1. −→r(t) = cost−→i + 3 sent−→j . 2. −→r(t) = 3 sect−→i +
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Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Escuela de Matemática Departamento de Matemática Aplicada Práctica Miscelánea para el Primer Parcial Funciones Vectoriales, Regla de la Cadena y Funciones Implícitas MA 1003 Cálculo 3 Recopilado por Prof. Marco Alfaro C. En los ejercicios 1-8 , dibujar la curva representada por la función vectorial e indicar su orientación. − → − → → 1. − r (t) = cos t i + 3 sen t j . − → − → → 2. − r (t) = 3 sec t i + 2 tan t j . − → − → − → → 3. − r (t) = t i + (2t − 5) j + 3t k . − → − → − → → 4. − r (t) = 2 cos t i + 2 sen t j + t k . → − → − → t− → 5. − r (t) = 3 cos t i + 4 sen t j + k . 2 → − → − → 3 − → 6. − r (t) = t2 i + 2t j + t k . 2 2 → 7. − r (t) = t, t2 , t . 3 → 8. − r (t) = (cos t + t sen t, sen t − t cos t, t) . En los ejercicios 9-16, representar la curva plana mediante una función vectorial. (Hay varias respuestas correctas) 9. y = 4 − x. 10. y = (x − 2)2 . 11. x2 + y2 = 25. 12. x2 y2 − = 1. 16 4 13. 2x − 3y + 5 = 0. 14. y = 4 − x2 . 15. (x − 2)2 + y 2 = 4. 16. x2 y2 + = 1. 16 9 En los ejercicios 17-24, trazar la curva intersección de las superficies. Representar la curva por una función vectorial usando el parámetro dado. Superficies 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. z = x2 + y 2 , x + y = 0 z = x2 + y 2 , z = 4 x2 + y 2 = 4, z = x2 4x2 + 4y2 + z 2 = 16, x = z 2 x2 + y 2 + z 2 = 4, x + z = 2 x2 + y 2 + z 2 = 10, x + y = 4 x2 + z 2 = 4, y 2 + z 2 = 4 x2 + y 2 + z 2 = 16, xy = 4 Parámetro x=t x = 2 cos t x = 2 sen t z=t x = 1 + sen t x = 2 sen t x = t (primer octante) x = t (primer octante) 25. Probar que la gráfica de la función vectorial − → − → − → − → r (t) = t i + 2t cos t j + 2t sen t k está sobre el cono 4x2 = y 2 + z 2 . Dibujar la curva. 26. Probar que la gráfica de la función vectorial − → − → − → − → r (t) = e−1 cos t i + e−1 sen t j +e−1 k está sobre el cono z 2 = x2 + y2 . Dibujar la curva. − → 27. Encuentre la derivada de la función en P0 , en la dirección de A . − → − → − → (a) f (x, y) = 2xy − 3y2 , P0 (5, 5) , A = 4 i + 3 j . − → − → − → (b) f (x, y) = 2x2 + y2 , P0 (−1, 1) , A = 3 i −4 j . √ − → − → − → (c) g(x, y) = x − y 2 /x + 3 arcsec (2xy) , P0 (1, 1) , A =12 i + 5 j . √ − → − → − → (d) h (x, y) = arctan (y/x) + 3 arcsen (xy/2) , P0 (1, 1) , A = 3 i − 2 j . − → − → − → − → (e) f (x, y, z) = xy + yz + zx, P0 (1, −1, 2) , A = 3 i +6 j − 2 k . − → − → − → − → (f) f (x, y, z) = x2 + 2y2 − 3z 2 , P0 (1, 1, 1) , A = i + j + k . − → − → − → − → (g) g(x, y, z) = 3ex cos yz, P0 (0, 0, 0) , A = 2 i + j −2 k . − → − → − → − → (h) h(x, y, z) = cos xy + eyz + ln zx, P0 (1, 0, 1/2) , A = i +2 j + 2 k . 28. Encuentre las direcciones en que las funciones crecen y decrecen más rápidamente en P0 . (a) f (x, y) = x2 + xy + x2 , 2 P0 (−1, 1) . xy (b) f (x, y) = x y + e sen y, (c) f (x, y, z) = (x/y) − yz, 2 e (d) g(x, y, z) = x + z , P0 (1, 0) . P0 (4, 1, 1) . P0 (1, ln 2, 1/2) . (e) f (x, y, z) = ln xy + ln yz + ln xz, P0 (1, 1, 1) . (f) h (x, y, z) = ln x2 + y2 − 1 + y + 6z, P0 (1, 1, 0) . 