unidad ii: derivada - Inicio

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Escuela de Economía – UTPL
Cálculo I
Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca
UNIDAD II: DERIVADA
Continuando con el estudio de la segunda unidad lo iniciaremos con el estudio del
cálculo diferencial que se ocupa de cómo varía una cantidad en relación con otra (LA
DERIVADA). En el texto guía se encuentra desarrollada esta unidad con gran amplitud,
sírvase colocarse en el segundo
capítulo y conjuntamente con la guía
iremos
aprendiendo sobre el tema.
La derivada se la utiliza en casos donde es necesario medir la rapidez con que se
produce el cambio de una magnitud o situación.
La definición tenemos en el texto base 1, la misma que viene dada por:
f ´( x ) = lim
x →0
f ( x + h) − f ( x)
Supuesto que exista ese límite.
h
Estimado estudiante tenga presente las diversas formas de representar una derivada
que le presentamos a continuación:
NOTACIÓN
SE LEE
f ´(x )
f prima de x
dy
dx
Derivada de y con respecto a x
y'
y prima
d [ f ( x )]
dx
Derivada de f(x)
Dx [ y ]
d sub x de y
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.
Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica”
1
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, Pág.99
Esta obra ha sido licenciada con Creative Commons Ecuador 3.0 de Reconocimiento - No comercial - Compartir
igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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Autora: Ing. Ana Lucía Abad Ayavaca
Razón de Cambio y Pendiente
En lo que respecta a la derivada con razón de cambio, es una aplicación de la derivada
que se ocupa de hallar la Razón (o ritmo) de cambio de una magnitud respecto a la
otra, es decir , la razón de cambio de una variable respecto de otra, que estén
relacionadas por una función y=f(x) derivable.
Es una cuestión que aparece en una multitud de problemas prácticos, por ejemplo:
•
Crecimiento de poblaciones
•
Ritmo de producción,
•
Flujos de agua,
•
Cantidad de dinero, etc.
En este punto le recomiendo que en primer lugar analice los ejercicios propuestos, en
el capítulo dos, relacionados con la razón de cambio porcentual, para que se
familiarice con la teoría y el proceso de variación de una variable respecto a otra.
Este tema lo ilustraremos
con algunos ejemplos.
Ejemplo 32
Razón de cambio del precio respecto a la cantidad
2
Sea p= 100-q2 (en dólares) la función de demanda del producto de una fábrica.
Encuentre la razón de cambio del precio p por unidad con respecto a la cantidad q.
¿Qué tan rápido está cambiando el precio con respecto a q cuando q= 5?
2
Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la
vida”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.
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La razón de cambio de p con respecto a q es dp/dq
Solución
p = 100 − q 2
dp
= −2 q
dq
Cuando q=5, entonces
dp
= −2(5) = −10
dq
Esto significa que cuando se demanda 5 unidades, un incremento de una unidad extra
demandada corresponde a un decremento de aproximadamente 10 dólares en el
precio por unidad que los consumidores están dispuestos a pagar.
Analicemos un ejemplo de razón de cambio de la matricula.
Ejemplo 33
Razón de cambio de la matrícula 3
Un sociólogo está estudiando varios programas que pueden ayudar en la educación de
niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que x años después de
iniciado un programa particular, f(x) miles de niños estarán matriculados, donde
f ( x) =
10
(12 x − x 2 ) 0≤ x ≥12. ¿A qué razón cambiará la matrícula. a) Después de tres
9
años de iniciado el programa y b) después de 9 años?
Solución
La razón de cambio de f(x) es f’’(x):
f ( x) =
3
10
(12 x − x 2 )
