Dinámica Estructural - Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y

Capítulo 1
Consideraciones generales sobre dinámica estructural
Introducción
El objeto de la dinámica estructural es el análisis de estructuras bajo cargas dinámicas, es
decir cargas que varían en el tiempo. Aunque la mayoría de las estructuras pueden diseñarse
considerando sólo cargas estáticas, hay importantes excepciones que requieren del proyectista
la posibilidad de distinguir entre cargas estáticas y dinámicas.
En realidad, las cargas accidentales o las cargas móviles, a diferencia del peso propio, rara
vez son estrictamente estáticas porque su aplicación sobre la estructura requiere de un cierto
tiempo que en definitiva debe ser analizado para establecer si se trata de una carga estática o
dinámica. Sin embargo es intuitivamente válido aceptar que si la magnitud de la fuerza varia
en forma suficientemente lenta no causará efectos dinámicos y podrá tratarse como estática.
Para determinar si la carga varía en forma “lenta” o “rápida” el valor de referencia para
comparación es el “periodo natural de la estructura”. El periodo natural es el tiempo que tarda
la estructura en recorrer un ciclo de vibración libre, es decir la vibración que ocurre después
que finaliza la excitación externa o después que la carga deja de variar y se mantiene
constante. El periodo natural depende de la masa, de la rigidez y de las condiciones de
vínculo, todas éstas características intrínsecas o propias de la estructura.
El interés en el análisis de cargas dinámicas ha ido creciendo constantemente en los
últimos tiempos, en parte debido a que el avance en la tecnología ha hecho posibles diseños
más apropiados, y que las herramientas computacionales actuales permiten hacer con carácter
rutinario cálculos que en otra época eran cuestiones de “especialistas” reservadas para casos
muy especiales o importantes.
Además, actualmente se proyectan estructuras más audaces (más grandes, livianas, etc.)
que son más susceptibles a los efectos dinámicos porque son más flexibles y tienen periodos
naturales altos, es decir que son más sensibles a variaciones de las cargas en el tiempo. Las
relaciones entre los desplazamientos y los esfuerzos de una estructura son las mismas ya
consideradas en el análisis estático, independientemente que la carga sea de tipo estática o
dinámica. Para el análisis dinámico es necesario introducir dos tipos de fuerzas que no ocurren
en el caso estático: i) Las fuerzas de inercia asociadas la propiedad de inercia de la masa de la
estructura y de las componentes o partes no estructurales, y ii) Las fuerzas de disipación de
energía por diversos tipos de mecanismos de fricción (fricción seca, fricción viscosa, fricción
seca en uniones estructurales). El análisis dinámico apunta a determinar en primer término los
desplazamientos de la estructura en función del tiempo, y a partir de ellos determinar los
esfuerzos en la forma habitual (barra por barra) propia del método de rigidez tal como se lo ha
visto para cargas estáticas.
1.1- Fuerzas internas en las estructuras
Las fuerzas internas que actúan sobre las componentes de una estructura dependen de los
desplazamientos o deformaciones específicas. Cuando se quiere conocer una fuerza en función
de la deformación se procede en primer término a calcular la deformación, y luego por medio
de la ley de Hooke, se obtienen los esfuerzos.
Supóngase un proceso de deformación variable en el tiempo para el cual se cuenta con
instantáneas fotográficas de la deformación de la estructura. Se propone el siguiente
interrogante ¿Se pueden determinar las fuerzas elásticas internas en cada punto de la estructura
a partir de las deformaciones en cada instante, independientemente del estado de deformación
en el instante anterior o posterior al considerado? La respuesta es AFIRMATIVA, es decir
que las fuerzas elásticas sólo son dependen de los desplazamientos (y deformaciones) en cada
instante, y no de la velocidad o de la aceleración.
Para cada una de esas instantáneas para el cálculo de los esfuerzos (momento flector,
esfuerzo de corte, fuerza axial, y momento torsor) corresponde seguir el método de cálculo ya
visto para análisis estructural bajo cargas estáticas, es decir que a partir de los desplazamientos
y giros de los nudos se calculan las deformaciones específicas (curvatura de flexión,
deformación específica axial y giro en torsión por unidad de longitud) y se procede a calcular
las fuerzas elásticas internas a través de las relaciones constitutivas (Ley de Hooke para el caso
de materiales linealmente elásticos). La esencia del problema dinámico es evaluar los
desplazamientos de la estructura en cada instante del tiempo, y a partir de ellos proceder a
determinar los esfuerzos mediante las expresiones de la ley de Hooke o ley constitutiva del
material, sin distinguir entre un problema dinámico de otro estático. En realidad esta
aseveración es una primera aproximación ya que en alguna medida la velocidad con que se
deforma el material o se ensaya una probeta puede modificar en algunos casos al modulo
elástico del material, y por ende las tensiones correspondientes para igual valor de las
deformaciones. Cuando la velocidad de carga es elevada el modulo elástico tiende a
incrementarse por la viscosidad interna del material que no responde en forma instantánea. En
el marco del presente curso se considerará que las posibles variaciones del módulo elástico en
función de la velocidad de carga es un efecto de segundo orden, es decir que se supone que no
varía apreciablemente con la ley de variación de la carga en función del tiempo. De todos
modos, el análisis de la influencia de la velocidad de aplicación de la carga en el valor del
módulo elástico puede ser expresada en forma aproximada a través del concepto de
amortiguamiento viscoso interno de la estructura introduciendo el concepto de módulo elástico
dinámico.
1.2- Respuesta a cargas variables en el tiempo
El problema central de todo problema dinámico es calcular los desplazamientos (y las
respectivas deformaciones) de la estructura bajo un sistema de cargas exteriores variables con
el tiempo F (t ) . Este tipo de proceso de carga ocurre, por ejemplo, cuando un cuerpo cae sobre
una viga, cuando se levanta desde el suelo un objeto con un puente grúa, o cuando un
vehículo circula sobre un puente aún cuando el estado del pavimento sea perfecto. En un caso
genérico la amplitud de la carga F (t ) describe un diagrama como el de la Figura 1.1, que se
considera que es conocida y que constituye un dato del problema.
F (t )
t
Figura 1.1
La valoración o estimación de la función de carga F (t ) es en general compleja por la
influencia de múltiples variables involucradas, y en general es necesario recurrir a
simplificaciones que permiten aproximar el problema. En el caso de una carga dinámica que
resulta de arrojar una bolsa de arena sobre una viga perfectamente elástica (suponiendo que la
viga no disipa energía), se produce disipación de energía en la bolsa, y la intensidad y
distribución de las presiones en el contacto entre la bolsa y la viga requiere un estudio especial
cuya solución dista en general de ser trivial. En la mayoría de los distintos tipos de cargas
dinámicas propias de las estructuras civiles, la determinación de la ley de variación de la carga
en función del tiempo se basa en datos experimentales que adecuadamente interpretados y
analizados, son incorporados a los reglamentos o normas de diseño, tales como el Reglamento
INPRES-CIRSOC 103 para diseño sismo-resistente de estructuras, o a los reglamentos para
diseño de puentes carreteros (DNV) o ferroviarios.
Con frecuencia ocurre que la magnitud de F (t ) depende de la respuesta de la estructura, y
la valoración de la carga requiere de cierta aproximación previa a la solución del problema
dinámico. No es lo mismo tirar una bolsa sobre una viga muy rígida que sobre una viga que se
deforma bajo la acción del impacto, ya que la presión de contacto podrá será muy diferente
para cada según la flexibilidad de la estructura que afectará el proceso de deceleración de la
bolsa, y por ende de la fuerza de interacción entre la bolsa y la estructura.
Reconociendo que la definición de F (t ) presenta dificultades y limitaciones propias de las
aproximaciones necesarias para calcularla, en el desarrollo de las ecuaciones que controlan el
comportamiento dinámico de la estructura se supondrá F (t ) es conocida, y una vez conocida
la respuesta a esa carga exterior, se podrá corregir o mejorar la precisión de F (t ) .
En otros casos, por ejemplo para cargas de muy baja duración en el tiempo, el efecto de la
carga F (t ) se puede describir a través de la velocidad inicial que recibe la estructura como
consecuencia de la carga. En ese caso la velocidad inicial es directamente proporcional al
valor del Impulso total de la carga que se define como el valor de la integral de la función de
carga F (t ) entre el comienzo y final de la carga. Esta clase de cargas dinámicas constituyen las
denominadas Cargas Impulsivas. En esta clase de cargas se encuentran las presiones debidas
a una onda expansiva por detonación de un explosivo; una medida de la intensidad de la carga
se puede expresar a través de la magnitud del impulso que dicha carga produce, y ese impulso
se transforma en una velocidad inicial de la zona directamente afectada por la carga. Otro tipo
de cargas son las Cargas Oscilatorias características de procesos vibratorios sostenidos en el
tiempo, ya sea en régimen permanente o en régimen transitorio, en los que la duración total de
la carga es mayor o igual al período natural del sistema sobre el que actúa e involucra varios
ciclos de carga. Este tipo de cargas presentan oscilaciones en el tiempo que pueden ser
periódicas de frecuencia constante o variable en el tiempo. En esta categoría se encuentran las
fuerzas dinámicas de tipo armónico, cuyo valor medio en ciclos enteros de carga es nulo. En el
Capítulo 2 se analizan los efectos de cargas armónicas y los parámetros que las caracterizan.
1.3- Fuerzas de inercia
Imagínese una viga sobre la cual se apoya un recipiente (ambos supuestos sin masa) al que
se agrega material (con masa) para analizar qué efectos tiene sobre el comportamiento
dinámico. Si el conjunto no tiene masa, y además no hay fuerzas de disipación por fricción, la
respuesta instantánea a cada valor de F (t ) es la misma que en el caso estático (sin masa y por
lo tanto sin inercia). Es decir que el desplazamiento del sistema U (t ) sigue la variación de la
carga; U (t ) será proporcional a F (t ) y seguirá la misma secuencia en el tiempo representada
en la Figura 1.1 para F (t ) con un cierto un factor de escala relacionado con la rigidez de la
viga.
F (t )
U (t )
Figura 1.2
Cuando se introduce la masa, la propiedad de inercia de ella tiende a retrasar la respuesta
respecto a la solicitación exterior. La acción de la carga exterior introduce al sistema energía
en forma de trabajo externo como consecuencia de la carga aplicada a través del
desplazamiento que dicha carga provoca, energía que se almacena internamente en dos
modalidades: i) Energía de deformación, y ii) Energía cinética.
La masa adquiere velocidad y en este proceso absorbe parte de energía externa que ofrece
la carga exterior aplicada. Cuando deja de actuar la carga exterior, el trabajo exterior
transferido estará almacenado parcialmente como energía de deformación y como energía
cinética, y en ausencia de fricción interna o externa, la suma de ambas componentes
permanecerá constante en el tiempo.
En los problemas elásticos bajo cargas dinámicas la energía interna del sistema
está constituida por la suma de dos componentes: la energía interna de deformación
y la energía cinética. Si no hay fricción, el total de la energía externa suministrada
por la carga aplicada se transformará en energía interna de deformación y en
energía cinética en proporciones que varían en función del tiempo.
La respuesta dinámica puede traer como consecuencia que su valor máximo represente una
amplificación o una reducción respecto a la que se produciría si el sistema no tuviera inercia.
En general, para todas las restantes condiciones idénticas, no se puede decir que la respuesta
dinámica necesariamente sea mayor que la estática, es decir que el efecto de la inercia de las
masas puede llevar a una amplificación o a una reducción de la respuesta respecto al mismo
caso sin inercia.
La evaluación de la respuesta dinámica de un sistema elástico estará asociada
fundamentalmente a dos importantes características dinámicas de la estructura, una de ellas
controlada por la relación entre la inercia y rigidez elástica de las componentes y que se
expresa a través del Período Natural “T” del sistema, o de su inversa, la frecuencia Natural f
= 1/T, y la otra asociada a la capacidad de disipación de energía a través de fuerzas que se
describen en forma genérica como fuerzas de fricción o de “amortiguamiento”.
1.4- Velocidad de reacción de una estructura
La velocidad de reacción de una estructura se define a través de los periodos naturales de
vibración. La capacidad de responder a una acción externa (inercia) de alguna forma se puede
expresar a través de los llamados “periodos naturales de vibración de la estructura”.
Supóngase que una masa sustentada por un resorte elástico que es apartada de su posición de
equilibrio y luego es liberada. Ésta comenzará a oscilar alrededor de la posición de equilibrio
inicial con una cierta frecuencia propia f (y periodo T = 1/f ), que permite caracterizar la
capacidad del sistema masa/resorte para seguir la variación de la carga en el tiempo. Según la
variación en el tiempo de la función de carga con respecto a T se podrá establecer si la carga
aplicada produce efectos dinámicos o no, y en este último caso se dirá que el comportamiento
del sistema frente a la carga es estático. Si el tiempo en el que se introduce la carga es muy
pequeño frente al periodo natural se considera que la carga se aplicó en forma dinámica. La
capacidad de la estructura para “reaccionar” frente a la carga está directamente asociada al
valor del período “ T ”.
F(t)
F(t)
t
t
tD
tD
Figura 1.3
En síntesis, se puede concluir que el problema es estático o dinámico según los valores del
cociente tD / T:
Si
tD
≤ 1 → PROBLEMA DINAMICO
T
Si t D
T → PROBLEMA ESTATICO
1.5- Fuerzas disipativas
Se denomina “Amortiguamiento” a la capacidad de disipar energía del sistema. Como se
demostrará con la solución de las ecuaciones que controlan la respuesta dinámica del sistema,
hay casos en que las máximas tensiones no dependen del amortiguamiento mientras que en
otros casos el amortiguamiento juega un papel fundamental en la amplitud de la respuesta
dinámica.
F(t)
t
Figura 1.4
Para una carga de corta duración (frente al período T de la estructura) y un único pulso
como se indica
en la Figura 1.4, el amortiguamiento de la estructura no incide
apreciablemente en la magnitud de la respuesta máxima, y con frecuencia no es considerado
para calcular el valor máximo de la respuesta. Por el contrario, en el caso de movimientos
vibratorios sostenidos de tipo periódico de larga duración en el tiempo (frente al período T) el
amortiguamiento puede tener gran incidencia en la magnitud de la respuesta dependiendo de la
frecuencia de la excitación en comparación con la frecuencia natural del sistema. Para cargas
de baja frecuencia frente a la frecuencia natural, se demostrará más adelante que la respuesta
es esencialmente estática y el amortiguamiento no afecta a la respuesta. Similarmente, para
cargas de alta frecuencia frente a la frecuencia natural, el amortiguamiento tampoco incide
significativamente en la amplitud de la respuesta. Por el contrario, cuando la frecuencia de la
carga aplicada se encuentra en el entorno entre 0.5 y 2 veces la frecuencia natural de la
estructura, el amortiguamiento cobra un rol decisivo en la amplitud de la respuesta,
especialmente cuando la frecuencia natural del sistema y la excitación son muy próximas entre
sí (resonancia). Por lo tanto, las fuerzas disipativas deben ser tenidas en cuenta en los casos de
cargas oscilatorias de larga duración, aunque no siempre tendrán incidencia apreciable en la
magnitud de la respuesta.
Los procesos de disipación de energía que se denominan genéricamente como
“amortiguamiento” del sistema, son en general de naturaleza compleja. Si la ley de Hooke se
cumple durante el proceso de carga y descarga, el grafico F − U que relaciona a las Fuerzacon los Desplazamientos sigue una línea recta y el área representativa de la energía que se
disipa en el proceso de carga es igual a cero, ya que la energía almacenada durante la carga se
recupera en la descarga, resultando nula el área encerrada por la curva de carga y descarga, tal
como se ilustra en la Figura 1.5
Cuando intervienen fuerzas disipativas, una primera aproximación habitual es considerar
i
que FD es proporcional a la velocidad U a través de una constante positiva C . Esta
representación es conocida como “amortiguador viscoso”. El valor de C no necesariamente es
i
constante independiente de la amplitud del desplazamiento U , pero es habitual tratarla como
si lo fuera, y la expresión de FD es:
i
FD = C.U
Considérese ahora una barra elástica sometida a tracción por las fuerzas F (t ) y − F (t )
actuando en sus extremos, y supóngase que el material del que está compuesta la barra es
“visco-elástico”, es decir que las fuerzas aplicadas en sus extremos están equilibradas por dos
tipos de mecanismos en paralelo: i) Un mecanismo elástico propio del comportamiento
elástico descrito por la ley de Hooke, y ii) Un mecanismo viscoso que genera las fuerzas FD .
Si se supone que ambos mecanismos funcionan en paralelo, es decir que en cada instante una
parte de la carga exterior aplicada F (t ) es equilibrada por las fuerzas elásticas y otra parte por
las fuerzas viscosas FD , la variación del desplazamiento de los extremos de la barra como
función de la carga total F (t ) seguirá la curva indicada en la Figura 1.6. El diagrama F − U
pasó de ser una línea recta como en la Figura 1.5 a una elipse que encierra un área
proporcional a la energía disipada en cada ciclo de deformación completo (carga y descarga).
Nótese que en los sistemas físicos aquí considerados la elipse que describe el proceso de carga
y descarga se desarrolla en el sentido horario, y la energía neta que se disipa en cada ciclo es
positiva y proporcional al área encerrada por la elipse.
F
F
F
B
B
U
U
B
A
U
A
A
Figura 1.5
Figura 1.6
Figura 1.7
Debe tenerse en cuenta que la energía disipada en el amortiguamiento viscoso no depende
solamente de la amplitud del desplazamiento máximo “A” sino que también varía con la
velocidad de carga, es decir que si se incrementa la frecuencia de la excitación aplicada, se
incrementará el área de la elipse ya que la energía disipada en cada ciclo es proporcional a la
velocidad, la que a su vez es proporcional a la frecuencia de la excitación (para una amplitud
dada del desplazamiento máximo en cada ciclo). Este efecto se ilustra en la Figura 1.7.
Cuando la carga y descarga ocurre con suficiente lentitud se tiene una línea recta como la
Figura 1.5. Normalmente las estructuras de obras civiles tienen un amortiguamiento
relativamente bajo (la medida del amortiguamiento se define más adelante), salvo que por
alguna razón particular se requieran mecanismos especiales de disipación de energía, tal como
ocurre en algunos puentes de gran luz sustentados por cables en los que a veces es necesario
introducir dispositivos de disipación.
En cada ciclo de carga y descarga se disipa energía pero resulta relativamente complejo
efectuar mediciones directas de las fuerzas disipativas. La Figura 1.8 ilustra la parte elástica y
la parte viscosa de la carga total aplicada para cada valor del desplazamiento.
F
i
Fuerza disipativa=C.U
Fuerza Elástica=K .U
U
Figura 1.8
Los mecanismos de disipación en estructuras reales pueden resultar bastante complejos,
por lo que el modelo más utilizado para representar las fuerzas disipativas es el lineal viscoso
que es lineal y simple, además de dar resultados aceptables en muchos casos. Otro mecanismo
de amortiguamiento cuya expresión analítica resulta también similar a la de los procesos
viscosos, pero que no se originan en fuerzas viscosas, es el correspondiente a irradiación de
energía a través de los medios continuos en contacto con la estructura, fluidos como aire,
agua, etc., o sólidos como suelos y roca de fundación. En este tipo de amortiguamiento, la
expresión analítica es similar a la de las fuerzas viscosas, pero la disipación de energía se
produce a través de ondas elásticas que se transmiten desde la estructura hacia el medio
circundante sin fronteras que reflejen de vuelta dichas ondas sobre la estructura.
Si la fuerza disipativa es proporcional a la velocidad a través de la constante C se tiene:
i
FD = C.U
Al aplicar una carga exterior de forma sinusoidal con un periodo T y una frecuencia Ω ,
el desplazamiento para el estado de régimen será también armónico y de igual frecuencia:
u = U .sen(Ω.t)
i
⎡
π ⎞⎤
⎛
FD = C.U = C.Ω.U .cos(Ω.t ) = Ω. ⎢C.U .sen ⎜ Ω.t − ⎟ ⎥
2 ⎠⎦
⎝
⎣
T
F (t )
T .Ω = 2.π
1
0.5
t
2
4
6
-0.5
-1
Figura 1.9
8
10
La fuerza disipativa en este modelo viscoso resulta proporcional a la frecuencia de la carga
y desfasado 90º respecto a los desplazamientos. Nótese que las fuerzas viscosas tienen un
sentido opuesto a la componente de velocidad que las origina en todos los casos que se
consideran en este contexto. Existen ciertas situaciones en las cuales las fuerzas viscosas se
producen en el mismo sentido que la componente de velocidad, y en tal caso las fuerzas
viscosas no producen disipación de energía del sistema sino que le agregan energía al mismo.
