Problema 1 a) Primero debemos obtener los signos de x% )x

Problema 1
a) Primero debemos obtener los signos de x2
9x + 20
2
Sabemos que x
9x + 20 = (x 5)(x 4)
Resolviendo la desigualdad (x 5)(x 4) > 0, se tiene que la solución es
] 1; 4[[]5; 1[
y por lo tanto, (x 5)(x 4) < 0 tiene solución ]4; 5[
tabla de signos
x 5
x 4
(x 5)(x
( 1; 4)
(4; 5)
+
4)
+
(5; +1)
+
+
+
De esta manera podemos reescribir f (x) como
8
< 2x2 14x + 20; x 2] 1; 4] [ [5; +1[;
4x 20;
x 2]4; 5[;
f (x) :=
:
b) El grá…co de f (x)
y
20
15
10
5
-3
-2
-1
1
2
-5
1
3
4
5
6
7
x
c) La función es creciente para x 2 [ 27 ; +1[
decreciente para x 2] 1; 27 [
Los ceros de la función en x = 2 y x = 5
Problema 2
a) Dominio
Domf = fx 2 R=4 + 2x 6= 0g
Domf = R f 2g
Recorrido
Para determinar el recorrido de la función, primero despejamos x de la
relación
y=
5+x
4+2x
obteniendo
x=
5 4y
2y 1
siempre que 2y
1 6= 0
Entonces el recorrido es el conjunto Recf = R
b) Encuentre el conjunto A = fx 2 Dom(f )=f (x)
f 12 g
1g
Para determinar el conjunto A, se debe resolver la desigualdad
5+x
4+2x
1
La solución es ] 2; 1[
El conjunto es A =] 2; 1[
c) Sea B = [0; 1[. Encuentre el conjunto f (B).
Dado que f (B)
Recf , usamos que x =
5 4y
2y 1
0
La solución es ] 21 ; 54 [
2
5 4y
2y 1 ,
para resolver
Problema 3
a) En el triángulo tenemos que = 150o
.
Sea x=AC, y=CB Por Teorema del Seno tenemos:
sin(150o
8
x=
)
4
sin(150o
=
sin(30o )
x
)
De la misma manera tenemos
sin( )
y
o
)
= sin(30
x
reemplazando x del resultado anterior y despejamos y
y=
8 sin( )
sin(150o
)
b) Como la base es el trazo AB entonces para calcular la altura H del triangulo se considera el triangulo retangulo que tiene al angulo = 30o . Asi
8 sin( )
se obtiene que sin (30o ) = H
y . Reemplazando y = sin(150o
)
Se tiene H =
4 sin( )
sin(150o
)
El area del triangulo es
16 sin( )
sin(150o
)
3
Problema 4
Solución
Con lo datos entregados, se puede expresar el angulo que sale en la …gura
como
d sin( )
Y asi, obtener el valor de x = sin(
) correspondiente a la ipotenusa del
triangulo rectangulo con el angulo y se tiene cos ( ) = xs y reeplazando x
) cos( )
tenemos que s = d sin(
sin(
)
Problema 5
cos (3 )= cos (2 + )
= cos (2 )cos ( )
sin (2 ) sin ( )
= cos2 ( ) sin2 ( ) cos ( ) 2 sin2 ( ) cos ( )
= cos3 ( ) sin2 ( ) cos ( ) 2 sin2 ( ) cos ( )
= cos3 ( )
3 sin2 ( ) cos ( )
= cos3 ( )
3 1
= 4 cos3 ( )
cos2 ( ) cos ( )
3 cos ( )
Problema 6
a)
sin
1+cos
sin
1+cos
+
+
1+cos
sin
sin2 +(1+cos )2
(1+cos ) sin
+1+2 cos +cos2
(1+cos ) sin
2+2 cos
(1+cos ) sin
2
sin
1+cos
sin
sin2
=
=
=
= 2 cot sec
=
4
= cos2 cossin
cos
1
= 2sin
cos
= 2 cot sec
b)
2 sin2
sin 2
+ cot
2 sin2
sin 2
2
2 sin
= 2 sin
cos +
sin
= cos + cos
sin
2
2
= sinsin +cos
cos
= sin 1cos
= sin1 cos1
= tan
+ cot
c) 2 tan2 sin2sin 2
2 tan
sin 2
2 sin2
= sec csc
=
sin
2 cos
sin
=
=
=
=
d) tan2
tan2
sin2
sin2
2 sin
2 sin2
sin
cos
sin2
cos
sin
cos
cos2
sin cos2
cos sin2
sin (1 cos2 )
cos sin2
sin
cos
sin
= tan2
sin2
2
sin
= cos
sin2
2
2
2
cos
sin2
= sin cos
2
sin2 (1 cos2 )
=
cos2
2
2
= sin cos2sin
sin2
= cos
sin2
2
5