Resumen de deducción natural

Resumen de deducción natural
F. Javier Gil Chica
2010
1.
Orientación de estas notas
El cálculo de argumentos mediante tablas de verdad es un método rápido
y seguro. También mecánico, puesto que se puede programar. Pero, por esa
misma razón, deja poco espacio al razonamiento. Una objección que también
se le ha hecho es el excesivo espacio necesario para almacenar las tablas
de verdad, que crece como 2n , siendo n el número de sentencias atómicas
de un argumento. En realidad, no es precio almacenar la tabla entera para
decidir después si el argumento es válido o no, y, además, la capacidad de los
ordenadores actuales cubre más allá que cualquier necesidad práctica. Queda
en pie entonces el hecho de que, siendo un procedimiento mecánico, deja
sin ejercitar en el estudiante precisamente el razonamiento lógico. Por eso la
conveniencia de un método alternativo. A este método se le llama ”deducción
natural” porque se basa en unas pocas reglas evidentes por sı́ mismas, o bien
demostrables con facilidad mediante el método de las tablas de verdad. A
partir de estas reglas simples pueden demostrarse argumentos más complejos.
El tema está desarrollado paso a paso, con abundancia de ejemplos y
todas las explicaciones necesarias, en el texto de Hardegree, capı́tulo 5, a lo
largo de unas 50 páginas. Es perfecto para un primer estudio del tema, pero
se vuelve farragoso cuando lo que se quiere es un refresco rápido del tema.
Entonces el ritmo pausado se vuelve excesivamente parsimonioso.
De ahı́ estas pocas notas, que, siguiendo el texto citado, adoptan un estilo
más conciso y una exposición más informal.
2.
Reglas, notación, estrategias
Dos aspectos son importantes: qué conjunto de reglas básicas elegir y
qué notación adoptar en las demostraciones. Respecto a lo primero, propondremos unas pocas reglas básicas que ampliaremos con otras cuando sea
1
necesario, para completar el cuadro. Respecto a lo segundo, no seremos excesivamente formales: adoptaremos una notación que sea visualmente adecuada a lo que hacemos y en lugar de definirla formalmente simplemente
proponemos el principio de ”mira cómo se hace e imı́talo”.
Hay un tercer aspecto, y es el de las estrategias adecuadas para según
qué demostraciones. Procederemos desde las más sencillas a las más complejas, ilustrando estas notas con alguno de los muchos ejemplos y ejercicios
contenidos en nuestro texto de referencia.
Téngase presente que las conectivas forman sentencias a partir de sentencias. Por consiguiente, tienen la misma forma los argumentos (por ejemplo)
∼P→∼Q;∼P/∼Q y (P→Q)→(P→R);P→Q/P→R. Por este motivo usaremos letras mayúsculas para sentencias simples o compuestas. Es decir, una
letra representa o una sentencia simple o una fórmula.
3.
Reglas básicas
Las reglas básicas, es decir, los argumentos básicos a partir de los cuales
se demuestran argumentos más complejos son los tres siguientes:
Modus ponens: P→Q;P/ Q
Modus tollens: P→Q;∼Q/∼P
Modus tollendo ponens: P∨Q;∼P/Q o bien P∨Q;∼Q/P
Veamos algunos ejemplos, para lo cual introduciremos una notación a
tres columnas: la primera columna contiene el número de lı́nea. La segunda columna contiene propiamente las lı́neas de la demostración. La tercera
columna es un comentario a cada lı́nea, que indica cómo se produjo esa lı́nea.
Ejemplo: demostrar P;P→Q;Q→R/R.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
P
P→Q
Q→R
R
Q
R
Premisa
Premisa
Premisa
??
1,2,MP
3,5,MP
Las tres primeras lı́neas son premisas, como se indica en la tercera columna. La cuarta establece qué es lo que hay que demostrar. La lı́nea (5) se
obtiene de la (1) y la (2) aplicando modus ponens (1,2,MP); La lı́nea (6)
2
proviene de (3) y (5) por aplicación de modus ponens. Obtenida la conclusión, R, termina la demostración. Apliquemos ahora el método ”mira e
imita” escribiendo algunas demostraciones más.
Demostrar 1 P→Q;Q→R;R→S;∼S/∼P:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Demostrar
2
3
Pr
Pr
Pr
Pr
??
3,4,MT
2,6,MT
1,7,MT
P∨Q;∼P;Q→R/R:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Demostrar
P→Q
Q→R
R→S
∼S
∼P
∼R
∼Q
∼P
P∨Q
∼P
Q→R
R
Q
R
Pr
Pr
Pr
??
