Consideraciones sobre la Sucesión de Rowland

Consideraciones sobre la Sucesión de Rowland
Serafín Ruiz Cabello
Universidad Autónoma de Madrid
Quintas Jornadas de Teoría de Números
Sevilla, 8 de Julio de 2013
Trabajo conjunto con Fernando Chamizo y Dulcinea Raboso.
F.Chamizo, D.Raboso & S.Ruiz-Cabello. On Rowland's Sequence.
Electronic Journal of Combinatorics, 18(2) (2011).
2/23
Introducción
La Sucesión de Rowland
Generalizaciones
Primos
Conjeturas
Relaciones entre las conjeturas
Cadenas de Rowland
3/23
La Sucesión de Rowland
Denición
a1 = 7
a =a
k
k
−1
+ mcd(k , ak −1 );
k >1
Primeros términos
k
a
k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .
7 8 9 10 15 18 19 20 21 22 33 . . .
...
E.S. Rowland A natural prime-generating recurrence. J.Integer Seq.,
11(2) (2008).
4/23
La Sucesión de Rowland
Denición
a1 = 7
a =a
k
k
−1
+ mcd(k , ak −1 );
k >1
Primeros términos
k
a
a −a
k
k
k
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .
7 8 9 10 15 18 19 20 21 22 33 . . .
1 1 1 5 3 1 1 1 1 11 . . .
La sucesión dada por {a − a
k
k
−1 }k >1
tiene una curiosa propiedad:
4/23
{ak − ak −1 } =
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1,
11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .
5/23
{ak − ak −1 } =
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1,
11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . .
Todo término distinto de 1 es un número primo.
6/23
Denición
a1 = 7
a =a
k
k
−1
+ mcd(k , ak −1 );
k >1
Primeros términos
k
a
a −a
k
k
k
Teorema
a
k
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 . . .
7 8 9 10 15 18 19 20 21 22 33 . . .
1 1 1 5 3 1 1 1 1 11 . . .
(Eric S. Rowland, 2008)
− ak −1 es siempre un 1 o un número primo para todo
k > 1.
7/23
Sucesiones auxiliares
c1∗ = 5
c ∗ = c ∗−1 + mfp(c ∗−1 ) − 1, n > 1
n
n
n
;
r∗ =
n
c∗ + 1
n
2
,
n ≥ 1.
Aquí, mfp(·) es el menor factor primo de un entero dado.
8/23
Sucesiones auxiliares
c1∗ = 5
c ∗ = c ∗−1 + mfp(c ∗−1 ) − 1, n > 1
n
n
r∗ =
;
c∗ + 1
n
n
n
2
,
n ≥ 1.
Aquí, mfp(·) es el menor factor primo de un entero dado.
Con estas sucesiones damos una prueba al Teorema de Rowland:
Proposición
a
k
− ak −1 =
mfp(c ∗−1 ), si k = r ∗ para algún
1,
e.o.c.
n
n
n > 1.
8/23
Sucesiones auxiliares
c1∗ = 5
c ∗ = c ∗−1 + mfp(c ∗−1 ) − 1, n > 1
n
n
r∗ =
;
c∗ + 1
n
n
n
2
,
n ≥ 1.
Aquí, mfp(·) es el menor factor primo de un entero dado.
Con estas sucesiones damos una prueba al Teorema de Rowland:
Proposición
a
k
− ak −1 =
mfp(c ∗−1 ), si k = r ∗ para algún
1,
e.o.c.
n
n
n > 1.
También probamos:
Proposición
{ak − ak −1 }k >1 contiene innitos primos.
8/23
La Sucesión de Rowland generalizada
¾Qué ocurrirá al cambiar
a1 = 7 por cualquier otro entero a1 ≥ 1?
Denición
a1 ∈ Z+
a = a −1 + mcd(k , a
k
k
k
−1 );
k >1
9/23
La Sucesión de Rowland generalizada
¾Qué ocurrirá al cambiar
a1 = 7 por cualquier otro entero a1 ≥ 1?
Denición
a1 ∈ Z+ , a1 impar, a1 > 3
a = a −1 + mcd(k , a −1 ); k > 1
k
k
k
Podemos descartar valores pares de a1 , ya que a1 = 2A y
a1 = 2A + 1 conducen al mismo a2 .
Los valores a1 = 1 y a1 = 3 producen a = k y a = k + 2,
respectivamente.
k
k
9/23
La Sucesión de Rowland generalizada
¾Qué ocurrirá al cambiar
a1 = 7 por cualquier otro entero a1 ≥ 1?
Denición
a1 ∈ Z+ , a1 impar, a1 > 3
a = a −1 + mcd(k , a −1 ); k > 1
k
k
k
Podemos descartar valores pares de a1 , ya que a1 = 2A y
a1 = 2A + 1 conducen al mismo a2 .
Los valores a1 = 1 y a1 = 3 producen a = k y a = k + 2,
respectivamente.
En estas condiciones a − a −1 ya no siempre será un primo.
