4) Todas las convoluciones y combinaciones lineales de éstas tienen, obviamente, imágenes
racionales. Más precisamente: sea H el cuerpo de funciones racionales C  C ; para cada
primo positivo p y cada parámetro complejo  (fijo, con parte real mayor que 2, por
ejemplo), se tiene la subálgebra de A :

1
R p,   v p , ( H )  f  A : v p , ( f )  H

(2.3)
Obsérvese que las funciones mencionadas previamente pertenecen a la subálgebra
R 
R
p ,
(2.4)
pP
y que estas subálgebras son cerradas respecto de la inversión, pues si f es inversible y
v p , ( f )  H , entonces también v p , ( f (1) )  (v p , ( f ))1  H .
Estudiar:
- Algebraicos en A sobre estos subanillos.
- El álgebra de Lie asociada al álgebra asociativa de los R- endomorfismos de A .
- Información sobre f  R 
R
pP
su imagen racional.
- Rp,  Rq, 
- Cohomología, …
(5) El conjunto
p,
que se pueda obtener a partir de los ceros y polos de
52


Q( z )
: Q( z )  C [ z ], k , mi  N ,  i  C 
I ( p)    1
2
k
m1
m2
mk
 ( p  z ) ( p  z ) ...( p  z )

(polos en potencias de p …) es claramente un sub-anillo del cuerpo de funciones racionales,
claramente no es un ideal del mismo, y es claramente un C [z ] - módulo, claramente no es un
ideal fraccionario. La clave de todo esto es que para todo  : I ( p)  v p , ( A) : escribir
demostración: los denominadores se generan con los ejemplos 0 ut supra y los denominadores
con las transformadas del ejemplo 4, también ut supra. (La expresión “para todo  ”
requiere identificar la imagen de cada elemento con su extensión meromorfa, pues cada
imagen F ( z,  )  v p ,  ( f )(z) está definida, en general, en un semiplano dado por
Re()  0 (y un disco dado por z  p  )
Dado que las exponenciales no tienen imágenes racionales (en general) si no enteras no
polinómicas (ver ejemplo 9), otra posibilidad es estudiar anillo de meromorfas con polos en
potencias de p, es decir:


F ( z)
J ( p)    1
: F entera, k , mi  N ,  i  C 
m1
m2
mk
2
k
 ( p  z ) ( p  z ) ...( p  z )

y ver si J ( p)  v p , ( A) considerando los elementos de orden polinómico. Ver
factorizaciones de tipo Weierstrass / Mittag-Leffler.

(6) Una propiedad interesante de las sumas S k ( f , p ,  )  
n 1
p/n

 Sk ( f  g , p,  )
k0
f ( p k n)
:
n
zk
  v p ,  ( f  g )( z )   v p ,  ( f )( z ) v p ,  ( g )( z ) 
p k
 
z h  
zm   
 zk
   S h ( f , p,  ) h   S m ( g , p ,  ) m      S h ( f , p ,  ) S m ( g , p ,  )  k
p  m  0
p  k 0  h m  k
p
 h 0
Es decir, aligerando la notación:
k
Sk ( f  g )   Sm ( f ) Sk  m ( g )
m 0
53
(7) Sumas por partes:
~
Para cada f  A , para cada primo p y cada natural k, sea f p , k  A tal que
 f ( p k n) if p / n
~
f p , k ( n)  
if p / n
0
(17.1)
Entonces,

S k ( f , p,  ) 

n 1
p/n
~
 f
( n)
f ( p k n)
  p , k

n
n
n 1
.
(17.2)
Para las sumas parciales tenemos la clásica fórmula de sumas por partes:
m
S
( m)
k
( f , p,  )  
n 1
p/n
1

(m  1)
~
f ( p k n) m f p , k ( n)


n
n
n 1
m
 j ~
 1
~
1
  f p, k (n)   
f
(
n
)



p, k
( j  1)
n 1
j 1  n 1
 j
m
(17.3)



(la fórmula mencionada se aplica en la última igualdad, que puede comprobarse fácilmente).
La idea de utilizar esta fórmula es relacionar las sumas que aparecen en los desarrollos de las
transformadas de f con los órdenes medios de sus asociadas (17.1). Entonces:
54

 v p ,  ( f )( z )   f (n)
n 1

  S k ( f , p,  )
k 0
z
v p ( n)
n

zk


p k k  0



n 1
p/n
f (n)
z
 

n
p
f ( pn) z 2
 2
n
p


n 1
p/n
Lim  Sk( m ) ( f , p,  )
m
 pz


n 1
p/n
f ( p 2 n)
 ... 
n
k
k

(17.4)
k
K
 K Lim m Lim   S k( m ) ( f , p,  )
k 0
K
 1
 K Lim m Lim   

k  0  ( m  1)
z

p k
m
 1
 j ~
~
1  z k


f
(
n
)

f
(
n
)




p, k
  p , k  j  ( j  1)  p k
n 1
j 1  n 1


m
p  z
Tomemos por ejemplo f   . Como hemos visto,  v p ,  (  )( z )  
(segundo
( p  1) ( )
ejemplo de la primera sección). Entonces:
p  z

