solucionario guía g-5 2008

SOLUCIONARIO
GUÍA G-5
2008
Estimado alumno:
Aquí encontrarás las claves de corrección, las habilidades y los procedimientos de
resolución asociados a cada pregunta, no obstante, para reforzar tu aprendizaje es
fundamental que asistas a la corrección mediada por tu profesor, ya que sólo en esta
instancia podrás resolver cualquier duda subyacente.
CLAVES DE CORRECCIÓN
GUÍA G-5
Nivel
PREGUNTA ALTERNATIVA
1
B
Aplicación
2
D
Aplicación
3
B
Aplicación
4
A
Análisis
5
D
Análisis
6
E
Análisis
7
C
Análisis
8
D
Análisis
9
B
Comprensión
10
A
Comprensión
11
D
Aplicación
12
B
Aplicación
13
C
Aplicación
14
B
Aplicación
15
C
Análisis
16
C
Análisis
17
B
Análisis
18
A
Análisis
19
D
Evaluación
20
C
Evaluación
1. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Aplicación
C
3
β
A
B
5
Por tríos pitagóricos, AC = 4, entonces:
C
4
3
β
A
B
5
cateto opuesto
hipotenusa
4
sen β =
5
sen β =
(Reemplazando)
2. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Aplicación
C
γ
6
B
2
A
Como un cateto es el triple del otro, la hipotenusa es el cateto menor por raíz de 10,
entonces:
C
γ
2 10
6
B
cos γ =
cos γ =
cos γ =
A
2
cateto adyacente
hipotenusa
6
(Reemplazando)
2 10
3
10
3. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Aplicación
C
40
α
A
B
20 5
Si BC = 40 y AB es la mitad por raíz de 5, entonces AC = 20, entonces:
C
20
40
α
A
20 5
cateto opuesto
cateto adyacente
40
tg α =
=2
20
tg α =
B
(Reemplazando)
4. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática
Habilidad
tg α =
Trigonometría
Análisis
cateto opuesto
5
= , entonces:
cateto adyacente 12
C
5
α
B
12
Por tríos pitagóricos, AC = 13
C
13
5
α
B
12
cosec α =
hipotenusa
1
=
sen α cateto opuesto
cosec α =
13
5
A
(Reemplazando)
A
5. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática
Habilidad
cos α =
Trigonometría
Análisis
cateto adyacente 6
=
, entonces:
hipotenusa
10
C
10
α
B
A
6
Por tríos pitagóricos, BC = 8
C
10
8
α
B
6
cotg α =
cateto adyacente
1
=
tg α
cateto opuesto
cotg α =
6
8
A
(Reemplazando)
6. La alternativa correcta es E.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Análisis
C
16
B
12
A
El trío pitagórico 3, 4 y 5 amplificado por 4 es 12, 16 y 20, entonces AC = 20.
El lado menor es 12, por lo tanto, el ángulo menor es γ, entonces:
C
γ
20
16
B
12
A
cateto opuesto
hipotenusa
12
sen γ =
20
sen γ =
(Reemplazando)
7. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Análisis
cateto opuesto
24
, entonces:
= 2,4 =
cateto adyacente
10
tg α =
C
24
B
α
10
A
El trío pitagórico 5, 12 y 13 amplificado por 2 es 10, 24 y 26, entonces:
C
26
24
B
α
10
A
Por lo tanto:
I. Verdadera, ya que:
hipotenusa
1
26 13
sec α =
=
=
=
cos α cateto adyacente 10 5
II. Falsa, ya que:
cateto opuesto 24 12
=
=
sen α =
hipotenusa
26 13
III. Verdadera, ya que:
cateto adyacente 10 5
1
cotg α =
=
=
=
tg α
cateto opuesto
24 12
8. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Análisis
C
γ
2
A
α
B
I. Falsa, ya que:
Perímetro del triángulo ABC = AB + BC + AC = 2sen γ + 2senα + 2
II. Falsa, ya que:
Área del triángulo ABC =
AB ⋅ BC 2 cos α ⋅ 2 senα
=
= 2 senα ⋅ cos α
2
2
III. Falsa, ya que α y γ son los ángulos agudos del triángulo rectángulo, entonces
sen α = cos γ.
9. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática
Habilidad
a = sen α y
Trigonometría
Comprensión
b = cos2 α, entonces:
3( a 2 + b) =
3( sen 2 α + cos 2 α ) =
3⋅1=
3
(Reemplazando)
10. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Comprensión
cos2 40º = sen2 50º, entonces:
cos 2 50º + cos 2 40º =
cos 2 50º + sen 2 50º =
1
11. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Aplicación
Al llevar la información a un dibujo, éste queda:
3.000 m
x
30º
A
Si el helicóptero despega desde el punto A, entonces la distancia (x) entre el punto de
despegue y el helicóptero se puede calcular con la función sen α .
