8 Inferencia proporciones

Capítulo 8: Inferencia
Hipótesis nula
Hipótesis alternativa
Formula una
teoría
Inferencia
Recoge datos
para probar
la teoría
Interpreta y
toma una decisión
Distribuciones muestrales
Modelos
Probabilidades
Obtiene
resultados
Estadística Descriptiva
Muestreo
Diseño
estudio
Capítulo 8:
Inferencia simple para proporciones y
medias
8.1 Tomando decisiones acerca
proporción de una población
de
la
Lo que nos interesa es investigar sobre una
proporción de una población.
Hipótesis
Escriba las hipótesis nula y alternativa que
usaría para probar las siguientes aseveraciones.
Las hipótesis deben ser expresadas en términos
de P, la proporción de interés en la población.
a) En Chile más de la mitad de los embarazos
no son planeados.
b) Menos del 3% de niños vacunados contra la
rubéola adquieren la enfermedad.
c) En Chile la proporción de personas con
intolerancia a la lactosa es diferente a 0,25.
Mejora el proceso?
Un estudiante en su tesis asegura que su recién
creado proceso para empastar libros tiene menor
tasa de fallas que un antiguo proceso usado por la
imprenta local.
La tasa de fallas del antiguo proceso era de
30%.
Use un 5% de nivel de significancia.
Datos: Se saca una muestra de 80 artículos
producto del nuevo proceso y 16 tienen fallas.
a) ¿Las hipótesis nula y alternativa apropiadas
son?
b) Encuentre el valor p del test.
c) ¿Es el nuevo proceso mejor?
Hipótesis:
H 0 : P = 0,3
versus H 1 : P < 0,3
α=0.05
16
p = = 0,2
Datos: ˆ 80
ˆ < 0,2 | H 0
El valor p= P( p
: P = 0,3 cierta)
Si Ho es cierta entonces:
0,3 × 0,7 

pˆ ~& N 0,3,

80 

Valor p=
P(Z <
− 0,1
0,2 − 0,3
) = P(Z <
) = P(Z < −1,95)
0,0512348
0,3 × 0,7
80
valor p = P(Z > 1,95) = 1 − P(Z < 1,95)
valor p = 1 − 0,9744 = 0,0256
valor p=0,0256 < α=0,05
Decisión: rechazar Ho
Conclusión: Los datos son estadísticamente
significativos. El estudiante tiene suficiente
evidencia para concluir que su proceso
disminuye significativamente la tasa de fallas,
con un nivel de significación del 5%.
Pasos en una prueba de hipótesis:
1. Establecer la hipótesis
2. Definir el nivel de significación
3. Obtener los datos
4. Definir el test estadístico y verificar los
supuestos
5. Calcular el test estadístico observado bajo
H0
6. Calcular el valor p
7. Tomar la decisión con respecto a H 0
8. Conclusión del investigador
Distribución muestral de p$ , la proporción
muestral
Si p representa la proporción de elementos en
una población con alguna característica de
interés.
Tomamos una muestra aleatoria simple tamaño
n de esa población y n es “suficientemente”
grande, entonces la distribución de p$ es
aproximadamente normal:

P (1 - P ) 

pˆ ~& N P,

n


entonces podemos construir la proporción
muestral estandarizada:
Z=
pˆ - P
~& N(0, 1)
P(1 − P )
n
Test Z para una proporción en la población
• Queremos docimar una hipótesis acerca del
parámetro en la población P. La hipótesis
nula es H 0 : P = p0 , donde p0 es un valor
hipotético de P.
• Supuestos: Se recomienda usar este test
cuando los datos provienen de una muestra
aleatoria de tamaño n, donde n satisface que
np 0 y n(1 − p0 ) es mayor o igual a 10.
• Nuestra decisión acerca de P estará basada en
el valor de la proporción muestral
estandarizada p̂ , la cual es:
Z=
p$ − p0
p0 (1 − p0 )
n
• Este “score” o puntaje z es el test estadístico,
y su distribución bajo H0 es aproximadamente
N ( 0,1) .
Notar que el test estadístico es el
mismo, y no depende de la hipótesis
alternativa.
• Calculamos el valor-p del test, el cuál
depende de la hipótesis alternativa:
Test Unilateral, cola superior
H1 : p > p0 , entonces el valor-p es
P( Z > z obs ) es el área a la derecha del test
estadístico observado bajo H 0 .
Si
N(0,1)
p-value
Z OBS
Z
Test Unilateral, cola inferior
Si H1 : p < p0 , entonces el valor-p es P( Z < z obs )
es el área a la izquierda del test estadístico
observado bajo H 0
N(0,1)
p-value
Z
Z OBS
Test Bilateral
Si
H1 : p ≠ p0 , entonces el valor-p es
2 P ( Z > z obs )
es el área afuera de las dos colas del
test estadístico observado bajo H 0 .
N(0,1)
p-value
2
p-value
2
-ZOBS
+ZOBS
Z
• Decisión: Si el valor-p es menor o igual al
nivel de significación rechazamos H0.
PES
Se diseña un experimento para averiguar si una persona
tiene poderes extrasensoriales (PES). De un mazo
corriente bien barajado, se eligen 96 cartas, una por una,
con reemplazo. A la persona en cuestión se le pide que
adivine la pinta de la carta. Tiene 4 posibilidades para
cada carta, trebol, corazones, diamante o piques.
Queremos docimar la hipótesis de que el sujeto esta solo
adivinando y no tiene poderes extrasensoriales, contra la
alternativa de que el sujeto tiene poder extrasensorial.
Hipótesis:
Nivel de significancia: α = 0.05
Verificación de supuestos:
Datos: La persona tiene 35 correctas de las 96 cartas.
Test Estadístico Observado:
z=
valor-p:
Decisión: Rechazo
Conclusión:
H0
Acepto
H0
porque....
Respuesta:
Hipótesis: H 0 : P = 0,25 versus H 1 : P > 0, 25
α = 0,05
Verificación de supuestos: np 0 = 24 y n (1 − p 0 ) = 72
35
pˆ =
= 0,364583
Datos:
96
Test Estadístico Observado:
35 / 96 − 0,25 0,114583
=
= 2,59
Z=
0,25 × 0,75 0,044194
96
valor-p:
P(Z > 2,59) = 1 − P(Z < 2,59) = 1 − 0,9952 = 0,0048
Decisión:
Con un nivel de significancia de 0,05, rechazo H 0
porque el valor p es menor que α
Conclusión:
Tenemos suficiente evidencia para concluir que el
sujeto es adivino con un nivel de significación del 5%