9
Ernest F, Haeussler. (2006): Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la
vida, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.
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f ´( x ) =
10
(12 − 2 x )
9
a) Después de 3 años la razón de cambio es:
f ' (3) =
10
10(6) 20
(12 − 2(3)) =
=
9
9
3
Por lo tanto, la matricula estará creciendo a razón de 20/3 miles de niños por
año
b) Después de 9 años la razón de cambio es:
f ' (9) =
10
10( −6)
20
(12 − 2(9)) =
=−
9
9
3
Por lo tanto, la matricula estará decreciendo a razón de 20/3 miles de niños por
año.
Recta Tangente con Pendiente
Si f está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite
entonces, la recta que pasa por (c, f(c)) con pendiente m se llama RECTA TANGENTE a
la grafica de f en el punto (c, f(c)).
Para recordar:
La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) se llama
PENDIENTE A LA GRAFICA DE F EN C
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Si en la definición descrita anteriormente, sustituimos Dx por h, y c por x asumiendo
una recta que va desde un punto P(x,f(x)) a un punto Q(x+h, f(x+h)), tal como se ilustra
en el texto base tenemos que la ecuación de la pendiente, también la pudiéramos
escribir así:
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m = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x)
h
Ahora con los conocimientos adquiridos
a través de estos temas es el momento
para desarrollar el siguiente ejercicio
Ejemplo 34
Calcular la derivada de la función dada y hallar la pendiente de la recta tangente a la
grafica para el valor especifico de la variable independiente, dado4 f ( x) = x 3 − 1; x = 2
Solución
Se puede usar la definición expresada de cualquier de las dos maneras, que es
exactamente lo mismo nosotros usaremos la primera. En el texto base en capitulo
dos, existe un ejercicio resuelto con la segunda forma, puede analizarlo.
f ( x + Dx) = x 3 + 3 x 2 Dx + 3 x( Dx) 2 + ( Dx) 3 − 1
m = lim
∆x →0
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆x
( x 3 − 3 x 2 ∆x + 3 x(∆x) 2 + (∆x) 3 − 1) − ( x 3 + 1)
m = lim
∆x → 0
∆x
∆x(3 x 2 − 3 x(∆x)) + (∆x) 2
m = lim
∆x →0
∆x
m = lim 3x 2 − 3x(∆x) + (∆x) 2 = 3 x 2
∆x→0
Como queremos calcular m, en x=2, tenemos
m = 3(2) 2 = 12
4
Ernest F, Haeussler. (2006): “Matemáticas para Administración, Economía y Ciencias Sociales y de la
vida”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.583-584.
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Le sugiero analizar el tema “Técnicas De Derivación” confrontarlo en su texto básico
en el capitulo dos, sección dos.
Para encontrar la derivada hemos usado la definición mediante límites, ahora vamos a
aprender varias reglas de derivación que permiten calcular las derivadas de una
manera más sencilla y rápida y sin el uso directo de la definición de límite. Estas reglas
se denominan Teoremas., Técnicas o Propiedades de la Derivación.
Para Memorizar:
Tenemos las reglas de la constante, regla de la potencia, regla del múltiplo
constante y la regla de la suma. Todas estas son fundamentales para el estudio del
cálculo, por lo que usted debe DOMINARLAS. La manera más practica de
familiarizarse con las mismas es primero leerlas, entenderlas y memorizarlas, para
posteriormente realizar ejercicios; le sugiero primero los resueltos y luego los
propuestos
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Reglas de Derivación
Regla
Función
Derivada
Ejemplo
Regla de la constante
K
0
y=5
y` = 0
Regla de la Identidad
x
1
y=x
y` = 1
Regla de la potencia
xn
nx n−1
y = x5
Regla
kf (x )
kf ' ( x )
y = 3x 5 y ' = 15 x 4
Regla de la suma
f ( x) + g ( x)
f ' ( x) + g ' ( x)
y = x 2 + y' = 2 x + 1
Regla del producto
