CAPÍTULO 7: INFERENCIA PARA PROPORCIONES Y MEDIAS

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CAPÍTULO 7: INFERENCIA PARA PROPORCIONES Y MEDIAS
En este capítulo entraremos al final del ciclo del método científico, usando la información de la
muestra para generalizar y llegar a conclusiones acerca de la población de interés.
Recordemos algunas definiciones:
Parámetro es una medida de resumen numérica que se calcularía usando todas las
unidades de la población. Es un número fijo. Generalmente no lo conocemos.
Estadística es una medida de resumen numérica que se calcula de las unidades de la
muestra. El valor de la estadística se conoce cuando tomamos una muestra, pero varia de
muestra en muestra variación muestral.
Inferencia estadística: es el proceso de sacar conclusiones acerca de la población basados
en la información de una muestra de esa población.
Objetivos de la inferencia: estimación de parámetros, intervalos de confianza y docimasia,
prueba o test de hipótesis (o prueba de significación estadística).
La estimación de parámetros consiste en el cálculo de estadísticas en muestras, con el fin
de obtener información sobre el valor de los parámetros de la población. Esta inducción se
basa en la teoría de probabilidades y sólo es posible cuando se conoce la conducta o
"distribución muestral" de las estadísticas.
La docimasia de hipótesis consiste en conocer la probabilidad de ocurrencia, bajo la
hipótesis nula, del resultado obtenido en la investigación, basándose en la distribución
muestral de la estadística utilizada para medir tal resultado.
Inferencia Simple para Proporciones
Tomando decisiones acerca de la proporción de una población
Primero revisemos el caso donde lo que nos interesa es investigar sobre una proporción de
una población.
Ejemplo
Embarazo adolescente
En el año 2000, el 16% de las embarazadas era en adolescentes menores de 20 años de
edad, ¿Habrá aumentado esta cifra?
Escriba las hipótesis nula y alternativa que usaría para probar la aseveración anterior. Las
hipótesis deben ser expresadas en términos del parámetro P, la proporción de interés en la
población.
Hipótesis:
H0 :
versus
H1 :
Acá, nuestro parámetro de interés es el porcentaje de embarazadas que son adolescentes
menores de 20 años, es decir, P=0.16.
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Para resolver, se considera una muestra de 704 partos ocurridos en el Hospital de Talca,
donde 132 de ellos corresponden a embarazadas que son Adolescentes menores de 20 años
de edad.
Con la información anterior, es posible determinar el porcentaje observado en la muestra de
los embarazos que corresponden a Adolescentes menores de 20 años de edad, siendo
132
ˆ=
p
= 0,1875 .
704
Para la obtención del valor-p, se requiere conocer la distribución probabilística de la
proporción muestral p̂ :
Distribución muestral de p̂ , la proporción muestral
Si P representa la proporción de elementos en una población con alguna característica.
Tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n de esa población y si n es
“suficientemente” grande (cuando nP ≥ 5 y n(1 − P ) ≥ 5 ) , entonces la distribución de la
proporción muestral p̂ es aproximadamente normal:

ˆ~
& N P ,
p


P(1 - P ) 
entonces la proporción muestral estandarizada es:

n

Z=
ˆ- P
p
P (1 − P )
n
& N(0, 1)
~
Test Z para una proporción en la población
• Al docimar una hipótesis acerca del parámetro en la población P, la hipótesis nula es
H0 : P = p0 , donde p0 es un valor hipotético de P.
• Supuestos: Se recomienda usar este test cuando los datos provienen de una muestra
aleatoria de tamaño n, donde n satisface que np 0 y n(1 − p0 ) es mayor o igual a 5.
• Nuestra decisión acerca del parámetro P estará basada en el valor de la proporción
muestral estandarizada, la cual es:
Z obs =
ˆ − p0
p
p0 (1 − p0 )
n
• Este “score” o puntaje z es el test estadístico, y su distribución bajo H0 es
aproximadamente N(0,1) . Notar que el test estadístico no depende de la hipótesis
alternativa.
• Calculamos el valor-p del test, el cual depende de la dirección de la hipótesis alternativa:
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Test Unilateral, cola
superior
Test Unilateral, cola
inferior
Si H1 : P > p0 , entonces el
valor-p es P(Z > z obs ) es el
Si H1 : P < p0 , entonces el
valor-p es P(Z < z obs ) es el
área a la derecha del test
estadístico observado bajo
H0 .
área a la izquierda del test
estadístico observado bajo
H0 .
Test Bilateral
Si
H1 : P ≠ p0 , entonces el
valor-p
es
2P(Z > z obs ) el
área afuera de las dos colas
del test estadístico observado
bajo H0 .
N(0,1)
N(0,1)
N(0,1)
p-value
2
p-value
Z OBS
p-value
2
p-value
-ZOBS
Z
Z
+ZOBS
Z
Z OBS
• Decisión: Si el valor-p es menor o igual al nivel de significación rechazamos H 0 .
En nuestro ejemplo:
Hipótesis:
H0 : P = 0,16
H1 : P > 0,16
El Test Estadístico Observado está dado por:
Z obs =
ˆ − p0
p
p0 (1 − p0 )
n
=
0,1875 − 0,16
0,16 ( 1 − 0,16 )
704
= 1,99
La dirección del extremo es hacia el lado derecho, luego el valor-p:
Valor − p = P [ Z > 1,99 ] = 1 − P [ Z ≤ 1,99 ] = 1 − 0,9767 = 0,0233
Decisión:
El valor-p resultó ser del 2,33%, cuyo valor es menor al nivel de significación del 5%,
luego, existe evidencia para rechazar la H0 .
Conclusión:
Por lo anterior, se concluye que ha aumentado el porcentaje de embarazadas que son
Adolescentes menores de 20 años de edad.
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Inferencia Simple para Medias
Tomando decisiones acerca de la media de una población
Ahora veremos el caso donde lo que nos interesa es investigar sobre la media de una
población.
Ejemplo
Monóxido de Carbono
La
Comisión
Federal
de
Comercio
(Federal
Trade
Commission
http://www.ftc.gov/bcp/menu-tobac.htm) de Estados Unidos clasifica anualmente las
variedades de cigarrillos según su contenido de alquitrán, nicotina y monóxido de carbono.
Se sabe que estas tres sustancias son peligrosas para la salud de los fumadores. Estudios
anteriores han revelado que los incrementos en el contenido de alquitrán y nicotina de un
cigarrillo van acompañados por un incremento en el monóxido de carbono emitido en el
humo de cigarrillo.
Sea µ = media de monóxido de carbono en la población de todos los paquetes de cigarrillos.
En el pasado esa media ha sido 15 mg, con una desviación estándar de 4,8 mg y
queremos saber si la media actual µ es menor que la media antigua de 15 mg.
Escriba las hipótesis nula y alternativa que usaría para probar la aseveración anterior. Las
hipótesis deben ser expresadas en términos del parámetro µ, la media de la población de
interés.
Hipótesis:
H0 :
versus
H1 :
Acá, nuestro parámetro de interés es la media de monóxido de carbono en la población de
todos los paquetes de cigarrillos.
Para resolver, se requiere una muestra, la cual se describe a continuación:
La base de datos contiene los datos sobre monóxido de carbono (en miligramos) en una
muestra de 25 marcas de cigarrillos (con filtro).
MARCA
Alpine
Benson & Hedges
Bull Dirham
Camel Lights
Carlton
Chesterfield
Golden Lights
Kent
Kool
L&M
Lark Lights
Marlboro
Merit
CO
13,6
16,6
23,5
10,2
5,4
15,0
9,0
12,3
16,3
15,4
13,0
14,4
10,0
MARCA
Multifilter
Newport Lights
Now
Old Gold
Pall Mall Lights
Raleigh
Salem Ultra
Tareyton
True
Viceroy Rich Lights
Virginia Slims
Winston Lights
CO
10,2
9,5
1,5
18,5
12,6
17,5
4,9
15,9
8,5
10,6
13,9
14,9
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40%
Porcentaje
30%
20%
10%
0
5
10
15
20
25
Monóxido de Carbono (mg)
Estadísticos descriptivos
N
CO
N válido (según lista)
Media
12.528
25
25
Desv.
típ.
4.7397
Según la información proporcionada, se tiene:
n = 25
x = 12,528
s = 4,7397
Para la obtención del valor-p, se requiere conocer la distribución probabilística del promedio
muestral x :
Distribución muestral del x , el promedio muestral
Si tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población con media
desviación estándar σ, donde σ es conocida, y ...
µ y
...si la población original distribuye normal,

