1 − e− t/R·C

FÓRMULAS DE ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA
Rt = R0 · (1 + ·t)
vc = V· (1 − e− t/R·C)
Tc = 5·R·C
vd = V· e− t/R·C
Td = 5·R·C
RT(serie) = R1 + R2 + R3 + ...
RT(paralelo) =
CT(paralelo) = C1 + C2 + C3 + ...
1
CT(serie) =
P=v·I
(R1 øø R2 ) =
(C1 y C2 en serie) =
XL = · L
= 2·f
Circuito R−L−C serie
Circuito R−L−C paralelo
2
FÓRMULAS DE ELECTRICIDAD Y ELECTRÓNICA
I=
V
R
R= ρ⋅
Rt = R0 · (1 + α·∆t)
l
s
S (cm 2 )
C ( µF ) = 8,84 ⋅10 −8 ⋅ K ⋅
d (cm)
L( H ) = 1,257 ⋅ 10 -8 ⋅
N 2 · S (cm 2 )
⋅µ
l (cm)
C=
Tc = 5·R·C
Td = 5·R·C
WL =
1
⋅L⋅I 2
2
WC =
CT(paralelo) = C1 + C2 + C3 + ...
CT(serie)
=
=
1
⋅ C ⋅V 2
2
1
1
1
1
+
+
+ ...
R1 R2 R3
1
1
1
1
+
+
+ ...
C1 C2 C3
(C1 y C2 en serie) =
C1 ⋅ C2
C1 + C2
ω = 2π·f
XL = ω · L
Circuito R-L-C serie
Z = R 2 + ( X L − X C )2
XC =
1
ω ⋅C
Q
t
vd = V· e- t/R·C
RT(paralelo)
R1 ⋅ R2
R1 + R2
I=
vc = V· (1 – e- t/R·C)
RT(serie) = R1 + R2 + R3 + ...
(R1  R2 ) =
Q
V
Circuito R-L-C paralelo
Z=
1
2
1 
 1   1

