deformación

CAPÍTULO 2
DEFORMACIÓN
Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.
Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentro
del sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólido
antes y después de deformarse es, a efectos prácticos, la misma.
Sólido sin deformar
Sólido deformado
DEFORMACION LONGITUDINAL
∆l
εL =
l0
∆x
x = posición geométrica
u = desplazamiento experimentado
Configuración
sin deformar
Configuración
deformada
P ∗Q ∗ − PQ
ε x (P ) = lim
∆x→0
PQ
P ∗ Q ∗ = OQ ∗ − OP ∗ = [x + ∆x + u (Q )] − [x + u (P )]
P ∗ Q ∗ − PQ = u (Q ) − u (P ) = ∆u
∆u ⎛ du ⎞
=⎜ ⎟
ε x (P ) = lim
∆x→0 ∆x
⎝ dx ⎠ P
n
B
∆s
B*
∆s*
A
A*
Sólido
no deformado
Sólido
deformado
∆s * −∆s
ε = lim
B → A along n
∆s
a lo largo de n
∆s* ≈ (1 + ε )∆s
∆s *
ε≈
−1
∆s
DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL,
DE CORTE O DE CIZALLADURA
z
δ
τyz
γyz
tgγ yz ≈ γ yz =
h
x
y
δ
h
Configuración
sin deformar
[
γ P = lim ángulo QPR − ángulo Q ∗ P ∗ R ∗
Q→P
R→P
[ 2 − ángulo Q P R ]
γP = lim π
Configuración
deformada
Q→P
R→P
∗ ∗ ∗
]
Las tensiones tangenciales actuando en un punto elástico
son la causa de aparición de las deformaciones angulares.
Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientos
o acortamientos del punto elástico sino que, simplemente,
distorsionan su geometría. y
γ
2
y
τyx
τyx
τxy
π
2
π
−γ
2
+γ
τxy
γ
2
x
x
Considerando un punto elástico (dimensiones infinitesimales), podemos
determinar sus dimensiones finales así como los ángulos girados por sus lados
z
εzdz
Punto elástico
deformado
y
γ yz / 2
x
εydy
Punto elástico
antes de deformarse:
(1+εx)dx (1+εy)dy (1+εz)dz
π
dz
dx
dy
2
− γ xy
π
2
− γ yz
π
2
− γ zx
CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w)
DENTRO DE UN SÓLIDO
P
P*
Vector desplazamiento en P = PP* = δP
Q
Q*
Vector desplazamiento en Q = QQ* = δQ
δQ
Q
z
d r*
dr
k
P
0
i
Q*
j
y
δP
P*
r r
r
r
δ P = u i + v j + wk
u=u(x,y,z)
v=v(x,y,z)
w=w(x,y,z)
r
x
δQ
Funciones
continuas de
x,y,z
r
r
r
= u ' i + v' j + w' k
Relación entre (u’,y’,z’) y (u,v,w):
⎫
⎪
⎪
⎪
∂v
∂v
∂v
v' = v + dx + dy + dz ⎬
∂x
∂y
∂z
⎪
⎪
∂w
∂w ⎪
∂w
dx +
dy +
dz
w' = w +
∂y
∂z ⎭
∂x
∂u
∂u
∂u
u' = u +
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
r
r
r
δ Q = δ P + [M ] d r
⎡ ∂u
⎢ ∂x
⎢
∂v
⎢
[M ] = ⎢
∂x
⎢ ∂w
⎢
⎢⎣ ∂x
∂u ∂u ⎤
∂y ∂z ⎥⎥
∂v ∂v ⎥
∂y ∂z ⎥
∂w ∂w ⎥
⎥
∂y ∂z ⎥⎦
Descomposición de la matriz [M]
r
r
r
δ Q = δ P + [M ] d r
⎡ ∂u
⎢ ∂x
⎢
[M ] = ⎢⎢ ∂v
∂x
⎢ ∂w
⎢
⎢⎣ ∂x
∂ u ∂u ⎤
∂y ∂z ⎥⎥
∂v ∂ v ⎥
∂y ∂z ⎥
∂w ∂ w ⎥
⎥
∂y ∂z ⎥⎦
=
⎡
1 ⎛ ∂ u ∂v ⎞ 1 ⎛ ∂ u ∂ w ⎞ ⎤ ⎡
∂u
1 ⎛ ∂ u ∂ v ⎞ 1 ⎛ ∂u ∂ w ⎞ ⎤
⎜⎜
⎜⎜ + ⎟⎟
− ⎟⎟
0
⎜ −
⎟⎥ ⎢
⎟⎥
⎜ +
⎢
∂
y
∂
x
∂
z
∂
x
2
2
∂
x
2
∂
y
∂
x
2
∂
z
∂
x
⎠
⎝
⎝
⎠⎥
⎝
⎠
⎝
⎠
⎢
⎥ ⎢
⎢ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞
1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂ v ∂ u ⎞
∂v
1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎥
⎜⎜ +
⎟⎟ ⎥
⎜⎜ −
⎟⎟ ⎥ + ⎢ ⎜⎜ + ⎟⎟
0
⎢ ⎜⎜ − ⎟⎟
∂
x
∂
y
∂
z
∂
y
2
2
2
∂
x
∂
y
∂
y
2
∂
z
∂
y
⎠
⎝
⎠⎥
⎠
⎝
⎠⎥ ⎢ ⎝
⎢ ⎝
⎥
⎢ 1 ⎛ ∂w ∂ u ⎞ 1 ⎛ ∂w ∂ v ⎞
⎥ ⎢ 1 ⎛ ∂w ∂ u ⎞ 1 ⎛ ∂ w ∂ v ⎞
∂w
