3 CINETICA DE LA PARTICULA

3
CINETICA DE LA PARTICULA
3.1
PRINCIPIOS BASICOS DE LA MECANICA DE NEWTON
En este capítulo se estudia el movimiento de una partícula considerando las causas que lo originan. Estas causas
corresponden a la interacción de la partícula con el resto del universo, interacción que es representada por fuerzas.
Las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre una partícula y el movimiento resultante de la partícula están
enunciadas en las Leyes de Newton, propuestas en 1687:
•
Primera Ley:
Una partícula tiende a permanecer en su estado de movimiento a menos que se ejerza una
fuerza sobre ella. Esto significa una partícula sometida a un sistema de fuerzas en equilibrio
(fuerza neta nula) mantendrá su velocidad. En particular, si la velocidad es nula, la partícula
se mantendrá en reposo.
•
Segunda Ley:
La aceleración que adquiere una partícula es proporcional a la fuerza neta ejercida sobre ella
e inversamente proporcional a su masa.
•
Tercera Ley:
Las fuerzas de interacción entre partículas son iguales en magnitud y de sentido contrario
(Principio de acción y reacción).
Estas leyes son válidas para sistemas de referencias inerciales. Recordando las definiciones entregadas en el Cap.
1, se puede considerar como sistema de referencia inercial cualquiera cuyo movimiento absoluto sea despreciable
para el problema en estudio, por lo que se le considera fijo. Además, cualquier sistema de referencia que se mueve
con velocidad constante con respecto a un sistema inercial es también sistema inercial.
Es claro además que la primera ley es en realidad un caso especial de la segunda.
3.2
FUERZA Y MOMENTUM LINEAL
Def:
Momentum Lineal
Supóngase una partícula de masa m que se mueve con velocidad v en un sistema inercial. El momentum lineal o
cantidad de movimiento lineal p de la partícula es:
p=m v
(3.1)
Fuerza
El concepto de fuerza permite representar la acción que un sistema de partículas (en general el resto del universo)
ejerce sobre una partícula en estudio. Se dice entonces que sobre la partícula actúa una fuerza cuando la acción de
los agentes externos se traduce en un cambio del momentum lineal de dicha partícula. Cuantitativamente, la fuerza
que actúa sobre una partícula se define como la tasa de cambio en el tiempo del momentum lineal de la partícula que
se mueve en un sistema inercial:
F =
dp
= p&
dt
(3.2)
En forma equivalente, si la masa permanece invariante:
F = m v& = m a
(3.3)
La ecuación (3.2) o (3.3), que se conoce comúnmente como la ecuación de Newton del movimiento o simplemente
como ecuación de Newton o ecuación del movimiento, es una ecuación diferencial vectorial para las componentes
de la posición de la partícula. La solución de esta ecuación permite determinar las características del movimiento
bajo las condiciones particulares de cada problema: condiciones iniciales, fuerzas actuantes y restricciones.
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Cap 3 Cinética de la Partícula
3-1
El concepto de fuerza permite estudiar el movimiento de una partícula en forma independiente del resto del universo.
Cabe recordar que en la mecánica clásica se acostumbra a dividir las fuerzas de interacción en Fuerzas de Contacto
y Fuerzas de Campo (“a Distancia”). El primer tipo corresponde a aquellas fuerzas ejercidas por un agente que
está en contacto directo con el sistema en estudio. Como ejemplo se puede mencionar cualquier reacción ejercida
por un apoyo. Fuerzas de campo son ejercidas sin la intervención de un medio de transmisión, por ejemplo, la fuerza
de atracción gravi tatoria, fuerzas electromagnéticas, etc.
Conservación del Momentum Lineal
Supóngase que la fuerza F tiene componente nula en una dirección cualquiera j, es decir, Fj = 0. De la ecuación del
movimiento se concluye que la componente pj del momentum lineal es constante durante el movimiento.