−
  +
 R   X L X C 
2
P=v·I
La Ley de Ohm establece la relación que existe entre la corriente en un circuito y la diferencia de potencial (voltaje)
aplicado a dicho circuito.
Esta relación es una función de una constante a la que se le llamó resistencia.
FIGURE 1. LEY DE OHM
La 1ª Ley de Kirchoff establece que la suma algebraica de los voltajes alrededor cualquier bucle cerrado es igual a
cero.
La suma incluye fuentes independientes de tensión, fuentes dependientes de tensión y caídas de tensión a través de
resistores.
Sumatorio de Fuentes de Tensión = Sumatorio de caídas de tensión
FIGURE 2. 1ª LEY DE KIRCHOFF
La 2ª Ley deKirchoff establece que la suma algebraica de todas las corrientes que entran en un nudo es igual a cero.
Esta suma incluye las fuentes de corrientes independientes, las fuentes de corriente dependientes y las corrientes a
través de los componentes.
La suma de corrientes que entran en un nudo es igual a cero FIGURE 3. 2º LEY DE KIRCHOFF
Divisores de Tensión y Corriente
Los divisores de Tensión se usan frecuentemente en el diseño de circuitos porque son útiles para generar un voltaje
de referencia, para la polarización de los circuitos activos, y actuando como elementos de realimentación.
Los divisores de corriente se ven con menos frecuencia, pero son lo suficientemente importantes como para que los
estudiemos.
Las ecuaciones para el divisor de tensión, en donde suponenos que no hay ninguna carga conectada a nuestro circuito
se ven en la Figura 4.
FIGURE 4. DIVISOR DE TENSION
Las ecuaciones del divisor de corriente, suponiendo que la carga es sólamente R2, vienen dadas en la Figura 5.
FIGURE 5. DIVISOR DE CORRIENTE
Teoremas de Thévenin y Norton
Hay situaciones donde es más sencillo concentrar parte del circuito en un sólo componente antes que escribir las
ecuaciones para el circuito completo.
Cuando la fuente de entrada es un generador de tensión, se utiliza el teorema de Thévenin para aislar los
componentes de interés, pero si la entrada es un generadorde corriente se utiliza el teorema de Norton.
5.2 TEOREMA DE THEVENIN
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal
de tensión en serie con una resistencia, tales que:
•
La fuerza electromotriz del generador es igual a la diferencia de potencial que se mide en
circuito abierto en dichos terminales
•
La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde los terminales en cuestión,
cortocircuitando los generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente
Para aplicar el teorema de Thévenin, por ejemplo, en el caso de la Figura 6, elegimos los puntos X e Y y, suponemos
que desconectamos todo lo que tenemos a la derecha de dichos puntos, (es decir, estamos suponiendo que las
resistencias R3 y R4, las hemos desconectado físicamente del circuito original) y miramos atrás, hacia la izquierda.
FIGURE 6. CIRCUITO ORIGINAL
En esta nueva situación calculamos la tensión entre estos dos puntos (X,Y) que llamaremos la tensión equivalente
Thévenin Vth que coincide con la tensión en bornas de la resistencia R2 y cuyo valor es :
El siguiente paso es, estando nosotros situados en los puntos indicados (X Y) mirar hacia la izquierda otra vez y
calcular la resistencia que vemos, pero teniendo en cuenta que debemos suponer que los generadores de tensión son
unos cortocircuitos y los generados de corriente son circuitos abiertos, en el caso de nuestro circuito original, sólo
hay un generador de tensión que, para el cálculo que debemos hacer lo supondremos en corcocircuito y ¿ que es lo
que vemos ?
Pues si miráis la figura 6, lo que vemos es que, las resistencias R1 y R2 están en paralelo.
Por lo que la resistencia equivalente Thévenin, también llamada impedancia equivalente, Z th. vale:
El circuito estudiado a la izquierda de los puntos X, Y se reemplaza ahora por el circuito equivalente que hemos
calculado y nos queda el circuito de la figura 7, donde ahora es mucho más fácil realizar los cálculos para obtener el
valor Vo
FIGURE 7. CIRCUITO EQUIVALENTE THEVENIN
La otra forma de calcular Vo es, la de la teoría de mallas, que calculamos en la figura 8 y donde observamos que los
resultados son los mismos. Pero las ecuaciones resultantes son bastante más laboriosas.
FIGURE 8. ANALISIS DEL MISMO CIRCUITO de
LA FIGURA 6 PERO APLICANDO LAS ECUACIONES POR MALLAS
Así pues, hemos observado que, aplicando el Teorema de Thévenin para el análisis de ciruitos, seremos capaces de
simplificar nuestros cálculos, lo que nos será siempre muy útil, sobre todo, en otros circuitos más complejos.
Superposición
El principio de superposición establece que la ecuación para cada generador independiente puede calcularse
separadamente, y entonces las ecuaciones (o los resultados) pueden acumularse para dar el resultado total. Cuando
usemos dicho principio de superposición la ecuación para cada generador se calcula con los otros generadores (si son
de tensión: se cortocircuitan; y si son de corriente se dejan en circuito abierto). Las ecuaciones para todos los
generadores se acumulan para obtener la respuesta final.
FIGURE 9. EJEMPLO DE SUPERPOSICION
En primer lugar se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V1, suponiendo que el generador
V2 es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V01 (cuando V2 = 0)
Seguidamente se calcula la tensión de salida Vo, proporcionada por el generador V2, suponiendo que el generador V1
es un cortocircuito. A esta tensión así calculada la llamaremos V02 (cuando V1 = 0)
El valor de Vo será igual a la suma de los valores V01 + V02 obtenidos anteriormente.
5.3 TEOREMA DE NORTON
Cualquier circuito, por complejo que sea, visto desde dos terminales concretos, es equivalente a un generador ideal
de corriente en paralelo con una resistencia, tales que:
•
La corriente del generador es la que se mide en el cortocircuito entre los terminales en cuestión.
•
La resistencia es la que se "ve" HACIA el circuito desde dichos terminales, cortocircuitando los
generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de corriente.-( Coincide con la resistencia
equivalente Thévenin)
FIGURA 10 CIRCUITO EQUIVALENTE NORTON
Aplicando el Teorema de Norton al circuito de la figura 6, nos quedará el sigiente circuito:
Donde hemos cortocircuitado los puntos X Y de la figura 6. La corriente que circula por entre estos dos puntos la
llamaremos Ith y lógicamente es igual a la tensión V del generador de tensión dividido por la resistencia R1 (Ley de
OHM) Ith = V / R1 la resistencia Thévenin es la misma que la calculada anteriormente, que era el paralelo de R1 y
R2
Zth =R1//R2 = R1 x R2 / (R1 + R2)
5.4 EQUIVALENCIA ENTRE THEVENIN Y NORTON
Sea cual sea el equivalente obtenido es muy fácil pasar al otro equivalente sin más que aplicar el teorema
correspondiente, así por ejemplo, supongamos que hemos calculado el equivalente Thévenin de un circuito y hemos
obtenido el circuito de la izquierda de la figura siguiente :
Aplicando el teorema de Norton a la figura de la izquierda, cortocircuitaremos la salida y calcularemos la corriente
que pasa entre ellos que sera la corriente : Ith = 10 / 20 = 0,5 A. y la resistencia Norton es 20 W . por lo que nos
quedará el circuito equivalente Norton de la derecha
Campo eléctrico
E = q / ( 4 πεo r2)
Campo eléctrico creado por una carga puntual a εo : permitividad dieléctrica del vacío: 8.85 1012 2
una distancia r
C /(N m2)
1 / ( 4 πεo) = 9 109 N m2 / C2
Fuerza que actúa sobre una carga Q
F=QE
Teorema de Gauss
∫ E d s = qn /εo
donde qn es la carga neta encerrada por la
superficie gaussiana
- Campo eléctrico a una distancia r de una
carga lineal infinita
E = λ / [ 2 πεo r ]
- Campo eléctrico creado por un plano cargado E = σ / 2 εo
uniformemente