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
−
−
0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎥
⎢ 2 ∂x ∂z
⎥ ⎢ 2 ∂x ∂z
⎜
⎟
⎜
⎟
∂z
⎝
⎠ 2 ⎝ ∂y ∂ z ⎠
⎝
⎠ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠
⎣
⎣14
⎦
44444442444444443 1444444442444444443⎦
[W ]hemisimétrica
[D ]simétrica
δQ
Q*
Q
d r*
dr
P
δP
P*
r
r
r
δ Q = δ P + ([W ] + [D ]) d r
r
r r
r∗
dr = dr + δ Q − δ P
r
r
r
r
d r ∗ = d r + [W ] d r + [D] d r
r∗
r
r
d r = ([I] + [W ]) d r + [D] d r
Descomposición de movimientos
a) Traslación de definida por
→
→
∗
PQ → P Q 1
→
∗
→
∗
b) Giro definido por la matriz hemisimétrica P Q 1 → P Q 2
→
∗
→
∗ ∗
c) Deformación definida por la matriz P Q 2 → P Q
Los pasos a) y b) son comunes (traslación + giro) para
todos los puntos del entorno del punto P, por lo que no
producen variación relativa alguna (deformación) de las
distancias entre el punto P y dichos puntos. Sólo el paso
c) es el que produce deformaciones en el entorno del
punto P y el tensor correspondiente, que admite una
representación a través de la matriz [D] respecto al
sistema de coordenadas que estamos empleando,
se denomina Tensor de Deformaciones
INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL
TENSOR DE DEFORMACIONES
∂w
∂u
∂v
εx =
, εy =
, εz =
,
∂z
∂x
∂y
γ xy
∂u ∂v
∂u ∂w
∂v ∂w
=
+
, γ xz =
+
, γ yz =
+
∂y ∂x
∂z ∂x
∂z ∂y
⎡
εx
⎢
γ xy
⎢
[D] =
⎢ 2
γ xz
⎢
⎣ 2
γ xy
2
εy
γ yz
2
γ xz ⎤
2 ⎥
γ yz ⎥
2 ⎥
εz ⎥
⎦
∂u
dy
∂y
y
∂v
v + dy
∂y
B*
β
B
A*
P*
α
dy u
v
P dx A
u+
∂v
dx
∂x
x
∂u
dx
∂x
∂v ⎫
∂x ⎪
∂u ∂v
+
⎬ ⇒ γ xy = α + β =
∂u
∂y ∂x
tgβ = β =
⎪
∂y ⎭
tgα = α =
DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERA
Vector deformación unitaria:
r
ε
π
r
ε = lim∆r →0
r
r
r
[D ]∆r = [D ]lim
∆r
dr
v
= [D ] = [D ] u
∆r →0
∆r
∆r
dr
Componentes intrínsecas de
r
r
ε
v
ε = [D ] u
:
Deformación longitudinal unitaria, εn, definida como:
r
r r r
r r
ε n = proy. ε sobre u = ε ⋅ u = ([D] ⋅ u ) ⋅ u
ε n = ε x l 2 + ε y m 2 + ε z n 2 + γ xy lm + γ yz mn + γ xz ln
Deformación angular unitaria:
γ n /2
Relación:
ε
2
= ε n2
1 2
+ γn
4
DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTES
¿Para qué direcciones el vector deformación es perpendicular al plano correspondiente?
y
y
Dirección 2
1
2
1
2
ε xy = ε yx = γ xy = γ yx
Dirección 1
γxy//2
γxy//2
x
x
γxy//2
γxy//2
r
r
[D ] u = ε u
r r
[D − εI ] u = 0
u
D −ε I = 0
ECUACION CARACTERISTICA
⇓
ε − I1ε + I 2 ε − I 3 = 0
3
2
ε 3 − I1ε 2 + I 2 ε − I 3 = 0
I1 = ε x + ε y + ε z
I2 =
εx
1
γ xy
2
(Invariante lineal)
1
γ xy
εy
2
+
1
εy
γ yz
2
1
γ yz
εx
2
+
1
εz
γ yz
2
(Invariante cuadrático)
I3 = D
(Invariante cúbico)
1
γ xz
2
εz
TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO
EN EJES PRINCIPALES
⎛ ε1 0
⎜
⎜ 0 ε2
⎜0 0
⎝
Invariantes:
0⎞
⎟
0⎟
ε 3 ⎟⎠
I1 = ε 1 + ε 2 + ε 3
I 2 = ε 1ε 2 + ε 2 ε 3 + ε 1ε 3
I 3 = ε 1ε 2 ε 3
RELACIÓN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIÓN
Y DEFORMACIÓN:
Para un sólido con comportamiento isótropo elástico lineal:
γ=
τ
G
Si τ es cero, γ es también nula: Las direcciones principales de tensión
Coinciden con las de deformación.