σ 

x ~ N  µ,

n

Z=
x −µ
σ
~ N (0,1)
n
...si la población original no es necesariamente normal, pero el tamaño muestral es
suficientemente grande,
x −µ

σ 
Z=
es aprox. N (0,1) .
x es aprox. N  µ,
(TCL)

σ
n

n
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Test Z para la media de una población con σ conocida
•
Al docimar una hipótesis acerca de la media poblacional
µ, la hipótesis nula es
H0 : µ = µ0 , donde µ0 es un valor hipotético de µ.
•
Asumimos que los datos provienen de una muestra aleatoria de tamaño n, de una
población con distribución Normal con desviación estándar σ conocida. El supuesto de
normalidad no es crucial si el tamaño de la muestra es grande.
•
Nuestra decisión acerca de
estandarizada
µ estará basada en
el valor de la media muestral
x , la cual es:
Z obs =
x − µ0
σ
n
•
Este “score” o puntaje z es el test estadístico y su distribución bajo H 0 es
aproximadamente N ( 0,1) . Notar que el test estadístico no depende de la hipótesis
alternativa
•
Calculamos el valor-p del test, el cual depende de la dirección de la hipótesis
alternativa:
Test Unilateral, cola
superior
Test Unilateral, cola
inferior
Si H1 : µ > µ 0 , entonces el
Si H1 : µ < µ 0 , entonces el
valor-p es P(Z > z obs ) es el
valor-p es P(Z < z obs ) es el
área a la derecha del test
estadístico observado bajo
H0 .
área a la izquierda del test
estadístico observado bajo
H0 .
Test Bilateral
Si
H1 : µ ≠ µ 0 , entonces el
valor-p
es
2P(Z > z obs ) el
área afuera de las dos colas
del test estadístico observado
bajo H0 .
N(0,1)
N(0,1)
N(0,1)
p-value
2
p-value
Z OBS
•
p-value
2
p-value
Z
Z
-ZOBS
+ZOBS
Z OBS
Decisión: Si el valor-p es menor o igual al nivel de significación se rechaza H0 .
En nuestro ejemplo:
Hipótesis:
H0 : µ = 15
H1 : µ < 15
Z
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El Test Estadístico Observado está dado por:
Z obs =
x − µ0
σ
=
n
12,528 − 15
= − 2,58
4,8
25
La dirección del extremo es hacia el lado izquierdo, luego el valor-p:
Valor − p = P [ Z < − 2,58 ] = 0,0049
Decisión:
El valor-p resultó ser el 0,49%, cuyo valor es menor al nivel de significación del 5%, luego,
existe evidencia para rechazar la H 0 .
Conclusión:
Por lo anterior, se concluye que la media actual de monóxido de carbono en la población de
todos los paquetes de cigarrillos es inferior a 15 mg.
¿Qué ocurre si
σ es desconocida?
El cálculo del error estándar del promedio muestral incluye a σ, pero casi nunca vamos a
conocer la variabilidad en la población en estudio. Cuando se desconoce el σ del universo, el
error estándar del promedio debe calcularse a partir de la desviación estándar de la
muestra:
sx =
s
n
En este caso ya no es lícito trabajar con la distribución normal y la variable normal estándar,
z=
x −µ
σx
=
x−µ
σ n
sino que se trabajará con la variable t de Student:
t=
x −µ x−µ
=
sx
s n
Esta variable t sigue una distribución t de Student con (n-1) grados de libertad.
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Propiedades de la distribución t de Student
N(0,1)
t(15)
t(3)
•
Los valores de t dependen del número de grados de libertad, los que se determinan a partir
del número usado en el denominador para el cálculo de la desviación estándar (s) es decir
(n-1).
•
La función de densidad de la distribución t de Student tiene forma de campana
simétrica, similar a la distribución normal N(0,1).
•
Es un poco más “chata” y tiene “colas más pesadas” que la N(0,1).
•
Cuando el tamaño de la muestra aumenta, la distribución t de Student se aproxima a la