Esta es la situación típica de procesos inestabilidad “aeroelástica” entre la estructura y el flujo
de aire que la envuelve, designados habitualmente por su expresión inglés como “Flutter”. En
este tipo de situaciones las fuerzas aerodinámicas tienden a arrastrar a la estructura hacia
mayores amplitudes de vibración. Estos procesos quedan fuera del alcance de estas notas.
Una de las complicaciones propias de las estructuras reales es que “ C ” no sea
estrictamente constante. Un caso típico de esta situación es el que corresponde a un modelo de
fuerzas disipativas en el que la elipse que representa las fuerzas FD no es función de la
velocidad (o frecuencia) de la excitación, y por lo tanto el área encerrada en cada ciclo es
independiente de la velocidad. Este modelo de amortiguamiento se conoce como
“amortiguamiento estructural o histerético” y constituye una primera aproximación
lineal a los procesos de fricción seca propios de las uniones de estructuras uniones con
remaches o bulones, o de la disipación a través de deformaciones en suelos granulares cuyo
comportamiento está controlado por la fricción entre las partículas. En realidad, este tipo de
amortiguamiento no genera ciclos de carga elípticos, y la hipótesis que se trata de fuerzas
cuya variación en función del desplazamiento es una elipse es sólo una primera aproximación.
Los procesos de fricción seca son más complejos y no responden en general a expresiones de
tipo lineal. Esta representación aproximada del amortiguamiento estructural o histerético se
suele designar como “amortiguamiento estructural lineal equivalente” ya que rescata de la
realidad el aspecto principal del proceso complejo, en el sentido que las fuerzas disipativas no
varían con la velocidad de deformación, pero no describen en detalle la variación real de las
fuerzas en función del desplazamiento (y del tiempo), y la elipse equivalente se define de
manera tal que su área sea igual a la energía disipada en cada ciclo.
En síntesis, los modelos más corrientes para representar las fuerzas disipativas son:
a) Amortiguamiento viscoso lineal, en el que el área de la elipse, o ciclo de histéresis, es
función lineal de la velocidad.
b) Amortiguamiento estructural lineal equivalente: en el que las fuerzas de fricción tienden
a ser proporcionales a la amplitud del desplazamiento pero independientes de la velocidad.
1.6- Características dinámicas de una estructura
Las características dinámicas más importantes de una estructura son los periodos naturales
de vibración y el amortiguamiento. El periodo natural es siempre importante e influye en
todos los casos de cargas dinámicas, mientras que el amortiguamiento en algunos casos puede
no ser importante y en otros casos no.
La respuesta dinámica depende además de otras propiedades como la capacidad de disipar
energía por deformación plástica y las variaciones de las propiedades de los materiales
causadas por la velocidad con que se aplica la carga. Éstos y otros factores pueden ser
importantes en algunos problemas, pero los más relevantes en todos los casos, son en
definitiva el periodo natural y el amortiguamiento del sistema.
Capítulo 2
Respuesta de un oscilador simple
Introducción
La ecuación de equilibrio dinámico, también conocida como ecuación de movimiento esta
dada por:
K .U = P(t ) − M .U − C.U
(Ec. 2.1)
K .U = P(*t )
(Ec. 2.2)
C
U
K
M
P (t )
La forma de la ecuación (Ec. 2.2) (ecuación de movimiento) pone de manifiesto el
Principio de D’Alembert por el cual es posible plantear las ecuaciones de equilibrio dinámico
agregando a las fuerzas exteriores P (t ) y a las fuerzas internas elásticas K.U, las fuerzas de
inercia y las fuerzas disipativas.
La ecuación (Ec. 2.1) pone de manifiesto que la fuerza de inercia − M .U es de signo
opuesto a U , o sea que se opone al cambio de velocidad, y la fuerza disipativa −C.U se
opone al cambio de desplazamiento o de posición de la masa.
El desplazamiento instantáneo se supone U esta medido con respecto a un sistema
inercial o fijo.
Antes de presentar la solución general de la ecuación (Ec. 2.1) es conveniente estudiar el
caso de vibraciones libres, es decir para P (t ) ≡ 0 . Para definir las propiedades dinámicas de
una estructura debemos estudiar su comportamiento cuando oscila libremente. Allí surge el
periodo propio T, que comparado luego con el periodo de la carga nos permite determinar el
carácter estático o dinámico de la carga variable en el tiempo.
2.1- Vibraciones libres
La ecuación lineal, homogénea, a coeficientes constantes:
K .U + C.U + M .U = 0
(Ec. 2.3)
Tiene por solución:
U = A.er1 .t + B.er2 .t
(Ec. 2.4)
A y B son constantes a determinar en función de las condiciones iniciales; r1 y r2 son las
raíces de la ecuación “característica”:
M .r 2 + C.r + K = 0
r1,2 =
−C ± C 2 − 4.M .K
2.M
(Ec. 2.5)
El carácter de las raíces de la ecuación (Ec. 2.5) depende del valor radicando. Se
distinguen tres casos:
a) C 2 − 4.K .M > 0
b) C 2 − 4.K .M = 0
c) C 2 − 4.K .M < 0
El caso a) corresponde a un amortiguador supercrítico, el b) a uno crítico, y el c) a uno
subcrítico. En el caso c) las raíces r1 y r2 son reales, distintas y negativas, por lo cual se verá
que la solución no tiene términos oscilatorios, sino que decaen exponencialmente. En el
caso c) las raíces son complejas con parte real e imaginaria distinta de cero, y la solución
comprende términos oscilantes que decaen exponencialmente. En el caso a) las dos raíces
son reales y negativas, y no hay términos oscilantes. En el caso b) las dos raíces son reales,
negativas e iguales entre sí, y no hay términos oscilantes.
U = A.er1 .t + B.er2 .t
U
U
U0
U0
U0 > 0
U0 = 0
t
t
El amortiguamiento estructural es habitualmente pequeño (subcrítico) y corresponde al
caso c) (salvo que específicamente se coloque un amortiguador en algún punto de la
estructura).
En lo que sigue se concentra la atención exclusivamente en el caso c) para el cual las
raíces de la ecuación (Ec. 2.5) son complejas:
r1,2 =
−C
C2
K
± i. −
+
2
2.M
4.M
M
Se introduce la siguiente notación:
Cr = 2. K .M
ξ=
ω=
(Ec. 2.6)
(Ec. 2.7)
C
Cr
(Ec. 2.8)
K
M
Donde:
Cr = Amortiguamiento crítico
ξ = Relación o cociente de amortiguamiento.
ω = Frecuencia circular del sistema no amortiguado
Reemplazando queda:
C = ξ .2.M .ω
(Ec. 2.9)
r1,2 = −ξ .ω ± i.ω. 1 − ξ 2
Designando:
ω D = ω. 1 − ξ 2
(Ec. 2.10)
r1,2 = −ξ .ω ± i.ωD
Sustituyendo estas raíces complejas en la (Ec. 2.4) nos queda:
U = A.e −ξ .ω .t .ei.ωD .t + B.e −ξ .ω .t .e − i.ωD .t
(Ec. 2.11)
Recordando que:
ei.ωD .t = cos(ω D .t ) + i.sen(ω D .t )
e − i.ωD .t = cos(ω D .t ) − i.sen(ω D .t )
Y cambiando las constantes, la ecuación (Ec. 2.11) se torna:
U = e −ξ .ω .t (C1.sen(ω D .t ) + C2 .cos(ω D .t ))
(Ec. 2.12)
La ecuación (Ec. 2.12) pone de manifiesto que la respuesta U está “modulada” por la
exponencial e −ξ .ω .t y es armónica con frecuencia circular ωD . Teniendo en cuenta la definición
de ωD = ω. 1 − ξ 2
se puede apreciar que para ξ = 0.10 ⇒ ωD = 0.995ω o sea que la
frecuencia del sistema amortiguado para el 10% del amortiguamiento critico difiere sólo un
5‰ de la correspondiente al sistema no amortiguado.
El amortiguamiento en estructuras civiles normalmente se estima en el entorno del 5%.
Rara vez supera el 10%, y a los efectos prácticos no es necesario distinguir entre ω y ωD en
las aplicaciones prácticas.
ωD
ω
1
ξ
1
0.1
Figura 2.1
En la Figura 2.1 se representa
ωD
vs ξ . La ecuación (Ec. 2.10) puede también escribirse
ω
en la forma:
2
2
⎛ ωD ⎞
⎜
⎟ + (ξ ) = 1 , ecuación que corresponde a una circunferencia de radio=1.
⎝ ω ⎠
Para determinar las constantes C1 y C2 se deriva ambos miembros de la ecuación (Ec.
2.12) respecto a t .
U = e −ξ .ω .t (C1.sen(ω D .t ) + C2 .cos(ω D .t ))
U = −ω.ξ .e −ξ .ω .t (C1.sen(ω D .t ) + C2 .cos(ω D .t )) + e −ξ .ω .t (C1.ω D .cos(ω D .t ) − C2 .ω D .sen(ω D .t ))
(Ec. 2.13)
Para t = 0 en general se suponen conocidos U 0 y U 0 , que se denominan “condiciones
iniciales del sistema”, y se tiene:
U 0 = C2
U 0 = −ω.ξ .U 0 + C1.ωD
C1 =
U =e
−ξ .ω .t
U 0 + ω.ξ .U 0
ωD
⎛ ⎛ U + ω.ξ .U 0 ⎞
⎞
. ⎜⎜ ⎜ 0
⎟ .sen(ω D .t ) + U 0 .cos(ω D .t ) ⎟⎟
ωD
⎠
⎝⎝
⎠
(Ec. 2.14)
Como ejemplo, el caso en que U 0 = 0 , es decir que se retira al sistema de su posición de
equilibrio en una magnitud U 0 y se lo deja oscilar libremente. La Figura 2.2 representa la
solución U .
U
1
U0 .
1
1− ξ 2
U0
ρ.e−ξ .ω.t
0.5
5
t
2.π
10
ωD
15
20
25
⎛ ⎛ U + ωξ
⎞
. .U0 ⎞
U = e−ξ .ω.t .⎜⎜ ⎜ 0
⎟ .sen(ωD .t ) + U0 .cos(ωD .t ) ⎟⎟
ωD
⎠
⎝⎝
⎠
-0.5
-1
Figura 2.2
La ecuación (Ec. 2.14) también puede ser escrita de otra manera imaginando que los dos
términos representan la proyección sobre un eje de dos vectores rotando a frecuencia ωD con
π
2
de diferencia de fase entre ellos, como se indica:
ρ=
(U 0 )
2
⎛ U + ω.ξ .U 0 ⎞
+⎜ 0
⎟
ωD
⎝
⎠
2
(Ec. 2.15)
⎛ U 0 + ω.ξ .U 0 ⎞
⎟
⎝ U 0 .ωD ⎠
(Ec. 2.16)
U = ρ .e −ξ .ω .t .cos(ωD .t − θ )
(Ec. 2.17)
θ = arctg ⎜
U0
ωD .t
θ
Eje de proyección
ρ
U0 + ωξ
. .U0
ωD
Figura 2.3
Para bajo amortiguamiento, el punto de tangencia de la exponencial ρ .e −ξ .ω .t con la curva
respuesta ocurre próximo al máximo local y es posible aproximar la relación entre dos picos
sucesivos de la siguiente manera:
Um
1
e −ξ .ω .t
≅ −ξ .ω .t − 2.π .ξ = −2.π .ξ
U m +1 e
e
L.
Um
≅ 2.π .ξ
U m +1
(Ec. 2.18)
Donde U m es el n-ésimo máximo desplazamiento y similarmente U m +1 .
Relacionando máximos distantes en m ciclos se tiene:
L.
Um
≅ 2.π .m.ξ
U m+ m
(Ec. 2.19)
Expresión que permite despejar el coeficiente de amortiguamiento cuando se pueden
registrar vibraciones libres experimentalmente. La relación de la (Ec. 2.19) se conoce como
“decremento logarítmico”.
2.2- Excitación Periódica
Considérese una carga P (t ) periódica como se indica en la Figura 2.4, donde T es el
periodo de la misma.
P (t )
t
0
T
2.T
3.T
Figura 2.4
Utilizando la representación de Fourier:
∞
⎛ 2.π .m ⎞ ∞
⎛ 2.π .m ⎞
P (t ) = ao + ∑ am .cos ⎜
.t ⎟ + ∑ bm .sen ⎜
.t ⎟
⎝ T
⎠ m =1
⎝ T
⎠
m =1
(Ec. 2.20)
t
(Ec. 2.21)
1
ao = .∫ P(t ).dt
T 0
(Ec. 2.22)
2
⎛ 2.π .m ⎞
am = .∫ P(t ).cos ⎜
.t ⎟ .dt
T 0
⎝ T
⎠
t
2
⎛ 2.π .m ⎞
bm = .∫ P(t ).sen ⎜
.t ⎟ .dt
T 0
⎝ T
⎠
t
(Ec. 2.23)
Es posible reducir el problema de una excitación periódica arbitraria a una superposición
de excitaciones armónicas. Si se trata de sistemas lineales, es aplicable el principio de
superposición según indica la ecuación (Ec. 2.20). Se concentrara ahora la atención en una
carga armónica de periodo arbitrario T .
Carga armónica
La ecuación de movimiento es:
K .U + C.U + M .U = P0 .sen(Ω.t )
(Ec. 2.24)
Donde:
Ω.T = 2.π
La solución general homogénea ya ha sido determinada y es de la forma de la ecuación
(Ec. 2.14). Se propone la solución particular de la forma:
U p = C1.sen(Ω.t ) + C2 .cos(Ω.t )
Sustituyendo la ecuación (Ec. 2.25) en (Ec. 2.24) se obtiene:
(Ec. 2.25)
K . ( C1.sen(Ω.t ) + C2 .cos(Ω.t ) ) + C.Ω. ( C1.cos(Ω.t ) − C2 .sen(Ω.t ) ) −
− M .Ω 2 . ( C1.sen(Ω.t ) + C2 .cos(Ω.t ) ) = Po .sen(Ω.t )
Agrupando términos que multiplican a sen(Ω.t ) y cos(Ω.t ) , se obtienen las siguientes
relaciones que deben satisfacer C1 y C2 para que U p sea solución de la ecuación (Ec. 2.24).
P
⎡⎣ +C1.ω 2 − C2 .Ω.(2.ξ .ω ) − C1.Ω 2 ⎤⎦ .sen(Ω.t ) = o .sen(Ω.t )
M
(Ec. 2.26)
⎡⎣ +C2 .ω 2 + C1.Ω.(2.ξ .ω ) − C2 .Ω 2 ⎤⎦ .cos(Ω.t ) = 0
(Ec. 2.27)
De este sistema se obtienen C1 y C2 :
C1 =
Po
1− β 2
.
K (1 − β 2 )2 + (2.ξ .β ) 2
(Ec. 2.28)
C2 =
Po
−(2.ξ .β )
.
K (1 − β 2 )2 + (2.ξ .β ) 2
(Ec. 2.29)
Donde:
β=
Ω
ω
La solución completa es la suma de la solución general homogénea y la particular, o sea:
U = e −ξ .ω .t .[ A.sen(ω D .t ) + B.cos(ω D .t ) ] +
+
(Ec. 2.30)
Po
1
.
. ⎣⎡(1 − β 2 ) .sen(Ω.t ) − (2.ξ .β ).cos(Ω.t ) ⎦⎤
2
2
2
K (1 − β ) + (2.ξ .β )
Los valores de A y B deben ser determinados en función de las condiciones iniciales.
La solución general, representada por el primer término de la (Ec. 2.30) se denomina
normalmente como solución “transitoria” ya que está amortiguada por la exponencial
decayente y eventualmente desaparece. El segundo término representa la solución particular,
que se denomina solución de “régimen”.
Para una excitación periódica, los picos del transitorio sólo ocurren unas pocas veces
mientras al comienzo del proceso, mientras que los picos de régimen, aún cuando fueran de
menor intensidad, se repiten indefinidamente y pueden producir fatiga. Por el contrario, los
picos del transitorio son pocos, pero su amplitud puede ser significativa y producir las
máximas tensiones.
Con un razonamiento similar al caso de vibraciones libres, se puede considerar que la
solución de régimen es la proyección sobre un eje de dos vectores ortogonales como se indica
en la Figura 2.5.
U
a
U
θ
ρ
Ω.t
t
b
Figura 2.5
Po
1− β 2
a= .
K (1 − β 2 )2 + (2.ξ .β ) 2
ρ=
Po
.
K
1
(1 − β )
2 2
+ (2.ξ .β ) 2
⎛ 2.ξ .β ⎞
⎟ → 0 <θ <π
⎜ (1 − β 2 ) ⎟
⎝
⎠
θ = arctg ⎜
θ = arccos ⎡⎣(1 − β 2 ) .γ ⎤⎦
b=
Po
2.ξ .β
.
K (1 − β 2 )2 + (2.ξ .β ) 2
U = ρ .sen(Ω.t − θ )
La carga exterior esta en fase con el vector a y la respuesta esta desfasada con respecto a
ella en un ángulo θ .
La variación de θ con β y ξ se indica en la Figura 2.6.
ξ =0
ξ = 0.05
ξ = 0.2
ξ = 0.5
ξ = 1.0
Figura 2.6
γ
ξ =0
5
4
3
ξ = 0.2
2
ξ = 0.5
1
ξ = 1.0
0.5
ξ = 0.7
β
1
1.5
2
2.5
3
Figura 2.7
El cociente entre la amplitud del estado de régimen y el desplazamiento estático que
produciría la carga Po se llama “coeficiente de amplificación dinámica” o factor dinámico γ .
γ=
1
(1 − β )
2 2
(Ec. 2.31)
+ (2.ξ .β ) 2
Resonancia
La Figura 2.7 muestra que el máximo factor dinámico corresponde a valores de β algo
menores pero próximos a la unidad. El valor exacto se puede obtener derivando e igualando a
“0” la (Ec. 2.31):
Si: ξ < 0.70 :
La frecuencia de resonancia es: Ω R = ω. 1 − 2.ξ 2 y el máximo factor dinámico es:
γ max =
(Ec. 2.32)
1
2.ξ . (1 − 2.ξ 2 )
Para comprender mejor el problema de resonancia se debe tener en cuenta también el
periodo transitorio. Suponiendo desplazamiento y velocidad inicial nulos, la respuesta
resonante para un caso sin amortiguamiento y para otro con amortiguamiento está dada en las
Figuras 2.8.
U
Sistema No Amortiguado
20
10
t
1
2
3
4
5
-10
-20
U
Sistema Amortiguado
1
2.ξ 4
2
t
1
2
3
4
5
-2
-4
Figura 2.8
En el sistema resonante no amortiguado la respuesta crece indefinidamente a menos que
cambie la frecuencia de la excitación, o el comportamiento se torna no lineal y deja de tener
vigencia la solución encontrada.
Es interesante observar el crecimiento de la amplitud en el sistema resonante amortiguado
en la Figura 2.9.
1
2ξ
ξ = 0.20
ξ = 0.10
ξ = 0.05
U
ξ = 0.02
1
4ξ
0
2
4
6
8
10
12
14
Número de ciclos
Figura 2.9
Por ejemplo, para un amortiguamiento del 5% se alcanza el 85% de la amplitud máxima
de resonancia en 6 ciclos, alcanzando en forma asintótica una amplificación dinámica
γ = 10 para una cantidad infinita de ciclos de carga.
2.3- Integral de Duhamel
En esta sección se analiza la respuesta U (t ) del oscilador simple sometido a una excitación
P (t ) arbitraria. El procedimiento consiste en tratar el efecto de la fuerza P (t ) como la
superposición de impulsos infinitesimales como se indica en la Figura 2.10.
P (t )
impulso P(τ ) .dτ
dτ
t
0
τ
t
Figura 2.10
La respuesta al cabo de un instante t genérico será igual a la suma (integral) de los efectos
producidos por los impulsos elementales P (τ ).dτ aplicados hasta ese instante.