Por ejemplo, si a1 = 533, entonces a18 − a17 = 9.
k
k
k
k
9/23
De forma análoga, introducimos dos sucesiones auxiliares:
r1 = 1
r +1 = mín{k > r : (k , c ) 6= 1}, n ≥ 1
c1 = a1 − 2
c +1 = c + mcd(c , r +1 ) − 1, n ≥ 1
n
n
n
n
n
n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r 1 3 5 6 41 42 83 84 167 168
c 33 35 39 41 81 83 165 167 333 335
n
n
...
...
...
10/23
De forma análoga, introducimos dos sucesiones auxiliares:
r1 = 1
r +1 = mín{k > r : (k , c ) 6= 1}, n ≥ 1
c1 = a1 − 2
c +1 = c + mcd(c , r +1 ) − 1, n ≥ 1
n
n
n
n
n
n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r 1 3 5 6 41 42 83 84 167 168
c 33 35 39 41 81 83 165 167 333 335
n
n
...
...
...
Proposición
a
− ak −1 =
k
k
a
k
mcd(c
1,
n
−1 ,
r
n
), si
k = r para algún n > 1.
e.o.c.
1 2 3 4 5 6 7
35 36 39 40 45 48 49
n
...
...
40 41
82 123
...
...
10/23
Conjeturas
Aunque existen contraejemplos en los que a − a −1 no es primo,
son muy poco frecuentes. Los cálculos sugieren la siguiente
k
k
Conjetura (A)
Para cada Sucesión de Rowland generalizada, existe K ≥ 1 tal que
a − a −1 es 1 o un número primo para todo k > K .
k
k
11/23
Conjeturas
Aunque existen contraejemplos en los que a − a −1 no es primo,
son muy poco frecuentes. Los cálculos sugieren la siguiente
k
k
Conjetura (A)
Para cada Sucesión de Rowland generalizada, existe K ≥ 1 tal que
a − a −1 es 1 o un número primo para todo k > K .
k
k
Es equivalente probar que mcd(c
n
−1 ,
r ) es primo para todo n > N .
n
Proposición
Para todo a1 > 3 impar se cumple r ≤ (c + 1)/2 para cada
n > 1. De hecho, la igualdad se alcanza si y sólo si mcd(c −1 , r ) es
un primo p y p br −1 /p c = (c −1 − p )/2.
n
n
n
n
n
n
11/23
Fijado a1 , basta con que se cumpla alguna de estas condiciones
para que la Conjetura (A) sea cierta:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
1
5
7
10 12 131 132 263 264 272
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
12/23
Fijado a1 , basta con que se cumpla alguna de estas condiciones
para que la Conjetura (A) sea cierta:
Que exista n tal que 2r + 1 = c .
En particular, esto implica 2r + 1 = c para j ≥ n.
n
n
j
j
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
1
5
7
10 12 131 132 263 264 272
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
13/23
Fijado a1 , basta con que se cumpla alguna de estas condiciones
para que la Conjetura (A) sea cierta:
Que exista n tal que 2r + 1 = c .
En particular, esto implica 2r + 1 = c para j ≥ n.
Que exista m tal que c sea primo.
Esto implica 2r +1 + 1 = c +1 .
n
n
j
j
m
m
m
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
1
5
7
10 12 131 132 263 264 272
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
14/23
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r 1 5 6 11 12 23 24 47 48 50
c 5 9 11 21 23 45 47 93 95 99
n
n
...
...
...
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r 1 3 5 6 41 42 83 84 167 168
c 33 35 39 41 81 83 165 167 333 335
n
n
...
...
...
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
r
1
7
11 17 18 20 21 29 30 35 587
c 511 517 527 543 545 549 551 579 581 587 1173
n
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
1
5
7
10 12 131 132 263 264 272
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
15/23
Los cálculos sugieren que estos dos hechos ocurren siempre y,
además, de forma consecutiva. Dado a1 > 3 impar, denimos
(considerando ínf ∅ := ∞):
n0
m0
= ínf{n ∈ Z+ : cn = 2rn − 1},
= ínf{m ∈ Z+ : cm es primo}.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
7
10 12 131 132 263 264 272
r
1
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
16/23
Los cálculos sugieren que estos dos hechos ocurren siempre y,
además, de forma consecutiva. Dado a1 > 3 impar, denimos
(considerando ínf ∅ := ∞):
n0
m0
= ínf{n ∈ Z+ : cn = 2rn − 1},
= ínf{m ∈ Z+ : cm es primo}.
Conjetura (B)
(i) n0 < ∞,
(ii) m0 < ∞,
(iii) n0 = m0 + 1 < ∞
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
7
10 12 131 132 263 264 272
r
1
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
16/23
Relaciones entre las conjeturas
Proposición
Si se cumple (i), (ii) o (iii), la Conjetura (A) es cierta, y además
{a − a −1 } ≥1 contiente innitos primos.
k
k
k
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
1
5
7
10 12 131 132 263 264 272
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
17/23
Relaciones entre las conjeturas
Proposición
Si se cumple (i), (ii) o (iii), la Conjetura (A) es cierta, y además
{a − a −1 } ≥1 contiente innitos primos.
k
k
k
Proposición
Si se cumple (i) y mcd(c
n0
−1 ,
r
n0
) > rn0 −1 , entonces (iii) es cierto.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
1
5
7
10 12 131 132 263 264 272
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
17/23
Relaciones entre las conjeturas
Proposición
Si se cumple (i), (ii) o (iii), la Conjetura (A) es cierta, y además
{a − a −1 } ≥1 contiente innitos primos.
k
k
k
Proposición
Si se cumple (i) y mcd(c
n0
−1 ,
r
n0
) > rn0 −1 , entonces (iii) es cierto.
