4.3 Respuesta en frecuencia de los sistemas lineales de segundo

4.3
Respuesta en frecuencia de los sistemas lineales de segundo orden de tiempo continuo sin ceros · 93
4.3 Respuesta en frecuencia de los sistemas lineales de segundo orden de
tiempo continuo sin ceros
Herramienta interactiva: 4.3. f_segundo_orden
Conceptos analizados en la ficha
Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden.
Representación en el diagrama de Bode de la respuesta en frecuencia de un sistema de segundo
orden.
Aproximaciones asintóticas a las curvas de magnitud y fase del diagrama de Bode de un sistema
de segundo orden.
Relación entre la ganancia estática y la curva de magnitud a baja frecuencia.
Concepto de resonancia. Relación entre el factor de amortiguamiento relativo, la frecuencia de
resonancia y el pico de resonancia.
Relación entre la frecuencia natural no amortiguada y el factor de amortiguamiento relativo y la
frecuencia de corte de ganancia. Ancho de banda en sistemas de segundo orden.
Teoría Aunque la respuesta en frecuencia de un sistema representa de forma cualitativa la respuesta
transitoria, la correlación entre las respuestas en frecuencia y transitoria es aproximada, salvo en el caso
de sistemas de segundo orden. La función de transferencia normalizada de los sistemas de segundo
orden es:
k
kωn2
→ G(jω) = .
G(s) = 2
.
/2
/
s + 2ζωn s + ωn2
j ωωn + 2ζ j ωωn + 1
donde k es la ganancia estática, ζ es el factor de amortiguamiento"
relativo y ωn la frecuencia natural
" no amortiguada del sistema. Los polos se sitúan en s1 = −ζ ωn + jωn 1 − ζ 2 y s1∗ = −ζ ωn + jωn 1 − ζ 2 . En
el caso estable, dichos polos pueden ser reales ζ > 1 (sistema sobreamortiguado), reales e iguales (ζ = 1,
sistema críticamente amortiguado) o complejos conjugados (0 < ζ < 1, sistema subamortiguado).
La curva de magnitud y fase se obtiene como:



,
02 02
ω
2
2ζ
ω
ω


ωn

φ = arctan 
+ 2ζ
|G(jω)| = 20 log (k) − 20 log 
1− 2
. /2  (4.8)
ωn
ωn
1 − ωωn
En lo que sigue se va a considerar que k = 1 sin pérdida de generalidad.
En el caso en que el sistema tenga los polos en el semiplano izquierdo del plano complejo, para bajas
frecuencias, la magnitud logarítmica es 0 dB4 y la fase 0o (asíntotas de baja frecuencia), mientras que
para altas frecuencias la asíntota de magnitud es una recta con pendiente −40 dB/década y la fase es
−180o (se puede comprobar haciendo ω → ∞ en las ecuaciones (4.8)). Al igual que se ha explicado en la
Sección 4.2, existen distintas aproximaciones asintóticas a la curva de fase:
Escalón: Las asíntotas de baja frecuencia (0o ) y alta frecuencia (−180o ) se juntan mediante una línea
vertical que corta a la curva real de fase en el punto en que ha cambiado −90o .
4 20 log (k)
si k $= 1.
94 · Capítulo 4.
Respuesta en frecuencia
Lineal: Las asíntotas de baja y alta frecuencia se unen mediante una recta que va desde la década
anterior hasta la posterior cortando a la curva de fase en el punto en que ha cambiado −90o .
Óptima: La pendiente de la asíntota lineal se ajusta a la curva real minimizando el error entre las
mismas y coincidiendo en el punto medio (−90o ).
En la gráfica de magnitud, la asíntota de alta frecuencia corta a la de baja en ω = ωn , que en este
caso coincide con la frecuencia de corte. Las dos asíntotas son independientes del valor de ζ. Por este
motivo, las aproximaciones asintóticas no proporcionan resultados muy exactos para valores bajos de ζ
(0 ≤ ζ ≤ 0.707), que son aquéllos para los que la ecuación (4.8) tiene un máximo.
En el caso subamortiguado, el diagrama de Bode presenta un pico de resonancia cerca de ωn (en
ω = ωr , siendo ωr la frecuencia de resonancia, que es la frecuencia a la cual se logra el máximo valor de la
respuesta en frecuencia del par de polos complejos conjugados), con una magnitud de pico Mr (máxima
amplitud de la respuesta en frecuencia), donde:
ωr = ω n
Es fácil comprobar que [7]:
&
1 − 2ζ 2 ,
Mr =
2ζ
"
|G(jωn )| =
1
1 − ζ2
1
2ζ
,
1
∀ζ ≤ √
2
(4.9)
Es importante notar que la magnitud de pico sólo depende de ζ. A medida que el factor de amortiguamiento relativo ζ tiende a cero, ωr → ωn y Mr → ∞. Para ζ > 0.707 no hay pico de resonancia y
Mr = 1.