Respuesta a un impulso rectangular de muy corta duración
Se adoptan como condiciones iniciales: U i = 0 , y U i = 0 para resolver la
ecuación de movimiento: K .U + M .U + C.U = P
Debido a las condiciones iniciales y a la corta duración del impulso la ecuación se reduce
a:
U=
∴
M .U = P
P
M
(a)
La velocidad en el instante t f es:
∴
U f = U i + U m .Δt
Uf =
P
.Δt
M
(b)
El espacio recorrido resulta:
1
U f = U i + U i .Δt + .U m .Δt 2 ∴
2
1 P
U f = . .Δt 2
2 M
(c)
P
P(τ )
ti
tf
0
Δt
t
τ
U
t.α = U f
Uf
α
0
t
Figura 2.11
La respuesta en un instante t corresponde a vibraciones libres regida por la (Ec. 2.14), con
condiciones iniciales dadas por las ecuaciones (b) y (c) aplicadas en cualquier instante τ:
U =e
−ξ .ω .( t −τ )
⎛ ⎛ U + ω.ξ .U 0 ⎞
⎞
. ⎜⎜ ⎜ 0
⎟ .sen (ω D .(t − τ ) ) + U 0 .cos (ω D .(t − τ ) ) ⎟⎟
ωD
⎠
⎝⎝
⎠
Donde:
U 0 = U f , es dado por (c)
U 0 = U f , es dado por (b)
Si se considera un tiempo infinitésimo dτ , el valor de U 0 dado por (c) es un infinitésimo
de orden superior frente a U 0 dado por (b) y puede por lo tanto despreciarse; luego:
dU (t ) = e
− ξ .ω .( t −τ )
⎡ P (τ )
⎤
.⎢
.dτ .sen (ωD .(t − τ ) ) ⎥
⎣ M .ωD
⎦
(Ec. 2.33)
La respuesta para una carga arbitraria se obtiene considerando que la misma es la integral
de las respuestas correspondientes a una sucesión de impulsos infinitesimales:
P
m
1 2 3
t
P
P
P
1
t
2
t
0
m t
Figura 2.12
La respuesta total es la integral de las respuestas infinitésimas dada por (Ec. 2.33):
U (t ) =
1
ωD .M
∫
t
0
e−ξ .ω .( t −τ ) .P(τ ).sen (ωD .(t − τ ) ) .dτ
(Ec. 2.34)
Adicionalmente, hay que agregar al U (t ) dado por (Ec. 2.34) la respuesta transitoria
debida a las condiciones iniciales en t = 0 ( U 0 y U 0 ) que son independientes de P (t ) .
Este procedimiento se basa en el principio de superposición y es válido sólo para
sistemas lineales.
La ecuación (Ec. 2.34) se conoce como INTEGRAL DE DUHAMEL. Cabe destacar
que esta ecuación es completamente general y puede aplicarse a cualquier tipo de carga pero
normalmente se la utiliza para tratar impulsos o efectos transitorios ya que para condiciones
de una carga armónica en régimen ya se cuenta con la solución general analizada
anteriormente. La integral de Duhamel es un caso particular de la Integral de Convolución
entre dos funciones, la de carga y la de la respuesta a un impulso unitario.
La solución de la Integral de Duhamel para diversas funciones de carga está dada por
expresiones analíticas que se encuentran resueltas y tabuladas en la literatura. Aquellos casos
en que la variación de la carga no es una función sencilla como para aproximarla por alguno
de los casos cuya solución se conoce, la solución puede obtenerse evaluando la integral de
Duhamel por algún procedimiento numérico (método de los trapecios, Simpson, etc.).
Estrictamente, la Integral de Duhamel sólo resulta conveniente para calcular la respuesta en
un instante dado perfectamente definido, es decir para un instante “t” dado. Partiendo de la
expresión (Ec. 2.34) se han desarrollado técnicas de recurrencia que permiten obtener
U (ti + Δt ) a partir de U (ti ) que permiten calcular en forma numérica la Integral de Duhamel
para todos los valores de la variable “t”.
En el caso de cargas impulsivas el valor máximo de la respuesta, que constituye el
principal interés práctico, ocurre poco tiempo después de iniciada la aplicación de la carga y
el amortiguamiento no alcanza a reducir significativamente su efecto de reducción de la
respuesta. Si no se considera amortiguamiento la expresión (Ec. 2.34) se simplifica y toma la
forma:
U (t ) =
1
ω.M
∫
t
0
(Ec. 2.35)
P(τ ).sen (ω.(t − τ ) ) .dτ
La integral de la (Ec. 2.35) está resuelta en forma analítica exacta para una cantidad de
casos típicos de cargas impulsivas. Varias soluciones explícitas de estos resultados están
dadas en la Tabla 2.1.
Ejemplos
Pulso de variación lineal con duración t D
Suponiendo un estado inicial de reposo ( U 0 y U 0 nulos) y tratándose de un efecto
impulsivo para el que interesa la máxima respuesta se puede despreciar el amortiguamiento
( ξ = 0 ) y la solución está dada por:
P(t )
P0
tD
Figura 2.13
t
U (t ) =
U (t ) =
P0
.τ .sen (ω.(t − τ ) ) .dτ
0 t
D
∫
t
para 0 < τ < t D
P0 ω t
. . τ .sen (ω.(t − τ ) ) .dτ
K t D ∫0
U (t ) = U s .
Us =
1
ω.M
ω
tD
(Ec. 2.36)
t
.∫ τ .sen (ω.(t − τ ) ) .dτ
0
P0
es la deformación estática que produciría la carga P aplicada en forma estática.
K
U (t ) = U s .
ω
tD
t
.∫ τ .sen (ω.(t − τ ) ) .dτ
0
Es necesario reconocer que la respuesta máxima puede ocurrir para τ ≤ t D o para τ > t D .
Para τ > t D se puede determinar en primer lugar la respuesta para τ = t D .
A partir de este instante, para el que es posible conocer las condiciones iniciales U (t D ) y
U (t D ) se calcula el movimiento libre del sistema según lo indicado anteriormente.
Integrando la ecuación (Ec. 2.36) por partes:
t
t
t
0
0
0
∫ u.dv = − ∫ v.du + u.v
U = τ ; dU = dτ
dv = sen (ω.(t − τ ) ) .dτ ; v =
U (t ) = U s .
cos (ω.(t − τ ) )
ω
ω ⎛ sen (ω.t ) t ⎞
.⎜ −
+ ⎟
tD ⎝
ω2
ω⎠
Finalmente para t < t D :
U (t ) =
U s ⎛ sen (ω.t ) ⎞
.⎜ t −
⎟
tD ⎝
ω
⎠
(Ec. 2.37)
U (t ) =
Us
. (1 − cos (ω.t ) )
tD
(Ec. 2.38)
Para una carga arbitraria como la de la Figura 2.10 es posible aproximar su variación por
segmentos rectos como el ilustrado precedentemente.
Pulso rectangular de duración t D
Para una carga con función escalón como la dada en la Figura 2.14 será:
P (t )
P0
tD
t
Figura 2.14
U (t ) = U s .ω.
1
ω
.cos (ω.(t − τ ) )
U (t ) = U s . (1 − cos (ω.t ) )
t
0
(Ec. 2.39)
El valor máximo de U (t ) es 2 veces U s . El factor que multiplica a U s en la (Ec. 2.36) y
sucesivas se conoce como Factor Dinámico Máximo γ . El valor máximo del mismo para
pulsos individuales de carga es menor o igual a 2. Para el caso de una serie de pulsos
sucesivos, el efecto acumulativo puede dar origen a factores dinámicos superiores a 2.
La expresión (Ec. 2.39) es válida para t ≤ t D . Para t > t D el sistema vibra libremente con
desplazamiento inicial U (t D ) y velocidad U (t D ) .
La máxima respuesta al pulso P (t ) de este caso, como en el de carga con variación lineal,
se conoce sólo después de comparar t D (tiempo que actúa la carga) con el periodo T del
sistema. Si el máximo ocurre mientras actúa la carga significa que la estructura “siente” la
carga en forma inmediata (la estructura es muy rígida frente a su masa inercial), mientras que
si la respuesta es lenta puede experimentar el máximo después que se la carga ha dejado de
actuar.
El primer máximo para (Ec. 2.39) ocurre para ω.t = π , de modo que solamente en el caso
en que t D >
T
T
(recordar ω.T = 2.π ) la respuesta alcanzará el máximo U = 2.U s . Si t D < la
2
2
carga deja de actuar antes de llegar la respuesta a 2.U s . El pulso rectangular es el que tiende a
producir los máximos valores de respuesta, y entre los pulsos rectangulares, los peores son los
de larga duración ( t D ≥
T
).
2
Una vez que el pulso pasó la duración crítica t D =
T
se producirán otros picos con
2
oscilaciones del tipo armónico superpuestos con un valor constante.
Se puede verificar fácilmente que si el final de la carga ocurriera en el instante a1 de la
Figura 2.15, el sistema continuaría oscilando con la frecuencia natural del sistema entre 0 y
± 2.U s según la línea de puntos.
U (t )
T
a2
2.Us
a1
Us
a3
0
t
Figura 2.15
Si la carga dejara de actuar en a2 la respuesta también sería armónica función armónica
con valores entre ±2.U s mientras que si la carga dejara de actuar en a3 el sistema quedaría en
reposo a partir de ese instante.
Para el caso de un impacto, la fuerza de interacción es normalmente del tipo de la Figura
2.16, pudiendo presentar uno o varios picos según la distribución de la masa y resistencia al
aplastamiento del cuerpo que impacta.
P(t )
Pmax
Pmed
0
tD
t
Figura 2.16
En estos casos se puede aproximar adoptando una carga constante con amplitud Pmed en
todo el tiempo td , o bien con una carga constante igual a la máxima Pmax . Cuando se tiene un
estado de carga convexo Figura 2.17 y se utiliza la carga instantánea máxima para calcular la
respuesta máxima, el factor dinámico máximo, a veces también denominado “coeficiente de
impacto”, es en general menor que 2.
P(t )
Pmax
t
0
Figura 2.17
En la Figura 2.18 se presentan pulsos de tres formas diferentes que actúan con igual
duración t D y amplitud P0 :
P (t )
P (t )
P0
P (t )
P0
P0
1
2
t
0
tD
0
3
t
tD
0
t
tD
Figura 2.18
La máxima respuesta varía linealmente con la amplitud del pulso P0 no así con la duración
tD .
Para cargas de corta duración respecto al período del sistema T, la respuesta máxima se
alcanza después de finalizada la carga, y a igualdad de duración del pulso t D , la mayor
respuesta corresponde a la función que aporta el mayor impulso, ya que éste introduce el
mayor cambio de cantidad de movimiento ( y de energía cinética), y por lo tanto el
desplazamiento de mayor amplitud.
γ
2,00
1,80
(1)
1,60
( 3)
1,40
( 2)
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
tD
T
0,20
0,00
0,01
0,10
1,00
10,00
Figura 2.19
El caso mas desfavorable es el pulso rectangular donde γ puede llegar a 2 si t D ≥
T
.
2
El pulso triangular (1) es tanto más desfavorable cuanto mayor sea su duración t D (en
el límite es un pulso rectangular).
Para el puso con forma de “pico” (2) el efecto más desfavorable se produce cuando
0.8 ≤
tD
≤ 1 y el Factor Dinámico Máximo resulta γ
T
1.5
Tabla 2.1
Soluciones Analíticas para la Integral de Duhamel
Nº
1
∫ P(τ ).sen (ω.(t − τ ) ) .dτ
Carga P(τ )
0
P0
t
1
P0
ω
. (1 − cos (ω.t ) )
a .t
t
2
a ⎛ sen (ω.t ) ⎞
.⎜ t −
⎟
ω ⎝
ω
⎠
b .t 2
t
3
b ⎛ 2 2.cos (ω.t ) 2 ⎞
.⎜ t +
− 2⎟
ω ⎝
ω2
ω ⎠
P0
t
t0
4
P0 ⎛ sen (ω.t ) ⎞
.⎜ t −
⎟
ω.t0 ⎝
ω
⎠
⇒ t < t0
sen (ω (t − t0 ) ) sen (ω.t ) ⎤
P0 ⎡
. ⎢t0 −
−
⎥
ω.t0 ⎣
ω
ω ⎦
⇒ t > t0
P0
P0 .(t − e β .t )
5
t
P0
ω
sen (ω.t ) ⎞
P0 .ω ⎛ − β .t
. −e + cos (ω.t ) − β .
⎟
2 ⎜
ω
ω +β ⎝
⎠
. (1 − cos (ω.t ) ) +
2
P0
P0 .e − β .t
t
6
sen (ω.t ) ⎞
P0 .ω ⎛ − β .t
. e − cos (ω.t ) + β .
⎟
2 ⎜
ω +β ⎝
ω
⎠
2
P0
⎛
t ⎞
P0 .sen ⎜ 2.π . ⎟
t0 ⎠
⎝
t
7
⎛
⎞
⎛ 2.π .t ⎞
P0 .t0
. ω.t0 .sen ⎜
− 2.π .sen (ω.t ) ⎟
⎟
2
2 ⎜
⎟
ω .t − 4.π ⎜⎝
⎝ t0 ⎠
⎠
2
P0
⎛
t ⎞
P0 . cos ⎜ 2.π . ⎟
t
0 ⎠
⎝
t
8
⎛
⎞
⎛ 2.π .t ⎞
P0 .t0 2 .ω
. ⎜ cos ⎜
⎟ − cos (ω.t ) ⎟⎟
2
2
2 ⎜
ω .t0 − 4.π ⎝ ⎝ t0 ⎠
⎠
P0
t
t0
9
P0
ω
. (1 − cos (ω.t ) ) ⇒ t < t0
P0
. ⎡cos (ω.(t − t0 ) ) − cos (ω.t ) ⎤⎦ ⇒ t > t0
ω ⎣
P0
⎛
t ⎞
P0 .sen ⎜ 2.π . ⎟
t0 ⎠
⎝
t
10
⎛
⎞
⎛ 2.π .t ⎞
P0 .t0
. ⎜ ω.t0 .sen ⎜
⎟ − 2.π .sen (ω.t ) ⎟⎟ ⇒ t < t0
2
2 ⎜
ω .t0 − 4.π ⎝
⎝ t0 ⎠
⎠
2
2.π .P0 .t0
. ( sen (ω.(t − t0 ) ) − sen (ω.t ) ) ⇒ t > t0
ω .t0 2 − 4.π 2
2
P0
t
t0
11
P0 ⎛ sen (ω.t ) ⎞
.⎜ t −
⎟ ⇒ t < t0
ω.t0 ⎝
ω
⎠
sen (ω (t − t0 ) ) sen (ω.t ) ⎤
P0 ⎡
. ⎢t0 .cos (ω (t − t0 ) ) +
−
⎥ ⇒ t > t0
ω.t0 ⎣
ω
ω ⎦
P0
t
12
t0
P0 ⎛
t sen (ω.t ) ⎞
. ⎜1 − cos (ω.t ) − +
⎟ ⇒ t < t0
ω ⎝
ω.t0 ⎠
t0
sen (ω (t − t0 ) ) sen (ω.t ) ⎤
P0 ⎡
. ⎢ − cos (ω.t ) −
−
⎥ ⇒ t > t0
ω ⎣
ω0 .t0
ω0 .t0 ⎦
P0
t
t0
2.t 0
P0 ⎛ sen (ω.t ) ⎞
.⎜ t −
⎟ ⇒ t < t0
ω.t0 ⎝
ω
⎠
13
2.sen (ω (t − t0 ) ) sen (ω.t ) ⎤
P0 ⎡
. ⎢ 2.t0 − t +
−
⎥ ⇒ t0 < t < 2.t0
ω.t0 ⎣
ω
ω ⎦
P0
. ⎡ 2.sen (ω (t − t0 ) ) − sen (ω (t − 2.t0 ) ) − sen (ω.t ) ⎤⎦ ⇒ t > 2.t0
ω 2 .t0 ⎣
P0
t
t1
t2
t3
Ver caso 4 para t < t2 ; t1 = t0
14
P0
P
. ⎡⎣ω.t1 + sen (ω (t − t1 ) ) − sen (ω.t ) ⎤⎦ − 2 0
⎡ω (t − t2 ) − sen (ω (t − t2 ) ) ⎤⎦
2
ω .t0
ω .(t3 − t2 ) ⎣
⇒ t 2 < t < t3
P0 ⎡ sen (ω (t − t1 ) ) sen (ω.t ) sen (ω (t − t3 ) ) sen (ω (t − t2 ) ) ⎤
.⎢
−
−
+
⎥ ⇒ t > t3
ω ⎣
ω.t0
ω.t0
ω.(t3 − t2 )
ω.(t3 − t2 ) ⎦
P0
⎛
⎛
t
P0 . ⎜⎜ 1 − cos ⎜ 2.π .
t
0
⎝
⎝
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
t
15
P0
ω
. (1 − cos (ω.t ) ) −
⎛
⎞
⎛ 2.π .t ⎞
P0 .ω.t0 2
. ⎜ cos ⎜
⎟ − cos (ω.t ) ⎟⎟ ⇒ t < t0
2
2 ⎜
ω .t0 − 4.π ⎝ ⎝ t0 ⎠
⎠
2
⎫
P0 ⎧
ω 2 .t 2
. ⎨cos (ω.(t − t0 ) ) − cos (ω.t ) − 2 2 0 2 . ⎡⎣ cos (ω.(t − t0 ) ) − cos (ω.t ) ⎤⎦ ⎬ ⇒ t > t0
ω ⎩
ω .t0 − 4.π
⎭
Tabla 2.2:
Valores del FACTOR DINAMICO “ γ ” y del TIEMPO DE MAXIMA
RESPUESTA “ tm ” en función de la relación
tD
para distintos tipos de pulsos.
T
γ
2,00
0,50
tm
tD
1,80
1,60
P0
0,45
P0
1,40
t
1,20
t
0,40
tD
1,00
tD
0,80
0,35
0,60
tD
T
0,40
0,20
0,00
0,01
0,10
1,00
10,00
tD
T
0,30
0,25
0,01
0,10
10,00
tm
tD
γ
10,00
2,00
1,00
1,80
P0
P0
1,60
1,40
t
t
1,20
tD
tD
1,00
0,80
0,60
tD
T
tD
T
0,40
0,20
0,00
0,00
1,00
2,00
3,00
1,00
0,00
4,00
γ
1,60
2,00
1,40
1,80
1,00
2,00
3,00
4,00
tm
tD
P0
1,60
1,20
1,40
1,00
t
1,20
0,80
tD
1,00
0,80
P0
0,60
0,60
0,40
t
0,20
0,00
0,00
tD
1,00
2,00
3,00
tD
T
4,00
tD
T
0,40
0,20
0,00
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
2.4- Integración Numérica
La solución de la ecuación diferencial del movimiento por métodos numéricos es una
herramienta más general que las soluciones analíticas rigurosas que sólo son posibles cuando
la carga y las características de rigidez del resorte pueden expresarse en una forma
matemática simple. Esto constituye una severa limitación en los problemas reales, por lo que
es necesario ampliar las posibilidades para resolver casos de interés práctico. Con la
disponibilidad de equipos de computación se ha multiplicado el uso de los métodos numéricos
en la solución de problemas de la ingeniería estructural, lo que permite soluciones de
problemas dinámicos que eran intratables en tiempos no tan lejanos.
El oscilador simple es un modelo simple pero útil para representar estructuras reales. El
modelo masa-resorte de la Figura 2.20(a) puede representar a diversas estructuras si se calcula
correctamente la constante K .
F (t )
m
U
K
m
U (t )
l
l
b
c
F (t )
m
U
F (t )
a
Figura 2.20
La Figura 2.20(b) ilustra una viga simplemente apoyada con una masa en el centro y una
fuerza variable F (t ) . La flecha al centro es:
F .l 3
U=
48.E.I
∴ K=
48.E.I
l3
Para la viga en voladizo con una masa en el extremo, Figura 2.20(c) es:
U=
F .l 3
3.E.I
∴ K=
3.E.I
l3
Considérese el pórtico de la Figura 2.21, donde la masa está distribuida a lo largo de la
viga. Se puede adoptar un modelo de un Grado de Libertad Dinámico (GLD): el corrimiento
horizontal de la viga.
F (t )
F (t )
m
2
3
1
4
U 2*
Figura 2.21
Se Calcula el corrimiento horizontal U 2 * del nudo 2; luego: K =
F
U2 *
Sistema Lineal No Amortiguado
El resorte representa la rigidez de la estructura y “ M ” es una masa concentrada. Por el
momento no se considera el amortiguamiento.
U (t )
K
M
P(t )
Figura 2.22
La ecuación del movimiento es:
K .U + M .U = P (t )
(Ec. 2.40)
La integración numérica resuelve la ecuación diferencial “paso a paso” comenzando en el
instante t = 0 para el que se conocen el desplazamiento y la velocidad iniciales.
El tiempo se subdivide en intervalos y se obtiene el desplazamiento al final de cada
intervalo por extrapolación de lo que ocurre en el instante inicial de cada intervalo. Si bien
existen varios métodos para realizar la integración “paso a paso” solamente desarrolla aquí el
denominado método de velocidad constante o también de impulsos concentrados.
U
U m+1
Um
U m−1
m−
m −1
0
Δt
1
2
m+
m
Δt
1
2
m +1
t
Figura 2.23
Suponiendo ya determinados U m y U m −1 se determina U m +1 por extrapolación:
U m+1 = U m + U m+1/ 2 .Δt
(Ec. 2.41)
(Espacio inicial más la velocidad media por intervalo de tiempo)
Donde:
U m+1/ 2 es la velocidad media en el intervalo t , tm +1 y puede aproximarse por la siguiente
expresión:
U m +1/ 2 =
U m − U m −1
+ U m .Δt
Δt
(Ec. 2.42)
(Velocidad media del intervalo precedente + aceleración por tiempo).