- Campo eléctrico entre las placas de un
condensador de placas plano paralelas
E = σ / εo
- Campo eléctrico sobre el eje de un anillo de
radio R
E = [1 / 4 π εo] [q x / (x2 + R2)3/2 ]
- Campo eléctrico sobre el eje de un disco de
densidad de carga uniforme σ
E = [ σ / 2 εo] [1 - x / (x2 + R2)1/2 ]
- Esfera uniformemente cargada
E = Q / [4 π εo r2] si r ≥ R
E = Q / [4 π εo R2] si r = R
E = Q r / [4 π εo R3] si r ≤ R
Dipolos
p=qd
donde d es la distancia de separación entre dos
cargas iguales y de signo opuesto)
Momento dipolar
Potencial de un dipolo (r >> d) V = p cos θ / [4 πεo r2]
Campo eléctrico (r >> d) E = p / [4 πεo r3]
Campo eléctrico en un punto de la bisectriz E = p / [4 πεo (r2 + d2 / 4)3/2]
τ=pxE
Dipolo en un campo externo
Potencial eléctrico
Potencial eléctrico creado por una carga puntual a una distancia r
V = q / ( 4 πεo r)
Trabajo para transportar una carga q desde un punto A a un punto B W = q (VA - VB)
- Potencial eléctrico sobre el eje de un anillo de radio R
V = [Q / (4 πεo R)] / (x2 +
R2)1/2
- Potencial eléctrico sobre el eje de un disco de densidad de carga
uniforme σ = Q / S
V = [Q / (2 πεo R)] [(x2 +
R2)1/2 - x]
Ecuaciones de Poisson y Laplace
Relación entre el campo eléctrico y el potencial
E=-∇V
Teorema de Gauss en forma integral
∫ E d s = qn /εo
Teorema de Gauss en forma diferencial
div E = ρ / εo
Ecuación de Poisson
∇ 2 V = - ρ / εo
Ecuación de Laplace
∇2 V = 0
Conductores
El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es cero.
La carga se localiza sobre la superficie (concentrándose en "las puntas")
El potencial es constante e igual al que hay en la superficie
Condensadores
Capacidad
C=q/∆V
donde ∆ V = V+ - V-
- Condensador de placas plano
paralelas
C = εo S / d
donde S es la superficie de una de las placas y d la distancia
de separación entre ellas
- Esfera de radio R
C = 4 π εo R
- Condensador esférico de radios
C = 4 π εo R2 R1 / (R2 - R1)
R1 y R2
- Condensador cilíndrico de
radios R1 y R2
C = 2 π εo L / ln (R2/R1)
Asociación en serie de
condensadores
1 / C = 1 / C1 + 1 / C2 + ...
misma carga q1 = q2 = ... = q
V = V1 + V2 + ...
Dos condensadores asociados en
C = C1 C2 / (C1 + C2)
serie
C = C1 + C2 + ...
misma tensión V1 = V2 = ... = V
q = q1 + q2 + ...
Asociación en paralelo de
condensadores
Dieléctricos
Vector desplazamiento eléctrico
Dieléctrico lineal, homogéneo e isótropo
D = εo E + P
donde P es el vector polarización
P = εo κeE
donde κe es la susceptibilidad eléctrica
D = ε E, ε = εo k, k = 1 + κe
donde k es la constante dieléctrica
Densidad de carga superficial inducida
σ´ = P n
donde n es el vector unitario
perpendicular a la superficie
Densidad de carga volúmica inducida
ρ´ = - ∇ P
La carga total de un dieléctrico polarizado es nula, cualquiera que sea su estado de polarización.
Teorema de Gauss para dieléctricos
∫ D d s = ql
donde ql es la carga libre
Efectos de introducir un dieléctrico de constante K en
el interior de un condensador
La capacidad aumenta en un factor K
La tensión y el campo eléctrico
disminuyen en dicho factor
Energía electrostática
U = (1/2) Σ Σ (1 / 4 π εo) qi qj / rij = (1/ 2) Σ qi Vi(ri)
donde Vi = Σ qj / (4 π εo rij)
por ejemplo, para tres cargas
U = (1 / 4 π εo) [ q1 q2 / r12 + q1 q3 / r13
+ q2 q3 / r23]
Conductor aislado U = q2 / (2 C) = C V2 / 2 = q V / 2
Energía electrostática por unidad de volumen
(densidad de energía electrostática)
u = U / V = εo E2 / 2
Energía electrostática
U = ∫ (εo E2 / 2) dV
donde la integral se extiende a todo el
volumen
Energía electrostática en un dieléctrico
U = ∫ ( D E / 2) dV
- Energía electrostática de una esfera conductora de
radio R y carga Q
E = Q2 / [8 π εo R]
Unidades
εo: permitividad dieléctrica del vacío
C2 / (N m2)
κe: susceptibilidad eléctrica
no tiene unidades
K = 1 / ( 4 πεo) =
= 9 . 109 N m2 / C2 (Sistema Internacional)
= 1 (Sistema C.G.S.)
q: carga
C = culombios
1 C = 3 . 109 ueeq
E: campo eléctrico
N/C
V: potencial eléctrico
V = voltios
1 V = (1 / 300) ueeV
W: trabajo
U: energía electrostática
J = julios
C: capacidad
F = faradios
1 F = 9 . 1011 uee
PREFIJOS
Nombre
yotta
zetta
exa
Prefijos
Símbolo
Y
Z
E
Factor
10 elevado a 24
10 elevado a 21
10 elevado a 18
peta
P
10 elevado a 15
tera
giga
mega
T
G
M
10 elevado a 12
10 elevado a 9
10 elevado a 6
kilo
hecto
deca
deci
centi
mili
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
k
h
da
d
c
m
n
p
f
a
z
y
10 elevado a 3
10 elevado a 2
10 elevado a 1
10 elevado a -1
10 elevado a -2
10 elevado a -3
10 elevado a -6
10 elevado a -9
10 elevado a -12
10 elevado a -15
10 elevado a -18
10 elevado a -21
10 elevado a -24
Teorema de la máxima transferencia de
potencia:
La máxima potencia entregada por un circuito representado por su equivalente de Thévenin se
alcanza cuando el resistor de carga Rc es igual a la resistencia de Thévenin Rth.
Se ha defimnido la potencia como la velocidad de producción de tarabajo. Eléctricamente, la
unidad de potencia es el vatio o watt (W). La relación de dependencia entre la potencia de c.c.
(W) en una resistencia R, la tensión E entre los extremos de R, y la corriente I en R viene dada
por las ecuaciones (M-1):
El suministro de potencia eléctrica a una carga RL implica una fuente de alimentación E, y una
red entre e y la resistencia de carga RL. Consideremos las relaciones potencia en un circuito
sencillo que contiene un generador E de resistencia interna R y que entrega potencia a una
resistencia de carga RL.
La corriente I en RL viene dada por (M-2):
Aplicando la fórmula de la potencia I2 R es evidente que la porencia desarrollada en RL es (M-3):
Si E es una fuente constante con resistencia interna fija R, ¿con qué valor de RL habrá la máxima
transferencia de potencia desde E hasta RL? Un análisis matemático para hallar este valor
requiere del uso del cálculo integral, pero siguiendo un método experimental se podrá determinar
el valor de RL.
Supongamos que la tensión E es 100 V y que la resistencia R es 100 W. Supongamos también
que toma una serie de valores como los indicados en la Tabla M.1. La potencia W, calculada por
la fórmula (M-3), está también indicada en la Tabla M.1.
TABLA M.1. Valores experimentales.
RL
R + RL
( )
( )
(
)
0
100
0
10
110
8,26
20
120
13,9
30
130
17,7
40
140
20,4
50
150
22,2
100
200
25
120
220
24,8
150
250
23,9
400
500
16
1.000
1.100
8,26
10.000
10.000
0,98
100.000
100.100
0,099
La tabla indica que cuando RL aumenta de 0 a 100 ohmios, el número de vatios disipados por RL
aumenta desde 0 hasta un máximo de 25. Cuando RL aumenta de 100 a 100.000 ohmios, el
número de vatios transferidos a RL disminuye desde 25 hasta 0,099.
En el circuito resulta que la máxima transferencia de potencia tiene lugar cuando la resistencia de
la carga es igual a a la resistencia interna del generador. ¿Es válida esta conclusión para otros
generadores E’, con resistencia interna R’, que transfieren potencia a una carga RL? La respuesta
a esta pregunta se puede determinar tomando valores fortuitos de una tensión E’, una resistencia
R’, variando la carga RL y luego calculando la potencia en RL. Nuevamente llegaremos al
resultado de que la máxima potencia se transferirá a la carga cuando RL = R’, resistencia interna
del generador.
Podemos pues enunciar la ley que rige la máxima tranferencia de potencia a una carga en un
circuito de c.c.:
"Un generador transfiere la máxima potencia a una carga cuando la resistencia de ésta es
igual a la resistencia interna del genrador."
Puesto que cualquier red de c.c., terminada en una resistencia de carga RL puede ser transformada
en un circuito equivalente constituído por un generador Thévenin ETH , con una resistencia
interna RTH que alimenta la resistencia de carga RL, la ley de máxima transferencia de potencia se
puede generalizar como sigue:
"Cuando un red de c.c. está terminada po una resistencia de carga igual a sus resistencia de
Thévenin, se desarrolla la máxima potencia en la resistencia de carga."
TEORIA ELECTRICA DEL MAGNETISMO.
Las experiencias de Oersted demostraron que una corriente eléctrica (cargas
eléctricas en movimiento), producen efectos magnéticos (por ejemplo, es capaz
de desviar una brújula). Experiencias posteriores vinieron a demostrar que, efectivamente, una corriente
crea un campo magnético, y un campo magnético puede crear una corriente, de tal manera que existe
una interacción entre campo magnético y campo eléctrico.
En el caso de los imanes naturales, o de los cuerpos imantados, la corriente que origina el magnetismo
es el conjunto de todas las corrientes elementales que son los electrones girando alrededor de sus
núcleos. En la mayoría de las sustancias, estos imanes elementales están desordenados, cada uno
orientado en una dirección del espacio, por lo que su resultante es nula, y no presentan magnetismo. En
cierta sustancias, estos pequeños dominios magnéticos pueden orientarse muy fácilmente, debido a
influencias externas (puede ser el mismo magnetismo terrestre); cuando varios dominios elementales
magnéticos se orientan en una misma dirección espacial, su resultante ya no es nula, y el cuerpo resulta
imantado.
Los cuerpos cuyos dominios magnéticos son fácilmente orientables (son fáciles de magnetizar) se llaman
PARAMAGNETICOS. Aquellos otros que, por el contrario, resultan difícilmente o nada imantables, se
llaman DIAMAGNETICOS.
Existe un grupo de materiales (hierro, cobalto, níquel y compuestos especiales) que son extremadamente
paramagnéticos. Dado que el hierro es el primero que se descubrió con tal comportamiento, estos
materiales reciben el nombre de FERROMAGNETICOS.
CAMPO MAGNETICO. FLUJO. INDUCCION.
Campo magnético es la región del espacio en la que se manifiestan los fenómenos magnéticos. Estos
actúan según unas imaginarias "líneas de fuerza": éstas son el camino que sigue la fuerza magnética. Se
suele visualizar colocando un imán bajo una cartulina espolvoreada con limaduras de hierro; éstas se
colocan siguiendo las líneas de fuerza
Se observa que hay una diferencia fundamental entre el campo magnético y el eléctrico: en éste, el
campo nace en las cargas positivas y muere en las negativas. En aquél, por el contrario no existen ni
fuentes ni sumideros: se cierra sobre sí mismo.
Se define el flujo magnético que pasa por una superficie dada como el número de líneas de fuerza que lo
atraviesan.
La inducción magnética es el número de líneas de fuerza que atraviesan cada unidad de superficie.
Entonces si Φ es el flujo, S la superficie y B la inducción magnética, resulta:
Φ
Φ = B . S ó B = ---------S
La unidad internacional de flujo es el WEBBER (Wb), y por lo tanto, al de inducción magnética es el
Wb/m2, que se llama TESLA:
La intensidad de campo magnético, o simplemente, campo magnético (H), está relacionada con la
inducción magnética a través de una constante que depende del medio y que se llama permeabilidad
magnética (µ). Resulta:
Β
Β = µ . H ó H = ------µ
La constante permeabilidad magnética da una idea de lo buen o mal conductor del magnetismo que es
un cuerpo. Las sustancias paramagnéticas tienen una permeabilidad mayor que la del aire (µο ) , y las
diamagnéticas, menor. Esto implica que, para un mismo valor del campo H, un material paramagnético
tendrá mayor inducción magnética B, ( y por consiguiente, para una superficie dada, mayor flujo, φ) que
otra diamagnética, por tener mayor permeabilidad µ.
a) CAMPO MAGNETICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILINEA
Una corriente restilínea I crea un campo magnético cuyas líneas de fuerza son circunferencias que estan
contenidas en un plano perpendicular a I y siguen el sentido del sacacorchos que avanza en el sentido de
la I, y cuyo valor es:
I
H = ---------2πr
b) CAMPO MAGNETICO CREADO POR UNA ESPIRA PLANA
Una espira plana recorrida por una corriente I crea un campo magnético perpendicular a la espira, cuya
dirección es la del sacacorchos que gira en el sentido de la corriente, y cuyo valor es:
I
H = ---------2 r
b) CAMPO MAGNETICO EN EL INTERIOR DE UN SOLENOIDE
Se llama solenoiede a un conjunto de espiras planas recorridas todas ellas por la misma corriente I. En la
práctica, un solenoiede es un carrete de hilo con las espiras bobinadas muy juntas unas a otras.
El valor del campo para un punto situado en el eje, y en el interior del solenoide es:
nI
H = ------L
Aplivaciones del solenoide:
Por medio de solenoides se construyen los electroimanes: bobinas que, al ser excitadas por una corriente
eléctrica, atraen los cuerpos ferromagnéticos. Un caso típico de aplicación es el relevador o relé.
7.5 FUERZA CREADA POR UN CAMPO MAGNETICO SOBRE UNA CORRIENTE.
Sea un conductor de longitud L recorrido por una corriente eléctrica de intensidad I sumergido en el seno
de un campo magnético, cuya inducción vale B.
Sobre el conductor se ejerce una fuerza perpendicular a I y a B, dirigida según el sacacorchos que gira
del primero al segundo, y cuyo valor es:
F = I x L x sen α
como indica la figura
Cuando I y L sean perpendiculares (α = 90º => sen α = 1), la fuerza es máxima, y cuando sean
paralelos, es decir el sentido de la corriente sea el mismo que el campo magnético, la fuerza ejercida es
nula.
La corriente I puede circular por un conductor, o estar formada por cargas moviéndose en el espacio,
como ocurre en un tubo de imagen de televisión
Ley de Lenz
"Cuando varía el flujo magnético que atraviesa una bobina, esta reacciona de tal
manera que se opone a la causa que produjo la variación"
Es decir, si el flujo aumenta, la bobina lo disminuirá; si disminuye lo aumentará. Para conseguir estos
efectos, tendrá que generar corrientes que, a su vez, creen flujo que se oponga a la variación. Se dice
que en la bobina ha aparecido una CORRIENTE INDUCIDA, y, por lo tanto, UNA FUERZA
ELECTROMOTRIZ INDUCIDA.
Se verá un ejemplo aclaratorio: Supongamos que la bobina, situada a la izquierda en la figura siguiente,
tiene un flujo nulo.Por lo que la corriente I será nula también.
Si le acercamos un imán, parte del flujo de éste atravesará la propia bobina, por lo que el flujo de la
bobina pasará de ser nulo a tener un valor.
La bonina reaccionará intentando anular este aumento de flujo y
¿ cómo lo hará ?
Lo hará creando una corriente I en el sentido indicado en la figura, porque de esa manera, esta corriente
creará un flujo contrario oponiéndose al aumento impuesto desde el exterior. Una vez transcurrido cierto
tiempo, la bobina se ha amoldado a las nuevas condiciones y el flujo que la atraviesa será el que le
impone el imán. Al amoldarse dejará de crear la corriente indicada, que pasará de nuevo a ser cero.
Si ahora se aleja el imán, el flujo que estaba ahora atravesando la bobina disminuirá, por lo que la bobina
reacionará creando de nuevo una corriente está vez de signo contrario al anterior, para producir un flujo
que se oponga a la disminución.
LEY DE FARADAY.- La Ley de Lenz sólamente habla de la forma en que se comporta la bobina pero no
dice nada acerca de la magnitud de la corriente o de la fuerza electromotriz inducida. Faraday llegó a la
conclusión que esta (la fuerza electromotriz E) vale:
∆φ
E = - n -------∆t
siendo:
E: f.e.m. inducida
n: número de espiras de la bobina
∆φ: Variación del flujo
∆t: Tiempo en que se produce la variación de flujo
El signo menos (-) indica que se opone a la causa que lo produjo (Ley de Lenz)
Por ejemplo: Si el flujo que atraviesa una bobina de 5 espiras aumenta de 10 a 11 Webbers en una
décima de segundo, la f.e.m. inducida vale:
11 - 10
E = 5 --------------- = 5 x 10 = 50 V.