3.000
sen 30º =
x
1 3.000
=
2
x
x = 6.000
Por lo tanto, la distancia es 6.000 metros.
12. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Aplicación
Al llevar la información a un dibujo, éste queda:
x
60º
2,8 m
La altura del árbol (x) se puede calcular con la función tg α .
x
tg 60º =
2,8
x
3=
2,8
x = 2,8 3
Por lo tanto, la altura del árbol es 2,8 3 metros.
13. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Aplicación
Al llevar la información a un dibujo, éste queda:
8m
30º
x
A
Si el papel se encuentra en el punto A, la distancia (x) se puede calcular con la función
cos α .
x
cos 30º =
8
3 x
=
2
8
8 3
x=
2
x=4 3
Por lo tanto, la distancia entre el papel y el poste es 4 3 metros.
14. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Aplicación
55º
55º
x
2
5
3
A
x
B
Para determinar x, aplicaremos la función trigonométrica tangente, entonces:
tg 55º =
cateto opuesto
cateto adyacente
tg 55º =
2
x
x=
(Reemplazando)
2
tg 55º
Por lo tanto, la distancia entre las dos casas es
2
tg 55º
15. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Análisis
Llevando la información a un dibujo, se obtiene:
45º
x
x
A
30 m
45º
30 m
Si el observador se encuentra en el punto A a 30 m del edificio más bajo, con un ángulo
de elevación respecto del suelo de 45º, para determinar x (altura del edificio más bajo)
aplicaremos la función trigonométrica tangente:
x
tg 45º =
30
x
1=
30
x = 30 m
Por lo tanto, el edificio más bajo mide 30 metros y el más alto mide 60 metros.
16. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Análisis
Llevando la información a un dibujo, se obtiene:
12 m
30º
x
6m
12 m
18 m
x
Para determinar la distancia entre los dos postes (x), aplicaremos la función
trigonométrica tangente:
tg 30º =
1
3
=
6
x
6
x
x = 6 3m
Por lo tanto, la distancia entre los dos postes es 6 3 metros.
17. La alternativa correcta es B.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Análisis
El dibujo correspondiente al enunciado es:
P
30º
x
x+4
9
4m
9m
Por ángulos alternos internos entre paralelas se tiene:
P
30º
x
x+4
30º
9
4m
9m
Por lo tanto, trabajaremos con el siguiente triángulo:
x
30º
9
Corresponde a un triángulo rectángulo de ángulos 30º, 60º y 90º, entonces:
60º x
30º
9
a
x=
2
a
9=
3
2
9
a
=
3 2
(Despejando
a
)
2
(Racionalizando)
9 3 a
⇒ x=3 3
=
3
2
Por lo tanto, la altura del edificio es:
x+4=
3 3 + 4 metros
(Reemplazando)
18. La alternativa correcta es A.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Análisis
Bajando la perpendicular desde el vértice C:
C
45º
x
30º
A
100 m
135º 45º
B
x
Se busca la medida de x, entonces aplicaremos la función trigonométrica tangente:
x
100 + x
1
x
=
3 100 + x
tg 30º =
100 + x = x 3
(Dejando la incógnita a un solo lado y factorizando)
x ( 3 − 1) = 100
100
x=
(Racionalizando)
3 −1
x=
100 3 + 100
2
x=
2 50 3 + 50
2
(
)
(Factorizando)
(Simplificando)
x = 50 3 + 50
Por lo tanto, la altura bajada desde el vértice C mide 50 3 + 50 metros.
19. La alternativa correcta es D.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Evaluación
3
. Con esta información, sí es posible determinar cos 2 α − sen 2α ,
4
ya que conociendo el valor de la tangente, podemos determinar la hipotenusa.
(1) tgα =
4
. Con esta información, sí es posible determinar cos 2 α − sen 2α ,
5
ya que conociendo el valor del coseno, podemos determinar el otro cateto.
(2) cos α =
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
20. La alternativa correcta es C.
Sub-unidad temática
Habilidad
Trigonometría
Evaluación
C
α
B
9
A
(1) AB ⊥ BC . Con esta información, no se puede determinar la cosecante de α, ya
que no conocemos ni la medida de α, ni el otro cateto o la hipotenusa.
(2) BC = 12. Con esta información, no se puede determinar la cosecante de α, ya
que no sabemos si el triángulo es rectángulo.
Con ambas informaciones, sí se puede determinar la cosecante de α, ya
que el triángulo es rectángulo y como conocemos el otro cateto, podemos determinar la
hipotenusa.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.