La aceleración U m puede despejarse de la ecuación (Ec. 2.40):
Um =
1
. ( Pm − K .U m )
M
(Ec. 2.43)
Llevando U m +1/ 2 de (Ec. 2.42) a (Ec. 2.41) se tiene:
U m+1 = 2.U m − U m−1 + U m .(Δt ) 2
(Ec. 2.44)
Reemplazando (Ec. 2.43) en (Ec. 2.44):
K
Δt 2
⎛
⎞
U m +1 = ⎜ 2 − .Δt 2 ⎟ .U m − U m −1 +
.Pm
M
M
⎝
⎠
(Ec. 2.45)
Este valor es aproximado, y su error disminuye a medida que disminuye Δt . Para fines
prácticos basta tomar intervalos de tiempo no mayores de un décimo del periodo propio del
sistema:
Δt ≤
T
10
(Ec. 2.46)
Siempre y cuando el Δt además resulte adecuado para seguir las variaciones de la carga en
función del tiempo:
P(t )
0
t
Δt inadecuado
Figura 2.24
Al comienzo del proceso de integración resulta necesario un procedimiento especial para
obtener U1 ya que no se cuenta con una valor de U −1 . Si se supone que la aceleración es
constante durante todo el primer intervalo e igual a la aceleración en t = 0 se tiene:
(Ec. 2.47)
1
U1 = U 0 + U 0 .Δt + .U 0 .Δt 2
2
Luego, bastará con aplicar repetidamente la expresión (Ec. 2.45) para encontrar la
solución para cualquier instante de tiempo.
En el caso en que tanto la fuerza exterior, el desplazamiento y la velocidad sean nulos en
el instante t = 0 la expresión (Ec. 2.47) no permite arrancar con el proceso de integración. En
ese caso se puede utilizar la expresión:
(Ec. 2.48)
1
U1 = .U1.(Δt ) 2
6
que se deduce a partir de la hipótesis que la aceleración crece linealmente durante el
primer intervalo entre cero y un valor conocido diferente de cero.
Reemplazando la expresión (Ec. 2.43) en (Ec. 2.48) resulta:
U1 =
(Ec. 2.49)
P1
6.M
+K
(Δt ) 2
que permite comenzar cuando U 0 = P0 = U 0 = 0
La (Ec. 2.48) surge de la siguiente manera:
U
U1
U (t ) t
=
Δt
U1
∴ U (t ) = U1.
U (t ) = ∫ U (t ).dt =
U1.t 2
+ U0 ⇒ U0 = 0
2.Δt
U (t ) = ∫ U (t ).dt =
U1 t 3
. + U0 ⇒ U0 = 0
Δt 6
U (t )
t
Δt
t
t
Δt
Figura 2.25
1
U (Δt ) = U1 = .U1.(Δt ) 2
6
Sistema Lineal Amortiguado
Al considerar el amortiguamiento la ecuación del movimiento es:
K .U + C.U + M .U = P(t )
(Ec. 2.50)
Luego:
Um =
Pm − K .U m − C.U m
M
(Ec. 2.51)
La (Ec. 2.51) a diferencia de la (Ec. 2.43) requiere aproximar la velocidad en el instante
tm , para lo que se propone:
Um =
U m − U m −1
Δt
+Um.
Δt
2
⎛ U − U m −1 ⎞
Pm − K .U m − C. ⎜ m
⎟
Δt
⎝
⎠
Um =
⎛ Δt ⎞
M + C. ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
2
2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
Δt
K .Δt + C.Δt
C.Δt
⎥ .U m − ⎢1 −
⎥ .U m −1 + ⎢
⎥ .Pm
U m +1 = ⎢ 2 −
⎛ Δt ⎞ ⎥
⎛ Δt ⎞ ⎥
⎛ Δt ⎞ ⎥
⎢
⎢
⎢
M + C. ⎜ ⎟
M + C. ⎜ ⎟
M + C. ⎜ ⎟
⎢⎣
⎢⎣
⎢⎣
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
⎝ 2 ⎠ ⎥⎦
(Ec. 2.52)
(Ec. 2.53)
(Ec. 2.54)
En definitiva, el procedimiento anterior es válido si se reemplaza la (Ec. 2.43) por la (Ec.
2.53) y U 0 se determina mediante (Ec. 2.51).
Sistemas No Lineales
La integral de Duhamel es una de las técnicas más usadas para análisis dinámico lineal de
estructuras sujetas a cargas variables en el tiempo. Como dicho procedimiento se basa en el
principio de superposición, es válido únicamente para estructuras lineales, es decir para
sistemas cuyas propiedades permanecen constantes durante todo el proceso dinámico (masa,
rigidez, etc.). El procedimiento de integración numérica “paso a paso” supone que las
propiedades del sistema durante cada paso de integración, pero éstas pueden variar en función
del tiempo.
Supóngase el caso de una estructura con comportamiento no lineal debido a que su rigidez
varía con la deformación como ilustra la Figura 2.26. Evidentemente, K no es constante, de
modo que en cada paso de integración el valor de K se puede adaptar en función del valor de
U.
P
U
0
Figura 2.26
Otro caso de interés es el comportamiento elasto-plástico. En general no se permiten
deformaciones plásticas en condiciones normales de operación, pero pueden contemplarse en
el diseño de estructuras que soporten severas cargas dinámicas en casos poco frecuentes o
limitados a lo largo de su vida útil.
Considérese la función carga deformación R − U
de la Figura 2.28 como una
simplificación del diagrama real de la Figura 2.27 (recordar que descargando en H , la curva
de descarga es paralela a la curva de carga y tiene la misma pendiente K ).
P
H
Pf
0
Uf
Um
δ
Figura 2.27
R
Rf
0
Uf
Um
D
U
Figura 2.28
Llamando R a la fuerza en el resorte la ecuación de movimiento queda:
(Ec. 2.55)
M .U + R = P(t )
La fuerza R en el resorte depende de U según se observa en la Figura 2.28:
R = K .U
0 <U <U f
R = Rf
U f < U < Um
R = R f − K .(U m − U )
(U m − 2.U f ) < U < U m
(Ec. 2.56)
Cuando con el cálculo numérico se llegue al punto D donde U = U m − 2.U f , será
necesario definir si el sistema permanece elástico o entra en fluencia por compresión al
mismo valor que en tracción.
Otra situación fácil de tratar con el procedimiento “paso a paso” es el cambio de la masa
durante la respuesta, ya que su valor se puede actualizar en cada instante. En tal caso será
necesario verificar que cuando la masa disminuye también disminuye el período natural T y
puede resultar necesario adecuar el intervalo de integración Δt para cumplir con los
requerimientos de precisión y estabilidad de la solución numérica (Δt/T <10).
Capítulo 3
Vibraciones Libres de Sistemas de Múltiples Grados de
Libertad
Introducción
En el capítulo anterior se analizó la respuesta de un oscilador simple (1 GLD) como
introducción para estudiar la respuesta de sistemas de múltiples GLD, tema cuyo tratamiento
comienza analizando el caso de vibraciones libres, es decir aquellas que ocurren en ausencia
de cargas exteriores, vale decir P (t ) ≡ 0 . (El vector de carga es nulo en todo instante).
En el caso de cuerpos rígidos, la Ley de Newton indica que si P (t ) ≡ 0 el sistema
permanecerá en reposo o con movimiento de velocidad constante. Sin embargo, en el caso de
cuerpos deformables, en ausencia de cargas exteriores el sistema puede vibrar libremente en
ciertas frecuencias que se denominan frecuencias propias o naturales del sistema. El
análisis de las vibraciones libres es gran importancia ya que permite identificar las
características dinámicas de la estructura para enfocar correctamente el problema dinámico
bajo cargas exteriores.
3.1- Grados de Libertad Dinámicos y Equilibrio Dinámico
Grados de libertad dinámicos
En el método de rigidez se define como grados de libertad geométricos o cinemáticos, GL,
“a los parámetros geométricos necesarios para definir en cualquier instante la configuración
deformada de un sistema”. El número de grados de libertad de una estructura de barras no es
algo inherente a cada caso particular, sino que depende del número de nudos que se adopte
para representar su configuración deformada.
En los problemas dinámicos aparece la necesidad de representar no sólo las fuerzas
elásticas a través de la matriz de rigidez del sistema, sino además representar correctamente la
distribución de la masa. A través de la propiedad de inercia que caracteriza a las masas, se
generan la fuerzas de inercia que deben ser tenidas en cuenta en las ecuaciones de equilibrio
dinámico.
Se define como grado de libertad dinámico, en lo sucesivo GLD, a aquellos grados de
libertad geométricos que tienen asociado al mismo una cierta masa, es decir la propiedad de
generar fuerzas de inercia.
En este contexto se consideran sistemas estructurales para los cuales se supondrá que las
masas están concentradas en correspondencia con los GLD. Con frecuencia se considera que
la masas concentradas son “puntuales”, es decir que sólo tienen asociada inercia de traslación,
pero no hay inconveniente en generalizar este concepto para incluir masas concentradas
asociadas a los grados de libertad de rotación.
Los modelos de la Figura 3.1.a y 3.1.b presentan tres masas concentradas. Ambos modelos
pueden representar tanto a una viga en voladizo cuya masa es despreciable y que tiene
adosadas tres masas, como también a una viga cuya masa se ha supuesto concentrada en tres
puntos. En el modelo a) todos los nudos libres presentan una masa, mientras que en el modelo
b) la mitad de los nudos tienen una masa asociada, y los restantes no la tienen.
m3
m2
3
2
m5
m3
m1
a
4
1
m1
b
7
6
5
4
3
2
1
Figura 3.1
También podría tratarse de masas concentradas que adicionales a las que surgen de
aproximar la masa distribuida (continua) de la viga.
Supóngase por el momento que sólo interesa el problema de flexión de la viga, dejando de
lado por el momento el comportamiento axial que está desacoplado mediante la suposición
que las cargas axiales y los desplazamientos transversales son pequeños.
Si se definen 3 nudos, el comportamiento en el plano requiere 3 desplazamientos y 3 giros
asociados a esos nudos para definir en forma total la configuración deformada del sistema y
poder calcular los esfuerzos internos: momentos flectores y cortes, es decir se necesitan 6
GL.
Si se incorpora un nudo al centro de cada tramo, el número de GL se eleva a 12. El
número de GL depende del número de nudos, mientras que en ambos casos el número de
GLD es 3, los tres desplazamientos verticales, ya que por tratarse de masas puntuales y
concentradas en los nudos, el momento de inercia de las masas es nulo y no hay inercia de
rotación asociada a los giros.
La solución de problemas dinámicos es en general más laboriosa que la solución de
problemas estáticos, por lo que se trata de reducir en todo lo posible el número de GLD.
Ecuaciones de Equilibrio Dinámico
Sea el ejemplo de la Figura 3.1(a) sujeto a cargas dinámicas. Si se tratara de un problema
estático, las ecuaciones de equilibrio serían simplemente:
K .U = P
(Ec. 3.1)
Donde P son las cargas exteriores en los nudos o las cargas equivalentes del “estado 2”
correspondientes al método de rigidez.
En el problema dinámico se deben agregar las fuerzas de inercia y las disipativas:
K .U (t ) = P(t ) − M .U (t ) − C.U (t )
(Ec. 3.2)
Donde:
K:
Es la matriz de rigidez
U (t ) : Es el vector desplazamiento, llamado también la “respuesta”, de 9 componentes
variables en el tiempo
P(t ) :
Vector de cargas exteriores
M : Es la matriz de masa.
U (t ) : Es el vector aceleración.
C:
Es la matriz de amortiguamiento
U (t ) : Es el vector velocidad
El sistema (Ec. 3.2) puede escribirse:
K .U + M .U + C.U = P(t )
(Ec. 3.3)
El producto K .U constituye las fuerzas elásticas, el vector - M .U son las fuerzas de
inercia y el vector - C.U son las fuerzas disipativas. La suma de estas fuerzas y las fuerzas
exteriores
P(t ) : deben permanecer en equilibrio con las fuerzas elásticas K .U en todo
instante.
El sistema (Ec. 3.3) es un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas de segundo orden
en el que K , M y C son constantes que no varían en el tiempo.
El sistema (Ec. 3.3) también se conoce como “ecuaciones de equilibrio dinámico” o
“ecuaciones de movimiento” del sistema.
Matriz de Masa
La matriz de masa M es cuadrada y del mismo orden que K . Cuando las masas están
concentradas en los grados de libertad dinámicos, es una matriz diagonal ya que la aceleración
de cualquiera de los grados de libertad dinámica no genera fuerzas de inercia en los restantes
grados de libertad.
Cuando se tiene un sistema con masas distribuidas en los tramos, se puede proceder a
aproximar la representación de la masa de la viga concentrándolas en los nudos. Como
alternativa se puede introducir una matriz de masa “consistente” que se obtiene ensamblando
la contribución de cada tramo, igual que en la matriz de rigidez, pero de este modo se obtiene
un acoplamiento en la matriz de masa que hace los cálculos más laboriosos sin que se
justifique por la precisión de los resultados. La matriz de masa “consistente” de la barra ij en
el plano es de 6 x 6. El elemento M ij32 será igual a la fuerza de inercia que se genera en el
nudo j en la dirección 2 cuando se aplica una aceleración unitaria al nudo i en al dirección 3
(giro) y la aceleración en los otros GLD es nula.
U i3 = 1
j
i
M ij32
Figura 3.2
Durante este curso se adoptarán modelos de masas concentradas y por lo tanto la matriz
M será siempre diagonal. En el caso de la viga de la Figura 3.1(a) se tiene:
⎡ m1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
M .U = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
m1
0
m2
m2
0
m3
m3
⎤ ⎡U1x ⎤
⎥ ⎢ y⎥
⎥ ⎢U1 ⎥
⎥ ⎢ φ1 ⎥
⎥ ⎢ x⎥
⎥ ⎢U 2 ⎥
⎥ i ⎢U 2y ⎥
⎥⎢ ⎥
⎥ ⎢ φ2 ⎥
⎥ ⎢U x ⎥
⎥ ⎢ 3y ⎥
⎥ ⎢U 3 ⎥
0 ⎥⎦ ⎢⎣ φ3 ⎥⎦
Los ceros en la diagonal corresponden al momento de inercia nulo de las masas puntuales.
Si las dimensiones de una masa son tales que no se puede despreciar la inercia rotacional, la
componente de la matriz de masa asociada a los grados de libertad de rotación será el valor
del momento de inercia I de esa masa alrededor del mismo eje que el grado de libertad de
rotación..
3.2- Vibraciones Libres
Por el momento se dejará de lado el amortiguamiento al plantear las ecuaciones de
movimiento para vibraciones libres. En tal caso, en ausencia de cargas exteriores P(t), las
ecuaciones de equilibrio dinámico son:
K .U (t ) = − M .U (t )
(Ec. 3.4)
O alternativamente:
K .U (t ) + M .U (t ) = 0
(Ec. 3.5)
Se trata de un sistema homogéneo (término independiente nulo P (t ) ≡ 0 ). Para encontrar
una solución no trivial ( U ≡/ 0 ) al problema, se propone una solución armónica del tipo:
U (t ) = U .sen(ω.t )
(Ec. 3.6)
Donde:
U : es un vector “forma” (independiente del tiempo), es la amplitud del movimiento
armónico de frecuencia circular ω , por ahora desconocida.
Derivando 2 veces la ecuación (Ec. 3.6) se tiene:
U (t ) = −ω 2 .U .sen(ω.t )
(Ec. 3.7)
Llevando (Ec. 3.6) y (Ec. 3.7) a (Ec. 3.5):
( K .U − ω .M .U ) .sen(ω.t ) = 0
2
Para ω ≠ 0 se tiene que:
(Ec. 3.8)
( K .U − ω .M .U ) = 0
(Ec. 3.9)
( K − ω .M ) .U = 0
(Ec. 3.10)
2
2
La ecuación (Ec. 3.10) es un sistema de ecuaciones algebraicas (no diferenciales) para el
cual se requiere que exista una solución no trivial ( U ≡/ 0 ), lo que ocurre cuando se anula el
determinante del sistema.
(Ec. 3.11)
K − ω 2 .M = 0
Al desarrollar explícitamente el determinante se obtiene una ecuación polinómica, de
orden igual al orden de las matrices K y M , en la incógnita ω 2 .
La ecuación (Ec. 3.10) es lo que se denomina un “problema de valores y vectores
propios”. Cuando el determinante de la matriz K es distinto de cero, el número de soluciones
no triviales de la (Ec. 3.11) depende del número de elementos no nulos que tenga la diagonal
principal de la matriz de masa. Cada solución de (Ec. 3.11) ωi2 da origen a un “modo natural
de vibración” con esa frecuencia circular.
De lo dicho surge que el número de modos de vibrar libremente coincide con el
número de GLD.
3.3- Matriz De Rigidez Condensada
Condensación estática
El sistema (Ec. 3.9) puede reordenarse cambiando el orden de las componentes del vector
U:
⎡U ⎤
U = ⎢ 1⎥
⎣U 2 ⎦
U1 : Contiene todos los GLD
U 2 : Contiene todos los GL que no tienen masa.
⎡ K11
⎢K
⎣ 21
K12 ⎤ ⎡U1 ⎤
M 1 0 ⎤ ⎡U 1 ⎤
2 ⎡
.
.
−
ω
⎢ 0 0 ⎥ . ⎢U ⎥ = 0
K 22 ⎥⎦ ⎢⎣U 2 ⎥⎦
⎣
⎦ ⎣ 2⎦
Las ecuaciones del primer grupo de GL son:
(Ec. 3.12)
K11.U1 + K12 .U 2 − ω 2 .M 1.U1 = 0
(Ec. 3.13)
Por otro lado, las ecuaciones correspondientes al segundo grupo de GL tienen una forma
tal que no intervienen las masas:
K 21.U1 + K 22 .U 2 = 0
(Ec. 3.14)
De ésta se puede despejar U 2 y reemplazar en (Ec. 3.13) obteniendo:
U 2 = − K 22−1.K 21.U1
(K
11
− K12 .K 22−1.K 21 ) .U1 − ω 2 .M 1.U1 = 0
(Ec. 3.15)
(Ec. 3.16)
Al reordenar los GL en la matriz de rigidez K se mantiene la simetría por lo que K11 es
cuadrada y simétrica, K 21 = K12T y K 22 también es cuadrada y simétrica.
La matriz M 1 es diagonal y no contiene ceros en la diagonal.
Al coeficiente de U1 en (Ec. 3.16) se lo designa como K C ; “Matriz de Rigidez
Condensada”.
K C = K11 − K12 .K 22−1.K12T
(Ec. 3.17)
Resulta que K C es simétrica, por ser K11 simétrica y ( K12 .K 22−1.K12T ) ser también simétrica.
El sistema de ecuaciones queda entonces:
(K
C
− ω 2 .M 1 ) .U1 = 0
(Ec. 3.18)
El problema que originalmente tenía “n” GL, fue reducido a otro problema de menor
número de incógnitas “m” que tienen inercia asociada y que se denominan GLD. En lo
sucesivo los problemas serán reducidos a través del proceso de condensación de manera de
trabajar exclusivamente con grados de libertad dinámicos.
Una vez resuelto el problema dinámico, es decir, cuando sean conocidas las componentes
del vector desplazamiento U1 , se está en condiciones de calcular U 2 a través de la expresión
(Ec. 3.15) y para finalmente calcular los esfuerzos barra por barra de igual manera que en los
problemas estáticos mediante el método de rigidez.
El procedimiento para reducir el numero de incógnitas que se ha ilustrado se
denomina “Condensación Estática”, e implica fraccionar K , calcular K 22−1 y
efectuar las operaciones indicadas en la expresión (Ec. 3.17).
La expresión (Ec. 3.11) queda:
(Ec. 3.19)
K C − ω 2 .M 1 = 0
Ecuación que tiene exactamente “m” soluciones reales y positivas correspondientes a las
“frecuencias propias” o “frecuencias naturales”, siempre que la sustentación sea tal que el
sistema resulte estable y la matriz K tenga un determinante diferente de cero.
Algunos procedimientos alternativos para obtener la matriz de rigidez
condensada
Se considera ahora el ejemplo de la viga con 3 masas de la Figura 3.1(a) teniendo en
cuenta sólo a las vibraciones transversales que están desacopladas de las vibraciones axiales.
Los GLD son 3 y por lo tanto la matriz de rigidez condensada es de 3x3.
U1
U2
U3
Figura 3.3
⎡ K11
⎢K
⎢ 21
⎣⎢ K 31
K12
K 22
K 32
(Ec. 3.20)
K13 ⎤ ⎡U1 ⎤ ⎡ P1 ⎤
K 23 ⎥⎥ . ⎢⎢U 2 ⎥⎥ = ⎢⎢ P2 ⎥⎥
K 33 ⎥⎦ ⎢⎣U 3 ⎥⎦ ⎢⎣ P3 ⎥⎦
Los coeficientes de la matriz de rigidez (en este caso matriz de rigidez condensada K )
representan las reacciones en los GLD cuando se aplica un desplazamiento unitario en uno de
ellos y los demás se mantienen fijos, tal como se ilustra en la Figura 3.4. Esta interpretación
física de los términos de la matriz de rigidez provee las bases para calcular dichos
coeficientes.
