Aproximación a la distribución normal: el Teorema del Límite

Aproximación a la distribución normal: el Teorema del
Límite Central
El teorema del límite central establece que si se tienen n variables
aleatorias, X1, X2, ..., Xn, independientes y con idéntica
distribución de media µ y varianza σ2, a medida que crece n, la
suma (y la media) de estas variables tiende a seguir una
distribución normal.
El teorema del límite central, explicado de forma intuitiva, afirma
que cualquiera que sea la distribución común de un conjunto de
variables aleatorias, suponiendo que su varianza sea finita, la
suma y la media de un número elevado de estas variables tenderá
a distribuirse de manera similar a una variable normal.
Distribución de una variable que consiste en la suma de las
puntuaciones obtenidas en n lanzamientos de un dado con: (a)
n=1, (b) n=2, (c) n=4 y (d) n=30.
(a)
1
2
3
(b)
4
5
6
(c)
4
6
8
10
12 14 16
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
(d)
18 20
22 24
30 43 56 69 82 95 108 121 134 147 160 173
xi
E [xi ] = µ
i = 1,2,L n
Si n → ∞
∑ xi ~ N (nµ ,
n
A
VAR[xi ] = σ 2
nσ 2
i =1
Si n → ∞
)

σ 2 

x ~ N µ,

n 

A
Distribución de una variable que consiste en la media de
lanzar una moneda al aire (cara 1, cruz 0) obtenidas en n
lanzamientos: (a) n=2, (b) n=10, (c) n=20 y (d) n=40.
25
18
16
20
14
12
15
10
8
10
6
4
5
2
0,5
1
8
0
0,1
0,2
0,3
0,
3
0,
35
0
0
0,
2
0,
25
0
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
12
7
10
6
8
5
4
6
3
4
2
2
1
0,
9
0,
95
0,
7
0,
75
0,
8
0,
85
0,
5
0,
55
0,
6
0,
65
0,
4
0,
45
0,
1
0,
15
0
0,
05
0,
9
0,
95
0,
7
0,
75
0,
8
0,
85
0,
6
0,
65
0,
3
0,
35
0,
4
0,
45
0,
5
0,
55
0,
1
0,
15
0,
2
0,
25
0
0
0,
05
0
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES
La estimación consiste en asignar valores a los parámetros
problacionales utiliando la información muestral.
Parámetro: Un parámetro se puede definir como una medida de
la característica que interesa estudiar en la población.
El cálculo del valor exacto del parámetro sólo es posible si
pueden analizarse todos los elementos poblacionales, situación
que no es la habitual.
Alternativamente, se puede obtener una estimación del valor del
parámetro, es decir, una aproximación a su valor calculada a
partir de una muestra. Para ello se utiliza un estimador, que es
una función de las observaciones muestrales, f(x1, x2,...xn), el cual
permite obtener estimaciones de un determinado parámetro
poblacional.
Estimador: Es una función de los elementos de la muestra
utilizada para aproximar el valor de un parámetro poblacional
desconocido.
Estimación: Valor de un estimador para una muerstra dada.
Un estimador es una función de v.a. (elementos de la muestra)
por lo tanto tendrá una distribución de probabilidad y un
determinado valor esperado y varianza.
Tipos de inferencia
Cuando se hace inferencia se debe tener presente que la
estimación realizada es sólo una aproximación del parámetro
poblacional, algo que se tendrá que tener en cuenta a la hora de
extraer cualquier conclusión sobre la población. Además, hay que
tener presente que muestras distintas estarán formadas por
distintos elementos que presentarán valores diferentes, de manera
que en función de la muestra escogida, el estimador puede tomar
distintos valores proporcionando diferentes estimaciones del
valor poblacional. Esto significa que un estimador es una variable
aleatoria y, por tanto, tiene una distribución de probabilidad.
ESTIMACIÓN PUNTUAL DE LA MEDIA POBLACIONAL
Cuando la muestra ha sido obtenida de una población cuyos
elementos tienen la misma media y varianza poblacional.
Partimos de E [xi ] = µ y VAR[xi ] = σ 2 ∀i = 1,2,L, n . Entonces
1 n
la media muestral x = ∑ xi se suele utilizar como estimador de
n i =1
la media poblacional ( µ ) dado que se cumple:
1 n 
E [x ] = E  ∑ xi  = µ
 n i =1 
1 n  σ 2
VAR[x ] = VAR  ∑ xi  =
 n i =1  n
Cuando la muestra ha sido obtenida de una población
Normal cuyos elementos tienen la misma media y varianza
poblacional.
Si en la población la variable X sigue una distribución normal con
media µ y varianza σ2, el estimador x también es una variable
aleatoria normal, es decir, si la variable poblacional X es normal
la distribución de x es:

σ 2 

x ∼N µ ,

n 


Si la variable X no es normal pero se dispone de una muestra
grande, la distribución de x se puede aproximar a la distribución
normal gracias a la aplicación del Teorema delLímite Central:

σ 2 

x →N µ ,

n 


ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN POBLACIONAL
Se supone una población de la que interesa analizar la
proporción, p, de elementos que presentan una determinada
característica. Puede definirse una variable X, que toma valor uno
si el elemento presenta la característica en cuestión y valor cero si
no la presenta. De esta forma la proporción poblacional, p, es el
número de elementos que presentan la característica entre el total
de elementos de la población.
Si no se puede analizar la presencia de la característica de interés
para cada uno de los elementos de la población se puede utilizar
la proporción muestral, p̂ , como estimador de la proporción
poblacional.
pˆ =
nA
n
Donde:
n A : es el número de elementos que poseen la característica de
interes.
n : es el número de elementos totales.
Por tanto, la proporción muestral es el cociente entre el número
de elementos de la muestra que presentan la característica y el
total de observaciones muestrales si la variables toman los
valores 0 y 1 es igual que calcular la media muestral.
Para cualquiera que sea la distribución de la variable X y para
cualquier tamaño muestral, la esperanza y la varianza de p̂ son:
E [ pˆ ] = p
p(1 − p )
n
Por la aplicación del Teorema del Límite Central, si se dispone de
una muestra grande, la distribución de p̂ se puede aproximar por:
VAR[ pˆ ] =
A 
p(1 − p ) 

pˆ ~ N  p,
n