f ( x ) * g ( x)
f ( x) * g ' ( x) + f ' ( x) * g ( x)
Más
del
factor
y' = 5 x 4
constante
adelante
explicaremos
Regla del cociente
f ( x)
g ( x)
g ( x ) * f ' ( x) − f ( x ) * g ' ( x )
sig ( x) ≠ 0
g 2 ( x)
lo
con
ejercicios estas reglas
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Calculo para Administración, Economía y Ciencias Sociales”.
Elaborado: Abad Ana, (2009): “Guía Didáctica”
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Continuemos resolviendo
algunos ejercicios de
aplicación a estas reglas
Ejemplo 35
Derivar la función y = −
2
x2
x+2
2
1
3
+
x
+
+
+ 5+
2
x
3
2 x 4
Solución
y = −2 x −2 + x
2
3
y ' = −2( −2 x −3 ) +
y' =
+
1 − 12 1 2
1
2
x + x + 5+ x+
2
4
3
3
2 − 13 1 1 − 3 2
1
1
x + (− x ) + (2 x) +
3
2 2
4
3
4
2
1
1 −3
x 1
+ 3 − 3 (− x 2 ) + +
3
x
2 3
3 x 4 x 2
Ejemplo 36
La demanda de los consumidores de ciertos artículos es
D ( p ) = −200 p + 12000
unidades por mes cuando el precio del mercado es p dólares por unidad.
a) Expresar el gasto total mensual de los consumidores del artículo como un función de p
dibujar la gráfica.
b) Utilice el cálculo para determinar el precio del mercado para la cual el gasto de
consumo es máximo.
Solución
a) E(p) = gasto total mensual = (demanda mensual)(precio por unidad)
E(p)= (D(p))(p)
E(p) = (-200p + 12000)(p)
E(p) = -200p(p-60)
E(p) =-200p2 + 1200p
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b) El precio del mercado para el cual el gasto de consumo es mayor es el punto
donde la recta tangente es horizontal o:
E’(p) = 400p + 12000 = 0
Cuando p = 30 entonces E(30)= 180000 dólares
Para Reforzar
Como tarea realice la gráfica para que compruebe estos valores.
La Regla del Producto y la Regla del Cociente
Estimado estudiante confróntese
al texto base capitulo dos sección tres, y lea
detenidamente las reglas del producto y cociente para que luego se las memorice. Le
recomiendo que no trate de aprendérselas como fórmula sino como un teorema
teórico.
Para Memorizar:
La regla del producto: “La derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera
función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la
primera.”
La regla del cociente: “La derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador
por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo
ello dividido por el cuadrado del denominador.”
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Luego de haber revisado todos estos
contenidos, es oportuno resolver algunos
ejercicios de aplicación a estas reglas
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Ejemplo 37
Hallar la derivada de la función dada f (u ) = (u 2 − 5)(1 − 2u )
Solución
f ' (u ) = (u 2 − 5)(−2) + (2u )(1 − 2u )
f ' (u ) = 2u 2 + 10 + 2u − 4u 2 = −6u 2 + 2u + 10
Ejemplo 38
Hallar la derivada de la siguiente función utilizando las reglas adecuadas y =
t2 +1
1− t2
Solución
y' =
(1 − t 2 )(2t ) − (t 2 + 1)(−2t ) (2t )(1 − t 2 + t 2 + 1)
4t
=
=
2 2
2 2
(1 − t )
(1 − t )
(1 − t 2 ) 2
Ejemplo 39
Hallar la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función dada en el punto
(x,f(x)) para el valor de x=0
f ( x) = ( x3 + 2 x 2 + 3x − 1)( x5 − 4 x 2 + 2)
Solución
f ' ( x) = ( x 3 + 2 x 2 + 3 x − 1)(5 x 4 − 8 x) + ( x 5 − 4 x 2 + 2)(3 x 2 − 4 x + 3)
Como m= f’(x)
f’(0)=6y f(0)=-2(ecuación punto pendiente)
entonces la ecuación de la recta tangente es:
y − ( −2) = 6( x − 0)
y + 2 = 6x
y = 6x − 2
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Ejemplo 40
Hallar la derivada de la siguiente función
g ( x) =
42 − x + 3
x
Solución
g ( x) =
16 − x + 3
x
1
= (19 − x)( x)
−1
2
= 19 x
−1
2
−x
1
2
2
−3
19 x
g ' ( x) = −
2
2
−
1 −12
x
2
Ejemplo 40
Hallar la derivada de la siguiente función f ( x ) =
2x + 5
5x − 1
Solución