29. Encuentre ecuaciones para (a) el plano tangente y (b) la recta normal en el punto P0 . (a) x2 + y 2 + z 2 = 3, 2 2 2 (b) x + y − z = 18, 2 (c) 2z − x = 0, P0 (1, 1, 1) . P0 (3, 5, −4) . P0 (2, 0, 2). (d) x2 + 2xy − y 2 + z 2 = 0, P0 (1, −1, 3) . (e) cos πx − x2 y + exz + yz = 4, (f) x2 − xy − y 2 − z = 0, (g) x + y + z = 1, P0 (0, 1, 2) . P0 (1, 1, −1) . P0 (0, 1, 0). (h) x2 + y 2 − 2xy − x + 3y − z = −4, P0 (2, −3, 18). 30. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva de intersección de las superficies en el punto P0 . (a) Superficies: x + y 2 + 2z = 4, x = 1, 2 (b) Superficies: xyz = 1, 2 x + 2y + 3z = 6, P0 (1, 1, 1). 2 (c) Superficies: x + 2y + 2z = 4, 3 P0 (1, 1, 1). 2 2 2 y = 1, P0 (1, 1, 1/2). (d) Superficies: x + 3x y + y + 4xy − z 2 = 0, (e) Superficies: x2 + y 2 = 4, 3 x2 + y2 + z 2 = 11, P0 (1, 1, 3). √ √ x2 + y2 − z = 0, P0 ( 2, 2, 4). 31. Encuentre la derivada de f (x, y) = x2 + y2 , en la dirección del vector tangente unitario de la curva − → − → − → r (t) = (cos t + t sen t) i + (sen t − t cos t) j , t > 0. 32. Encuentre la derivada de f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 , en la dirección del vector tangente unitario de la hélice − → − → − → − → r (t) = cos t i + sen t j + t k π 4 en los puntos donde t = − , 0, π . 4 33. Una curva es normal a una superficie f (x, y, z) = c en un punto de intersección si el vector de velocidad de la curva es un múltiplo escalar ∇f en el punto. La curva es tangente a la superficie en un punto de intersección si su vector velocidad es, ahí, ortogonal a ∇f . (a) Demuestre que la curva √− − → → √− → − → r (t) = t i + t j − 14 (t + 3) k es normal a la superficie x2 + y 2 − z = 3, cuando t = 1. (b) Demuestre que la curva √− − → → √− → − → r (t) = t i + t j + (2t − 1) k es tangente a la superficie x2 + y 2 − z = 1, cuando t = 1. 34. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = t, y = sen 5t, z = cos 5t está en el cilindro circular x2 + y2 = 1, centrado a lo largo del eje x. 35. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = sen t, y = cos t, z = cos 8t está en el cilindro circular vertical x2 + y 2 = 1. 36. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = t sen 6t, y = t cos 6t está en un cono z = x2 + y2 con su vértice en el origen y abierto hacia arriba. 37. Muestre que la gráfica de la curva con ecuaciones paramétricas x = cos t sen 4t, y = sen t sen 4t, z = cos 4t, está en la superficie de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1. → En los ejercicios 38 al 43 se proporciona el vector − r (t) de una partícula que se mueve en el espacio. Encuentre sus vectores de velocidad y aceleración, así como su rapidez en el tiempo t. − → − → − → → 38. − r (t) = t i + t2 j + t3 k . − → − → − → → 39. − r (t) = 3t2 i + 4t2 j − 12t2 k . − → − → − → → 40. − r (t) = t i + 3et j + 4et k . − → − → − → → 41. − r (t) = et i + e2t j + e3t k . − → − → − → → 42. − r (t) = 3 cos t i + 3 sen t j − 4t k . − → − → − → → 43. − r (t) = 12t i + 5 sen 2t j − 5 cos 2t k . → → En los problemas 44 a 48 se dan el vector de aceleración − r (0) y la velocidad a (t), la posición inicial r0 = − − → → inicial v0 = v (0) de una partícula que se mueve en el espacio xyz . Encuentre su vector de posición − r (t) en el tiempo t. − → − → − → − → − → − → − → → 44. − a (t) = 6t i − 5 j + 12t2 k ; v0 = 4 j − 5 k . r0 = 3 i + 4 j ; − → − → − → − → − → → r0 = 10 i ; 45. − a (t) = t i + t2 j + t3 k ; v0 = 10 j . − → − → − → − → − → → 46. − a (t) = t i + e−1 j ; r0 = 3 i + 4 j ; v0 = 5 k . − → − → − → − → − → → v0 = − i + 5 k . 