0,1
CORRIENTES DE FOUCAULT. NUCLEOS
Se ha visto que la variación de flujo engendra una corriente, y este efecto se aprovechará para muchas
aplicaciones prácticas. Ahora bien, los núcleos ferromagnéticos, aunque no buenos, son conductores
eléctricos. En ellos se crearán corrientes inducidas cuando estén sometidos a un flujo variable. Estas
corrientes son llamadas CORRIENTES DE FOUCAULT. En general, estas corrientes son indeseables,
puesto que calentarán el núcleo y aparecerá una pérdida de potencia en forma de calor: PERDIDAS POR
CORRIENTES DE FOUCAULT.
En las máquinas eléctricas se procura evitar al máximo la circulación de estas corrientes, cortando el
camino eléctrico por medio de núcleos especiales:
NUCLEOS DE CHAPA.- Para frecuencias bajas se utilizan los núcleos de chapa. Estos consisten en una
serie de chapas de material ferromagnético de pequeño grosor apiladas, recubiertas cada una de ellas de
barniz aislante. Las chapas permiten el paso del flujo magnético, pero no el de las corrientes de Foucault,
ya que estas son perpendiculares a aquél.
NUCLEOS DE FERRRITA.- Para frecuencias altas es insuficiente el aislamiento que se consigue con los
núcleos de chapa y se recurre a unos materiales especiales denominados ferritas; estos están formados
por gránulos de material ferromagnético separados por un cemento cerámico.
NUCLEOS DE AIRE.- Para frecuencias muy altas se recurre a dejar la bobina sin núcleo ferromagnético,
y se dice que tiene núcleo de aire. Como éste es un buen aislante eléctrico, la pérdida por corrientes de
Foucault en este tipo de bobinas es práctcamente nula.
Los símbolos de estos tres tipos de bobinas son:
No siempre son indeseables las corrientes de Foucault. Algunas veces se aprovecha su efecto calorífico
para aplicaciones industriales o domésticas. Tal es el caso de la fusión del platino (infusible a la llama) o
de los hornos microondas.
AUTOINDUCCION E INDUCCION MUTUA
Cuando una corriente atraviesa una espira de una bobina, sobre ésta aparece un flujo, flujo que se
transmitirá a las otras espiras de la bobina ( por estar juntas) induciendo en ellas una corriente que se
opondrá a la causa que lo produjo. De la misma manera, si, pasado un cierto tiempo, se ha conseguido
establecer una corriente a través de una bobina, cuando se desconecte aquélla (la corriente), cada
espira, ante la disminución de flujo producida por el cese de la corriente, reaccionará creando una f.e.m.
inducida que intentará mantener el flujo inicial.
De aquí que, debido a la interacción de unas espiras sobre otras, la bobina presenta una cierta inercia a
cambiar su estado de flujo. A esta inercia, que depende de la construcción de la bobina, se le denomina
AUTOINDUCCION y se representa por la letra L.
L es la constante de proporcionalidad, siempre que el núcleo no esté saturado, entre el flujo y la
corriente. De este modo:
φ=LI
La unidad de autoinducción es el HENRIO (H), y sus submúltiplos más usuales:
El milihenrio (mH) = 10-3 H.
El microhenrio (µH) = 10-6 H
Si se considera que L es constante, lo que prácticamente ocurre en un gran margen de corriente, la ley
de Faraday aparecerá en la forma:
∆φ
∆(LI)
∆ I
E = n --------- = n ------------ = n L ----------∆t
∆t
∆t
La fuerza electromotriz inducida E, resulta ser proporcional a la velocidad de variación de la corriente y al
coeficiente de autoinducción L.
Para una forma geométrica de bobina dada, L depende de la permeabilidad (µ)del núcleo.
Como hay veces que interesa la utilización de bobinas cuya autoinducción pueda ajustarse, se
construyen bobinas con núcleo desplazable, que puede introducirse más o menos en el interior del
arrollamiento, resultando que la permeabilidad µ resultante se pueda variar de una forma continua,
por lo que también se varía L: son las bobinas ajustables, cuyo símbolo es:
Una corriente variable crea un flujo variable que, a su vez, es capaz de inducir otra corriente en
una bobina situada en las proximidades. Entre dos bobinas, colocadas juntas, o incluso con un
núcleo común (se dice entonces que están acopladas o que existe un acoplamiento entre ellas),
aparece una interacción: la corriente inducida en una de ellas depende de la corriente que circula
por la otra, y viceversa. Es decir, existe una INDUCCION MUTUA.
El coeficiente de inducción mutua se representa por la letra M y su valor:
M=K
√L L
1
2
Donde:
M: Coeficiente de inducción mútua
L1: coeficiente de autoinducción de la primera bobina
L2: coeficiente de autoinducción de la primera bobina
K: Coeficiente de ACOPLAMIENTO
Nota: K, toma valores comprendidos entre 0 (no existe acoplamiento: la inducción mútua es nula) y 1
(acoplamiento perfecto) 0 ≤ K ≤ 1
ASOCIACION DE CONDENSADORES.
Como todo dipolo, los condensadores se pueden conectar en serie, enparalelo o en asociación mixta.
Asociación de condensadores en Si, del negativo de la batería, fluyen hacia la armadura de la derecha, por
ejemplo, tres electrones, estos inducen en la placa enfrentada a ella tres cargas
serie.
positivas, es decir, la abandonan tres electrones, que irán a parar a la armadura
siguiente, que, a su vez, inducirá una carga de +3 en la siguiente, étc.
La conclusión final es que la CARGA que adquieren los condensadores es LA
MISMA para todos.
q1 = q2 = q3 = q
Las DIFERENCIAS DE POTENCIAL, en cambio, al estar en serie se SUMAN,
y dicha suma será igual al potencial V de la batería.
V = V1 + V2 + V3
Teniendo en cuenta que la relación entre la carga q y la tensión V de un condensador es su capacidad C
C=q/V
diremos que el potencial V que adquiere un condensador es:
V=q/C
por lo que diremos que en nuestro circuito tendremos:
V1 = q1 / C1
V2 = q2 / C2
V3 = q3 / C3
pero como ya hemos dicho que:
V = V1 + V2 + V3 = q1 / C1 + q2 / C2 + q3 / C3
como quiera que las cargas de los tres condenasdores en serie es la misma q = q1 = q2 = q3
V = q x [ 1/ C1 + 1 / C2 + 1 / C3 ]
por lo que:
V / q = 1/ CT = 1/ C1 + 1 / C2 + 1 / C3
Asociación de condensadores en paralelo.
En este caso, lo que es igual para todos
los condensadores es, obviamente, la
DIFERENCIA DE POTENCIAL,
impuesta por el generador.
V = V1 = V2 = V3
En cambio, la CARGA TOTAL
entregada por este debe ser igual a la
SUMA de las cargas almacenadas en los
condensadores
qT = q1 + q2 + q3
Como quiera que q = C x V y V = V1 = V2 = V3 tendremos para cada uno de los
condensadores:
q1 = C1 x V
q2 = C 2 x V
Así pues :
q3 = C3 x V
qT = q1 + q2 + q3 = C1 x V + C2 x V + C3 x V = V x ( C1 + C2 + C3 )
qT / V = CT = C1 + C2 + C3
Tabla de derivadas
Función
Derivada
Ejemplos
Constante
y=k
y'=0
y=8
y'=0
y'=1
y=x
y'=1
Identidad
y=x
Funciones potenciales
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
y ' = −6 xsen3 x 2
y ' = −u ' cos ec 2u
Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
Tablas de integrales
1.-
∫ adx = a ∫ dx = ax + C.
x n +1
x dx =
+ C,
n +1
2.-
∫
3.-
∫ [f (x )]
4.-
n
n
∫
f ′(x )dx =
si n ≠ −1.
[f (x )]n+1 + C,
f ′(x )
dx = L [f (x )] + C.
f (x )
5.-
∫e
x
6.-
∫e
f (x )
si n ≠ −1.
n +1
dx = e x + C.
Estas son las que ocupamos en la clase:
3
c ∫ xdx = c
0
x2
2
3
0
 32 0 2 
= c  −  = cR(despejaR) = 1
2
2
f ′(x )dx = e f (x ) + C.
a f ( x ) f ′(x )dx =
a f (x )
+ C,
La
7.-
∫
8.-
∫ senxdx = − cos x + C.
si a > 0, a ≠ 1.
∫ sen[f (x )]f ′(x )dx = − cos[f (x )] + C.
10.- ∫ cos xdx = sen x + C .
11.- ∫ cos [f (x )]f ′(x )dx = sen[f (x )] + C.
9.-
∫
f ′(x )
dx = tg [f (x )] + C.
cos 2 [f (x )]
13.-
∫
f ′(x )
dx = − cot g [f (x )] + C.
sen 2 [f (x )]
14.-
∫
12.-
f ′(x )
1 − [f (x )]
2
dx = arcsen[f (x )] + C.
1
15.-
∫
− f ′(x )
1 − [f (x )]
2
f ′(x )
dx = arccos[f (x )] + C.
dx = arctg[f (x )] + C.
16.-
∫ 1 + [f (x )]
17.-
∫ tgxdx = −L (cos x ) + C.
18.-
∫ cot gxdx = L (senx ) + C.
19.-
25.-
2
∫
L (sec x + tgx ) + C.