Aplicamos la regla del cociente
f ' ( x) =
(5 x − 1)( 2) − ( 2 x + 5)(5) (10 x − 2) − (10 x + 25) 10 x − 2 − 10 x − 25
=
=
(5 x − 1) 2
(5 x − 1) 2
(5 x − 1) 2
f ' ( x) =
− 27
(5 x − 1) 2
Señor estudiante al tratar de solucionar y analizar estos ejercicios, le permitirá
encontrar la aplicabilidad del Cálculo con ejemplos prácticos.
La segunda derivada
Ahora que ya poseemos el conocimiento de cómo resolver la primera derivada
podemos resolver la segunda derivada de una función que no es más que la derivada
de la primera derivada.
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La segunda derivada expresa la razón de cambio de la razón de cambio de una función.
Para calcular la segunda derivada se utiliza las mismas reglas que para la primera,
simplemente cuando ya tenemos la primera derivada la volvemos a derivar y
obtenemos la segunda.
La segunda derivada se denota como sigue:
2
d y
f ' ' ( x ); 2 ; y ' '
dx
Para Recordar:
Antes de encontrar la segunda derivada simplifique al máximo la primera derivada para
que el cálculo de la segunda sea más sencillo. Le recomiendo comenzar con funciones no
muy complicadas y luego analice las funciones que se utilizan la regla de la cadena.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Con los conocimientos adquiridos a través de su
lectura comprensiva, es momento de analizar el
siguiente ejemplo.
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Ejemplo 41
Halle la segunda derivada de la función dada. Utilice la notación apropiada y
simplifique la respuesta dado.
y = (1 − 2 x 3 ) 4
Solución
En primer lugar calculamos la primera derivada. Como la función que vamos a derivar es una
potencia utilizamos la regla de la cadena para derivar, de la siguiente manera:
y ' = 4(1 − 2 x 3 ) 3 (−6 x 2 ) = −24 x 2 (1 − 2 x 3 ) 3
Ahora, para obtener la segunda derivada vamos a derivar la primera, para lo cual aplicamos la
regla del producto y luego de la cadena.
[
]
y ' ' = −24[(2) x(1 − 2 x ) + x (3)(1 − 2 x ) (−6 x )]
y ' ' = −48 x[(1 − 2 x ) + 9 x (1 − 2 x) ]
y ' ' = −48 x(1 − 2 x ) [(1 − 2 x ) + 9 x ]
y ' ' = −48 x(1 − 2 x ) [1 − 2 x + 9 x ]
y ' ' = −48 x(1 − 2 x ) [1 + 7 x ]
y ' = −24 x 2 (1 − 2 x 3 ) 3
3 3
3 3
2
3 2
3
2
2
3 2
3
3 2
3
3 2
3
3
3
Derivadas de Orden superior
Como usted domina las reglas de derivación podemos avanzar con la derivación de
orden superior. Cuando se calcula la derivada de f(x) se obtienen f `(x), si derivamos
otra vez f`(x) se obtiene f’’(x)(segunda derivada), si derivamos otra vez f’’(x) se obtiene
f’’’(x)(tercera derivada) y así sucesivamente.
Regla de la Cadena
Estimado estudiante otro de los teoremas importantes dentro del calculo diferencial,
es el denominado “regla de la cadena” teorema que nos ayuda a derivar cualquier
función. Analice en primer lugar la teoría correspondiente que se encuentra en el
capitulo dos sección tres y luego analice los ejemplos.
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igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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Señor estudiante es
momento oportuno de
realizar algunas aplicaciones
Ejemplo 42
5
En una cierta fabrica, si C dólares es el costo total de producción de s unidades,
entonces
C=
1 2
s + 2 s + 1000
4
. Además, si se producen s unidades durante t horas
2
desde que se inició la producción, entonces s = 3t + 50t . Determinar la intensidad de
cambio del costo total con respecto a un tiempo de 2 horas después de iniciarse la
producción.
Solución
Se requiere obtener dC/dt cuando t=2. De la regla de la cadena, se tiene
dC dC ds
=
.
dt
ds dt
Derivando separadamente:
dC 1
= s+2
ds 2
ds
= 6t + 50
dt
Sustituyendo estas derivadas en la primera ecuación:
dC  1