N(0,1).
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t(df)
Area =α
0
tα
Tabla: Percentiles de la distribución t de Student
gl
1
2
3
4
5
t 0.60
0.325
0.289
0.277
0.271
0.267
t 0.70
0.727
0.617
0.584
0.569
0.559
t 0.80
1.376
1.061
0.978
0.941
0.920
t 0.90
3.078
1.885
1.638
1.533
1.476
t 0.95
6.314
2.920
2.353
2.132
2.015
t 0.975
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
t 0.99
31.821
6.965
4.541
3.747
3.365
t 0.995
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
6
7
8
9
10
0.265
0.263
0.262
0.261
0.260
0.553
0.549
0.546
0.543
0.542
0.906
0.896
0.889
0.883
0.879
1.440
1.415
1.397
1.383
1.372
1.943
1.895
1.860
1.833
1.812
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
3.143
2.998
2.896
2.821
2.764
3.657
3.925
3.841
3.604
3.169
11
12
13
14
15
0.260
0.259
0.259
0.258
0.258
0.540
0.539
0.538
0.537
0.536
0.876
0.873
0.870
0.868
0.866
1.363
1.356
1.350
1.345
1.341
1.796
1.782
1.771
1.761
1.753
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.718
2.681
2.650
2.624
2.602
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
16
17
18
19
20
0.258
0.257
0.257
0.257
0.257
0.535
0.534
0.534
0.533
0.533
0.865
0.863
0.862
0.861
0.860
1.337
1.333
1.330
1.328
1.325
1.746
1.740
1.734
1.729
1.725
2.120
2.110
2.101
2.093
2.086
2.583
2.567
2.552
2.539
2.528
2.921
2.898
2.878
2.861
2.845
21
22
23
24
25
0.257
0.256
0.256
0.256
0.256
0.532
0.532
0.532
0.531
0.531
0.859
0.858
0.858
0.857
0.856
1.323
1.321
1.319
1.318
1.316
1.721
1.717
1.714
1.711
1.708
2.080
2.074
2.069
2.064
2.060
2.518
2.508
2.500
2.492
2.485
2.831
2.819
2.807
2.797
2.787
26
27
28
29
30
0.256
0.256
0.256
0.256
0.256
0.531
0.531
0.530
0.530
0.530
0.856
0.855
0.855
0.854
0.854
1.315
1.314
1.313
1.311
1.310
1.706
1.703
1.701
1.699
1.697
2.056
2.052
2.048
2.045
2.042
2.479
2.473
2.467
2.462
2.457
2.779
2.771
2.763
2.756
2.750
40
60
120
0.255
0.254
0.254
0.253
- t 0.40
0.529
0.527
0.526
0.524
- t 0.30
0.851
0.848
0.845
0.842
- t 0.20
1.303
1.296
1.289
1.282
- t 0.10
1.684
1.671
1.658
1.645
- t 0.05
2.021
2.000
1.980
1.960
- t 0.025
2.423
2.390
2.358
2.326
- t 0.01
2.704
2.660
2.617
2.576
- t 0.005
∞
gl
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Ejemplo
Uso de la Tabla t.
a) Encuentre el percentil 99 de la distribución t con 4 gl: t.99(4):
b) Encuentre el percentil 10 de la distribución t con 30 gl: t.10(30):
c) Encuentre el percentil 95 de la distribución t con
∝ gl:
Se observa, por ejemplo, que el percentil 97,5 que en la curva normal corresponde a un valor
de
z = 1,96, en la distribución de t para 24 grados de libertad corresponde a un t de 2,064.
Para n infinito la distribución t de Student es igual a la normal, pero en la práctica cuando el
número de observaciones es superior a 30, los valores de z y t ya son tan parecidos que se
puede utilizar como aproximación, la distribución normal.
Test t simple para la media de una población con
•
σ desconocida.
Estamos interesados en docimar la hipótesis acerca de la media de una población
µ. La hipótesis nula es H0 : µ = µ 0 donde µ0 es un valor hipotético para µ. La
hipótesis alternativa da la dirección del test.
•
Se asume que los datos provienen de una muestra aleatoria de tamaño n de una
El
población con distribución Normal con desviación estándar σ desconocida.
supuesto de normalidad no es crucial si el tamaño de la muestra es grande.
•
Nuestra decisión acerca de
estandarizada x , el cual es
µ,
será en base al valor del promedio muestral
t obs =
x − µ0
.
s
n