Grados de Libertad y Restricciones
Los grados de libertad de un sistema corresponden a las diferentes formas independientes en que se puede mover el
sistema, tema que fue analizado en detalle en el Cap. 2. El número de grados de libertad del sistema corresponde
al número de coordenadas independientes necesarias para especificar la configuración del sistema en un instante
cualquiera.
Las restricciones limitan, en forma total o parcial, el movimiento en alguna dirección dada. Las existencia de una
restricción genera una reacción en la dirección en que el desplazamiento está restringido. Usualmente estas
reacciones son incógnitas a resolver en el problema.
Método para la Resolución de Problemas en Dinámica
1
Definir el sistema en estudio: partícula, sistema de partículas o cuerpo rígido.
2
Elegir un sistema de referencia inercial, no necesariamente único para todas las partículas.
3
Considerar el sistema en un instante determinado arbitrario, es decir, una "fotografía". Elegir coordenadas
para cada partícula tales que especifiquen claramente la posición y determinar relaciones entre estas
coordenadas y las del sistema inercial.
4
Utilizar Diagrama de Cuerpo Libre. Describir, analítica o geométricamente, todas las fuerzas que actúan
sobre cada partícula. Incluir todas las fuerzas que aparecen en vínculos o restricciones del sistema.
5
Aplicar ecuación del movimiento en forma vectorial.
6
Expresar en forma matemática las posibles restricciones al movimiento.
7
Revisar el número de ecuaciones obtenidas y las variables desconocidas. Recuerde que en la ecuación
diferencial del movimiento el tiempo no es incógnita y que las derivadas de una variable y la variable misma
corresponden a la misma incógnita.
8
Resolver para las fuerzas desconocidas y el movimiento del sistema, considerando las condiciones iniciales.
Revisar que la solución sea físicamente razonable y revisar los casos límites.
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Cap 3 Cinética de la Partícula
3-2
EJEMPLO 3-1
m
a
El sistema de la figura consta de un disco de radio r, que pivotea sin roce
en su centro en torno a un brazo rígido horizontal de longitud a, el que a
su vez se une a una barra vertical de longitud h. Esta última barra se
apoya en el suelo de forma tal que solamente puede rotal en torno a su
eje vertical. En el borde del disco se encuentra unida rígidamente una
partícula de masa m.
a
p
h
h
a
Suponiendo que las masas del disco y de las barras son despreciables,
que el disco rota con rapidez angular p constante en torno a su eje, y que
el sistema completo rota con velocidad angular ω constante en torno al
eje vertical, determine las reacciones en la base y las acciones
necesarias para mantener el movimiento con las condiciones descritas.
r
m
ω
ha
DINPAR15 - C2-2004-1
SOLUCION
a)
General
El sistema tiene dos grados de libertad:
§ El movimiento de rotación del disco en torno al eje que pasa por el brazo horizontal, descrito por la coordenada
α de la figura
§ El movimiento de rotación del brazo vertical en torno a su eje, descrito por el ángulo θ de la figura.
Dados los datos, el movimiento del sistema está totalmente definido. Las incógnitas del problema son las reacciones
y las acciones externas necesarias para mantener el movimiento en las condiciones dadas. Estas últimas se
representarán por un torque τ1 actuando sobre el disco en la dirección de su eje y un torque τz actuando sobre la barra
vertical en la dirección del eje vertical.