=  s + 2 (6t + 50 )
ds  2

Cuando t=2 entonces s = 3(4) + 50(2) = 112
5
Louis Leithold. (2006):”Cálculo para ciencias Administrativas, Biológicas y Sociales”, Colombia,
Edit. Mc Graw-Hill, pag.143.
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Por lo tanto cuando t=2, tenemos
dC  1

=  (112) + 2 (6( 2) + 50 ) = (58)(62) = 3596
ds  2

En consecuencia, 2 horas después de iniciarse la producción el costo total se
incrementa a razón de $3596 dólares por hora.
Es momento oportuno de ampliar los conocimientos es por ello le
sugiero referirse al texto básico y realizar una lectura compresiva de:
Análisis marginal y aproximaciones por incrementos:
Análisis Marginal.
El cálculo se ha convertido en un instrumento importante para resolver algunos
problemas que surgen en la Economía. Si para describir una cierta cantidad económica
se usa una función f, entonces, se emplea el adjetivo marginal para hacer referencia a
la derivada f. En el texto base está claramente desarrollado el marco teórico del
análisis marginal y tiene algunos problemas resueltos, le ruego que los analice en
forma detenida. Le recuerdo que todos estos conceptos los ha estudiado en la
asignatura de Teoría Económica.
Las derivadas C, A', R' y P' se llaman función de costo marginal, función de costo medio
marginal, función de ingreso marginal y función de utilidad marginal, respectivamente.
El número C'(x) es el costo marginal asociado a la producción de x unidades. Si se
interpreta la derivada como la tasa de variación o de cambio, se dice entonces que el
costo varía con respecto a la cantidad de unidades producidas x a razón de C'(x)
unidades monetarias por unidad de producción. Pueden hacerse afirmaciones
semejantes para A'(x), R'(x) y P'(x).
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Si C es la función de costo y n es un entero positivo, entonces, por la definición de
derivada, tenemos:
C ( n + h) − C ( n) C ( n + h) − C ( n)
≡
h→0
h
h
(si h es pequeño)
C ' ( n) = lim
Cuando la cantidad de n unidades producidas es grande, los economistas suelen tomar
h = 1 en la fórmula anterior y estimar el costo marginal por:
C’(n) C(n + l) -C(n)
En este contexto, el COSTO MARGINAL ASOCIADO A LA PRODUCCIÓN DE N UNIDADES
ES (APROXIMADAMENTE) IGUAL AL COSTO DE PRODUCIR UNA UNIDAD MAS.
Algunas empresas consideran que el costo C(x) de producir x unidades de un bien de
consumo está dado por una fórmula como esta: C(x) = a + bx + dx2 + kx3.
En donde:
La constante a representa un costo fijo por conceptos como alquiler, electricidad y
calefacción, que son independientes del número de unidades producidas. Si el costo de
producir una unidad fuera by no hubieran otros factores implícitos, entonces el
segundo término bx en la fórmula representaría el costo de producción de x unidades.
Cuando x es muy grande, entonces los términos dx2
y
kx3 pueden afectan
significativamente los costos de producción.
Derivaciones de funciones en forma implícita.
Para Recordar:
Una función esta escrita en forma implícita, cuando su variable
dependiente (y) no está despejada
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
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igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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La Derivación Implícita es una técnica muy sencilla basada en la regla de la cadena que
permite calcular la derivada sin necesidad de resolver la ecuación explícitamente para
x o para y. En el texto guía en el capitulo dos de la sección seis en los ejercicios
resueltos se detalla la manera como resolver este tipo de ejercicios.
Para Memorizar:
a)
Si queremos obtener dy/dx, derivamos término a término con respecto a x,
considerando a y como una función de x.
b)
En cambio, si queremos obtener dx/dy, derivamos término a término con
respecto a y, considerando a x como una función de y
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
Para comprender mejor sobre el cálculo
de derivaciones de funciones en forma
implícita realizaremos algunos ejercicios
Ejemplo 43
Hallar
dy
si x 5 y − xy 2 + 3 = 0
dx
Solución
d 5
d
d
( x y ) − ( xy 2 ) + (3) = 0
dx
dx
dx
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 5 d ( y)
d ( x 5 )   dy 2
2 d ( x) 
 x dx + y dx  −  x dx + y dx  + 0 = 0