&
"
El ancho de banda viene dado por AB = ωn 1 − 2ζ 2 + 2 − 4ζ 2 + 4ζ 4 . Cuando ζ varía entre 0 y 1,
el AB es directamente proporcional a ωn y varía entre 1.55 ωn y 0.64 ωn . Los ingenieros de control tratan
siempre de mantener el factor de amortiguamiento relativo de los sistemas controlados en torno a 0.707.
Para este valor de ζ, AB = ωn . De hecho, es normal cuando se está diseñando considerar que el ancho
de banda de un sistema de segundo orden puede ser aproximado por ωn .
En el caso de sistemas sobreamortiguados, el diagrama de Bode se construye a partir de los dos
sistemas de primer orden que lo forman, aprovechando las propiedades de las escalas logarítmicas (ver
Sección 4.2).
Bibliografía
[7] Bolzern, P., R. Scattolini y N. Schiavoni. Fundamentos de control automático. Mc Graw Hill, ISBN: 978-84481-6640-3. Capítulo 6, sección 6, páginas 148-151, 2009.
[13] Franklin, G. F., J. D. Powell y A. Emani-Naeni. Feedback control of dynamic systems. Sexta Edición.
Pearson. ISBN: 978-0-13-500150-9. Capítulo 6, sección 1, páginas 134-137, 319-321, 2010.
[26] Kuo, B. C. Sistemas de control automático. Prentice Hall, ISBN: 968-880-723-0. Capítulo 9, sección 2,
páginas 541-550, 1996.
[31] Ogata, K. Ingeniería de control moderna. Quinta edición. Pearson Prentice Hall, ISBN: 978-84-8322-660-5.
Capítulo 7, sección 2, páginas 403-413, 2010.
[35] Shahian, B. y M. Hassul. Control system design using Matlab. Primera edición. Prentice Hall, ISBN:
0-13-174061-X. Capítulo 1, sección 5, apartado 2, páginas 11-16, 1993.
4.3
Respuesta en frecuencia de los sistemas lineales de segundo orden de tiempo continuo sin ceros · 95
Aplicación
Herramienta interactiva: 4.3. f_segundo_orden
Respuesta frecuencial: Segundo orden
El objetivo principal de esta ficha es analizar la respuesta frecuencial de un sistema lineal de
segundo orden en función de los valores de sus parámetros descriptivos. La aplicación interactiva
está dividida en cuatro áreas principales.
Parámetros: En la parte superior izquierda se muestran los parámetros numéricos y la función de
transferencia que definen al sistema bajo estudio en formato normalizado:
G(s) =
kωn2
s2 + 2ζωn s + ωn2
junto a índices que describen la respuesta frecuencial del sistema seleccionado (Características), que
en este caso son la Frecuencia de corte ωc (rad/s), la Frecuencia de resonancia ωr (rad/s) y la Magnitud pico Mr (dB). El valor de la ganancia estática k, del factor de amortiguamiento relativo ζ y de la
frecuencia natural no amortiguada ωn se pueden modificar a través de sus respectivos cuadros de
texto o barras de desplazamiento. Para introducir ganancias estáticas negativas, hay que hacerlo cambiando su valor en el cuadro de texto (y automáticamente los límites de la barra de desplazamiento
tendrán en cuenta el nuevo signo de la ganancia).
96 · Capítulo 4.
Respuesta en frecuencia
Aplicación...
Cuando se cambian los valores de k, ζ y ωn automáticamente se refrescan en este área la representación simbólica de la función de transferencia y las características frecuenciales, así como los datos
que aparecen en el resto de representaciones gráficas. Cuando los dos polos son reales, los cuadros
de texto y barras de desplazamiento correspondientes a ωn y ζ se transforman en τ1 y τ2 , que son
las constantes de tiempo de los dos polos reales, representándose en el área de Características únicamente el valor de ωc y la función de transferencia en forma de constantes de tiempo.
Representación polo-cero: El plano complejo situado en la parte inferior izquierda contiene los polos de
los sistemas analizados, descritos por el símbolo ×, que se puede arrastrar a cualquier localización del
plano complejo. Cuando se coloca el ratón sobre estos elementos, en la esquina inferior izquierda de
la herramienta se indica su posición. El cambio de escala se realiza usando el triángulo posicionado
en la parte inferior del diagrama (pulsando a la izquierda del triángulo la escala aumenta y a la
derecha se reduce).