Pasos de resolución:
•
Movimiento de la partícula è Fuerzas en la conexión partícula-disco
•
Equilibrio del disco è Valor de τ1
•
Equilibrio del sistema completo è Valor de τz y reacciones
En la figura se muestra el sistema de referencia absoluto x-y-z y un sistema relativo x’-y’-z’, fijo a las barras, con
origen O’ en el centro del disco.
z’
z’
m
z
a
r
O’
O’
h
x’
τ1
x
α
y’
p
y
ω
τx R
x
er
y’
rα
p
eα
ω
Ry
θ
τy
y
Rz
τz
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y’
x
Cap 3 Cinética de la Partícula
a
x’
3-3
b)
Movimiento de la partícula
b.1)
Determinación de la aceleración de m mediante ecuaciones de movimiento relativo:
a =
A + a' + ω
& × r' + 2 ω × v' + ω × (ω × r' )
r' = re r
v' = rp e α
a' = −rp 2 e r
A = − aω 2 e x '
ω = ωe z = ωe z '
ω × r' = ωe z' × r e r = −rω cos αe x'
ω
& =0
ω × ω × r' = ωe z ' × (− rω cos α e x' ) = − rω2 cos α e y'
2ω × v' = 2ωe z ' × rpe α = 2rpω sin αe x'
[
]
⇒ a = − rp 2 e r + 2rp ω sin α − aω2 e x' − rω 2 cos α e y '
en sistema x'− y' − z' :
(
)
a = [2rp sin α − aω]ω e x' − r p 2 + ω 2 cos α e y' − rp 2 sin α e z '
b.2)
Determinación de la aceleración de m directamente en coordenadas globales:
x = a cos θ − r cos α sin θ
y = a sin θ + r cos α cos θ
z = h + r sin α
Derivando estas expresiones, considerando dθ/dt =ω, se llega al mismo resultado anterior
De la ecuación del movi miento de la partícula se obtiene la fuerza F en la conexión partícula/disco:
F − mg e z = m a
⇒
Fx' = mω[2rp sin α − aω ]
(
)
Fy ' = − mr p 2 + ω2 cos α
(
Fz ' = m g − rp 2 sin α
)
Estas son las componentes en S’ de la fuerza ejercida por el disco sobre la partícula.
c)
Equilibrio del disco
En la figura se muestra el disco y las fuerzas que actúan sobre él. La partícula ejerce
la fuerza F antes calculada (sentido contrario al que actúa sobre la partícula). En el
pivote aparece la reacción N, la que ha sido representada por sus tres componentes (x’,
y’ y z’). Cómo el disco sólo puede rotal en torno a su eje x’, aparecen torques en las
direcciones y’ y z’. Finalmente aparece el torque externo aplicado τ1 en la dirección x’,
el cual mantiene el movimiento descrito en los datos Por simplicidad del dibujo no se
han indicado las componentes en dirección x’ de estas fuerzas.
τ1
Dado que su masa es despreciable, las fuerzas actuantes sobre el disco están en
equilibrio estático. Del equilibrio de torque en torno a O’, en la dirección x’ se tiene:
Ny’ Nz’
(
)
[ (
τ1 = Fz 'r cos α − Fy' r sin α = m g − rp sin α r cos α − − mr p + ω
⇒
(
τ1 = mr cos α g + rω2 sin α
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2
)
Cap 3 Cinética de la Partícula
2
2
)cos α ]r sin α
z’
Fz’
r
O’
Fy’
α
τ y’ y’
p
τ z’
3-4
d)
z’ Fz’
Equilibrio del sistema completo
z
En la figura se muestra el sistema completo, indicándose las
fuerzas de la masa sobre el disco, las acciones externas y las
reacciones en el apoyo. Dado que el sistema de la figura tiene
masa despreciable, las fuerzas se encuentran en equilibrio
estático.