1,2,MTP
3,5,MP
P∨∼Q;∼P;R→Q;∼R→S/S:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
P∨∼Q
∼P
R→Q
∼R→S
S
∼Q
∼R
S
1
pág. 206, ejerc. 2
pág. 206, ejerc. 4
3
pág. 206, ejerc. 6
2
3
Pr
Pr
Pr
Pr
??
1,2,MTP
3,6,MT
4,7,MP
Demostrar
4
P∨∼Q;∼R→∼∼Q;R→∼S; ∼∼S/P:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Demostrar
5
6
(P→Q)→(R→S)
(R→T)∨(P→Q)
∼(R→T)
R→S
P→Q
R→S
Pr
Pr
Pr
??
2,3,MTP
1,5,MP
(P→Q)∨R;[(P→Q)∨R]→∼R; (P→Q)→(Q→R)/∼Q:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
4.
Pr
Pr
Pr
Pr
??
3,4,MT
2,6,MP
1,7,MTP
(P→Q)→(R→S);(R→T)∨(P→Q);∼(R→T) /R→S:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Demostrar
P∨∼Q
∼R→∼∼Q
R→∼S
∼∼S
P
∼R
∼∼Q
P
(P→Q)∨R
[(P→Q)∨R]→∼R
(P→Q)→(Q→R)
∼Q
∼R
P→Q
Q→R
∼Q
Pr
Pr
Pr
??
1,2,MP
1,5,MTP
3,6,MP
5,7,MT
Más reglas
Introduciremos más reglas, que permiten demostrar argumentos más complejos. De nuevo estas reglas, o bien son evidentes por sı́ mismas, o bien se
demuestran sin dificultad mediante tablas de verdad. Usaremos la notación
ac, donde a puede ser o bien i, de ”introducir” o bien e, de ”eliminar” y o es
una conectiva. Por ejemplo, i& es la regla ”introducir la conjunción” y e∨ es
la regla ”eliminar la disyunción”. Pues bien, estas son las nuevas reglas:
4
pág. 206, ejerc. 16
pág. 206, ejerc. 18
6
pág. 206, ejerc. 20
5
4
i&: A;B/A&B
e&; A&B/A o A&B/B
i∨: A/A∨B
e∨: A∨B;∼A/B o A∨B;∼B/A
e→: A→B;A/B
i↔: A→B;B→A/A↔B
e↔: A↔B/A→B o A↔B/B→A
∼∼: A/∼∼A o ∼∼A/A
La última regla tiene nombre especial: es la introducción o eliminación de
la doble negación. Del resto de reglas, e∨ es nuestra conocida MTP; e→ es
nuestra conocida MP.
5.
Más ejemplos que ilustran las reglas recién
dadas
Demostrar
7
P&Q;(P∨R)→S/P&S:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Demostrar
8
8
Pr
Pr
??
1,e&
4,i∨
2,5,MP
4,6,i&
P→Q;P∨R;∼Q/R&∼P:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
7
P&Q
(P∨R)→S
P&S
P
P∨R
S
P&S
P→Q
P∨R
∼Q
P&∼P
∼P
R
R&∼P
pág. 207, ejerc. 22
pág. 207, ejerc. 24
5
Pr
Pr
Pr
??
1,4,MT
2,5,MTP
5,6,i&
Demostrar
9
P→Q;R∨∼Q;∼R∨S;(∼P&S)→T/T:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Demostrar
10
P→Q
R∨∼Q
∼R&S
(∼P&S)→T
T
∼R
∼Q
∼P
S
∼P&S
T
P↔∼Q;Q;P↔∼S/S:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Demostrar
11
Pr
Pr
Pr
Pr
??
3,e&
2,6,MTP
1,7,MT
3,e&
8,4,i&
4,10,MP
P↔∼Q
Q
P↔∼S
S
P→∼Q
∼∼Q
∼P
∼S→P
∼∼S
S
Pr
Pr
Pr
??
1,e↔
2,∼∼
5,6,MT
3,e↔
7,8,MT
9,∼∼
P→Q;(P→Q)→(Q→P);(P↔Q)→P/P&Q:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
P→Q
(P→Q)→(Q→P)
(P↔Q)→P
P&Q
Q→P
P↔Q
P
Q
P&Q
9
pág. 207, ejerc. 26
pág. 207, ejerc. 36
11
pág. 207, ejerc. 38
10
6
Pr
Pr
Pr
??
1,2,MP
1,5,i↔
3,6,MP
1,7,MP
7,8,i&
Demostrar 12 P&∼Q;Q∨(R→S);∼V→∼P;V→(S→R);(R↔S)→T;
U↔(∼Q&T)/U:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
6.