Magnitud Bode/Fase Bode: En la zona derecha de la herramienta se dibujan las gráficas de Magnitud
Bode (parte superior) y Fase Bode (parte inferior). Ambos diagramas disponen de la posibilidad de
realizar ampliaciones o reducciones de escala, pinchando con el ratón a la derecha o izquierda de los
triángulos ubicados en el eje de abscisas (#) o en la parte superior o inferior de los que se encuentran
en el eje de ordenadas (#, $). En las dos gráficas aparece un aspa (×) que se corresponde con la
localización de la frecuencia de corte que facilita la modificación de su valor, desplazándola hacia
la derecha o izquierda. Cuando se hace, se refrescan automáticamente sus valores en las áreas de
Parámetros y Representación polo-cero. Si los dos polos son reales, son dos los símbolos × que se
representan, ligados a las frecuencias esquina ωe1 = 1/τ1 y ωe2 = 1/τ2 correspondientes a cada uno.
El cambio de la magnitud en baja frecuencia (y por tanto de la ganancia estática) se realiza arrastrando en vertical la línea de trazo grueso negra (–) situada en la parte derecha de la curva Magnitud
Bode.
En esta herramienta es posible visualizar tanto las curvas exactas de respuesta frecuencial para los
sistemas de segundo orden como sus aproximaciones asintóticas. Dado que en la literatura aparecen
diferentes aproximaciones para la curva de fase, la herramienta permite seleccionar entre ellas,
hecho que contribuye a poderlas comparar y entenderlas mejor. La aproximación asintótica permite
generar aproximaciones simples de la curva de repuesta frecuencial lo que ayuda al ingeniero a
construir modelos mentales simples de la misma.
En el caso de sistemas subamortiguados (0 ≤ ζ < 1):
En la curva de magnitud, se muestra la asíntota de baja frecuencia como una línea horizontal
discontinua de color negro, mientras que la asíntota de alta frecuencia se representa en este caso
como una recta con pendiente −40 dB/década que corta a la de baja frecuencia precisamente
en la frecuencia de corte.
En la curva de fase, las asíntotas de baja y alta frecuencia se dibujan con líneas horizontales
discontinuas en las fases correspondientes. En la frecuencia de corte se traza una línea vertical
discontinua, que atraviesa la curva real de fase en el punto en el que ha cambiado ±90o respecto
a su valor inicial (forma en escalón). Existe la posibilidad también de escoger entre distintas
representaciones de las asíntotas de fase activando los botones circulares que aparecen sobre la
=
=
=
=
No
Escalón
Lineal
Óptima.
curva de fase
4.3
Respuesta en frecuencia de los sistemas lineales de segundo orden de tiempo continuo sin ceros · 97
Aplicación...
La opción de Mostrar múltiples sistemas funciona en esta herramienta de la misma forma que en la
herramienta anterior, resaltándose siempre en negrita el sistema seleccionado a través de sus polos representativos en la gráfica de Representación polo-cero o sobre cualquier punto de su respuesta
frecuencial, reflejándose los valores de la frecuencia, magnitud y fase correspondientes a ese punto
seleccionado en las gráficas.
Cuando se utiliza la citada función Mostrar múltiples sistemas, en el menú Opciones aparecen diversas alternativas para inicializar la ubicación de los diferentes polos y poder comparar la respuesta de
varios sistemas en función de sus parámetros:
Efecto factor de amortiguamiento: Inicializa sistemas estables con distintos valores de ζ mantenien-
do k constante (k = 1) y ωn constante (ωn = 2 rad/s).
Efecto frecuencia no amortiguada: Inicializa los sistemas con un conjunto de valores de ωn mante-
niendo ζ constante (ζ = 0.5) y k constante (k = 1).
Parte imaginaria constante: Inicializa los sistemas subamortiguados con diferentes valores de su
parte real y con parte imaginaria constante.
Parte real constante: Inicializa los sistemas subamortiguados con varios valores de su parte ima-
ginaria y con parte real constante, colocados sobre una línea vertical situada en s = −5.
Ejercicios
1.
Determine, haciendo uso de la herramienta, una función de transferencia de un sistema de segundo orden que tenga ganancia estática unidad, una magnitud pico de valor Mr = 5 dB y una
frecuencia de resonancia ωr = 1 rad/s. Compare los resultados con los esperados de teoría.
2.
Active la opción de Mostrar múltiples sistemas. Para los sistemas representados, calcule haciendo uso
de la herramienta la frecuencia de corte ωc , el ancho de banda AB, la frecuencia de resonancia ωr
y la magnitud pico Mr . ¿Cuáles de los sistemas representados no tendrán sobreoscilación cuando
se les introduzca una señal en forma de escalón a la entrada?