K31
U3 = 0
K21
U2 = 0
Figura 3.4
K11
U1 = 1
Si se impone el GLD U1 igual a la unidad y todos los restantes GLD iguales a 0
( U 2 = U 3 = 0 ) sin restricciones a los giros (que no son GLD en este caso por no considerar la
inercia rotacional de las masas) y resolviendo por cualquier procedimiento las condiciones de
equilibrio para este estado de deformación se tendrá:
a) Por la primera ecuación (Ec. 3.20): K11.1 = P1 , es decir que K11 es igual a la fuerza
que hay que aplicar en el grado de libertad “1” en la dirección x1 cuando se impone
un desplazamiento unitario en ese mismo punto y dirección.
b) Por la segunda ecuación: K 21.1 = P2 vale decir K 21 es numéricamente igual a la
fuerza que hay que aplicar en el grado de libertad 2 cuando se impone un
desplazamiento unitario en el grado de libertad “1”.
c) De igual manera por la tercera ecuación K 31 es numéricamente igual a la fuerza
que hay que aplicar en el grado de libertad “3” para cuando se impone un
desplazamiento unitario en el grado de libertad “1”.
Procediendo de manera similar se puede encontrar la segunda y tercera columna de K C
resolviendo los siguientes problemas hiperestáticos de desplazamientos prefijados.
K22
K32
U3 = 0
U2 = 1
K23
K33
U3 = 1
U2 = 0
K12
U1 = 0
K13
U1 = 0
Figura 3.5
Existen diversas maneras de resolver el problema hiperestático de desplazamientos
prefijados de las Figura 3.4 y 3.5. Una de esas maneras es a través de la matriz de flexibilidad
por el método de trabajos virtuales, calculando los desplazamientos en los GLD para tres
casos de carga que consisten en aplicar una carga unitaria en uno de ellos y los restantes sin
carga. Los esquemas de carga y desplazamientos respectivos están indicados en la Figura 3.6.
1
δ31
δ 21
δ11
1
δ33
δ32
δ 22
δ12
1
δ 23
δ13
Figura 3.6
La matriz K C puede ser determinada de diversas formas, entre ellas:
1) Puede resolverse por el método de las fuerzas (trabajos virtuales) planteando un estado
“0” sin cargas exteriores y luego 3 ecuaciones de compatibilidad donde las incógnitas son
K11 , K 21 , K 31 .
⎡δ11 δ12 δ13 ⎤ ⎡ K11 ⎤ ⎡1 ⎤
⎢δ
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 21 δ 22 δ 23 ⎥ . ⎢ K 21 ⎥ = ⎢0 ⎥
⎢⎣δ 31 δ 32 δ 33 ⎥⎦ ⎢⎣ K 31 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦
(Ec. 3.21)
2) Otra alternativa sería determinar las fuerzas K11 , K 21 , K 31 como reacciones de apoyo del
problema resuelto por el método de rigidez, imponiendo los distintos desplazamientos como
estados de carga independientes y calculando las reacciones para cada uno de ellos, ya sea a
través del programa de cálculo general, o alternativamente con algún procedimiento iterativo
como el método de Cross, a partir de imponer la siguiente configuración inicial.
δ =1
4
3
2
1
Figura 3.7
Similarmente, se pueden resolver por algunos de los procedimientos antes mencionados
los estados de deformación prefijada de la Figura 3.5.
4
3
3
4
1
2
1
2
Figura 3.8
Este procedimiento tiene una ventaja adicional y es que permite determinar por
superposición todos los esfuerzos una vez resueltos los desplazamientos U1 (t ), U 2 (t ), U 3 (t ) :
Un momento flector:
(Ec. 3.22)
3
M y = ∑ M yi .U i (t ) =M 1y .U1 (t ) + M y2 .U 2 (t ) + M y3 .U 3 (t )
i =1
Una reacción de apoyo:
(Ec. 3.23)
3
R j (t ) = ∑ R ij .U i (t )
i =1
El corte en una sección:
(Ec. 3.24)
3
Q j (t ) = ∑ Q ij .U i (t )
i =1
3) Otro procedimiento para hallar la matriz de rigidez condensada consiste en invertir la
matriz de flexibilidad F :
⎡δ11 δ12 δ13 ⎤ ⎡ P1 ⎤ ⎡U1 ⎤
⎢δ
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ 21 δ 22 δ 23 ⎥ . ⎢ P2 ⎥ = ⎢U 2 ⎥
⎢⎣δ 31 δ 32 δ 33 ⎥⎦ ⎢⎣ P3 ⎥⎦ ⎢⎣U 3 ⎥⎦
K C = F −1
1
a
δ31
δ11
δ 21
1
b
c
δ33
δ32
δ 22
δ12
1
δ 23
δ13
Figura 3.9
Por las características particulares de un voladizo, este caso puede ser resuelto fácilmente
con una tabla donde figure la elástica y el giro en el extremo de una viga en voladizo cargada
en el extremo.
Como ejemplo en el caso (b):
θ
b
1
δ 22
2.l
δ 22 : es la flecha en el extremo de la viga de longitud 2.L
δ 32 : es el desplazamiento en el centro de la viga de longitud 2.L
δ12 = δ 22 + θ .L : Donde θ es el giro en el extremo de la viga de longitud 2.L
3.4- Modos naturales de vibración - Propiedades
Determinación de los modos naturales
Para resolver el problema de vibraciones libres se procede en primera instancia a
determinar a través de alguno de los métodos anteriormente descriptos, la matriz de rigidez
condensada K C . El método de condensación estática es completamente general y por lo tanto
apto para cálculo automático, pero cualquiera de las alternativas mencionadas puede ser
igualmente útil para cálculos manuales.
El segundo paso consiste en resolver la ecuación característica que tendrá tantas raíces
como GLD tenga el sistema, es decir que para que el sistema de ecuaciones de equilibrio
dinámico tenga una solución no trivial se requiere que el determinante de la matriz K C − λ.M 1
sea nulo:
K C − λ .M 1 = 0
(Ec. 3.25)
con las frecuencias propias dadas por:
(Ec. 3.26)
ωi = λi
Las frecuencias propias caracterizan dinámicamente a la estructura y permiten estimar si
un determinado pulso o carga periódica produce efectos dinámicos o no.
El problema (Ec. 3.25) es equivalente a resolver:
(M
−1
1
.K C − λ .I ) .U = 0
Si la matriz K C es positiva definida, que equivale a decir que la estructura es inicialmente
estable para las condiciones de apoyo consideradas, los valores propios serán todos positivos.
Cada una de las frecuencias ωi permite una solución U i no trivial del sistema (Ec. 3.18).
(K
C
− ωi2 .M 1 ) .U i = 0
(Ec. 3.27)
Si un sistema lineal homogéneo de ecuaciones algebraicas admite una solución, cualquier
múltiplo de la misma también es una solución; luego, el vector forma modal U i queda
indeterminado en su módulo. Se suele dar un valor arbitrario, por ejemplo la unidad, a una
componente cualquiera del vector U i . Si se asigna el valor unitario al primer GLD, la primera
columna del sistema (Ec. 3.18) puede pasar al 2º miembro como termino independiente y se
procede a resolver el sistema lineal, no homogéneo de (m − 1) incógnitas para obtener las
restantes componentes de U i .
Es habitual normalizar el vector U i dividiendo todas sus componentes por la de mayor
valor absoluto, de esta forma todas las componentes del vector forma modal φi (llamado
simplemente “modo”) son menores o iguales que la unidad.
⎡ 1 ⎤
⎡γ ⎤
⎢ α ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
Ui = ⎢
⎥ = U mayor . ⎢ ⎥ = U mayor .φi
⎢U mayor ⎥
⎢1 ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ β ⎦
⎣δ ⎦
(Ec. 3.28)
Repitiendo el procedimiento descrito para cada una de las “n” frecuencias ωi se pueden
obtener los “n” modos naturales, que dispuestos en columnas configuran la matriz modal Φ .
Para la viga de la Figura 3.1(a) de 3GLD resultan 3 modos cuya forma aproximada es:
φ12
φ13
φ11
modo 1
φ
φ 22
3
2
φ 21
modo 2
φ
φ 31
3
3
φ 32
modo 3
Figura 3.10
Los modos de menor frecuencia corresponden a deformadas “suaves” (poca curvatura)
que implican poca energía de deformación; estos modos son fáciles de excitar con una
perturbación aplicada en el punto que más se mueve. Algo similar puede decirse de los modos
superiores (mayor frecuencia).
Φ = [φ1 φ2
⎡φ11 φ21
⎢ 2
2
⎢φ1 φ2
φn ] = ⎢
⎢
⎢
⎢φ n φ n
2
⎣ 1
φn1 ⎤
⎥
φn2 ⎥
(Ec. 3.29)
⎥
⎥
⎥
n⎥
φn ⎦
Se puede comprobar que la solución del sistema de ecuaciones (Ec.3.4) se puede obtener
como una combinación lineal de los modos naturales. A manera de ejemplo:
U (t ) = ∑ α i .φi .sen(ωi .t )
(Ec. 3.30)
i
El sistema puede vibrar libremente en forma simultánea y superpuesta en todos los modos.
Todo depende de las condiciones iniciales ( U 0 y U 0 ) al comenzar las vibraciones libres.
Propiedad de ortogonalidad de los modos naturales
En las estructuras civiles en general tanto K como M son matrices simétricas y positivas.
Para que esto sea válido es suficiente que la estructura sea inicialmente estable y que todas las
masas sean distintas de cero.
Una matriz A es definida positiva si X T . A. X > 0, ∀X ≠ 0 .
1
1
La energía de deformación en un resorte es: Wi = .U T .P = .U T .K .U
2
2
Por analogía, para sistemas de múltiples grados de libertad, se tiene:
(Ec. 3.31)
1
Wi = .U T .K .U > 0 → ∀U ≠ 0
2
La energía de deformación es siempre positiva e igual al trabajo de las fuerzas exteriores
P , ( P = K .U ). ( U T es el vector desplazamiento transpuesto - puesto como vector fila para
poder efectuar el producto).
Por ser diagonal la matriz de masa, se tiene que ∀X ≠ 0 :
X T .M . X = [ x1
⎡ m1
⎢
xn ] . ⎢
⎢
⎢
⎣0
x2
m2
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎥ ⎢x ⎥
⎥ . ⎢ 2 ⎥ = ∑ m .x 2 > 0
i i
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥
mn ⎦ ⎣ xn ⎦
(Ec. 3.32)
Las (Ec. 3.31) y (Ec. 3.32) expresan algebraicamente que K y M son matrices positivas;
además, como ambas matrices son simétricas, los valores propios son reales y positivos.
Supóngase por que las frecuencias naturales son todas distintas, es decir que:
ω1 ≠ ω2
≠ ωn
Cualquier modo φi con su correspondiente frecuencia ωi satisface el sistema (Ec. 3.18).
( K − ω .M ).φ
2
i
i
=0
(Ec. 3.33)
Si se multiplica ambos miembros por otro modo φ j (transpuesto) se tiene:
Para i ≠ j :
φ Tj . ( K − ωi2 .M ) .φi = 0
(Ec. 3.34)
Similarmente:
φiT . ( K − ω 2j .M ) .φ j = 0
(Ec. 3.35)
Restando miembro a miembro (Ec. 3.35) a (Ec. 3.34) y reordenando queda:
(φ
T
j
.K .φi − φiT .K .φ j ) − ωi2 . (φ Tj .M .φi ) + ω 2j . (φiT .M .φ j ) = 0
(1)
(2)
(3)
Por ser ( φ Tj .K .φi ) un escalar, es también igual a su transpuesta: ( φiT .K .φ j ), y término (1) de
la expresión se anula. Por igual razón, (2) es igual a (3) y puede sacarse factor común:
(ω
2
j
− ωi2 ) . ⎡⎣φ Tj .M .φi ⎤⎦ = 0
Donde por ser i ≠ j :
(Ec. 3.36)
φ Tj .M .φi = 0
Por otro lado se puede desarrollar la (Ec. 3.34):
φ Tj .K .φi − ωi2 . (φ Tj .M .φi ) = 0
El segundo término es nulo por la (Ec. 3.36), luego:
(Ec. 3.37)
φ Tj .K .φi = 0
Las expresiones (Ec. 3.36) y (Ec. 3.37) indican que los modos de naturales de vibración
son ortogonales respecto a las matrices de masa y de rigidez. Estas dos propiedades son
fundamentales para desarrollar en el próximo capitulo el método de descomposición modal.
Por ser M una matriz diagonal (Ec. 3.36) puede expresarse:
∑ m .φ .φ
r
r
i
r
j
(Ec. 3.38)
=0
r
Multiplicando ambos miembros de (Ec. 3.36) por ωi2 resulta:
φ Tj . (ωi2 .M .φi ) = 0
Esta expresión indica que el “trabajo de las fuerzas de inercia asociadas a un modo “ i ”a
través de desplazamientos con la forma de otro modo “ j ”, es nulo.
La (Ec. 3.37) expresa también que el trabajo de las fuerzas elásticas asociadas a una
deformación de un modo “ i ” es nulo cuando se da un desplazamiento de la forma de otro
modo “ j ”.
φ Tj . ( K .φi ) = 0
Por ultimo, existe toda una “familia” de matrices ortogonales respecto de los modos, del
tipo:
φ Tj . ⎡⎣ M .( M −1.K ) p ⎤⎦ .φi = 0
⇒
−∞ < p < ∞
Nótese que p = 0 en la (Ec. 3.36) y p = 1 en la (Ec. 3.37).
(Ec. 3.39)
Matriz Modal Normalizada
Se mencionó anteriormente que se puede normalizar los modos dividiendo todas las
componentes por la componente de mayor valor absoluto, y en tal caso se ha normalizado
respecto a esa componente específica.
También es posible normalizar cada modo a través del requerimiento que:
φiT .M .φi = 1
(Ec. 3.40)
para lo cual bastará tomar cada modo U i solución del sistema (Ec. 3.27) y calcular:
U iT .M .U i = M i
(Ec. 3.41)
para luego definir:
φi =
1
.U i
Mi
(Ec. 3.42)
Reemplazando (Ec. 3.42) en (Ec. 3.40) se aprecia que efectivamente se verifica (Ec. 3.40)
y se cumple la condición propuesta:
φ T .M .φ = I
(Ec. 3.43)
En ese caso los modos φi se dice que son “ortonormales” respecto a la matriz de masa
M . Naturalmente, si se adopta esa normalización no puede exigirse que los modos sean
también “ortonormales” respecto a la matriz de rigidez K , ya que:
φ T .K .φ = K
(Ec. 3.44)
Donde K será una matriz diagonal debido a (Ec. 3.37), que sigue siendo valida cualquiera
sea la normalización de los modos, pero sus componentes en la diagonal principal son en
general distintos de la unidad.
Por último, mientras no se aclare lo contrario, se supondrá que los modos serán
normalizados respecto a la mayor componente a los efectos de facilitar la visualización de las
formas modales.
3.5- Determinación numérica de los Modos y Frecuencias
Naturales
La determinación de las frecuencias naturales de vibración como raíces del polinomio
característico, resulta a veces laboriosa para cálculo manual en sistemas de más de 3 grados
de libertad. Por otra parte, la resolución del problema de “valores propios” (o “autovalores”)
se justifica en aquellos casos en que los modos superiores pueden tener una participación
importante en la respuesta dinámica de la estructura, y los cálculos necesarios deben
realizarse con computadora.
Para la determinación de los modos naturales de vibración mediante cálculos manuales es
corriente recurrir a los métodos de Stodola, o de Holzer. Si bien ambos métodos son
iterativos, son fundamentalmente distintos en concepto.
En el método de Stodola se parte de una aproximación inicial al modo fundamental y
mediante un proceso iterativo se lo ajusta sucesivamente hasta alcanzar una aceptable
aproximación. Posteriormente, una vez conocida la forma modal se calcula la frecuencia de
vibración correspondiente como la raíz cuadrada del cociente entre la Rigidez Generalizada
del modo ( φ T .K .φ = K ) y la Masa Generalizada φ T .M .φ = M
En el método de Holzer, por el contrario, se requiere variar sucesivamente la frecuencia
hasta alcanzar aquella que hace posible satisfacer las condiciones de apoyo. El modo de
vibración se determina en una segunda etapa.
El primero de estos métodos fue desarrollado por A. Stodola (1927) para el estudio de
alabes de turbinas y el segundo por H. Holzer (1921) para el calculo dinámico de cigüeñales.
Método de Stodola
Uno de los métodos más divulgados para determinar las frecuencias naturales con cálculos
manuales es el método de Stodola, también a veces referido como “Método de StodolaVianello”.
Este procedimiento iterativo permite ir aproximando por pasos sucesivos la
forma modal y frecuencia de los modos. Una característica de este método es que
permite aproximar el modo y la frecuencia fundamental de una manera rápida y sin
tener que desarrollar explícitamente ni resolver la ecuación característica que
corresponde a la condición que el determinante sea nulo.
Partiendo de la ecuación del movimiento en vibraciones libres:
K .U − ω 2 .M .U = 0
Se expresa:
K .U = ω 2 .M .U
(Ec. 3.45)
Se trata de un problema homogéneo y lineal en la incógnita “ U ” y se busca determinar los
valores no triviales que satisfacen la expresión (Ec. 3.45).
Asumiendo un vector inicial tentativo U 0 (no trivial) para el vector U en el segundo
miembro de (Ec. 3.45) , el problema se reduce a resolver un problema estático equivalente:
K .U = P
Donde P es igual a (ω 2 .M .U 0 ) .
Si la matriz K es “No singular” (determinante distinto de cero), el sistema lineal no
homogéneo tiene una única solución U1 . Esta solución puede ser utilizada como un nuevo
valor tentativo para U y así sucesivamente, hasta llegar a la convergencia. El método de
Stodola garantiza convergencia cuando el determinante de la matriz de rigidez es distinto de
cero.
Secuencia de Iteración
1º paso:
Se propone un U 0 inicial que cumple las condiciones de borde. Si bien U 0 puede ser
elegido arbitrariamente, en todo procedimiento iterativo el número de pasos necesarios para
alcanzar la convergencia depende en alguna medida de cuan próximo esté el valor inicial de la
solución. Por ello parecería conveniente estimar o intuir el modo fundamental utilizando
alguna “deformada suave” como se muestra en la Figura 3.11 y que generalmente
corresponde al 1º modo.
Figura 3.11
De cualquier manera no es el caso de perder mucho tiempo estimando la aproximación
inicial ya que el procedimiento lleva de todos modos necesariamente en algunos pasos de
iteración a determinar el primer modo, también llamado “modo fundamental”. Sólo en el caso
que la forma inicial que se proponga para el modo sea próxima a uno de los modos superiores
es de esperar que la convergencia al modo fundamental requiera muchos más pasos de
iteración que si se usa una buena aproximación inicial.
2º paso:
Con la aproximación inicial U 0 se recurre a la expresión (Ec. 3.45), dejando de lado ω 2 ,
que por el momento se supone igual a la unidad. Por la naturaleza del problema homogéneo,
cualquier múltiplo del modo es también otra expresión del mismo modo.
Se requiere ahora resolver el sistema lineal:
K .U1 = M .U 0
Este problema es el paso básico de las iteraciones del método de Stodola cuya solución
está al alcance de quien lo necesite.
3º paso:
Se normaliza el vector U1 para obtener U1 .
La solución U1 vendrá magnificada o reducida respecto a U 0 ya que no se ha multiplicado
el segundo miembro por ω 2 . Para que no resulten números muy grandes o muy pequeños al
cabo de varios pasos de iteración, es conveniente normalizar el vector U i en cada iteración.
Para ello se dividen las componentes de U i por la componente de mayor valor absoluto.
A continuación se repite el 2º paso con el valor de U1 recién obtenido, continuando el
proceso hasta que U converja con la precisión deseada.
En cada iteración se resuelve el sistema K .U i = M .U i−1 , se normaliza U i y se prosigue con
la nueva iteración hasta la convergencia.
Convergencia
a) Control de convergencia a través de la forma del modo:
Una manera de medir la convergencia es comparar las componentes de U i con las
respectivas componentes de U i −1 . La norma de error puede ser adimensional, por ejemplo
sobre la base del porcentaje de variación de cada una de las componentes. Suponiendo
normalizados tanto U i de la presente iteración como U i −1 de la iteración anterior, se pueden
definir los cocientes:
U i1−1
U i1
U i2−1
U i2
U in−1
………
U in
(Ec. 3.46)
Una medida del error es que estos cocientes en general no son iguales entre si a menos que
la forma modal del paso anterior (i-1) sea la forma modal exacta. En cada paso de iteración el
vector se aproxima más al primer modo y los cocientes de la (Ec. 3.46) tienden al mismo
valor.
b) Control de convergencia por la frecuencia.
