2 Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

ITESM, Campus Monterrey
Departamento de Matemáticas
MA-841: Ecuaciones Diferenciales
Lectura #13
2
2.6
Profesor: Eduardo Uresti Charre
Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
El Método de los Coeficientes Indeterminados
La solución general a la ecuación diferencial:
y 00 + ay 0 + by = r(x)
tiene la forma:
y = yh + yp
donde yh es la solución general a la ecuación homogénea auxiliar y yp es una solución
particular. Un método para determinar yp , sin las integrales del método de variación de
parámetros, es el de los coeficientes indeterminados. Este se basa en identificar que,
para ciertos casos de r(x), la forma de yp es muy similar a la de r(x). El método consiste
en adivinar yp a partir de la forma de r(x): Este proceso de adivinación se da proponiendo
una forma para yp , donde algunos coeficientes son desconocidos o indeterminados (de allı́ el
nombre del método), y posteriormente ajustándolos mediante la solución de un sistema de
ecuaciones lineales. Como puede ver trabajo siempre habrá, aunque resolver un sistema de
ecuaciones lineales se considera siempre un trabajo intelectualmente inferior al de resolver
integrales. La forma adecuada de la yp que se propone se da en la siguiente tabla.
FORMA DE LA SOLUCION PARTICULAR yp (x) DE y 00 + ay 0 + by = r(x)
DEPENDIENDO DE LA FORMA DE LA FUNCION r(x)
Forma que tiene r(x)
1. r(x)=an xn +an−1 xn−1 +···+a1 x+a0
2. r(x)=a eλx
3. r(x)=a cos(q x)+b sen(q x)
Forma que debe tener yp (x)
yp (x)=xK [An xn +An−1 xn−1 +···+A1 x+A0 ]
yp (x)=xK [Aeλx ]
yp (x)=xK [A cos(q x)+B sen(q x)]
una de las constantes, a o b,
pueden ser cero
4.
5.
r(x)=[an xn +···+a0 ]eλx
yp (x)=xK [An xn +···+A0 ]eλx
r(x)=[an xn +···+a0 ]cos(q x)+
yp (x)=xK [(AN xN +···+A0 )cos(q x)+(BN xN +···+B0 )sen(q x)]
[bm xm +···+b0 ]sen(q x)
alguno de los polinomios puede ser
(N es el máximo de n y m)
el polinomio cero
6.
7.
r(x)=a eλx cos(q x)+b eλx sen(q x)
yp (x)=xK [A eλx cos(q x)+B eλx sen(q x)]
r(x)=[an xn +···+a0 ]eλx cos(q x)+
yp (x)=xK ([AN xN +···+A0 ]eλx cos(q x)+[BN xN +···+B0 ]eλx sen(q x))
[bm xm +···+b0 ]eλx sen(q x)
alguno de los polinomios puede ser
(N es el máximo de n y m)
el polinomio cero
NOTAS
1. Los coeficientes en r(x), representados por las letras minúsculas a, b, etc, son conocidos, mientras que los coeficientes en yp (x), representados por las letras mayúsculas A,
B, etc, son las incógnitas a determinar, es decir son los coeficientes indeterminados.
2. El valor de K en yp (x) es el menor entero no negativo (K ≥ 0) tal que ningún
término de yp (x) aparezca en la solución de la ecuación homogénea auxiliar, y 00 +
ay 0 + by = 0. Una manera práctica de determinar K es la siguiente. Para el caso 1,
K es la multiplicidad (cuantas veces fue raı́z) del número 0 como raı́z de la ecuación
caracterı́stica. En los casos 2 y 4, K es la multiplicidad del número λ. En los casos 3 y
5, K es la multiplicidad del complejo 0 + q i. Y en lo casos 6 y 7, K es la multiplicidad
del complejo λ + q i.
2