σmax, εmax
σint, εint
σmin, εmin
DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA
eV
Vol. final - Vol. inicial
=
Vol. inicial
Volumen inicial= dx.dy.dz
(
)
Volumen final= dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ (1 + ε x ) 1 + ε y (1+ ε z ) =
= dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ (1 + ε x + ε y + ε z + [ε x ε y +.......])
eV = ε x + ε y + ε z = I1
1
1
1
1
⎡
⎤
⎡
⎤
'
ε
γ
γ
ε
γ
γ
x
xy
xz ⎥
xy
xz ⎥
⎢ x
⎢
2
2
2
2
⎡eV 0 0 ⎤ ⎢
⎢1
⎥
⎥
1
1
1
⎢
⎥
⎢ γ xy
εy
γ yz ⎥ = ⎢ 0 eV 0 ⎥ + ⎢ γ xy
ε' y
γ yz ⎥
2
2
⎢2
⎥
⎢2
⎥
0 eV ⎥⎦ ⎢ 1
1
1
⎢1
⎥ ⎢⎣10442
⎥
4
4
3
γ
γ
ε
γ
γ
ε
'
z ⎥
z ⎥
⎢ 2 xz 2 yz
⎢ 2 xz 2 yz
Comp
.
volumetric
a
⎣14444244443⎦
⎣14444244443⎦
Tensor de deformacion
Comp. desviadora
eV = ε x + ε y + ε z
ε ' x = ε x − eV ; ε ' y = ε y − eV ; ε ' z = ε z − eV
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
r
r
r
r
δ ( x . y .z ) = u( x , y , z )i + v( x , y , z ) j + w( x , y , z )k
Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarse
arbitrariamente en función de x, y, z, sino que tendrán que verificar unas
determinadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de
deformaciones que experimenta el sólido sean físicamente posibles.
2
2
∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy
∂ 2ε x
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞
⎟⎟
+
; 2⋅
+
=
⋅ ⎜⎜ −
+
=
2
2
∂y
∂x
∂y
∂z ⎠
∂y ⋅ ∂z ∂x ⎝ ∂x
∂x ⋅ ∂y
∂ 2ε y
2
∂ 2ε y
∂ 2ε z ∂ γ yz
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞
⎟⎟
; 2⋅
−
+
= ⋅ ⎜⎜
+ 2 =
2
∂z ⎠
∂y
∂z ⋅ ∂x ∂y ⎝ ∂x
∂y ⋅ ∂z
∂z
∂y
∂ 2ε z
∂ 2ε x ∂ 2ε z ∂ 2γ xz
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞
⎟⎟
; 2⋅
+
−
+ 2 =
= ⋅ ⎜⎜
2
∂z
∂x
∂x ⋅ ∂z
∂x ⋅ ∂y ∂z ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎠
CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D)
Conocidas las componentes del tensor de deformaciones
(εx,εy,γxy/2) en un punto referidas a un sistema cartesiano
de referencia x,y, veamos cuales son las componentes de
dicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x’,y’
tal que, el su eje x’, forma un ángulo θ. Llamemos (εx’,εy’,γx’y’/2)
a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia.
y
σy’
y’
τx’y’
σx’
x’
σy
τxy
σx
θ
x
y
y’
γy’x’ / 2
γx’y’ / 2
x’
x
γx’y’ / 2 γ / 2
y’x’
ε x' =
ε y' =
γ x' y '
εx +εy
2
εx +εy
2
+
−
εx −εy
2
εx −εy
cos 2θ +
cos 2θ −
γ xy
2
γ xy
2
2
= −(ε x − ε y )sen 2θ + γ xy cos 2θ
sen 2θ
sen 2θ
CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONES
2 γ2
γ/2
εx +ε y ⎞
⎛
⎜ ε x' −
⎟ + x' y ' = R 2
⎜
⎟
2
4
⎝
⎠
2
2
ε
ε
γ xy
−
⎡ x
y ⎤
R= ⎢
⎣
ε
CRITERIO DE SIGNOS:
y
2
⎥ +
4
⎦
γ
2
τyx
τxy
τxy
γ
2
τxy
x
y
εy
γ/2
γxy
εx
x
Dirección y
ε2
ε1
Dirección x
ε