Segundo parcial de Matemáticas III SUPLETORIO Semestre 02 de
Anuncio
Segundo parcial de Matemáticas III SUPLETORIO
Semestre 02 de 2007
Noviembre 13 de 2007
Escuela de Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia- Sede Medellı́n
Nombre :
Carné :
Profesor:
Duración: 2 horas
Observaciones: - Justifique cuidadosamente sus respuestas.
- Cualquier tentativa de fraude es causal de anulación del examen.
1. (25%) Halle el punto en el plano x + y + 2z = 1 más cercano al punto (0, 0, 1).
2. (25%) Sea W el subconjunto del primer octante de R3 limitado por los planos x+y = 6,
z = 0, y = 0 y x = 0 y por la superficie x2 + z 2 = 4. Escriba la integral triple correspondiente
al volumen de W de tres formas distintas usando coordenadas cartesianas y diferentes órdenes
de integración.
Nota: no es necesario que calcule la integral, sólo déjela planteada.
3. (25%) Sea Ω ⊂ R3 el conjunto definido por
Ω := {(x, y, z) | 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 9 ; z ≥
p
3(x2 + y 2 )}.
Calcule la integral triple de la función f (x, y, z) = x2 + y 2 sobre la región Ω.
4. (25%) Calcule el volumen de la región E ⊂ R3 que está limitada inferiormente por el
plano XY , superiormente por el paraboloide z = 16 − 4x2 − 9y 2 y lateralmente por el cilindro
4x2 + 9y 2 = 1.