Este es el test estadístico y su distribución bajo H0 , es una distribución t con n-1 grados
de libertad.
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•
El valor-p del test, depende de la hipótesis alternativa:
Test Unilateral, cola
superior
Test Unilateral, cola
inferior
Si H1 : µ > µ 0 , entonces el
valor-p es P(t > t obs ) es el
Si H1 : µ < µ 0 , entonces el
valor-p es P(t < t obs ) es el
área a la derecha del test
estadístico observado bajo
H0 .
área a la izquierda del test
estadístico observado bajo
H0 .
Test Bilateral
Si
H1 : µ ≠ µ 0 , entonces el
valor-p es 2P(t > t obs ) el área
afuera de las dos colas del
test estadístico observado
bajo H0 .
t(n-1)
t(n-1)
t(n-1)
p-value
2
p-value
2
p-value
p-value
TOBS
TOBS T
•
T
-TOBS
+TOBS
T
Decisión: Si el valor-p es menor que el nivel de significancia entonces rechazamos H0 .
Revisión de supuestos del test:
Este test de hipótesis asume que los datos provienen de una muestra aleatoria de tamaño n
de una población con distribución Normal con desviación estándar desconocida. El supuesto
de normalidad no es crucial si el tamaño de la muestra es grande (n > 30). Sin embargo es
importante primero describir los datos y verificar presencia de sesgos y valores extremos
que pudieran hacer pensar que la distribución de la población no es Normal.
Ejemplo
Datos del mar Laengelmavesi, Finlandia*
Se tiene una muestra de peces que fueron pescados en el mar Laengelmavesi de Finlandia
(http://www.amstat.org/publications/jse/datasets/fishcatch.txt). Se está investigando el
peso de los peces en kilos. Se quiere docimar la hipótesis de que el peso es menor que 16
kilos.
µ = peso medio de los “percas” (perch) en la población en kilos.
Estadísticos para una muestra
N
peso
56
Media
15.839
Desviación
típ.
1.3618
Error típ. de
la media
.1820
*Fuente: Brofeldt, Pekka: Bidrag till kennedom on fiskbestondet i vaera sjoear. Laengelmavesi. T.H.Jaervi: Finlands
Fiskeriet Band 4, Meddelanden utgivna av fiskerifoereningen i Finland. Helsingfors 1917
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Test estadístico observado:
t obs =
x − µ0
15,839 − 16
=
= −0,885
s
1,3618
n
56
-0,885 nos dice que la media muestral esta a 0,885 errores estándar debajo de la media
hipotética de 16.
Usando la Tabla t: Ya que el test t observado de -0,885 cae entre el percentil 10 y el 20,
en la distribución t con 40 grados de libertad, el valor-p estará entre 0,10 y 0,20.
0,10 < valor − p < 0,20
t(55)
t(40)
Valor-p
-1.303
t
0.10
T
-0.885
-0.851 0
OBS
t
0.20
En SPSS
Comparar Medias > Prueba T para una muestra > Valor de Prueba (16).
Prueba para una muestra
Valor de prueba = 16
peso
t
-.883
gl
55
Sig. (bilateral)
.381
Diferencia
de medias
-.1607
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Inferior
Superior
-.525
.204
t=-0,883 y 55 grados de libertad, para el test unilateral de cola inferior se obtiene un
valor-p de 0,1905 (0,381/2).
Por lo tanto con un nivel de significancia del 5% no podemos rechazar H0 . Así, parece que
el peso medio de las “percas” en este mar, no es significativamente menor que 16 kilos.
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En resumen, podemos notar que los pasos en una prueba de hipótesis se repiten, lo que
cambia es el parámetro de interés:
1.
Establecer la hipótesis
2.
Definir el nivel de significación
3.
Obtener los datos
4.
Definir test estadístico y verificar los supuestos
5.
Calcular el test estadístico observado bajo H 0
6.
Calcular el valor p
7.
Tomar la decisión con respecto a H 0
8.
Conclusión del investigador