a
O’
Ecuaciones de equilibrio de fuerzas:
x : R x = Fx' cos θ − Fy' sin θ =
h
(
ω
)
(
)
= mω sin θ(2rp sin α − aω) + − mr p 2 + ω 2 cos α cos θ
(
)
x’
τ1
p
= mω cos θ(2rp sin α − aω) + mr p 2 + ω2 sin θ cos α
y : R y = F x' sin θ + Fy' cos θ =
z : R z = Fz' = m g − rp 2 sin α
rα
Fy’
Fx’
y’
Ry
τx R
x
τy
y
Rz
τz
x
Ecuaciones de equilibrio de momentos en torno a O:
x : τ x = Fx' sin θ(h + r sin α ) + Fy ' cos θ(h + r sin α ) − Fz' (a sin θ + r cos α cos θ ) =
[
(
]
)
(
)
= m ω(2rp sin α − aω) sin θ(h + r sin α ) + − mr p 2 + ω 2 cos α cos θ (h + r sin α ) − m g − rp 2 sin α (a sin θ + r cos α cos θ ) =
[
(
)
] (
)
= m (h + r sin α ) ω(2rp sin α − a ω)sin θ − r p + ω cos α cos θ − m g − rp sin α (a sin θ + r cos α cos θ ) =
2
2
2
y : τ y = − Fx ' cos θ(h + r sin α ) + Fy' sin θ(h + r sin α ) + Fz' (a cos θ − r cos α sin θ ) =
(
(
)
)
(
)
= −mω(2rp sin α − a ω)cos θ(h + r sin α ) + − mr p 2 + ω 2 cos α sin θ (h + r sin α ) + m g − rp 2 sin α (a cos θ − r cos α sin θ ) =
[
(
)
] (
)
= −m(h + r sin α ) ω(2rp sin α − aω) cos θ + r p 2 + ω 2 cos α sin θ + m g − rp 2 sin α (a cos θ − r cos α sin θ ) =
[ (
)
]
z : τ z = Fx 'r cos α − Fy' a = mω(2rp sin α − aω)r cos α − − mr p 2 + ω 2 cos α a =
= mrp cos α (2r ω sin α + ap )
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Cap 3 Cinética de la Partícula
3-5
y
EJEMPLO 3-2
Una partícula de masa m se encuentra suspendida por una cuerda
inextensible, de masa despreciable y longitud lo = 3πa, desde el
extremo del diámetro de un cilindro fijo de radio a y de eje horizontal.
La partícula es puesta en movimiento imponiéndole una velocidad
inicial vo en dirección horizontal, a partir de la posición de equilibrio
estático, como se muestra en la figura. Suponiendo que la partícula
se mueve en el plano vertical perpendicular al eje del cilindro y que la
cuerda se enrolla sobre ésta. Se determinará la ecuación del
movimiento y una expresión para la tensión T del cable utilizando
directamente la expresión de la segunda Ley de Newton.
a
A er
eθ
lο
DINPART05 - C2 94
vο
SOLUCION
a)
x
θ
m
General
Suponiendo que la cuerda permanece siempre en tensión en un plano único, el sistema tiene un grado de libertad. Se
utilizará el ángulo θ de la figura para definir la posición de la partícula en un instante cualquiera.
Las incógnitas del problema son la coordenada θ y la tensión T del cable. En la figura se muestra el sistema de
referencia absoluto x-y-z, con origen O coincidente con el eje del cilindro.. x-y definen el plano en que se mueve la
cuerda, z es normal a este plano.