sec xdx =   x π 
L tg +
+ C.
  2 4 
L (cos ecx − cot gx ) + C.

cos ecxdx = 
 x
L  tg  + C.

 2
20.-
∫
21.-
∫ sec
22.-
∫ cos ec
23.-
∫ sec xtgxdx = sec x + C.
24.-
∫ cos ecx cot gxdx = − cos ecx + C.
2
xdx = tgx + C.
2
xdx = − cot gx + C.
senx
dx = sec x + C.
2
x
∫ cos
26.-
cos x
dx = − cos ecx + C.
2
x
∫ sen
27.-
f ′(x )dx
∫ [f (x )]
2
− a2
= L f (x ) +

[f (x )]2 − a 2  + C.

2
28.-
29.-
30.-
f ′(x )dx
∫ [f (x )]
2
∫x
x −1
2
∫
∫x
− a2
− dx
x 2 −1
2
∫ [f (x )]
2
2
1
f (x )
= arc sec
+ C.
a
a
= arccos ecx + C.
a 2 − [f (x )] dx =
∫ [f (x )]

= arc sec x + C.
2
∫ f (x ) [f (x )]
33.-
34.-
dx
f ′(x )dx
31.-
32.-
+ a2
[f (x )]2 + a 2  + C.
= L f (x ) +

a 2 arcsen
f (x ) a − [f (x )]
+
2
2
2
2
f (x ) [f (x )] − a 2
2
− a dx =
−
2
2
f (x ) [f (x )] + a 2
2
+ a dx =
+
2
2
f (x )
a + C.
a 2 L f (x ) +

[f (x )]2 − a 2 
 + C.
2
a 2 L f (x ) +

[f (x )]2 + a 2 
2
 + C.
35.- INTEGRACIÓN POR PARTES:
Si u y v son funciones de x tales que [ u = f(x), v = g(x) ], por la fórmula de
diferencial de un producto de funciones, tendremos:
la
d(u·v) = u·dv + v·du ⇒ u·dv = d(u·v) – v·du, de donde, integrando en ambos
miembros:
∫u·dv = ∫d(u·v) - ∫v·du, con lo que nos quedará la fórmula de la integración por partes:
.
∫ u·dv = u·v − ∫ v·du
NOTA: Para la elección de las partes, podemos seguir el orden de las reglas siguientes:
6 4 7A 48
arcsenx
arccos x
arctgx
arc...x
6 7L 8
Lx
log x
log b x
.......
6 44 7P 4 48
f (x )
función
polinómica
..
6 4 4 7E 4 48
a f (x )
función
exp onencial
..
6 4 44 7S 4 4 48
senx
cos x
α ALPES
función
trigonomét rica
3
36.- INTEGRALES RACIONALES:
P( x )
∫ Q(x ) dx,
Son de la forma
siendo P (x ) y Q(x ), polinomios de coeficientes reales y
exponentes naturales.
Ante integrales de este tipo interesa una previa y rápida comprobación de que no se trata
de una integral inmediata de tipo logarítmico, ya que en este caso su integración, como ya
vimos, es rápida. De no ser de este tipo, el proceso general para su resolución es el siguiente:
A) El grado de P(x) es mayor ó igual que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se realiza la división de P(x) entre Q(x), dando lugar al resultado siguiente:
de la división.
[P (x ) = Q(x )C(x ) + R(x )]CR(x()x=) =Cociente
⇒ dividiendo
Re sto de la división.
ambos miembros por Q(x ) :