( p  1) ( )
K
 K Lim m Lim 
k 0
 1


 (m  1)
j
k
m
~ (n)   ~ (n)  1  1  z



p ,k
  p, k  j  ( j  1)  pk
n 1
j 1  n 1


m
Por otra parte, de la definición (17.1) se tiene:
0
  ( p n) if p / n  (n)
~ p , k (n)  

0
if
p
/
n

  ( n )
0
k
Por lo tanto:
if k  2  p / n
if k  0  p / n
if k  1  p / n
if p / n
(17.5)
55
p  z

( p   1) ( )
K
 1
 K Lim  m Lim   

k  0  (m  1)
k
~ ( n) z  


p, k
p k 
n 1
m
K  m
 j
 1
1  z k

K Lim m Lim    ~p,k (n)   

  k
j
(
j

1
)
p
k 0  j 1  n 1






m
m
1
1
z 

m Lim
 (n) 
(n) p  
 (m  1) 
(m  1) n1
n 1
p/n
p/n


m j




 1
 1
1  m j
1  z 

      (n)  
  
 m Lim     (n)   
j
( j  1)  j 1  n1
j
( j  1)   p  
j 1  n1



  p / n

 p/n


1
m Lim 
(m  1) 

 j


 1
1
 (n)      (n)   

( j  1)
n 1
j 1  n 1
 j
p/n
 p/n


1
m Lim 
(m  1)


 j


 1
1  p   z

 (n)      (n)   

( j  1)  p
n 1
j 1  n 1
 j

p/n
 p/n

m
m
m

 
z 
 1   

p 
 

m
de donde se deduce inmediatamente que

 1
m Lim 
(m  1)


 j


 1
1 
p



(
n
)


(
n
)





 
( j  1)   ( p   1) ( )
n 1
j 1  n 1
 j

p/n
 p/n

m
m
(17.6)
(revisar cuenta: hacerla directamente con z =1,…)(parece otro descubrimiento de la pólvora)
(7)Un par de ideas algebraicas
56
(7.a) Imágenes polinómicas
Sea Asf el conjunto de las f : N  C de soporte finito. Cada una de éstas es de la forma
sf
f   f (n) n para algún natural s f . Dado que
n m  nm , se ve claramente que Asf es
n 1
un subanillo de A .
Lema 1: Para cada primo p y cada   C , v p , ( Asf )  C [ z] :
sf
 [z] : para cada f  Asf es  v p ,  ( f )( z )   f (n)
P/ v p , ( Asf )  C
n 1


z
v p ( n)
n
. Obsérvese que el

grado de este polinomio es máx vp (n) : n  1,2,...,s f .
 [z]  v p , ( Asf ) : De la identidad  v p ,  ( p k )( z ) 
P/ C
zk
(válida para todo k  0 ) se
p k
m
 m

deduce inmediatamente que  v p ,    ck p k  p k ( z )   ck z k . □
k 0
 k 0

Observación 1: Se deduce que Asf es anillo noetheriano pero no es local, dado que si f  Asf
*1
es inversible, en general f Asf . Una posibilidad intermedia es el subanillo Aorp de los
elementos de orden polinómico, que es cerrado sobre la inversión (este hecho no es trivial y
lo demostramos hace un tiempo). También sería interesante obtener información sobre los
1
anillos Ap,    v p ,  (C [ z , z 1 ]) .
 [z] (más aún,
Observación 2: Para cada primo p y cada   C con parte real >1, v p , ()  C
es un polinomio de grado 1), aunque μ no es de soporte finito.
Observación 3: Para cada primo p y cada   C , I p ,  Kerv p , es un ideal primo en Asf
(pues {0} es ideal primo en C [z ] ) (se considera la restricción de cada v p , a Asf , sin cargar
la notación, como por ejemplo  v
p
, A
sf
). Ver algún ejemplo de I p,   0 . Recordar que
los morfismos v p , no son inyectivos (en A : ver Prop. 3.2 ut supra ejemplo de elemento
no nulo en el núcleo del morfismo no es de soporte finito). Lo que sí es cierto es que
 I
p, 
 0 .
57
(7.b) ¿Secciones?
K

¿ H 
A 
H ,
 K  IdH ?
Las consecuencias inmediatas de la existencia de una tal sección serían:
(a)
 es epi y K es mono.
(b)   K   : A  A es proyección, por lo tanto
(a)
A  Ker ( K   )  IM ( K   )  Ker (  )  IM ( K   )
donde f  IM ( K   )  K (  ( f ))  f .
v

La ecuación  ( K ( H ))  H es
 K ( H )(n)
n 1

 Sk ( p,  , K ( H ))
k 0

donde S k ( p ,  , K ( H ))  
n 1
p/n
sumas.
zp
 H ( z ) , o bien
n

zk

H
(
z
)

hk z k

p k
k 0
K ( H )( p k n )
. Tal vez ayude la propiedad convolucional de estas
n