En lugar de emplear la expresión (Ec. 3.46) que implica un cociente para cada uno de los
grados de libertad (GLD), resulta más simple analizar la convergencia sobre el valor de la
frecuencia que es un escalar.
En cada paso de iteración se puede calcular la frecuencia en cada paso, aunque en realidad
el cálculo de la misma no es indispensable como parte del proceso de iteración.
Cuando finalmente se llega a que ω 2 es una constante que establece la proporcionalidad
entre cada una de las componentes de
{K .U }
y de
{M .U } ; {K .U } = ω .{M .U } ,
2
i −1
i
i −1
se
cumplirá que:
Ui
(Ec. 3.47)
1
ω
.U i −1
2
Esta expresión, que se justifica formalmente más adelante, permite expresar:
ω
2
U i1−1
U i1
U i2−1
U i2
(Ec. 3.48)
U in−1
………
U in
De modo que resulta conveniente intercalar un paso de cálculo en que se calcule la
frecuencia antes de normalizar la solución obtenida en el segundo paso. Las expresiones (Ec.
3.48) dan en general valores diferentes de ω2 según la componente del vector U que se
considere, y se puede adoptar como límite de convergencia un cierto valor de la máxima
diferencia entre todos los valores de ω2 de la misma iteración. Otra alternativa es calcular el
valor promedio de ω2 dado por las expresiones de la
(Ec. 3.48) y considerarlo como
estimador de la frecuencia en cada paso.
Otra manera de estimar el valor de la frecuencia en cada iteración es a través del Cociente
de Rayleigh, que resulta del multiplicar a ambos miembros de la expresión (Ec. 3.45) por la
transpuesta del modo UT y despejar ω 2 :
U T .K .U = ω 2 .U T .M .U
ω2 =
U T .K .U
U T .M .U
∴
(Ec. 3.49)
El numerador es la rigidez generalizada en el modo considerado y el denominador es la
inercia o masa generalizada. Esta expresión es exacta cuando U es la forma modal exacta,
y será utilizada cuando se aplique el método de descomposición modal.
ωi2 =
Ki
Mi
(Ec. 3.50)
Hay una serie de cocientes modificados, todos derivados de la expresión (Ec. 3.49), que
tratan de mejorar la aproximación utilizando la forma modal anterior y la actual para
extrapolar un valor más aproximado de la frecuencia.
A los efectos del presente curso, para estimar la frecuencia resulta suficiente tomar la
forma modal de cada iteración y reemplazarla en (Ec. 3.49). Nótese que el valor de la
frecuencia ω2 no depende si se usa la forma modal normalizada o sin normalizar.
Uno de los criterios de convergencia más simples consiste en intercalar en cada
iteración un paso que calcule la expresión (Ec. 3.50) y comparar la frecuencia así
obtenida con el valor correspondiente al paso anterior, y verificar que la variación
no supere incierto porcentaje prefijado como tolerancia.
Debe señalarse que la precisión en la forma modal es en general inferior a la de la
frecuencia. Por ejemplo, no es lo mismo decir que de un paso al siguiente el cambio de la
frecuencia es menor del 2%, que decir que la diferencia en cada componente del modo o aún
en promedio, es menor del 2%. En general es más exigente el criterio aplicado sobre el modo
ya que la frecuencia calculada según (Ec. 3.50) es una especie de promedio y los errores de
distinto signo tienden a compensarse en la estimación de la frecuencia.
Cuando interesa una estimación rápida de la frecuencia fundamental es
suficiente controlar la convergencia a través del valor de ω . Cuando con este
método se quiere calcular varios los modos es indispensable alcanzar una buena
convergencia en el modo porque de lo contrario las condiciones de ortogonalidad
llevan a errores significativos en el cálculo de los modos superiores.
Hasta aquí la secuencia de iteración presentada permite obtener el modo fundamental. Si
se desea además determinar el segundo modo, bastará aplicar el mismo método pero con un
vector aproximado cuya ortogonalidad respecto del primer modo esté garantizada. Por lo tanto
si la aproximación del primer modo es pobre, no se puede pretender llegar a una buena
aproximación para el segundo modo. Para determinar varios modos se requiere establecer
criterios de convergencia muy exigentes ya sea en el modo o en la frecuencia. A manera de
ejemplo, una tolerancia de convergencia en la frecuencia del 1% en dos pasos consecutivos
que puede ser aceptable para estimar la frecuencia fundamental, resulta en general insuficiente
para determinar los modos superiores.
Cuando se desea determinar varios modos el criterio de convergencia requiere cierta
experiencia empírica según el tipo de estructura. Por ejemplo, para 20 GLD y si sólo se
desean calcular 3 modos no es necesario ser tan exigentes en la tolerancia de convergencia
como para calcular 6 modos, porque a los últimos modos se le acumulan errores de todos los
modos anteriores.
Demostración de la Convergencia del Método de Stodola
Una aproximación cualquiera U puede expresarse como una combinación lineal de los
modos naturales V j a través de coeficientes indeterminados q j que son las componentes en
cada modo:
U = q1.φ1 + q2 .φ2 +
+ qn .φn
(Ec. 3.51)
n
U i = ∑ qij .φi
j =1
El índice “ i ”se refiere al paso de iteración i , mientras que el índice “ j ” se refiere al
modo natural j .
En vibraciones libres se tiene: { K .U − ω 2 .M .U } = 0
Multiplicando por la inversa de M eso implica que: ⎡⎣ M −1.K − ω 2 .I ⎤⎦ = 0
Los modos naturales de vibración son los vectores propios de la matriz ⎡⎣ M −1.K ⎤⎦ y los
valores propios son iguales el cuadrado de la frecuencia natural de vibración.
Por otro lado: K .U i = M .U i −1
⇒
U i = ⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ .U i −1
La matriz inversa de ⎡⎣ M −1.K ⎤⎦ es decir, ⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ tendrá los mismos vectores propios φ j ,
pero con valores propios recíprocos, vale decir
1
ω j2
.
Nótese también que por definición de modo y frecuencia natural se tiene que:
1
ωj
2
.φ j = K −1.M .φ j
Multiplicar al vector modo φ j por ⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ equivale a dividir sus componentes por ω 2 :
⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ .U = q1. ⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ .φ1 + q2 . ⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ .φ2 +
1
1
⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ .U = q1. 2 .φ1 + q2 . 2 .φ2 +
ω
ω
1
2
+ qn .
+ qn . ⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ .φn
1
ωn 2
.φn
Sintetizando: ⎡⎣ K −1.M ⎤⎦ .U i −1 = U i
n
U i = ∑ qij .
j =1
1
ωj
(Ec. 3.52)
.φ j
2
De la comparación de (Ec. 3.51) y (Ec. 3.52) resulta evidente que en cada paso de
iteración la componente de cada modo q j crece con el cuadrado de la inversa de la
frecuencia ω j de ese modo. De esta manera, la componente q j que mas crece es la
correspondiente a la frecuencia mas baja, vale decir, la correspondiente al modo
fundamental.
Durante el proceso de iteración de este método la componente del modo fundamental q1
tiende a “1”, mientras que las restantes componentes tienden a “0”. Al alcanzar el nivel de
convergencia establecido la expresión (Ec. 3.52) se reduce a:
U i = 1.
(Ec. 3.53)
1
ω1
.φ
2 1
que demuestra la expresión (Ec. 3.47).
La convergencia del método de Stodola al primer modo queda en consecuencia
garantizada cuando la matriz de rigidez K es definida positiva.
Método Stodola para obtener el modo de más alta frecuencia
En el proceso iterativo planteado para determinar el modo fundamental se adoptó un valor
tentativo de U en el segundo miembro de la expresión (Ec. 3.45) y se resolvió un sistema de
ecuaciones lineales cuya matriz es K .
K .U = ω 2 .M .U
Se propone ahora un valor U para el primer miembro, según el siguiente esquema:
M .U i =
(Ec. 3.54)
1
ω
.K .U i −1
2
Como la matriz M es diagonal las ecuaciones están totalmente desacopladas y la solución
es inmediata.
Es evidente que este procedimiento resulta operativamente mucho más simple pero ocurre
que en cada iteración las componentes de cada modo crecen proporcionalmente al cuadrado
de su frecuencia ω j y el método converge al modo más alto.
Según se ha indicado anteriormente, los modelos de masas concentradas son una buena
representación para los modos bajos, pero no tan buenas para los modos altos. Por
consiguiente esta forma de operar según (Ec. 3.54) no se utiliza corrientemente porque nos
lleva al modo más alto, y el modelo de masas concentradas no constituye una buena
aproximación al problema físico real. Naturalmente, es posible determinar el modo
fundamental con esta secuencia de iteración, determinando previamente todos los modos
superiores, comenzando por el de más alta frecuencia.
Resumiendo, la expresión (Ec. 3.54) permite determinar de una manera
expeditiva los modos altos que de cualquier manera no son de gran precisión por
incapacidad del modelo de masas concentradas de representar bien a dichos modos.
Obtención del segundo modo y su frecuencia
Una vez obtenido el primer modo se puede aplicar el mismo procedimiento anteriormente
descrito para obtener el segundo modo.
En cada paso, la forma tentativa del segundo modo deberá ser ortogonal al primero.
Sea φ1 el primer modo, donde el subíndice indicara el modo, y el súper-índice indica la
componente del modo.
⎡φ11 ⎤
⎢ 2⎥
φ
φ1 = ⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ n⎥
⎣⎢φ1 ⎦⎥
La forma modal aproximada inicial (U 2 )0 tendrá en general componentes en todos los
modos:
(Ec. 3.55)
n
+ qn .φn = ∑ q j .φ j
(U 2 )0 = q1.φ1 + q2 .φ2 +
j =1
La componente que crecerá más en cada iteración será “ q1 ”, por lo que se trata de anularla
mediante un “barrido” en cada iteración.
A partir de (U 2 )0 se puede determinar una aproximación (U 2 )0 ortogonal al primer modo:
*
(U 2 )0
*
= (U 2 )0 − q1.φ1
(U 2 )0
*
(Ec. 3.56)
= 0.φ1 + q2 .φ2 +
+ qn .φn
Para determinar q1 en la expresión (Ec. 3.55) se multiplica ambos miembros por {φ1T .M } :
φ1T .M . (U 2 )0 = q1.φ1T .M .φ1 + q2 .φ1T .M .φ2 +
Donde los términos: q2 .φ1T .M .φ2 +
+ qn .φ1T .M .φn
+ qn .φ1T .M .φn son cero por ortogonalidad
Luego:
φ1r .M r . (U 2r )0
φ1T .M . (U 2 )0 ∑
q1 =
= r
2
T
φ1 .M .φ1
∑ M r . (φ1r )
(Ec. 3.57)
r
Secuencia iterativa
d) Se propone (U 2 )0
e) Se calcula q1 según (Ec. 3.57)
f) Se determina (U 2 )0 según (Ec. 3.56).
*
g) Se resuelve K . (U 2 )1 = M . (U 2 )0
*
h) Se normaliza la solución (U 2 )1
i) Se estima la frecuencia según (Ec. 3.49)
j) Se repite el paso d) utilizando en el segundo miembro (U 2 )1 .
Observación:
En realidad la componente que más crece en cada paso es q1 que para (U 2 )i no es
*
exactamente nula debido a los errores numéricos por truncación y redondeo. Para garantizar la
convergencia al segundo modo se deben repetir en cada paso de iteración los pasos a), b) y c).
Partiendo de (U 2 )i −1 .
Obtención de los modos superiores al segundo
Una vez obtenido el segundo modo, se aplica el método con una forma modal aproximada
(U 3 )0
la que debe transformarse en una forma modal ortogonal tanto al primero como al
segundo modo:
(U 3 )0 = q1.φ1 + q2 .φ2 +
+ qn .φn
(Ec. 3.58)
Luego:
(U 3 )0
*
= (U 3 )0 − q1.φ1 − q2 .φ2
(U 3 )0
*
(Ec. 3.59)
= 0.φ1 + 0.φ2 + q3 .φ3 +
+ qn .φn
Multiplicando ambos miembros de (Ec. 3.58) por φ1T .M resulta por ortogonalidad:
n
q1 =
φ .M . (U 3 )0
=
φ1T .M .φ1
T
1
∑φ
r
1
r =1
.M r . (U 3r )
n
∑ M . (φ )
r =1
r
1
r
(Ec. 3.60)
0
2
Multiplicando ambos miembros de (Ec. 3.58) por φ2T .M resulta por ortogonalidad:
n
q2 =
φ .M . (U 3 )0
=
φ2T .M .φ2
T
2
(Ec. 3.61)
∑ φ .M .(U )
r
2
r =1
r
n
r
3 0
∑ M . (φ )
r =1
r
r 2
2
La secuencia iterativa es la misma utilizada para obtener el 2º modo:
k) Se propone (U 3 )0
l) Se calcula q1 según (Ec. 3.60) y q2 según (Ec. 3.61)
m) Se determina (U 3 )0 según (Ec. 3.59)
*
n) Se resuelve el sistema K . (U 3 )1 = M . (U 3 )0
*
o) Se normaliza la solución (U 3 )1
p) Se determina la frecuencia según (Ec. 3.49)
q) Se repiten los pasos d) , e) y f) hasta convergencia.
El procedimiento descrito para obtener el segundo y tercer modo puede generalizarse para
obtener todos los restantes modos superiores.
En síntesis, el método de Stodola es muy conveniente para determinar los
primeros modos, pero no es en general el más adecuado para determinar los modos
superiores. Todo dependerá del grado de precisión con que se trabaje y el número de
GLD.
Cuanto mayor sea el número de GLD habrá mayor acumulación de errores ya que los
modos superiores se determinan por la condición de ortogonalidad respecto a los modos
anteriores.
El método de Stodola es una de las formas más simples y rápidas de obtener el
modo fundamental por repetición de pasos de calculo estático.
La determinación del modo y la frecuencia fundamental se convierte “casi” en un cálculo
estático. Una forma particular del método de Stodola para estimar la frecuencia fundamental y
el primer modo conocido como Método de Rayleigh consiste en adoptar un procedimiento
especial para proponer U 0 , que consiste en adoptar como vector de carga inicial {M .U 0 } al
vector del peso propio de la estructura. Con dicho vector se procede a resolver el sistema de
ecuaciones de la primera iteración de Stodola, se determina la solución U1 , y con ese valor se
determina la frecuencia fundamental a través de:
ω12 =
U1T .K .U1
U1T .M .U1
Los pasos de este procedimiento simplificado para estimar el modo y la frecuencia
fundamental se ilustran en los ejemplos de la Figura 3.12
m1.g
m2 .g
m3 .g
1
3
m2 .g
2
m3.g
2
6
1
m3.g
3
m4 .g m5 .g
m1.g
2
m1.g m2 .g
3
4
5
m6 .g
1
Figura 3.12
Este procedimiento implica que en lugar de estimar U 0 como se hace en la forma normal
del método de Stodola, se define un vector de aproximación ( M .U 0 ) que es directamente el
peso de la estructura aplicado en la dirección en que se producen las deformaciones de interés.
En el caso de la columna con tres masas, las fuerzas asociadas al peso se aplican en dirección
horizontal, mientras que en el caso de la viga las cargas del peso propio se aplican en la
dirección vertical en el primer paso de Stodola.
La deformación estática causada por el peso de las masas será utilizada como primera
aproximación U 0 del método de Stodola, y si se desea mayor precisión se continua luego en
la forma habitual.
Método Holzer
k1
m1
k2
m2
k3
m3
k4
m4
Figura 3.13
Este procedimiento esta orientado a la solución de casos donde la geometría de la pieza es
básicamente unidimensional (o representable por un modelo unidimensional) como el caso de
las Figura 3.13 y 3.14.
inercia rotacional concentrada
rigidez torsional equivalente
Figura 3.14
Este método consiste en suponer un valor de ω 2 para el que comenzando desde un
extremo de la pieza se integra hasta el otro extremo, ajustando sucesivamente ω 2 para
cumplir las condiciones de borde en los dos extremos. Es muy utilizado en conjunción con la
técnica de matrices de transferencia.
En ingeniería mecánica el método Holzer resulta muy conveniente para el estudio de
vibraciones torsionales de ejes, cigüeñales, etc.
Capítulo 4
Método de Descomposición Modal
Introducción
En el capitulo anterior se ha tratado el problema de vibraciones libres que implica resolver
un sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo (2do. miembro nulo):
K .U + M .U = 0
Ahora se considera el caso de un sistema de múltiples GLD bajo cargas variables en el
tiempo:
K .U + M .U + C.U = P(t )
La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales es muy laboriosa aun en el caso de
emplear métodos numéricos. Para simplificar el problema se introduce una transformación de
coordenadas adecuadas para las cuales, aprovechando las condiciones de ortogonalidad, es
posible llegar a un sistema de ecuaciones desacoplado, (una sola incógnita en cada ecuación).
4.1- Coordenadas Normales
Se retoma el ejemplo de la viga en voladizo con tres masas (Figura 4.1) tratada en el
Capítulo 3. La configuración deformada en el problema dinámico está dada por el vector
desplazamiento U .
⎡U1 ⎤
⎢U ⎥
⎢ 2⎥
⎢⎣U3 ⎥⎦
m3
m2
m1
3
2
1
U3
U2
=
=
⎡U1 ⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
U1
+
+
⎡0⎤
⎢U ⎥
⎢ 2⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
U2
+
+
⎡0⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢⎣U 3 ⎥⎦
U1
U3
Figura 4.1
Una forma de expresar el vector desplazamiento es por medio de una combinación lineal
de la base canónica:
⎡U 1 ⎤
⎡1 ⎤
⎡0 ⎤
⎡0 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
U = ⎢U 2 ⎥ = U1. ⎢ 0 ⎥ + U 2 . ⎢1 ⎥ + U 3 . ⎢⎢0 ⎥⎥
⎢⎣U 3 ⎥⎦
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣0 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
(Ec. 4.1)
Cada vector e j de la base canónica corresponde a una configuración deformada en la cual
el desplazamiento prefijado en el grado de libertad “ j ” es la unidad y los desplazamientos en
los restantes GLD son nulos. Para los grados de libertad no dinámicos no se impone ninguna
condición.
Los modos de vibrar pueden también utilizarse como una base para expresar el vector
desplazamiento. El estado deformado U
combinación lineal de los vectores modo:
de la Figura 4.1 puede expresarse como
⎡φ11 ⎤
⎡φ21 ⎤
⎡φ31 ⎤
⎡U 1 ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
U = ⎢⎢U 2 ⎥⎥ = q1. ⎢φ12 ⎥ + q2 . ⎢φ2 2 ⎥ + q3 . ⎢φ32 ⎥
⎢φ13 ⎥
⎢φ23 ⎥
⎢φ33 ⎥
⎢⎣U 3 ⎥⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
(Ec. 4.2)
U = q1.φ1 + q2 .φ2 + q3 .φ3 = ∑ qi .φi
(Ec. 4.3)
i
En notación matricial:
U = φ .q
(Ec. 4.4)
U
=
q1.φ1
+
q2 .φ2
+
q3 .φ3
Figura 4.2
Los coeficientes qi de la combinación lineal son un tipo de coordenadas generalizadas que
se denominan coordenadas normales de la estructura.
La (Ec. 4.4) muestra que la matriz modal φ sirve para transformar las coordenadas
generalizadas en coordenadas geométricas.
Por ser los modos ortogonales, la matriz modal φ admite inversa y por lo tanto el sistema
algebraico de ecuaciones lineales (Ec. 4.4) puede ser resuelto para cualquier U . Sin embargo
es posible determinar las coordenadas normales qi sin resolver el sistema de ecuaciones si se
aprovechan las condiciones de ortogonalidad.
Premultiplicando ambos miembros de (Ec. 4.3) por φ j T .M se tiene:
n
φ j T .M .U = ∑ qi .(φ j T .M .φi )
i =1
(Ec. 4.5)
En el segundo miembro de (Ec. 4.5) se anulan todos los términos en que “ i ≠ j ” por
ortogonalidad (recordar la (Ec. 3.36) ⇒ φ Tj .M .φi = 0 para i ≠ j ).
El escalar φ Tj .M .φ j puede pasarse dividiendo al otro miembro quedando:
φ j T .M .U
qj = T
φ j .M .φ j
(Ec. 4.6)
Esta sencilla expresión permite calcular cualquiera de las coordenadas normales para un
dado U .