 

dy
 5 d ( y)


4 d ( x) 
2
 x dx + y 5 x dx  −  x( 2 y ) dx + y (1)  = 0
dy
 5 d ( y)
 
4
2
 x dx + 5 x y (1)  − 2 xy ) dx + y  = 0
dy
 5 d ( y)
 
4
2
 x dx + 5 x y (1)  − 2 xy ) dx + y  = 0
Destruyendo los corchetes y agrupando los términos que contienen dy/dx en un
miembro y los independientes en el otro, tenemos que:
dy 5
( x − 2 xy ) = y 2 + 5 x 4 y
dx
dy y 2 + 5 x 4 y
= 5
dx
x − 2 xy
Ejemplo 44
dx
5
2
Hallar dy si x y − xy + 3 = 0
Solución
d 5
d
d
( x y ) − ( xy 2 ) + (3) = 0
dy
dy
dy
 5 d ( y)
d ( x 5 )   dy 2
d ( x) 
x
+
y
− x
+ y2
+0=0


dy
dy   dy
dy 

 5
4 d ( x)
2 d ( x) 
 x + 5 x y dy − 2 xy − y dx  = 0


dx
(5 x 4 y − y 2 ) = − x 5 + 2 xy
dy
dx − (− x 5 + 2 xy)
x 5 + 2 xy
=
=
dy − (− y 2 − 5 x 4 y ) y 2 − 5 x 4 y
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igual (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ec/).
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Cambiamos de signo a la derivada dx/dy, solamente para expresarla igual que a la
derivada dy/dx, para poder sacar la siguiente conclusión al comparar estas dos
derivadas.
dy
1
=
dy
dx
dx
Es decir que encontrando la una derivada podemos usar esta relación para encontrar
la otra.
Ejemplo 45
6
Hallar
dy
si 5 xy 7 − y 3 = 9 x + 4 y
dx
Solución
Aplicamos el operador derivada en ambos miembros de la igualdad
d
d
(5 xy 7 − y 3 ) =
(9 x + 4 y )
dx
dx
d
d 3 d
d
5 xy 7 −
y = 9x + 4 y
dx
dx
dx
dx
Utilizando las reglas de la derivada anteriormente descrita (producto, potencia y regla
de la cadena)
d 7
d
d
dy


