EXAMEN ECONOMETRÍA

Correción
TEORIA
1. Suponga que las variables aleatorias X e Y son independientes y sus distribuciones
son conocidas. Explique porque el valor de X no dice nada hacer del valor de Y
Dos variables aleatorias X e Y están independientemente distribuidas, o son
independientes, si el conocimiento del valor de una de las variables no proporciona
información sobre la otra. En concreto, X e Y son independientes si la distribución
condicional de Y dado X es igual a la distribución marginal de Y. Es decir, X e Y están
independientemente distribuidas si, para todos los valores de x e y.
𝑷𝒓(𝒀 = 𝒚)|𝑿 = 𝒙 = 𝑷𝒓(𝒀 = 𝒚) 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿 𝒆 𝒀
2. ¿Qué papel desempeña el teorema de limite central en la contrastación de hipótesis
estadística y en la construcción de intervalos de confianza?
En la construcción de intervalos de confianza, el teorema del límite central permite utilizar la
distribución normal para aproximar la distribución de la media muestral.
En cuanto a la contrastación de hipótesis estadísticas, el teorema del límite central proporciona la
base para realizar pruebas de hipótesis utilizando estadísticos de prueba basados en la distribución
muestral. Bajo ciertas condiciones, se puede asumir que el estadístico de prueba sigue
aproximadamente una distribución normal, lo que permite calcular p-valores y tomar decisiones
sobre la aceptación o el rechazo de hipótesis nulas.
3. Explique la diferencia entre un estimador y una estimación. Proponga un ejemplo
de cada uno.
Estimación: Valor numérico calculado para un estimador a partir de los datos de una
muestra específica.
Estimadores: Función de una muestra de datos obtenidos aleatoriamente a partir de una
población. Un estimador es un procedimiento para el cálculo de un valor de un parámetro
poblacional a partir de datos muestrales, tales como la media poblacional, de forma
fundamentada.
1. Considera el experimento de lanzar una moneda dos veces y define la variable
aleatoria X como el número de caras resultantes del experimento. Asumiendo que la
probabilidad de obtener una cara es la mismo que la de obtener una cruz, responde
a las siguientes preguntas:
a) Calcula la distribución de probabilidad de X
𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎: 𝑃𝑟 (𝑥 = 0) = 0.25
𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜: 𝑃𝑟 (𝑥 = 1) = 0.25
𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜: 𝑃𝑟(𝑥 = 2) = 0.5
b) La función de distribución acumulada es:
𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑐𝑎𝑟𝑎: 𝑃𝑟(𝑥 ≤ 0) = 0.25
𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜: 𝑃𝑟(𝑥 ≤ 1) = 0.50
𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑠𝑒𝑙𝑙𝑜: 𝑃𝑟(𝑥 ≤ 2) = 1
c) Calcula la media y la varianza de x
𝐧
𝑬(𝑿) = 𝒚𝟏 𝒑𝟏 + 𝒚𝟐 𝒑𝟐 + ⋯ + 𝒚𝒏 + 𝒑𝒏 = ∑ 𝒚𝒊 𝒑𝒊
𝐢=𝟏
𝑬(𝑿) = 𝟎 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 + 𝟏 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 + 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟓 = 𝟏
𝒌
𝒐𝟐𝒚
𝟐
𝟐
= 𝒗𝒂𝒓(𝒚) = 𝑬[(𝒚𝒊 − 𝒖𝒚 ) 𝒑𝒊] = ∑(𝒚𝒊 − 𝒖𝒚 ) 𝒑𝒊
𝒊=𝟏
𝒐𝟐𝒚 = (𝟎 − 𝟏)𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 + (𝟏 − 𝟏)𝟐 ∗ 𝟎. 𝟐𝟓 + (𝟐 − 𝟏)𝟐 ∗ 𝟓 = 𝟎. 𝟕𝟓
2. Calcula las siguientes probabilidades:
a. Si x está distribuida 𝑿𝟐𝟒 hallar 𝑷𝒓(𝒙 ≤ 𝟕, 𝟕𝟖)
𝑷𝒓(𝒙 ≤ 𝟕. 𝟕𝟖) = 𝟎. 𝟗
a. Si x está distribuida 𝑿𝟐𝟏𝟎 , hallar 𝑷𝒓(𝒙 > 𝟏𝟖, 𝟑𝟏)
𝑷𝒓(𝒙 > 𝟕. 𝟕𝟖) = 𝟎. 𝟎𝟓
b. Si X está distribuida 𝑭𝟏𝟎,∞ hallar 𝑷𝒓(𝒙 < 𝟏, 𝟖𝟑)
𝑷𝒓(𝒙 < 𝟏. 𝟖𝟑) = 𝟎. 𝟗𝟓
2. En una población 𝑼𝑿 = 𝟏𝟎𝟎 y 𝝈𝟐𝑿 = 𝟒𝟑. Utilice el teorema del limite central para
contestar las siguientes cuestiones:
̿ < 𝟏𝟎𝟐)
a. En una muestra aleatoria de tamaño 𝒏 = 𝟖𝟗, halla 𝑷𝒓(𝑿
𝑵(𝟏𝟎𝟎, 𝟒𝟑)
𝒁=
𝑿−𝒖
𝒐
𝒁=
𝟏𝟎𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟑
𝟖𝟗
𝒁=
𝟏𝟎𝟐 − 𝟏𝟎𝟎
𝟎. 𝟔𝟗𝟓
𝒁 = 𝟐. 𝟖𝟖
𝑷𝒓(𝒛 ≤ 𝟐. 𝟖𝟖) = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟎
b. En una muestra aleatoria de tamaño 𝒏 = 𝟓𝟓, hallar 𝑷𝒓 (𝟏𝟎𝟏 < 𝒙𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 < 𝟏𝟎𝟑)
𝑵(𝟏𝟎𝟎, 𝟒𝟑)
𝒁=
𝒁=
̅ −𝒖
𝑿
𝒐
√𝒏
𝒁=
̅ −𝒖
𝑿
𝒐
√𝒏
𝟏𝟎𝟏−𝟏𝟎𝟎
𝟒𝟑
𝟓𝟓
𝒁=
𝟏𝟎𝟑−𝟏𝟎𝟎
√
𝒛 = 𝟏. 𝟏𝟑
𝟒𝟑
𝟓𝟓
√
𝒛 = 𝟑. 𝟑𝟗
𝑷𝒓 (𝒙 < 𝟏. 𝟏𝟑) = 𝟎. 𝟖𝟕𝟎𝟖
𝑷𝒓 (𝒙 < 𝟑. 𝟑𝟗) = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝟕
𝑷𝒓 (𝟏𝟎𝟏 < 𝒙𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂 < 𝟏𝟎𝟑) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟖𝟗
TEORIA
3.1 Explique la diferencia entre la media muestral Y1y la media poblacional.
La media poblacional toda la totalidad de los datos para realizar la estimación, mientras
que la media muestra se basa en una muestra significativa de esa población.
3.2 Explique la diferencia entre un estimador y una estimación. Proponga un ejemplo
de cada uno.
Dos variables aleatorias X e Y están independientemente distribuidas, o son
independientes, si el conocimiento del valor de una de las variables no proporciona
información sobre la otra. En concreto, X e Y son independientes si la distribución
condicional de Y dado X es igual a la distribución marginal de Y. Es decir, X e Y están
independientemente distribuidas si, para todos los valores de x e y.
𝑷𝒓(𝒀 = 𝒚)|𝑿 = 𝒙 = 𝑷𝒓(𝒀 = 𝒚) 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝑿 𝒆 𝒀
3.3 Una distribución poblacional tiene una media de 10 y una varianza de 16.
Determine la media y la varianza de Y1de una muestra i.i.d. de esta población para:
a) n = 10
b) n = 100
c) n = 1.000
Relacione sus respuestas con la ley de los grandes números.
3.4 ¿Qué papel desempeña el teorema central del límite en la constrastación de hipótesis
estadísticas? ¿Y en la construcción de intervalos de confianza?
En la construcción de intervalos de confianza, el teorema del límite central permite utilizar
la distribución normal para aproximar la distribución de la media muestral.
En cuanto a la contrastación de hipótesis estadísticas, el teorema del límite central
proporciona la base para realizar pruebas de hipótesis utilizando estadísticos de prueba
basados en la distribución muestral. Bajo ciertas condiciones, se puede asumir que el
estadístico de prueba sigue aproximadamente una distribución normal, lo que permite
calcular p-valores y tomar decisiones sobre la aceptación o el rechazo de hipótesis nulas.
3.5 ¿Cuál es la diferencia entre hipótesis nula y alternativa? ¿Y entre el tamaño, el nivel
de significación, y la potencia? ¿Y entre una hipótesis alternativa unilateral y una
hipótesis alternativa bilateral?
Hipótesis nula y alternativa:
El contraste de hipótesis implica la utilización de datos para comparar la hipótesis nula
con una segunda hipótesis, denominada hipótesis alternativa, que se cumple si la nula no
lo hace, mientras que la hipótesis nula consiste en que la media poblacional, E(Y), toma
un valor específico, denominado u_y, 0.
Hipótesis alternativa bilateral: Si, bajo la hipótesis alternativa, el parámetro de interés
no es igual al valor dado por la hipótesis nula.
Hipótesis alternativa unilateral: Si el valor del parámetro de interés se puede encontrar
solamente a uno de los lados, solo puede ser mayor (o solo menor) del valor establecido
en la hipótesis nula.
La hipótesis alternativa más general es que E(Y) ÇkY, 0, lo que se denomina hipótesis
alternativa bilateral porque permite que E(Y) pueda ser tanto menor como mayor que kY,
0.
hipótesis alternativa unilateral la utilizamos cuando la hipótesis alternativa podría ser que
la media supere el valor 𝜇𝑦 , 𝑜
3.6 ¿Por qué un intervalo de confianza contiene más información que el resultado de un
único contraste de hipótesis?
Mientras que un único contraste de hipótesis proporciona información sobre una
afirmación específica, un intervalo de confianza brinda una estimación más completa y
detallada del parámetro poblacional, junto con la incertidumbre asociada. Proporciona una
visión más amplia y útil al tomar en cuenta un rango de valores plausibles en lugar de una
respuesta binaria.
3.7 Explique por qué el estimador de las diferencias de las medias, aplicado a los datos
de un experimento aleatorizado controlado, es un estimador del efecto del
tratamiento.
El estimador de las diferencias de las medias, aplicado a los datos de un experimento
aleatorizado controlado, es un estimador del efecto del tratamiento porque compara las
medias de la variable de interés en el grupo de tratamiento y el grupo de control, teniendo
en cuenta la asignación aleatoria de los participantes a los grupos. Esto permite atribuir
cualquier diferencia observada en las medias al efecto del tratamiento y no a diferencias
sistemáticas entre los grupos.