3.
Para un sistema de segundo orden con k = 1 y ωn = 2 rad/s, analice la respuesta en frecuencia
que se obtiene para valores de ζ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0 (utilice la opción de Ejemplo factor amortiguamiento). Calcule haciendo uso de la herramienta la frecuencia de corte ωc , el ancho de banda,
la frecuencia de resonancia ωr , la magnitud pico Mr y la magnitud de |G(jωn )|, así como la diferencia entre la curva real y la asintótica, tanto en magnitud como en fase (use en este caso todas
las aproximaciones posibles).
4.
Utilizando la herramienta interactiva 4.1. f_concepto, repita el apartado anterior y compruebe que
en el diagrama polar el punto de frecuencia cuya distancia al origen es la máxima corresponde a la
frecuencia de resonancia. Compruebe también en el diagrama de Nichols que la distancia vertical
entre los puntos ω = 0 y ω = ωr es el valor pico de G(jω) en dB.
5.
Utilizando la herramienta interactiva 4.1. f_concepto, construya con el editor de polos y ceros una
función de transferencia de la forma:
G(s) =
1
s(τs + 1)
98 · Capítulo 4.
Respuesta en frecuencia
Dibuje el diagrama polar de esta función de transferencia, indicando dónde se ubican los puntos
de frecuencia cero y frecuencia infinito.
6.
Utilizando de nuevo la herramienta interactiva 4.3. f_segundo_orden, active la opción de Mostrar
múltiples sistemas y seleccione en el menú Opciones el (Ejemplo frecuencia no amortiguada). Indique el
valor de la ganancia estática k y el factor de amortiguamiento relativo ζ constante utilizados en este
ejemplo. Seleccionando en la gráfica de Magnitud Bode todos los sistemas sucesivamente, analice el
valor de la magnitud pico Mr . ¿Por qué en todos los casos tiene el mismo valor? Justifique la
respuesta. Calcule utilizando la herramienta los valores de la frecuencia de corte ωc , el ancho de
banda y la frecuencia de resonancia ωr de todos los sistemas representados. ¿Qué sistema será más
rápido cuando a su entrada se introduzca una señal en escalón?, ¿cuál será más lento? Justifique
la respuesta.
7.
Escoja ahora la opción de menú Parte imaginaria constante. Para cada uno de los sistemas representados, indique el valor de k, ζ, ωn , ωc , ωr y Mr . Determine qué sistema tendrá la máxima sobreoscilación cuando se le introduzca una entrada en forma de escalón y cuál tendrá la respuesta más
lenta. Justifique la respuesta. Desplace los dos polos más cercanos al eje imaginario sobre dicho
eje. Justifique lo que ocurre con las curvas de magnitud y fase. ¿Cuál será el valor del factor de
amortiguamiento relativo ζ? ¿Qué tipo de respuesta temporal cabe esperar?
8.
Seleccione finalmente la opción de menú Parte real constante. Para cada uno de los sistemas representados, indique el valor de k, ζ, ωn , ωc , ωr y Mr . Desplace algún par de polos complejos
conjugados alejándolos del eje real verticalmente. Explique lo que ocurre con las curvas de magnitud y fase del diagrama de Bode. Indique cuál es la posición de los polos que produce un factor de
amortiguamiento relativo ζ = 0.7 y el valor de la frecuencia natural no amortiguada ωn asociada.
En ese caso, calcule el valor de ωc , ωr y Mr . ¿Por qué ωn = ωc ? ¿Por qué ωr < ωc ? Justifique las
respuestas.
9.
Usando la herramienta interactiva 3.2. t_segundo_orden, simule los ejemplos 1, 2, 5, 6 y 7 y compruebe las respuestas temporales que se obtienen y si el comportamiento esperado concuerda con
las justificaciones que ha hecho en dichos apartados.
10.
Arranque la herramienta o pulse Reset en el menú Opciones. Para la configuración de parámetros
que aparecen por omisión, indique si puede existir algún valor de frecuencia de forma que cuando
se introduce una senoide a la entrada de esa frecuencia, la salida crezca indefinidamente. ¿Qué
valor se obtiene en este caso en la magnitud pico Mr ?
11.
Analice con la herramienta la respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden sobreamortiguado:
k
G(s) =
(τ1 s + 1)(τ2 s + 1)
considerando k = 1 y los siguientes casos:
a)
τ2 = 1 s, τ1 = 0.1 s.
b)
τ2 = 2 s, τ1 = 1 s.
c)
τ2 = τ1 = 1 s.
d)
τ2 = 1 s, τ1 = −1 s.
e)
τ2 = −1 s, τ1 = −0.1 s.