4.2- Descomposición Modal sin Amortiguamiento
Partiendo de las ecuaciones de equilibrio dinámico sin amortiguamiento:
(Ec. 4.7)
K .U + M .U = P
e introduciendo coordenadas normales (Ec. 4.4) y sus derivadas segundas U = φ .q (la
matriz modal no varia en el tiempo), se tiene:
K .φ .q + M .φ .q = P
(Ec. 4.8)
Premultiplicando por la matriz modal transpuesta φ T (tiene los modos como filas) queda:
(φ T .K .φ ).q + (φ T .M .φ ).q = φ T .P
(Ec. 4.9)
Una ecuación genérica “ i ” tiene la forma:
m
m
j =1
j =1
∑ (φiT .K .φ j ).q j + ∑ (φiT .M .φ j ).q j = φiT .P
Si j ≠ i se tiene por ortogonalidad que:
φ j T .K .φi = 0 y φ j T .M .φi = 0
Al anularse todos los términos en que j ≠ i el sistema queda desacoplado:
(φiT .K .φi ).qi + (φiT .M .φi ).qi = φiT .P
(Ec. 4.10)
Donde:
φiT .K .φi = K i : es la rigidez generalizada asociada al modo “i”
(Ec. 4.11)
φiT .M .φi = M i : es la masa generalizada asociada al modo “i”
(Ec. 4.12)
φiT .P = Qi : es la carga generalizada asociada al modo “i”
(Ec. 4.13)
Queda un sistema de ecuaciones desacoplado de la forma:
K i .qi + M i .qi = Qi
(Ec. 4.14)
Importante:
El aspecto fundamental en el Método de Descomposición Modal es que permite
llegar a un sistema de Ecuaciones Diferenciales Desacopladas. Esto se logra de la
siguiente manera:
1) Introduciendo coordenadas normales
2) Utilizando las propiedades de ortogonalidad
Recordando que los modos satisfacen la ecuación de vibraciones libres (Ec. 3.27)
K .φi = ωi 2 .M .φi
(Ec. 4.15)
Al multiplicar ambos miembros por la transpuesta del modo φiT queda:
φiT .K .φi = ωi 2 .φiT .M .φi
Según (Ec. 4.11) y (Ec. 4.12):
K i = ωi2 .M i
(Ec. 4.16)
Por ser K i y M i escalares resulta:
ωi 2 =
(Ec. 4.17)
Ki
Mi
La ecuación (Ec. 4.7) corresponde a un oscilador simple de masa M i y rigidez K i y cuya
frecuencia ωi , según (Ec. 4.17) es la correspondiente al modo “ i ”.
Por ser M diagonal resulta muy sencillo el cálculo de M i :
M i = ∑ mr .(φi r ) 2
(Ec. 4.18)
r
Luego se calcula K i según (Ec. 4.16).
De esta manera se ha transformado un problema de ecuaciones acopladas (Ec. 4.7) en otro
que requiere resolver “n” ecuaciones, cada una correspondiente a un oscilador simple. La
respuesta U se obtiene superponiendo las qi según (Ec. 4.3).
n
U = ∑ qi .φi
i =1
Observando que cada oscilador (Ec. 4.14) tiene una rigidez proporcional al cuadrado de la
frecuencia natural ωi podemos adelantar que las componentes “ qi ” en los modos altos serán
en general pequeñas (salvo resonancia). Esto implica que no siempre será necesario
considerar todos los modos para obtener una buena aproximación.
Secuencia de cálculo:
a) Armar las matrices de masa y de rigidez condensada.
b) Calcular por algún método aproximado los primeros “ p ” modos y sus frecuencias.
c) Determinar M i según (Ec. 4.18), K i según (Ec. 4.16) y Qi según (Ec. 4.13).
d) Resolver “ p ” osciladores simples (Duhamel, análisis numérico, etc).
e) Superponer las respuestas en cada modo según (Ec. 4.3)
f) Calcular los esfuerzos barra por barra.
Las condiciones iniciales para resolver (Ec. 4.14) en el paso (d) de la secuencia anterior se
obtienen según (Ec. 4.6).
( qi )0 =
φiT .M .U 0
;
Mi
( qi )0 =
φiT .M .U 0
(Ec. 4.19)
Mi
Según (Ec. 4.3) el desplazamiento en el grado de libertad “ j ” es:
(Ec. 4.20)
n
⎡⎣U (t ) ⎤⎦ = ∑ qi ( t ) . (φi ) j
j
i =1
Las fuerzas elásticas asociadas a cada grado de libertad son:
Fe (t ) = K .U ( t )
Sustituyendo (Ec. 4.3):
Fe (t ) = K .∑ qi .φi = ∑ qi . ( K .φi )
i
Recordando (Ec. 4.15):
Fe (t ) = ∑ qi .ωi 2 ( M .φi )
Por ser M diagonal, la fuerza elástica ( Fe (t ) ) j asociada al grado de libertad “ j ” resulta:
[ Fe (t )] j = ∑ qi .ωi 2 .m j . (φi ) j
(Ec. 4.21)
i
Las ecuaciones (Ec. 4.20) y (Ec. 4.21) muestran que es más fácil conseguir buena
aproximación en la determinación de los desplazamientos que en la determinación de los
esfuerzos donde cada coordenada normal viene multiplicada por el cuadrado de su frecuencia
correspondiente.
Para un grado de aproximación dado será necesario incluir más modos cuando interesa
calcular esfuerzos que en los casos en que interesan sólo los desplazamientos. En general para
obtener una buena aproximación a los esfuerzos se requieren más modos naturales que para
estimar los desplazamientos con equivalente precisión.
4.3- Descomposición Modal con Amortiguamiento
Partiendo de la ecuación de equilibrio dinámico incluyendo amortiguamiento:
K .U + C.U + M .U = P
Introduciendo coordenadas normales según (Ec. 4.4) y premultiplicando por la matriz
modal transpuesta se obtiene:
φ T .K .φ .q + φ T .C.φ .q + φ T .M .φ .q = φ T .P
(Ec. 4.22)
Donde:
φ T .K .φ = K ; φ T .M .φ = M
(Ec. 4.23)
K y M son matrices diagonales debido a las condiciones de ortogonalidad. Si además se
supone que la matriz de amortiguamiento “ C ” también es ortogonal respecto a los modos, se
tiene:
φ T .C.φ = C
(Ec. 4.24)
φ j T .C.φi = 0 si j ≠ i
(Ec. 4.25)
φiT .C.φi = Ci = 2.ωi .M i .ξi
(Ec. 4.26)
Donde:
Si i = j :
La (Ec. 4.26) es la ecuación de definición del coeficiente de amortiguamiento en el modo
“ i ” que se designa ξi .
Obsérvese la similitud de la (Ec. 4.26) con (Ec. 2.9):
C = ξ .2.M .ω
De modo que suponiendo (Ec. 4.24) se obtiene un sistema de "n" ecuaciones
desacop1adas, cada una correspondiente a un oscilador simple con amortiguamiento Ci :
K i .qi + Ci .qi + M i .qi = Qi
(Ec. 4.27)
Además de facilitar los cálculos, es físicamente más razonable definir el coeficiente de
amortiguamiento en cada modo ξi que tratar de evaluar la matriz C .
Es corriente adoptar una matriz de amortiguamiento del tipo siguiente:
C = α .K + β .M
(Ec. 4.28)
Donde α y β son constantes escalares a determinar.
Esta hipótesis, conocida como Amortiguamiento Proporcional tiene la siguiente
gran ventaja: con ella es posible aplicar el Método de Descomposición Modal, ya
que las ecuaciones resultantes siguen siendo desacopladas.
Llevando (Ec. 4.28) a (Ec. 4.27) se tiene:
K i .qi + (α .K i + β .M i ) .qi + M i .qi = Qi
(Ec. 4.29)
Ci
Las constantes α y β son determinadas de modo de lograr un grado de amortiguamiento
ξi deseado en dos modos prefijados.
Se debe destacar que para una matriz de amortiguamiento arbitraria C no se puede
garantizar el desacople del sistema de ecuaciones, y en consecuencia el método de
descomposición modal en la forma habitual no es aplicable.
En el caso que el amortiguamiento no es proporcional los modos naturales amortiguados
tienen componentes complejas (parte real e imaginaria) debidas al desfasaje causado por el
amortiguamiento. Su determinación es considerablemente más laboriosa que para los modos
no amortiguados utilizados en este curso.
En general no es posible contar con evidencia experimental suficiente que justifique la
adopción de una matriz general C que implique amortiguamiento “NO PROPORCIONAL".
Partiendo de la expresión (Ec. 3.39):
b
φiT .M . ⎡⎣ M −1.K ⎤⎦ .φi = 0
Se han desarrollado procedimientos para obtener matrices de amortiguamiento que
contengan un grado de amortiguamiento ξ prefijado “para un número prefijado cualquiera de
modos. Este tema no se explora en más detalle en el presente curso.
4.4- Una Mejora en el Método de Descomposición Modal
La mayor ventaja que se atribuye al método de descomposición modal es que en la
mayoría de los casos no es necesario utilizar ni determinar todos los modos y frecuencias.
En muchos casos se determinan los desplazamientos con un alto grado de precisión
utilizando unos pocos modos y posteriormente se comprueba si la exactitud en los esfuerzos
es suficiente.
Las inexactitudes mencionadas se producen por no considerar las componentes de la carga
ortogonales a los modos considerados, pero pueden subsanarse fácilmente y basta con agregar
a la respuesta dinámica obtenida utilizando los primeros modos la respuesta casi estática de
los modos restantes.
Se comienza haciendo una transformación del vector de cargas para expresarlo en
coordenadas modales:
n
n
i =1
i =1
P = ∑ Pi = P1 + P2 + .... + Pn =∑ Ci . ( M .φi )
(Ec. 4.30)
Para determinar los coeficientes de la combinación lineal se premultiplica ambos
miembros de (Ec. 4.30) por φiT :
(Ec. 4.31)
n
φiT .P = ∑ C j . (φiT .M .φ j ) = Ci .M i
j =1
Nótese que se aprovecharon las propiedades de ortogonalidad de los modos respecto de la
matriz de masa.
Recordando la definición de la ecuación (Ec. 4.13) de carga generalizada y observando
(Ec. 4.31), resulta evidente que cada componente de la carga en (Ec. 4.30) contribuye a la
respuesta en un único modo.
Qi = φi .P ; Ci =
T
Qi
Mi
Q
; Pi = i .( M .φi )
Mi
(Ec. 4.32)
Es conveniente descomponer la carga en dos partes como sigue:
P = Pp + Ps = P1 + P2 + ...... + Pp + Pp +1 + ...... + Pn
Pp
(Ec. 4.33)
Ps
La respuesta dinámica a la carga Pp se obtiene mediante el método de descomposición
modal resolviendo los “ p ” osciladores simples del tipo (Ec. 4.14) o (Ec. 4.27) según se
considere o no el amortiguamiento:
K i .qi + Ci .qi + M i .qi = Qi
(Ec. 4.34)
Cuando sólo se consideran los primeros “ p ” modos se está despreciando la contribución
al desplazamiento proveniente de las componentes de la carga en los n − p modos superiores.
Para no tener que calcular esos modos superiores se puede aproximar la respuesta como
casi-estática resolviendo el sistema:
K .U s = Ps
(Ec. 4.35)
Para calcular la componente de la carga en los modos superiores basta despejar en (Ec.
4.33) teniendo en cuenta (Ec. 4.32):
p
Ps = P − Pp = P − ∑ Ci .( M .φi )
i =1
p
Ps = P − ∑
i =1
(Ec. 4.36)
Qi
.( M .φi )
Mi
La solución estática es válida sólo si las frecuencias excitadoras Ω son bajas comparadas
con las frecuencias propias ω y el amortiguamiento es bajo. Esto se ve claramente en los
gráficos ya conocidos para la respuesta en régimen de un oscilador simple:
γ
ξ =0
5
4
3
ξ = 0.2
2
ξ = 0.5
1
ξ = 1.0
0.5
ξ = 0.7
β
1
1.5
2
2.5
3
Figura 4.3
ξ =0
ξ = 0.05
ξ = 0.2
ξ = 0.5
ξ = 1.0
Figura 4.4
Si
Ω
ωi
1 el factor de amplificación dinámica (Figura 4.3) es aproximadamente la unidad
y si además ξi es pequeño, el desfasaje es despreciable (ver Figura 4.4) de modo que la
respuesta casi-estática resulta ser una buena aproximación.
Para esto φ p debe contener todos los modos correspondientes a frecuencias ωi
correspondientes a la zona de la derecha del punto A de la Figura 4.3, es decir, las frecuencias
ωi menores que las excitadoras Ωi como así también las de los valores próximos a dichas
frecuencias Ωi . De esa manera φs sólo contiene frecuencias bastante mayores que las
excitadoras y se cumple:
Ω
(ωi )s
1
Importante:
Cuando la carga tiene una frecuencia mucho menor que las frecuencias propias
significa que varía “lentamente” frente a la velocidad de reacción de la estructura y
se comporta como “carga casi-estática”.
Algoritmo:
a) Armar K y M
b) Calcular los primeros p modos
c) Calcular qi resolviendo la expresión (Ec. 4.34)
d) Calcular Ps según la expresión (Ec. 4.36)
e) Calcular U s resolviendo la expresión (Ec. 4.35).
f) Calcular la respuesta U = φ p .q p + U s
g) Determinar los esfuerzos en cada barra K .U = P
Capítulo 5
Excitación dinámica por movimiento de apoyo
Introducción
En este capítulo se analiza el problema dinámico en el que en lugar de aplicar fuerzas
conocidas P (t ) en los nudos, la excitación dinámica está definida a través de imponer el
desplazamiento U A (t ) (o equivalentemente la aceleración U A (t ) ) de ciertos grados de
libertad. Naturalmente, cuando los desplazamientos de ciertos grados de libertad (GDL) son
conocidos, las fuerzas a aplicar en esos nudos para imponer dichos desplazamientos son en
general desconocidas. En tal caso esas fuerzas constituyen las reacciones que genera el
movimiento de apoyo aplicado. Esta clase de problemas dinámicos tiene particular
importancia en la Ingeniería Civil ya que en ella se encuentra encuadrada la respuesta de
estructuras a los movimientos sísmicos, que es uno de los estados básicos de carga
importantes en el diseño de estructuras en zonas susceptibles de sufrir este tipo de
solicitaciones.
Cuando los desplazamientos impuestos ocurren lentamente, o sea que se pueden
aproximar como estáticos, éstos producen esfuerzos y tensiones sólo cuando la estructura es
hiperestática, ya que en caso de estructuras isostáticas los desplazamientos lentos de apoyo
no inducen tensiones ni reacciones en los puntos de apoyo. Por el contrario, cuando los
desplazamientos son impuestos en una estructura hiperestática, éstos producen en general
tensiones internas y reacciones independientemente de si los desplazamientos son lentos o
rápidos.
En el caso de estructuras con inercia, los desplazamientos impuestos variables
en el tiempo producen en general esfuerzos internos cualquiera sea el tipo o
cantidad de apoyos.
En las secciones siguientes se analizan diversos casos especiales de efectos dinámicos
producidos por desplazamientos o aceleraciones impuestas en los apoyos a los efectos de
introducir los principales aspectos del problema, dejando para más adelante la formulación
general de los esfuerzos inducidos por desplazamientos impuestos en estructuras con apoyos
múltiples.
5.1- Esfuerzo debidos a desplazamientos dinámicos de
cuerpo rígido
Caso de una viga “rígida” simplemente apoyada:
(a)
A
1
3
2
4
5
B
l
(b)
1
UA (t)
2
3
4
UΓi
5
B
xi
(c)
Fuerzas de inercia
(d )
Diagrama Mf
(e)
Diagrama Q
Figura 5.1
En la viga simplemente apoyada de la Figura 5.1 se considera que el apoyo A se desplaza
verticalmente según en el tiempo según la función U A (t ) .
Si la viga fuese rígida, es decir que no se deforma bajo cargas transversales, el
desplazamiento de cada masa sería proporcional a U A (t ) y a la distancia X i de dicha masa al
apoyo B, tal como se puede observar en la Figura 5.1.b. Una distribución similar en el espacio
tiene la velocidad y la aceleración de cada masa, de modo que la fuerza de inercia en cada
masa resulta:
X ⎞
⎛
mi . ⎜ −U A (t ). i ⎟ = −mi .U Γi (t )
l ⎠
⎝
(Ec. 5.1)
Como se indica en la Figura 5.1.c, las fuerzas de inercia que se inducirían en las distintas
masas están dadas por la (Ec. 5.1), las que según el principio de D’Alambert pueden ser
tratadas como cargas exteriores aplicadas al sistema. Como resultado de ese desplazamiento
del apoyo, la viga resulta sometida a tensiones internas asociadas a los momentos flectores y
esfuerzos cortantes originados por las fuerzas de inercia. Los esfuerzos internos están
representados en las Figura 5.1.d y 5.1.e. Debe destacarse que las fuerzas de inercia de la (Ec.
5.1) dan origen al vector de carga asociado a la excitación por el movimiento del apoyo, y
que dicho vector de carga no depende de la rigidez de la viga, es decir que el vector de carga
es el mismo independientemente que se trate de una viga rígida o de una viga flexible. La
diferencia entre esos dos casos radica únicamente en si ocurre alguna deformación adicional
respecto a la línea recta que une los dos puntos de apoyo de la viga en cualquier instante de la
excitación. En efecto, si la viga es infinitamente rígida, el vector de cargas debido al
desplazamiento del apoyo (dado por el (Ec. 5.1)) no producirá deformaciones adicionales al
desplazamiento de cuerpo rígido entre los apoyos, y los esfuerzos de flexión y corte (y las
reacciones) podrán ser determinados por el procedimiento habitual para cualquier estado de
carga estático. En realidad hay una aparente contradicción intrínseca al decir que se aplica el
procedimiento estático para calcular la respuesta a fuerzas que son esencialmente dinámicas
que provienen de multiplicar una masa por una aceleración. En estos casos, tal vez sea más
apropiado decir que se aplica el procedimiento “casi-estático” para calcular los esfuerzos y
reacciones debidos a las fuerzas de inercia. El método de análisis es estático, pero las fuerzas
que constituyen el vector de carga son de origen dinámico ya que está asociada al producto de
la masa de los distintos grados de libertad por el vector conocido de aceleración en cada uno
de ellos. Por lo tanto, la designación del método como “casi-estático” es más apropiada que la
designación como “estático”, aunque se aplican las reglas de la estática a fuerzas de origen
dinámico.
Por el contrario, si la viga es flexible, el vector de cargas de la (Ec. 5.1) dará origen a
deformaciones relativas a la línea recta que une a los dos apoyos de la viga, las que a su vez
modifican las fuerzas de inercia dadas por la (Ec. 5.1); en este caso, el problema ya no puede
tratarse como un problema estático sino que deben tenerse en cuenta todos los aspectos
propios de un problema dinámico.
Caso de una barra “rígida” hipostática
Resulta sencillo demostrar experimentalmente que las fuerzas de inercia asociadas al
movimiento de la barra prismática o péndulo físico ilustradas en la Figura 5.2 producen
esfuerzos cortantes y momentos flectores en una barra elástica que gira alrededor de un punto
fijo. Las aceleraciones absolutas en los distintos puntos de la barra son proporcionales a la
distancia al punto de giro, mientras que la componente de la fuerza de gravedad normal a la
posición instantánea de la barra es uniforme. Ambos esquemas de distribución de fuerzas que
actúan en forma simultánea (las de inercia variando linealmente con la distancia al punto de
giro, y las debidas a la gravedad con distribución uniforme). Las tensiones normales de
flexión provocadas por la superposición del peso propio de la barra junto a las fuerzas de
inercia pueden ser medidas con extensímetros eléctricos de resistencia (“resistance
straingages”) adosados a las caras de la barra. En realidad lo que se puede medir no son las
tensiones sino las deformaciones elásticas inducidas por dichas tensiones, pero las
deformaciones son muy pequeñas y no modifican sustancialmente los desplazamientos, y por
ende tampoco afectan apreciablemente la velocidad y la aceleración a los largo de la barra.
Desde el punto de vista estructural, un péndulo físico de este tipo es una viga con apoyos
hipostáticos, ya que el grado de libertad de rotación alrededor de la articulación se mantiene
sin restricción. De todos modos, las fuerzas de inercia en todo momento están en equilibrio
dinámico según el principio de D’Alambert con las fuerzas debidas a la gravedad. En
realidad, la magnitud de la aceleración se obtiene exigiendo el equilibrio de momentos de las
fuerzas de inercia con las debidas a la gravedad. De esa igualdad se puede despejar la
aceleración de la barra normal a su eje, o equivalentemente la aceleración angular. A partir de
ese cálculo, conocida la aceleración angular en cada instante, se puede determinar la reacción
en el apoyo para que se cumpla el equilibrio de fuerzas en el sentido perpendicular al eje de la
barra. Para pequeñas oscilaciones del péndulo, la reacción vertical en el eje de la barra resulta
aproximadamente igual al peso de la misma, mientras que la componente horizontal de la
reacción es la que resulta de plantear el equilibrio instante a instante de las fuerzas de inercia
y las de la gravedad.