a)
Cinemática de la partícula
b.1)
Determinación de la aceleración de m en coordenadas cartesianas directamente:
r = xe x + ye y
x = a cos θ − (l o − aθ )sin θ
x& = − a sin θ θ& − (l o − aθ )cos θθ& + aθ& sin θ = − (l o − aθ ) cos θ θ&
[
]
2
2
2
2
&x& = aθ& cos θ + (l o − aθ ) sin θθ& − (l o − aθ ) cos θ&θ& = aθ& − (l o − aθ)&θ& cos θ + (l o − aθ )θ& sin θ
y = − a sin θ − (l o − aθ ) cos θ
y& = − a cos θ θ& + (l o − aθ )sin θθ& + aθ& cos θ = (l o − aθ ) sin θθ&
[
]
2
2
2
2
&y& = − aθ& sin θ + (l o − aθ ) cos θ θ& + (l o − aθ ) sin θ&θ& = − aθ& − (l o − aθ )&θ& sin θ + (l o − aθ )θ& cos θ
⇒
v = x& e x + y& e y = (l o − aθ)θ& (− cos θe x + sin θe y )
[
]
a = &x&e x + &y&e y = aθ& 2 − (l o − aθ )&θ& (cos θe x − sin θe y ) + (l o − aθ )θ& 2 (sin θe x + cos θe y )
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Cap 3 Cinética de la Partícula
3-6
b.2)
Determinación de la aceleración de m usando principios de movimiento relativo y coordenadas polares:
§
Velocidad:
vm
= v A + vm/ A
v A = aθ& e θ
La velocidad relativa de m con respecto a A se determinará utilizando coordenadas polares, cuyas expresiones
generales son:
Posición:
Velocidad :
r = rer
v = r&e r + rφ& e φ
Aceleraciòn :
a = r&& − r φ& 2 e r + (r&φ& + 2r& φ& ) e φ
(
)
Evaluando se tiene:
r = (l o − aθ)
φ=θ
⇒
v m / A = r&m / A e θ − rm / A θ& er =
d (l o − aθ)
e θ − (l o − aθ)θ& e r
dt
= aθ& e θ − (l o − aθ )θ& e r
=
v m = − (l o − aθ)θ& e r
⇒
§
Aceleración:
am
(
= a A + am/ A
a A = a&θ& e θ − aθ& 2 e r
)
a m / A = &l& − lθ& 2 e θ − (l&θ& + 2l&θ& ) e r
[
= − [a&θ& + (l
]
]e + [2aθ&
donde
l = (l o − aθ )
= − a&θ& + (l o − aθ)θ& 2 e θ − [(l o − aθ)&θ& + 2(aθ& )θ& ] e r
⇒
o
[
− aθ)θ& 2
θ
2
]
− (l o − aθ )&θ& er
]
a m = aθ& 2 − (l o − aθ )&θ& e r − (l o − aθ)θ& 2 e θ
Se puede verificar que estos resultados coinciden con los anteriores.
b)
Ecuaciones del movimiento
En la figura se muestra el diagrama de cuerpo libre de la partícula, sometida a las fuerzas
externas que son la tensión del cable T y el peso mg.
b.1)
Dirección r:
mg sin θ = ma r
⇒
[
]
g sin θ = aθ& 2 − (l o − aθ )&θ&
Arreglando se obtiene la ecuación diferencial del movimiento del sistema
(l o − aθ )&θ& − aθ& 2
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T
er
eθ
mg
+ g sin θ = 0
Cap 3 Cinética de la Partícula
3-7
b.2)
Dirección θ:
mg cos θ − T = ma θ
⇒
T = m (g cos θ − a θ )
Arreglando se obtiene la expresión para la tensión en el cable en función de θ:
(
T = m g cos θ + (l o − a θ )θ& 2
c)
)
Rango de validez de la solución
Punto más alto de la trayectoria:
y = − a sin θ − (l o − aθ ) cos θ
dy
= − a cos θ + l o sin θ + a cos θ − aθ sin θ
dθ
dy
=0
⇒
(l o − aθ) sin θ = 0
dθ
⇒ (i)
(l o
− aθ ) = 0
⇒ ( ii )
sin θ = 0
lo
= 3π
a
θ=0
⇒
⇒
θ=
⇒
θ= π
⇒
y = − l o = y min
⇒
y = l o − aπ =
La ecuación para T se evalúa para θ=π:
(
y=0
2
l o = y max
3
)
T(θ = π) = m − g + 2a πθ& 2 (θ = π )
La solución obtenida es válida para T >0, es decir
g
θ& 2 (θ = π ) >
2aπ
Si se cumple esta condición, entonces la solución obtenida es válida por lo menos hasta el punto más alto de la
trayectoria.
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Cap 3 Cinética de la Partícula
3-8