47. − a (t) = cos t i + sen t j ; r0 = j ; − → − → − → − → − → − → − → → 48. − a (t) = 9 sen 3t i + 9 cos 3t j + 4 k ; r0 = 3 i + 4 j ; v0 = 2 i − 7 k . 49. Las ecuaciones paramétricas de un punto en movimiento son x (t) = 3 cos 2t, y (t) = 3 sen 2t, z (t) = 8t Encuentre su velocidad, rapidez y aceleración en el tiempo t = 7π . 8 50. Una partícula se mueve en una circunferencia cuyo centro está en el origen. Utilice el producto punto para demostrar que los vectores de posición y de velocidad del punto en movimiento son siempre perpendiculares. 51. Una partícula se mueve en la hipérbola x2 − y 2 = 1 con vector de posición − → − → − → r (t) = cosh ωt i + senh ωt j → (el número ω es una constante). Pruebe que el vector de aceleración − a (t) satisface la ecuación − → − → a (t) = c r (t), donde c es una constante positiva. Qué clase de fuerza externa producirá este tipo de movimiento? 52. Suponga que una partícula se mueve en la elipse x2 y 2 + 2 =1 a2 b − → − → → con vector de posición − r (t) = a cos ωt i + b sen ωt j (ω es una constante). Pruebe que el vector de − → − → − → aceleración a satisface la ecuación a (t) = c r (t), donde c es una constante negativa. A qué clase de − → fuerza externa F (t) corresponde el movimiento? − → → 53. Un punto se mueve en un plano con un factor de aceleración constante − a = a j . Pruebe que su trayectoria es una parábola o una línea recta. → 54. Suponga que una partícula no está sujeta a una fuerza, de modo que su vector de aceleración − a (t) es idénticamente cero. Pruebe que la partícula viaja a lo largo de una línea recta con una velocidad constante (primera ley de movimiento de Newton). 55. Considere una partícula que se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj, en una circunferencua con centro (0, 0) y radio r, a una velocidad angular constante de ω radianes por segundo. Si su posición inicial es (r, 0), entonces su posición es − → − → − → r (t) = r cos ωt i + r sen ωt j . (a) Demuestre que el vector de velocidad de la partícula es tangente a la circunferencia y que su rapidez es → v (t) = − v (t) = rω. → → (b) Demuestre que el vector de la aceleracion − a de la partícula tiene dirección opuesta a − r y que → a (t) = − a (t) = rω 2 . 56. Encuentre la curvatura de la curva dada en el punto indicado. x = 5 cosh t, y = 3 senh t, donde t = 0. El vector de posición de una partícula que se mueve en el plano está dado en los problemas 57 a 61. Encuentre las componentes tangencial y normal del vector de aceleración. − → − → → 57. − r (t) = 3 sen π t i + 3 cos π t j . − → − → → 58. − r (t) = (2t + 1) i + (3r2 − 1) j . − → − → → 59. − r (t) = cosh 3t i + senh 3t j . − → − → → 60. − r (t) = t cos t i + t sen t j . → 61. − r (t) = (et sen t, et cos t). En los problemas 62 y 63 encuentre la ecuación de la circunferencia osculadora para la curva plana dada en el punto indicado. 62. y = 1 − x2 en (0, 1). 63. y = ex en (0, 1). Encuentre la curvatura κ de las curvas en el espacio con los vectores de posición dados en los problemas 64 a 68. − → − → − → → 64. − r (t) = t i + (2t − 1) j + (3t + 5) k − → − → − → → 65. − r (t) = t i + sen t j + cos t k → 66. − r (t) = (t, t2 , t3 ) → 67. − r (t) = (et cos t, et sen t, et ) − → − → − → → 68. − r (t) = t sen t i + t cos t j + t k 69. Encuentre la parametrización para la línea x (t) = 2 + 4t, y (t) = 1 − 12t, z (t) = 3 + 3t en términos de la longitud de arco s, medida desde el punto inicial (2, 1, 3). 