P( x )
R(x ) Integrando en ambos miembros
P( x )
R(x )
dx = C(x )dx +
= C(x ) +
        →
dx
Q(x )
Q(x )
Q(x )
Q(x )
∫
∫
∫
B) El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces:
Proceso: Se iguala el polinomio del denominador, Q(x), a cero y se obtienen sus
raices. Esto puede dar lugar a cuatro resultados diferentes:
RAICES REALES SIMPLES → ( RRS ).
RAICES REALES MÚLTIPLES → ( RRM ).
RAICES IMAGINARIAS SIMPLES → ( RIS ).
RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES → ( RIM ).
Vamos a estudiar cada uno de estos cuatro casos por separado, indicando los pasos a seguir así
como las operaciones a realizar.
RAICES REALES SIMPLES: ( RRS ).- Supongamos que resolvemos Q(x)=0:
x = a 
 = b
Q(x ) = 0 α x
x = c α
 .... 


P (x )
P (x )
 A
B
C

∫ Q(x ) dx = ∫ (x − a )(x − b)(x − c )... dx = ∫  x − a + x − b + x − c + ...dx
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los pasos siguientes:
36.- INTEGRALES RACIONALES: (Continuación)
Descomposición de
P (x )
Q( x )
en suma de fracciones simples α
P (x )
Q( x )
=
A
x −a
+
B
x −b
+
C
x −c
+ ...
Se expresan ambos términos con un común denominador que es Q(x).
Se multiplican ambos miembros por Q(x).
4
Se calculan los coeficientes A, B, C, ...mediante la identificación de los numeradores.
5) Una vez obtenidos estos coeficientes, se integra en ambos miembros, quedando finalmente:
P (x )
A
B
C
∫ Q(x ) dx = ∫ x − a dx + ∫ x − b dx + ∫ x − c dx + ...
RAICES REALES MÚLTIPLES: ( RRM ).- Supongamos que resolvemos la ecuación Q(x)=0:
x = a 
1
P (x )
P (x )
 = b
Q(x ) = 0 α x
x = b α Q(x ) dx = a (x − a )(x − b )2 ... dx = a 0
 .... 
0



1  A
B
C
=
+
+
+
...

dx
a o  x − a x − b (x − b)2

∫
∫
P (x )
∫ (x − a )(x − b) ... dx =
2
∫
NOTA: Para calcular los coeficientes A, B, C, ... seguiremos los mismos pasos que en el caso
de ( RRS ).
→ a0 es el coeficiente de la variable de mayor grado.
Finalmente, quedará:
P (x )
1 
A
B
C
∫ Q(x ) dx = a ∫ x − a dx + ∫ x − b dx + ∫ (x − b)
2
0

dx + ...

RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- Supongamos que resolvemos la ecuación
Q(x)=0, sindo Q(x) un plinomio de 5º grado, y obteniéndose una RRS, dos RRM, y un
polinomio de 2º grado que no tiene ya raices reales y sus raices imaginarias son z1 y z2 :
 x = a1 
 x=b 
1


Q(x ) = 0 α  x = b1  α
 z 1 = a + bi 
z = a − bi 
 2

∫
P (x )
dx =
Q(x )
∫
6 71 8
6 72 8
6 4 73 48
6 4 4 74 4 4 8
(Mx + N)dx
Adx
Bdx
Cdx
+
+
+
2
(x − z1 )(x − z 2 )
x − a1
x − b1
(x − b1 )
∫
∫
∫
CONTINUA
→
36.- INTEGRALES RACIONALES: (Continuación)
3) RAICES IMAGINARIAS SIMPLES: ( RIS ).- (Continuación)
Las integrales 1, 2 y 3 son inmediatas, de tipo logarítmico las dos primeras y potencial
la última. En cuanto a la 4, podemos llevar a cabo en su denominador una agrupación del
tipo siguiente:
(x-z1)(x-z2) = [x-(a+bi)][x-(a-bi)] = [(x-a)-bi][(x-a)+bi] = (x-a)2 – (bi)2 = (x-a)2 +b2 .
5
Con lo cual, la 4, nos queda así:
∫



(Mx + N)dx = 

(x − a )2 + b 2 



Mx
∫ (x − a )
2
+ b2
N
∫ (x − a )
2
+b
2
dx = M
dx = N
x
∫ (x − a )
2
dx
∫ (x − a )
2
M
 2
=
dx
M
+ b2

 2
+ b2
∫ (x − a )
+ b2
2
2a
2
dx = I1
dx = I 2
= ....................................... = I 3
+ b2
INMEDIATA TIPO LOGARÍTMICO

→ =
I1 
TIPO ARCO TANGENTE
I 2 + I 3 

→ = (Ma + N)
2x − 2a
∫ (x − a )
M
2
L (x − a ) + b 2 .
2
dx
∫ (x − a )
2
+b
2
=
(Ma + N) arctg (x − a ) .
b
b
4) RAICES IMAGINARIAS MÚLTIPLES: ( RIM ).- Método de HERMITE:
P ( x)
La descomposición de
según HERMITE, es tal como sigue:
Q( x)
1) − Las raices reales simples se descomponen como en los casos anteriores, ó sea,
coeficiente indeterminado entre x menos la raiz.
− Las raices reales múltiples en este caso se descomponen como si fuesen simples (sin
tener en cuenta el grado de multiplicidad).
− Las raices imaginarias simples se descomponen igual que en el caso ( RIS ) visto
anteriormente.
− Las raices imaginarias múltiples, en este caso se descomponen como si fuesen
simples, es decir como hemos indicado anteriormente (por lo tanto sin tener en cuenta su
grado de multiplicidad).
− El último término característico de esta descomposición de HERMITE es:
La derivada indicada con respecto a x de un cociente donde primero se colocará el denominador,
el cual será el producto de las expresiones en la descomposición factorial de las raices reales
múltiples y las raices imaginarias múltiples, elevadas a exponentes que son sus grados de
multiplicidad respectivos menos uno.
A continuación se expresará el numerador, que será un polinomio en x, completo de
coeficientes indeterminados y de grado inferior en una unidad al polinomio que hubiese resultado
en el denominador.
36.- INTEGRALES RACIONALES: Método de HERMITE.- (Continuación)
2) − Se deriva a continuación este último término con respecto a x.
3) − Se expresan ambos términos con un común denominador que será siempre Q(x).
6
4) − Se multiplican ambos miembros por Q(x),
5) − Se calculan los coeficientes indeterminados.
6) − Se integra en la expresión de la descomposición inicial.
Notas: En la integración según la descomposición de HERMITE, si se realizó
correctamente, no
pueden aparecer nunca integrales inmediatas de tipo potencial.
El desarrollo de este método se ampliará en cursos superiores.
37.- INTEGRALES IRRACIONALES:
Son de la forma
∫ R x,
ax 2 + bx + c dx