P&∼Q
Q∨(R→S)
∼V→∼P
V→(S→R)
(R↔S)→T
U↔(∼Q&T)
U
P
∼∼P
∼∼V
V
S→R
∼Q
R→S
S↔R
T
T&∼Q
(T&∼Q)→U
U
Pr
Pr
Pr
Pr
Pt
Pr
??
1,e&
8,∼∼
3,9,MT
10,∼∼
4,11,MP
1,e&
2,13,MTP
12,14,i↔
5,15,MP
13,16,i&
6,e↔
17,18,MP
Derivación condicional
Hay una clase de demostraciones donde se desea probar que A→B. Esto
no es probar A, ni probar B dado A mediante modus ponens. De hecho, en
este tipo de problemas las premisas no permiten establecer A. Ahora bien: no
es esto lo que se pide. Bien entendido, A→B significa que si A fuese cierto,
entonces B. Por tanto, es irrelevante si A es o no es cierto. La estrategia
consiste en suponer A y entonces demostrar B. Veamos dos primeros ejemplos:
Demostrar 13 (P∨Q)→R/Q→R:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
12
13
(P∨Q)→R
Q→R
Q
P∨Q
R
pág. 207, ejerc. 40
pág. 208, ejerc. 41
7
Pr
Pr
Sup
3,i∨
1,4,MP
Demostrar
14
Q→R/(P&Q)→(P&R):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Q→R
(P&Q)→(P&R)
P&Q
P
Q
R
P&R
Pr
??
Sup
3,e&
3,e&
1,5,MP
4,6,i&
En el siguiente ejemplo introduciremos subdemostraciones dentro de demostraciones. Una demostración comienza con una lı́nea ?? y termina con
aquello que se quiere probar. Cuando sea preciso insertar una subdemostración
dentro de una demostración, se escribirán las lı́neas de la subdemostración
desplazadas a la derecha, en tanto dure la subdemostración, al modo del
ejemplo siguiente 15 :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
P→Q
(Q→R)→(P→R)
Q→R
** P→R
** P
**** R
**** Q
**** R
** P→R
(Q→R)→(P→R)
Pr
??
Sup
??
Sup
??
1,5,MP
3,7,MP
5,8,DC
3,9,DC
La lı́nea (2) muestra un condicional. Para demostrarlo, comenzamos suponiendo Q→R y tratando de demostrar que P→R. Pero esta es ya una demostración
dentro de la demostración original, y por eso nos desplazamos a la derecha.
A su vez, esta nueva demostración es condicional. Suponemos P y tratamos
de demostrar R, lo que supone un nuevo nivel de sub-demostración, que indicamos con un nuevo desplazamiento. El inicio de cada nivel está señalado
con ?? en las lı́neas (2), (4) y (6). En cuanto al cierre de los subniveles, en la
lı́nea (5) suponemos P y en la (8) obtenemos R, de donde cerramos el nivel
más interno escribiendo P→R en la lı́nea (9), en cuya tercera columna hemos
anotado DC (demostración condicional). De la misma forma, la suposición
de la lı́nea (3) y la obtención de P→R en la (9) permite cerrar el primer nivel
y dar por probado el resultado que se pide, en la lı́nea (10).
El patrón entonces está claro
14
15
pág. 208, ejerc. 42
pág. 208, ejerc. 43
8
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
A→B
A
** B
**
···
** B
A→B
??
Sup
??
DC
Este no es el patrón seguido en los dos primeros ejemplos de esta sección, que son muy sencillos. Pero en lo sucesivo, para hacerlo de una forma sistemática apta tanto para los casos sencillos como para los complejos,
seguiremos este esquema.
Demostrar 16 (P&Q)→(R→S)/(P→Q)→[(P&R)→S]:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
7.
(P&Q)→(R→S)
(P→Q)→[(P&R)→S]
P→Q
** (P&R)→S
** P&R
**** S
**** P
**** Q
**** P&Q
**** R→S
**** R
**** S
** (P&R)→S
(P→Q)→[(P&R)→S]
Pr
??
Sup
??
Sup
??
5,e&
3,7,MP
7,8,i&
1,9,MP
5,e&
10,11,MP
5,12,DC
2,13,DC
Demostración por contradicción
Puede suceder que no esté a disposición regla alguna para demostrar una
fórmula A. En ese caso, una posibilidad es suponer ∼A y tratar de llegar a
una contradicción. Una contradicción tiene la forma genérica de Q&∼Q.
16
pág. 208, ejerc. 48
9
Demostrar
17
P→Q;Q→∼P/∼P:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Demostrar
18
19
Pr
Pr
??