Fuerzas
de inercia
θ
3°grado
2°grado
Componente del
peso propio
(a)
(b)
Fuerzas actuantes
(c)
Momento flector
(d )
Esfuezo de corte
Figura 5.2
Caso de una barra “rígida” en voladizo
Sea el voladizo rígido de la Figura 5.3 con una distribución uniforme de masa δ (masa
por unidad de longitud) sometido a un desplazamiento transversal del empotramiento.
Las fuerzas de inercia resultan uniformemente repartidas como se observa en la Figura
5.3.b
UA
UA
(a )
A
(b)
A
Fuerzas de inercia
(c)
Esfuerzo de Corte
(d )
Momento Flector
Figura 5.3
dF (t ) = δ .U A (t ).dx
(Ec. 5.2)
A partir del razonamiento anterior, por simples consideraciones estáticas se pueden
determinar los diagramas de momento flector y esfuerzo de corte de las Figura 5.3.c y Figura
5.3.d.
Si la estructura es flexible, la zona del extremo del voladizo sufrirá desplazamientos
adicionales a los de la base, los que llevan a fuerzas de inercia adicionales que modificarán los
diagramas de M f y Q . Nótese que los esfuerzos internos son funciones del tiempo a través
de U A (t ) .
El procedimiento seguido en los tres casos anteriores es utilizado con frecuencia en
problemas donde se supone conocida la aceleración U A (t ) instante a instante.
En esencia este “método simplificado” consiste en cargar la estructura con las fuerzas de
inercia calculadas sobre la hipótesis de movimiento de cuerpo rígido. Dichas cargas (fuerzas
de inercia) se consideran como cargas estáticas y a partir de las mismas se calculan
(estáticamente) los esfuerzos.
Este procedimiento implica dos hipótesis. La primera consiste en calcular en cada instante
las fuerzas de inercia teniendo en cuenta únicamente el valor de la aceleración conocida U A
en ese instante. La segunda, es tratar a las fuerzas de inercia como cargas estáticas. En ambos
casos se trata al problema en forma estática, es decir que la respuesta de la estructura se
calcula a partir de las fuerzas actuantes instante a instante. En realidad es como si se estuviera
aplicando el método de las fuerzas según el cual se calculan los esfuerzos sin determinar los
desplazamientos, y posteriormente calcular los desplazamientos asociados a dichos esfuerzos.
Alternativamente, el problema puede también tratarse por el método de rigidez considerando a
las fuerzas de inercia como cargas estáticas.
Para tener en cuenta las fuerzas de inercia inducidas por las deformaciones de la pieza,
deberá hacerse un planteo más general aplicable independientemente que la estructura sea
relativamente rígida o flexible. Dicho planteo tomará en cuenta además del valor de la
aceleración total en cada instante la ley de variación de la misma varía en el tiempo.
Una de las posibles formas de tratar el problema es a través del método de rigidez que se
desarrolla a continuación.
5.2- Formulación general del problema de movimiento de
apoyo
Caso de una estructura isostática deformable sin amortiguamiento.
Se ilustra el planteo general basado en el método de rigidez desarrollando el ejemplo de la
Figura 5.1, con la siguiente notación:
U T : Desplazamiento total
U : Desplazamiento relativo al movimiento de cuerpo rígido
U Γ : Desplazamiento asociado al movimiento de cuerpo rígido.
A
U1
UA
U2
UΓ1
UΓ2
U3
U4
UΓ4
UΓ3
x2
U5
UΓ5
B
Figura 5.4
De la figura surge que:
⎧ x1 ⎫
⎪l ⎪
⎧ B1 ⎫
⎪ ⎪
⎪B ⎪
⎪⎪ x2 ⎪⎪
⎪ ⎪
U Γ = ⎨ l ⎬ .U A = ⎨ 2 ⎬ .U A
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎩⎪ Bs ⎭⎪
⎪ xs ⎪
⎪⎩ l ⎪⎭
(la Figura 5.4 corresponde a un instante en que U A es hacia abajo y por lo tanto las fuerzas
de excitación que integral el vector de carga son hacia arriba)
Tendremos las siguientes ecuaciones generales de equilibrio dinámico:
K .U T + M .U T = 0
El vector de cargas de la derecha es nulo porque se supone que no hay otras cargas
exteriores que no sean las reacciones de los apoyos.
El desplazamiento total será:
UT = U + U Γ
(Ec. 5.3)
Por lo que:
⎡ K11
⎢K
⎢ 21
⎢
⎢
⎣ K 51
K12
K 22
K 52
K15 ⎤ ⎧ U1 + U Γ1 ⎫ ⎡ m1
K 25 ⎥⎥ ⎪⎪U 2 + U Γ 2 ⎪⎪ ⎢⎢ 0
.⎨
⎬+
⎥ ⎪
⎪ ⎢
⎥ ⎪
⎢
K 55 ⎦ ⎩U 5 + U Γ 5 ⎪⎭ ⎣ 0
0
m2
0
0 ⎤ ⎧ U1 + U Γ1 ⎫ ⎧0 ⎫
⎪
⎪
0 ⎥⎥ ⎪U 2 + U Γ 2 ⎪ ⎪⎪0 ⎪⎪
.⎨
⎬=⎨ ⎬
⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎥ ⎪
m5 ⎦ ⎩U 5 + U Γ 5 ⎪⎭ ⎩⎪0 ⎭⎪
(Ec. 5.4)
Que puede condensarse:
K .U Γ + K .U + M .U Γ + M .U = 0
Reconociendo que [ K ] .{U Γ } = {0} por tratarse {U Γ } de un desplazamiento de cuerpo
rígido se puede escribir la expresión (Ec. 5.4) de la siguiente manera:
(Ec. 5.5)
K .U + M .U = − M .U Γ
Las ecuaciones de movimiento de un cuerpo deformable sometido a
desplazamiento de apoyo tienen igual forma que las del sistema sin desplazamiento
de apoyo pero sometido a cargas equivalentes {− M .U Γ } . Estas cargas equivalentes
representan el VECTOR EXCITACIÓN debido l movimiento de apoyo. Es
importante no confundir el Vector Excitación así definido con el “Vector de Carga
Equivalente” que se verá más adelante.
m1.U A
Sistema con movimiento de apoyos
U A (t )
m2 .U A
Sistema equivalente
U A (t )
Figura 5.5
Para estructuras rígidas se ha visto que las fuerzas de inercia asociadas al movimiento de
cuerpo rígido {− M .U Γ } pueden ser consideradas como cargas exteriores; posteriormente, si
las deformaciones inducidas por esas cargas resultaran que contribuyen significativamente a
las fuerzas de inercia, es necesario incluir esos términos adicionales de inercia.
m1.U A
1
m2 .U A
2
A
U A (t )
Movimiento de apoyos
A
Cargas equivalentes
Figura 5.6
La expresión (Ec. 5.5) tiene en cuenta simultáneamente estos dos aspectos: por un lado la
solución de la misma U es el desplazamiento relativo respecto al apoyo; las fuerzas de
inercia asociadas a la aceleración relativa al de cuerpo rígido constituyen el término M Ü, y
por otro lado las fuerzas de inercia {− M .U Γ } debidas a la excitación.
En la expresión (Ec. 5.5) se puede apreciar el método simplificado propuesto
anteriormente como “casi-estático”, que consiste en despreciar el término {M .U } y utilizar
sólo las fuerzas de inercia aproximadas
{−M .U }
Γ
para resolver luego las deformaciones
aproximadas U (no de cuerpo rígido).
− M .U Γ
K .U
Observando la expresión (Ec. 5.5) se puede apreciar que:
Determinar si un movimiento de apoyo es estático o dinámico es equivalente a
determinar si las fuerzas equivalentes {− M .U Γ } son aplicadas en forma estática o
dinámica.
{− M .U }
Γ i
= − mi .U Γi = − mi .Bi .U A
Cada componente del vector de carga equivalente es proporcional a U A a través de un
factor de proporcionalidad que se designa como mi .Bi independiente del tiempo, por lo que el
gráfico que representa el vector de las fuerzas equivalentes resulta ser el mismo gráfico de
U A (t ) pero en otra escala.
UA
UA
t
tD
t
tD
Figura 5.7
Si t D ≤ T → EXCITACIÓN DINAMICA
Si t D
T → PROBLEMA ESTATICO
La solución de la ecuación (Ec. 5.5) se logra a través de los procedimientos generales ya
vistos para cualquier carga variable en el tiempo. Nótese que las incógnitas en la ecuación
(Ec. 5.5) corresponden al movimiento relativo U respecto al desplazamiento asociado al
movimiento de cuerpo rígido.
Las fuerzas internas en cada instante podrán ser calculadas utilizando los desplazamientos
relativos U premultiplicados por las respetivas matrices de rigidez de cada barra, tal como se
ha hecho en los casos estáticos.
5.3- Aplicación del Método de Descomposición Modal
En las secciones anteriores se ha presentado el problema del movimiento de apoyo (sin
cargas externas) a través de un transformarlo según (Ec. 5.5) en un problema dinámico sin
movimiento de apoyo pero con cargas exteriores
{−M .U } .
Γ
También se ilustró que el
problema equivalente puede ser resuelto en la forma habitual para cualquier carga de tipo
dinámico. A continuación se particulariza el procedimiento de solución basado en el método
de descomposición modal.
En el caso de excitación por movimientos de apoyo el método de descomposición modal
lleva naturalmente al concepto
de “factor de participación modal”. El vector
desplazamiento relativo al apoyo U se expresa como una combinación lineal de los modos
naturales a través de:
(Ec. 5.6)
n
U = ∑ q j .φ j
j =1
Donde φ j representa el modo j y q j a su coordenada generalizada, y n el numero de
GLD.
Sustituyendo la expresión (Ec. 5.6) en la ecuación (Ec. 5.5) se pasa a coordenadas
generalizadas, y premultiplicando ambos miembros de cada ecuación “ j ” del sistema por φ Tj
se obtiene a través del teorema de ortogonalidad un sistema de ecuaciones desacopladas de la
forma:
q j .K j + q j .M j = −φ Tj .M .U Γ
(Ec. 5.7)
= −φ Tj .M .B.U A
=−
φ Tj .M .B
Mj
(Ec. 5.8)
.M j .U A
Donde:
n
M j = φ Tj .M .φ j = ∑ mi . (φ j )
i =1
2
i
K j = φ Tj .K .φ j = ω 2j .M j
Kj
ωj =
Mj
U Γ = B.U A
Factor de participación modal
Nótese que la ecuación (Ec. 5.8) tiene la misma forma que la de un oscilador simple de
frecuencia ω j , con la excepción del factor de proporcionalidad Γ j que denominaremos
“factor de participación modal”.
φ Tj .M .B
Γj = T
φ j .M .φ j
(Ec. 5.9)
Por lo tanto, la respuesta en el modo j , estará dada a través del producto:
q j = Γ j . (U s ) j
(Ec. 5.10)
A
Kj
(U s ) j
Mj
M j .U A
Figura 5.8
Donde (U s ) j es la respuesta en el tiempo de un oscilador simple no amortiguado de
rigidez K j y masa M j sometido al movimiento de apoyo U A .
Para operar en forma práctica se procede de la siguiente manera:
a) Se determina la matriz de inercia y matriz de rigidez condensada en la forma
habitual (condensación matricial, cross, flexibilidad, etc)
b) Se determinan las frecuencias y modos naturales de vibración (por ejemplo
determinamos los k primeros modos por el método Stodola). En realidad, esta es la
parte más laboriosa del problema ya que el resto es muy simple y requiere poco
esfuerzo computacional.
c) Se calculan las masas generalizadas en cada modo mediante la expresión:
M j = m1. (φ j ) + m2 . (φ j ) + … + mn . (φ j )
2
2
2
1
2
n
d) Se determinamos la rigidez generalizada en cada modo mediante el producto de la
masa generalizada recién calculada por el cuadrado de la frecuencia del modo:
K j = ω 2j .M j
Esta expresión tiene gran importancia conceptual ya que indica que la rigidez de los
modos superiores es muy grande (comparada con la rigidez de los primeros)
y en
consecuencia la respuesta (el desplazamiento) será en general muy pequeña (salvo
amplificación por resonancia).
e) Se calculan los factores de participación:
φ Tj .M .B
Γj = T
φ j .M .φ j
⎡ m1
⎢0
⎢
⎢
⎢
⎣0
(φ ) (φ )
j 1
j 2
…
m2
0
(φ ) (φ ) .m (φ )
j n
j 1
1
0⎤
0 ⎥⎥
⎥
⎥
mn ⎦
0
j 2
Γj =
.m2 …
∑ (φ )
j i
B1
B2
Bn
(φ )
j n
.mn
∑ (φ )
i
j i
.mi .Bi
.mi .Bi
Mj
El denominador es la masa generalizada M j ya calculada en el paso c).
f) Se determinamos la respuesta para cada uno de los “n” osciladores simples sin
amortiguamiento, con una carga {− M j .U A (t )} . Esto se hace en la forma habitual
(Duhamel, análisis numérico, etc.)
A
Kj
Mj
{−M .U (t )}
j
A
Figura 5.9
g) Finalmente se superponen las respuestas q j (t ) en cada modo, multiplicadas por el
correspondiente factor de participación:
⎧φk1 ⎫
⎧φ11 ⎫
⎧φ21 ⎫
⎧U1 ⎫
⎪ 2⎪
⎪ 2⎪
⎪ 2⎪
⎪U ⎪
⎪ 2⎪
⎪φ1 ⎪
⎪φ2 ⎪
⎪φk ⎪
⎨ ⎬ = Γ1.q1 (t ). ⎨ ⎬ + Γ 2 .q2 (t ). ⎨ ⎬ + …… + Γ k .qk (t ). ⎨ ⎬
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩U n ⎭⎪
⎪⎩φ1n ⎪⎭
⎪⎩φ2n ⎪⎭
⎪⎩φkn ⎪⎭
(Ec. 5.11)
Se insiste en que no es necesario calcular todos los “n” modos ni extender la suma (Ec.
5.11) a todos los modos. Bastará según el problema considerar los k primeros modos, donde
k debe ser determinado según el contenido de frecuencias de la excitación, de la distribución
de frecuencias naturales del problema y de la distribución espacial de las masas. Más detalles
sobre este aspecto exceden el alcance de este curso.
5.4- Movimiento Dinámico de Apoyos en sistemas no
amortiguados
Planteo en desplazamientos relativos
Al desplazar “dinámicamente” un apoyo se producen aceleraciones en los grados de
libertad dinámicos, (GLD); que provocan “fuerzas de inercia” que “atrasan” la respuesta. Si se
agregan fuerzas “ficticias” que “neutralizan” esas fuerzas de inercia se obtiene un estado de
desplazamientos “casi-estático” al que debe sumarse luego, la solución correspondiente a las
fuerzas ficticias cambiadas de signo.
El problema de desplazamiento dinámico de apoyo se descompone en la suma de dos
estados:
a) Un estado casi-estático de desplazamiento prefijado de apoyo pero sin fuerzas de
inercia
b) Un estado dinámico donde solo actúan las fuerzas de inercia pero sin
desplazamiento prefijado de apoyo
Excitación dinámica
Problema casi-estático con
Problema dinámico con
por movimiento de
desplazamiento prefijado
cargas dinámicas sin
apoyo
sin fuerzas de inercia
desplazamiento de apoyo
La respuesta del problema a) por ser casi-estática se obtiene multiplicando la función del
tiempo U A (t ) por la solución estática para un desplazamiento unitario U A = 1 .
Convención: U ↑ (+) U ↑ (+) U ↑ (+ )
B1 ↑ (+)
Estado I
=U
U A (t )
A
A
(t ).
B1
Estado II
B2
1
+
−m1.B1.U A (t )
U R (t ) = U A (t ).B
UT (t )
−m2 .B2 .U A (t )
U (t )
Figura 5.10
El estado I es un problema estático de desplazamiento prefijado U A = 1 , que debe
resolverse para hallar el vector B , que contiene los desplazamientos de los grados de libertad
dinámicos.
El estado II es un problema dinámico y debe resolverse como tal, usando
descomposición modal, integración directa, etc.
Caso en que U R es un desplazamiento de cuerpo rígido
Hay situaciones en que el Estado I consiste en un desplazamiento de cuerpo rígido. En
tales casos el cálculo se simplifica al no ser necesario resolver el Estado I porque los
esfuerzos son nulos y el calculo de B resulta trivial. Esto ocurre cuando:
a) La estructura es isostática
l
l
l
⇒
B2
B1
U A (t )
Figura 5.11
1
0.5⎤
⇒ B = ⎡⎢ BB ⎤⎥ = ⎡⎢1.5
⎥
1
⎣
2
⎦
⎣
⎦
b) Todos los apoyos sufren igual desplazamiento:
⇒
UA(t)
1
UA(t)
B1
⎡ B ⎤ ⎡1⎤
B=⎢ ⎥=⎢ ⎥
⇒
B
B
1
1
1
⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
2
Figura 5.12
En estos casos no es necesario conocer U A (t ) . El problema puede ser resuelto a partir de
las aceleraciones de apoyo U A (t ) . Notar que éste es el caso de un problema Sísmico donde el
análisis se basa en acelerogramas experimentales.
Método Simplificado
Cuando U R es un desplazamiento de cuerpo rígido sólo hay que resolver el Estado II que
es un problema dinámico.
Cuando la variación en el tiempo de la aceleración U A (t ) es “lenta” comparada con el
período fundamental de la estructura se puede lograr una notable simplificación considerando
al problema como casi-estático.
Estado II
−m1.B1.U A (t )
Problema Estático
−m1.B1
−m2 .B2 .U A (t )
=
−m2 .B2
U A (t ).
Caso en que UA (t )
tiene variación lenta
Figura 5.13
En tales casos los esfuerzos máximos se obtienen cargando a la estructura con las
máximas fuerzas de inercia resolviendo un problema estático.
Estado II
Esfuerzos Máximos
Resolver
⇒
Figura 5.14
−m1.B1.U A max
−m2 .B2 .U Amax
Más adelante se presenta un procedimiento de tipo casi-estático que permite obtener la
respuesta sísmica máxima de una estructura a través de un vector de cargas estáticas
equivalentes a la excitación sísmica que llevan a la respuesta dinámica máxima exacta en cada
modo a través del denominado “Espectro de Respuesta” del sismo.
Formulación en desplazamientos Totales
Se propone la solución en dos pasos. En el primer paso se supone que todos los grados de
libertad no se desplazan excepto el desplazamiento impuesto, y se calculan las fuerzas de
reacción necesarias para que ese esquema de deformación sea posible. En el segundo paso se
aplican esas reacciones con el signo opuesto pero liberando a todos los grados de libertad
excepto los apoyos con desplazamientos impuestos, los que permanecen fijos en esta segunda
etapa. La solución completa se obtiene posteriormente sumando los resultados de ambos
pasos. En esta formulación el problema de desplazamiento dinámico de apoyo se descompone
en la suma de dos estados:
a) Un estado casi-estático de desplazamientos prefijados: Además del desplazamiento
de apoyo U A (t ) , se supone que todos los GLD tienen desplazamiento nulo. Esto se
logra mediante reacciones de apoyo “ficticias”.
b) Un estado dinámico donde sólo actúan las reacciones de apoyo ficticias cambiadas
de signo pero sin desplazamiento de apoyo en los puntos con desplazamiento
impuesto. (es decir tomando U A (t ) = 0 )
La solución del caso a), por ser casi-estática se obtiene multiplicando la respuesta estática
para un desplazamiento unitario del apoyo U A = 1 por la función del tiempo U A (t ) supuesta
conocida.
Se adopta la siguiente convención de signos: U ↑ (+) U ↑ (+) U ↑ (+ )
Estado II
Estado I
Problema Dinámico
Problema Estático
A
U A (t )
=U
A
(t ).
R1
Figura 5.15
Un = 1
B1 ↑ (+)
− R1.U A (t )
− R2 .U A (t )
+
R2
R1 : con su signo
U A (t ) : con su signo
Nótese que:
¾ En todos los casos el Estado I es un problema hiperestático, en general altamente de
alto grado de indeterminación estática, típico de desplazamientos impuestos o
prefijados. (en general no corresponden a desplazamientos de cuerpo rígido)
¾ No interviene en los cálculos la aceleración de apoyo U A (t ) sino el desplazamiento
U A (t ) . En el caso de excitaciones sísmicas es necesario digitalizar el acelerograma
para proceder a la integración numérica para obtener U A (t ) por doble integración
en el tiempo de U A (t ) .
En general la formulación en función de desplazamientos totales no es muy usada en el
diseño sísmico de la mayoría de las estructuras civiles, con excepción de aquellos casos en
que se considera el movimiento diferenciado de los distintos apoyos, como ocurre en
estructuras de grandes dimensiones en planta frente a la longitud de onda del movimiento
sísmico.