70. Encuentre la parametrización para la circunferencia x (t) = 2 cos t, y (t) = 2 sen t, z (t) = 0 en términos de longitud de arco s, medida en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el punto inicial (2, 0, 0). 71. Encuentre la parametrización para la hélice x (t) 3 cos t, y (t) = 3 sen t, z (t) = 4t en términos de la longitud de arco s, medida desde el punto inicial (3, 0, 0). 72. Determine la ecuación del cono que tiene como directriz la curva 2 y − 4x = 0 C: z=0 y cuyo vértice es el punto V (0, 0, 8) . 73. Sea f : A ⊆ R2 −→ R diferenciable con A abierto, y sea P ∈ A. Suponga que − D→ u f (P ) = 3, → donde − u = −1 √1 , √ 2 2 → y − v = √ 3 1 2 , 2 − D→ v f (P ) = 2 − y D→ u f (P ) denota la derivada direccional de f en P , en la ∂f ∂f → dirección de − u . Calcule (P ) y (P ) . ∂x ∂y 74. Se define la función z = f (x, y) como z = u + v, donde u y v son funciones implícitas determinadas por las expresiones F (x, y, u, v) = u + eu+v − x = 0 G (x, y, u, v) = v + eu−v − y = 0. Determine la ecuación del plano tangente a z = f (x, y) en el punto correspondiente a x = y = 1, u = v = 0. 75. Considere la curva C obtenida al intersecar la superficie z = 2x2 y con la superficie z = x + y. → r (t) que describa la curva C. (a) Determine una función vectorial − (b) Calcule la torsión de la curva C , en el punto P (1, 1, 2) . 76. Sean Φ,Ψ : A ⊆ R2 −→ R dos funciones derivables tales que ∂Φ ∂Ψ = , ∂u ∂v ∂Φ −∂Ψ = . ∂v ∂u (a) Muestre que Φ y Ψ son armónicas, esto es, que satisfacen la ecuación de Laplace: ∂ 2 f (x, y) ∂ 2 f (x, y) + = 0. ∂x2 ∂y2 (b) Sea f : A ⊆ R2 −→ R una función armónica con Φ y Ψ como en la parte (a), muestre que la nueva función F (u, v) = f (Φ (u, v) , Ψ (u, v)) es también una función armónica. 77. Muestre que 2 − 1 u (x, y, z, t) = √ 3 · e 2a πt 2 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) + (z − z0 ) 4a2 t cumple la ecuación de calor ut = a2 (uxx + uyy + uzz ) . 78. Determine la ecuación de la superficie cónica con vértice el punto V definido por x + 3z − 10 = 0 x−z+2 =0 V : y−2 =0 y que tiene por directriz la curva C: x2 + z 2 − 2z = 0 y = 0. 79. Determine la ecuación de la superficie de revolución, engendrada al girar la circunferencia x2 + y 2 + z 2 + 2z − 7 = 0; alrededor de la recta x + 3y − z + 1 = 0 x+1 y−4 z+5 = = . 2 −1 3 80. Transforme la ecuación diferencial x ∂z ∂z +y = z + x2 + y 2 + z 2 ∂x ∂y con las nuevas variables u= y , x v=z+ x2 + y2 + z 2 . 81. Determine y clasifique los extremos relativos de la función 2 f (x, y) = y 3 + (x + y) + 6 (x − y) . 82. Hallar los extremos absolutos de la función f (x, y) = x2 + x + y 2 + y en la región A = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 1 . Bibliografía 1. Demidovich, B.: 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, Madrid (1985). 2. Edwards, H. y David Penney: Cálculo con Trascendentes Tempranas. Editorial Pearson, México (2008). 3. Rogawski, J.: Cálculo: Varias Variables. Segunda Edición, Editorial Reverté, Barcelona (2012). 4. Stewart, J.: Cálculo Multivariable. Cuarta Edición, Thomson Learning, México, D.F. (2002). 5. Thomas, G.: Cálculo en Varias Variables. Decimosegunda Edición.Editorial Pearson, México, D.F. (2008).