y − y7
5x  − 3 y 2
y =9+4
 5x
dx 
dx
dx
 dx
dy 
dy

7
2 dy
5 x 7 y 6
=9+4
 + y (5) − 3 y
dx 
dx
dx

35 xy 6
dy
dy
dy
+ 5y7 − 3y2
=9+4
dx
dx
dx
Escribimos en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y del
lado derecho los que no lo contengan:
6
Castro L.(2009) “Derivadas de funciones Implícitas”
[en línea] .Disponible en:
http://www.fic.umich.mx/~lcastro/10%20derivadas%20de%20funciones%20implicitas.pdf
[consulta 11-10-2009].
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35 xy 6
dy
dy
dy
− 3y2
−4
= 9 − 5 y7
dx
dx
dx
Factorizando
(
dy
es decir sacando factor común
dx
)
dy
35 xy 6 − 3 y 2 − 4 = 9 − 5 y 7
dx
Despejando tenemos
dy
9 − 5 y7
=
dx 35 xy 6 − 3 y 2 − 4
(
)
En economía se utiliza la derivada implícita tanto en la práctica como en la teoría. La
principal aplicación es para resolver problemas de TASAS RELACIONADAS O RAPIDEZ
DE VARIACION RELACIONADAS, como se las denomina a las derivadas dx/dt y dy/dt, ya
que están vinculadas o relacionadas efectivamente por medio de una ecuación. Tal
ecuación puede usarse para evaluar una de la derivada cuando se conoce la otra; esto
tiene muchas aplicaciones prácticas.
Para Recordar:
A continuación se dan algunas recomendaciones que le pueden servir de guía para resolver
problemas de variación relacionadas, como una manera de complemento al procedimiento que
se tiene en el texto base.
1. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las
cantidades que se desea calcular.
2. Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades
desconocidas.
3. Escribir los hechos conocidos expresando las rapideces de variación dadas (datos) y las
desconocidas (incógnitas) como derivadas de las variables.
4. Encontrar una ecuación general que relacione las variables
5. Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una
relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.
6. Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio
desconocida.
Fuente: Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias
Sociales”.
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Un error que se comete frecuentemente es usar los valores específicos de las
derivadas y las variables demasiado pronto en la resolución. Recuérdese siempre
obtener una formula general que correlacione las rapideces de variación para todo
tiempo t. Los valores específicos de las variables deben sustituirse solamente en los
últimos pasos de la resolución.
Vamos a resolver algunos
ejercicios de aplicaciones en
la economía
Ejemplo 46 7
La producción de cierta planta es Q = 0.06 x 2 + 0.14 xy + 0.05 y 2 unidades por día,
donde x es el número de horas-trabajador calificado utilizado y y es el número de
horas –trabajador no calificado utilizado. Actualmente, se emplean 60 horastrabajador calificado y 300 horas-trabajador no calificado cada día. Utilice el cálculo
para estimar el cambio que debe hacerse en el número de horas de trabajo no
calificado para compensar un incremento de 1 hora en el trabajo calificado, de manera
que la producción se mantenga en su nivel actual
Solución
El nivel actual de producción es el valor de Q cuando x = 60 y y=300. Es decir
Q = 0.06(60) 2 + 0.14(60)(300) + 0.05(300) 2
7
Hoffmann, D., Bradley, L. y Rosen H. (2006): “Cálculo para Administración, Economía y
Ciencias Sociales”, Colombia, Edit. Mc Graw-Hill, pag.167 (#36)
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Q = 216 + 2520 + 4500 = 7236 unidades
Si la producción se debe mantener en este nivel, la relación entre trabajo calificado x y
trabajo no calificado y está dado por la ecuación
7236 = 0.06 x 2 + 0.14 xy + 0.05 y 2
Que define y implícitamente como una función de x.
El objetivo es calcular el cambio en y que corresponda a un incremento de 1 unidad en
x, cuando x y y estén relacionadas por esta ecuación.
El cambio provocado en y por un incremento de 1 unidad en x se puede aproximar
mediante la derivada
dy
. Para determinar esta derivada, se utiliza la derivación
dx
implícita.
0 = 0.06(2) x + 0.14 x
− 0.14 x
dy
d
dy
+ 0.14 y ( x ) + 0.05(3) y
dx
dx
dx
dy
dy
− 0.05(3) y
= 0.14 y + 0.06( 2) x
dx
dx
dy
( −0.14 x − 0.15 y ) = 0.14 y + 0.12 x
dx
dy
0.14 y + 0.12 x
=
dx ( −0.14 x − 0.15 y )
Ahora se asigna esta derivada cuando x=60 y y=300
dy
dx
dy
dx
x =60
y =300
x =60
y =300
=
0.14(300) + 0.12(60)
(−0.14(60) − 0.15(300))
=
42 + 7,2
= −0,9
(−8,4 − 45)
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Es decir para mantener el nivel actual de producción, el trabajo no calificado se deberá
disminuir en aproximadamente 0.9 horas para compensar el incremento de 1 hora de
trabajo calificado.
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