Proposición
Si se cumple (i) y además (2 + 1/2500)r < c + 1 para
entonces también se cumple (iii).
n
n
n < n0 ,
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
r
1
5
7
10 12 131 132 263 264 272
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
17/23
Tamaño de m0
Fijado un a1 , normalmente m0 es pequeño en comparación con él.
Por ejemplo, para a1 = 117, m0 = 5:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
7
10 12 131 132 263 264 272
r
1
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
n
n
...
...
...
18/23
Tamaño de m0
Fijado un a1 , normalmente m0 es pequeño en comparación con él.
Por ejemplo, para a1 = 117, m0 = 5:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
7
10 12 131 132 263 264 272
r
1
c 115 119 125 129 131 261 263 525 527 543
Pero siempre podemos encontrar ejemplo en los que m0 sea
n
n
...
...
...
arbitrariamente grande:
Proposición
Dado
N , existe a1 > 3 tal que m0 > N .
Dado cualquier a1 con m0 < ∞; basta tomar
Puede probarse que m00 > m0 .
a10 = a1 + c
m0
!.
18/23
Cadenas de Rowland
Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en
{a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7,
k
k
19/23
Cadenas de Rowland
Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en
{a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7, {a − a −1 } =
1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1,
1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, . . .
k
k
k
k
19/23
Cadenas de Rowland
Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en
{a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7, {a − a −1 } =
1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1,
1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, . . .
Quitando los unos, queda una lista de primos:
5, 3, 11, 3, 23, 3, 47, 3, 5, 3, 101, 3, 7, 11, 3, 13, 233, 3.
Esta lista es una Cadena de Rowland.
k
k
k
k
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Cadenas de Rowland
Nos interesa estudiar subsucesiones de primos que aparezcan en
{a − a −1 }. Por ejemplo, tomando a1 = 7, {a − a −1 } =
1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 47, 3, 1, 5, 3, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 101, 3, 1, 1, 7, 1, 1, 1,
1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 233, 3, 1, 1, 1, 1, . . .
k
k
k
k
En general, una Cadena de Rowland es cualquier subsucesión de
primos concatenados dentro de {a − a −1 } ≥ 0 , para a1 > 3.
k
k
k
n
20/23
= {p1 , p2 , . . . , pk }, denimos la suma parcial
X
S (n) = (pj − 1), S (1) = 0.
Para cada cadena
C
k
j
<n
21/23
= {p1 , p2 , . . . , pk }, denimos la suma parcial
X
S (n) = (pj − 1), S (1) = 0.
Para cada cadena
C
k
j
<n
Las cadenas de Rowland admiten la siguiente caracterización:
Proposición
C es una cadena de Rowland si y sólo si verica:
S (m) ≡ S (n) mód p , para p = p .
S (m) 6≡ S (n) mód p , para p < p .
Para cada primo q , el conjunto {S (j ) mód q : p
contiene todos los residuos módulo q .
k
n
n
m
n
n
m
j
> q } no
21/23
= {p1 , p2 , . . . , pk }, denimos la suma parcial
X
S (n) = (pj − 1), S (1) = 0.
Para cada cadena
C
k
j
<n
Las cadenas de Rowland admiten la siguiente caracterización:
Proposición
C es una cadena de Rowland si y sólo si verica:
S (m) ≡ S (n) mód p , para p = p .
S (m) 6≡ S (n) mód p , para p < p .
Para cada primo q , el conjunto {S (j ) mód q : p
contiene todos los residuos módulo q .
k
n
n
m
n
n
m
j
> q } no
Hay muchas restricciones. Por ejemplo, {11, 5, p } nunca es una
cadena de Rowland para ningún p > 3.
21/23
Corolario
C2
k
= {p1 , p2 , . . . , pk , p1 , p2 , . . . , pk } nunca es una cadena de
p1 , p2 , . . . , pk son primos distintos.
Rowland si
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Corolario
C2
k
= {p1 , p2 , . . . , pk , p1 , p2 , . . . , pk } nunca es una cadena de
p1 , p2 , . . . , pk son primos distintos.
Rowland si
Por otro lado, pueden encontrarse cadenas largas con repeticiones
no consecutivas. Por ejemplo
C27
= {3, 5, 3, 23, 3, 5, 3, 653, 3, 5, 3, 23, 3, 5, 3, 3603833,
3, 5, 3, 23, 3, 5, 3, 653, 3, 5, 3}
tiene 27 elementos con sólo 5 primos. Corresponde a
a1 = 1550303031682205.
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