Sup
1,4,MP
2,5,MP
4,6,i&
4,7,Co
P→R;Q→∼R/∼(P&Q):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Demostrar
P→Q
Q→∼P
∼P
P
Q
∼P
P&∼P
∼P
P→R
Q→∼R
∼(P&Q)
P&Q
P
Q
R
∼R
R&∼R
∼(P&Q)
Pr
Pr
??
Sup
4,e&
4,e&
1,5,MP
2,6,MP
7,8,i&
4,9,Co
P&∼Q/∼(P→Q):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
P&∼Q
∼(P→Q)
P→Q
P
Q
∼Q
Q&∼Q
∼(P→Q)
17
pág. 209, ejerc. 52
pág. 209, ejerc. 54
19
pág. 209, ejerc. 56
18
10
Pr
??
Sup
1,e&
3,4,MP
1,e&
5,6,i&
3,7,Co
Demostrar
20
(P&Q)→∼R/P→∼(Q&R):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Demostrar
21
21
Pr
??
Sup
??
Sup
5,e&
3,6,i&
1,7,MP
5,e&
8,9,i&
5,10,Co
P→∼(Q&R)/(P&Q)→∼R:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
20
(P&Q)→∼R
P→∼(Q&R)
P
** ∼(Q&R)
** Q&R
** Q
** P&Q
** ∼R
** R
** R&∼R
∼(Q&R)
P→∼(Q&R)
(P&Q)→∼R
P&Q
** ∼R
** R
** Q
** Q&R
** ∼∼(Q&R)
** ∼P
** P
** P&∼P
∼R
(P&Q)→∼R
pág. 209, ejerc. 66
pág. 209, ejerc. 68
11
Pr
??
Sup
??
Sup
3,e&
5,6,i&
7,∼∼
1,8,MT
3,e&
9,10,i&
5,11,Co
3,11,DC
Demostrar
22
P→(Q→R)/(P→∼R)→(P→∼Q):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
8.
P→(Q→R)
(P→∼R)→(P→∼Q)
P→∼R
** P→∼Q
** P
**** ∼Q
**** Q
**** Q→R
**** R
**** ∼∼R
**** ∼P
**** P&∼P
** ∼Q
** P→∼Q
(P→∼R)→(P→∼Q)
Pr
??
Sup
??
Sup
??
Sup
1,5,MP
7,8,MP
9,∼∼
3,10,MT
5,11,i&
7,12,Co
5,13,DC
3,14,DC
Demostración de disyunciones
Una disyunción tiene la forma A∨B, y se demuestra por reducción al
absurdo a partir de ∼(A∨B), y con el auxilio de la siguiente regla (que
llamamos e∼∨):
∼(A∨B)/∼A
∼(A∨B)/∼B
Demostrar
23
∼(P&Q)/∼P∨∼Q:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
22
23
∼(P&Q)
∼P∨∼Q
∼(∼P∨∼Q)
∼∼P
∼∼Q
P
Q
P&Q
∼P∨∼Q
pág. 209, ejerc. 70
pág. 210, ejerc. 81
12
Pr
??
Sup
3,e∼∨
3,e∼∨
4,∼∼
5,∼∼
6,7,i&
1,8,Co
Demostrar
24
(P∨Q)→(P&Q)/(P&Q)∨(∼P&∼Q):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(P∨Q)→(P&Q)
(P&Q)∨(∼P &∼Q)
∼[(P&Q)∨(∼P&∼Q)]
∼(P&Q)
∼(∼P&∼Q)
∼(P∨Q)
∼P
∼Q
∼P&∼Q
(P&Q)∨(∼P&∼Q)
Pr
??
Sup
3,e∼∨
3,3∼∨
1,4,MT
6,e∼∨
6,e∼∨
7,8,i&
5,9,Co
Puede suceder que el objetivo no sea la demostración de una disyunción,
sino que ésta se encuentre disponible como medio para probar otra cosa. En
general, dada A∨B y siendo preciso demostrar C, la estrategia consiste en demostrar ∼A, de donde se sigue B, que queda disponible para la demostración
de C. La regla de eliminación de la disyunción (e∨) es evidente, o si se desea
se puede probar mediante tablas de verdad:
A∨B;∼A/B
A∨B;∼B/A
9.
Conjunciones y bicondicionales
La demostración de una conjunción A&B se traduce en la demostración de
A seguida de la demostración de B. A su vez, estas demostraciones remiten a
técnicas ya citadas, por lo que no incluyo ningún ejercicio al respecto. Ocurre
igual con los bicondicionales A↔B que equivalen a la demostración de A→B
seguida de la demostración de B→A. En cualquier caso, el texto de referencia
contiene algunos ejemplos.
24
pág. 201, ejerc. 90
13