1. Si a > 0 ⇒ se efectua el cambio:
c > 0 ⇒ cambio :
2. Si a < 0 ⇒ 
c < 0 ⇒ cambio :
Pueden ocurrir los casos siguientes:
ax 2 + bx + c = a .x + t .
ax 2 + bx + c = t.x + c ;
ax 2 + bx + c = a (x − α )(x − β ) = t(x − α ).
Algunas de estas integrales, operando convenientemente, se pueden llevar a la forma del
número 14.
38.- INTEGRALES BINOMIAS:
Son de la forma
siguientes:
∫ x (a + bx ) dx
m
n p
donde m, n, p ∈ Q. Pueden ocurrir los casos
p > 0 : Desarrolla r por el binimio de Newton.

1. Si p ∈ Z ⇒  p < 0 : Cambio ⇒ x = t α , siendo α el m.c.m.

de los deno min adores de m y n.
De este modo se reduce el problema a una integral racional.
 m + 1
n
α
2. Si 
 ∈ Z ⇒ Cambio : a + bx = t , siendo α el deno min ador de p.
n


m +1
3. Si 
 n
n
α
n


+ p ∈ Z ⇒ Cambio : a + bx = t .x , siendo α el deno min ador
de p.


39.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS:
Son de la forma
∫ R(senx, cos x )dx
Pueden ocurrir los casos siguientes:
7
1. La función R(senx, cosx) es IMPAR en senx, es decir, si la función cambia de signo al
sustituir (senx) por (-senx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
senx = 1 − t 2 .

− dt
cos x = t ⇒ 
dx =
.

1 − t2

La función R(senx, cosx) es IMPAR en cosx, es decir, si la función cambia de signo al sustituir
(cosx) por (-cosx), entonces, podemos escribirla haciendo el cambio siguiente:
cos x = 1 − t 2 .

dt
senx = t ⇒ 
dx =
.

1 − t2

3. La función R(senx, cosx) es PAR en senx, cosx, es decir, si la función no se altera al sustituir
(senx) y (cosx) simultáneamente por (-senx) y (-cosx) respectivamente, entonces, podemos
escribirla haciendo el cambio siguiente:
t

.
senx =
2
1
+
t

1

tgx = t ⇒ cos x =
.
1 + t2


dt
.
 dx =
1 + t2

4. La función R(senx, cosx) no obedece a ninguno de los 3 casos anteriores, entonces,
podemos realizar el cambio siguiente:
2t

senx = 1 + t 2 .

x
1 − t2

tg = t ⇒ cos x =
.
2
1 + t2

 dx = 2dt .

1 + t2
8
RECORDATORIO:
2sen(x 2) cos(x 2)
senx =
cos 2 ( x 2) + sen 2 (x 2)
cos x =
=
cos 2 (x 2) − sen 2 ( x 2)
cos 2 ( x 2) + sen 2 ( x 2)
2tg( x 2)
1 + tg 2 ( x 2)
=
.
1 − tg 2 ( x 2)
1 + tg 2 ( x 2)
.
40.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS POTENCIALES:
∫
m
n
Son de la forma sen x. cos x.dx
Pueden ocurrir los casos siguientes:
 cos x = t.
1. Si m es IMPAR, entonces, se hace el cambio: − senxdx = dt.

senx = t.
Si n es IMPAR, entonces, se hace el cambio: cos xdx = dt.

 tgx = t.

Si m y n son de IGUAL PARIDAD, se hace :  dx = dt.
 cos 2 x
Notas: No siempre, en este tipo y mediante los cambios anteriores, se llega a una integral
racional sencilla,
siendo entonces preciso resolverlas mediante fórmulas de integración
por REDUCCIÓN. Veámoslas:
Cuando (m+n) ≠ 0 y los tres cambios anteriores no resultan eficaces:
Reduciendo el exponente del seno:
∫
I m,n = sen m x. cos n x.dx = −
sen m−1 x. cos n+1 x m − 1
I
+
m+n
m + n m−2,n
Reduciendo el exponente del coseno:
∫
I m,n = sen m x. cos n x.dx =
sen m+1 x. cos n−1 x n − 1
I
+
m+n
m + n m,n−2
9
MAGNITUD
SISTEMA
INTERNACIONAL
LONGITUD
Metro (m)
SISTEMA
ANGLOSAJÓN
OTRAS
3.28 pies (ft)
1Ä (Angströn)=10-10m
39.37 pulgadas (in)
MASA
SUPERFICIE
2.2 libras (p)
1 Kt (Quilate)= 0.2 g
35.27 onzas (oz)
1t (Tonelada)=103 kg
10.76 sq.ft
1 a (Área)=100m2
1550sq.in
1 ha (Hectárea)=100 a =104m2
Kilogramo (kg)
2
m
35.32 cu. ft
VOLUMEN
m3
1.000 litros (l)
264.20 US galones (ga)
pascal (Pa)
2.08x10-2 psf
10-5 bar
N/m2
1.45x10-4 psi
9.87x10-6 atm
newton (N)
0.225 libras fuerza (pf)
PRESIÓN
7.25 poundal (pdl)
FUERZA
0.102 kp
6.24x10-2 p per cu. ft
DENSIDAD
3
10-3 g/cm3
kg/m
-5
3.61x10 p per cu. in
CALOR(energia)
POTENCIA
0.74 ft pf
0.24 calorias
0.95 Btu
0.102 kpm
0.74 ft pf
1.36x10-3 cv
56.9 Btu/min
1.34x10-3 hp
julio (J)
vatio (W)
VARIACIÓN DE
TEMPERATURA
kelvin (K)
CAUDAL
m3/s
5/9 grados Fahrenheit
(ºF)
ºC
0.56 grados Rankine (R)
264.16 U.S. gps
1.000 l/s
15.850 U.S. gpm
60.000 l/min
VISCOSIDAD
DINAMICA
Pa s
VISCOSIDAD
CINEMETICA
m2/s
0.67 p/ft s
10 poises (P)
104 stokes (St)
T (K)=T(ºC)+275.15;
T(R)=T(ºF)+459.70;
TEMPERATURA
T(ºC)=5/9(T(ºF)-32)