Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y
Matrices
Oscar G Ibarra-Manzano, DSc
Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierı́as
Facultad de Ingenierı́a, Mecánica, Eléctrica y Electrónica
Trimestre Invierno 2008,
10 de enero de 2008
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Contenido
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
2
Matrices elementales y matrices inversas
Matrices elementales y matrices inversas
Resumen
3
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Resumen
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Contenido
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
2
Matrices elementales y matrices inversas
Matrices elementales y matrices inversas
Resumen
3
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Resumen
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
La inversa de una matriz cuadrada
Definición de In
La matriz identidad In de n × n es una
matriz de n × n cuyos elementos de la
diagonal principal son iguales a 1 y
todos los demás son 0.
1
si i = j
In = bij donde bij =
0
si i 6= j
Las siguientes matrices son unos
ejemplos:


1 0 0
I3 =  0 1 0 
0 0 1



I5 = 


1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1






Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
La inversa de una matriz cuadrada
Inversa de una matriz: A−1
Consideremos A y B dos matrices de
n × n donde se cumple que:
AB = BA = I
Entonces B se llama la inversa de A y
se denota A−1 . De esta forma se
cumple:
AA−1 = A−1 A = I
Si A tiene inversa, entonces se dice
que A es invertible.
Ejemplo: Consideremos las matrices
2 5
A=
1 3
y
B=
Entonces
2 5
3
1 3
−1
3
−1
−5
2
−5
2
=
1
0
0
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.
3
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.
Ejemplo: consideremos la matriz,


2 4 6
A= 4 5 6 
3 1 −2
La matriz aumentada (A|I3 ) es


2 4
6 | 1 0 0
 4 5
6 | 0 1 0 
3 1 −2 | 0 0 1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.
3
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.
Reducción por renglones (inicio):


2 4
6 | 1 0 0
 4 5
6 | 0 1 0 
3 1 −2 | 0 0 1
R1 → 12 R1
−−−−−−−→

1 2
 4 5
3 1
3 |
6 |
−2 |
1
2

0 0
0 1 0 
0 0 1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
(continuación...)
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.
3
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.

1 2
 4 5
3 1
3 |
6 |
−2 |
1
2

0 0
0 1 0 
0 0 1
R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 3R1
−−−−−−−−−−−→

1
 0
0
2
3 |
−3
−6 |
−5 −11 |
1
2
−2
− 32

0 0
1 0 
0 1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
2
3
(continuación...)
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.

1
 0
0
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.
2
3 |
−3
−6 |
−5 −11 |
1
2
−2
− 32

0 0
1 0 
0 1
R2 → − 13 R2
−−−−−−−−→

1
 0
0
2
3 |
1
2 |
−5 −11 |
1
2
2
3
− 32
0
− 13
0

0
0 
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.
3
(continuación...)

1
 0
0
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.
2
3 |
1
2 |
−5 −11 |
1
2
2
3
− 32
0
− 13
0

0
0 
1
R1 → R1 − 2R2
R3 → R3 + 5R2
−−−−−−−−−−−→
1 0 −1 | − 56
2
 0 1
2 |
3
11
0 0 −1 |
6

2
3
− 13
− 53

0
0 
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.
3
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.
(continuación...)
1 0 −1 | − 56
2
 0 1
2 |
3
11
0 0 −1 |
6

2
3
− 13
− 53

0
0 
1
2
3
− 13
5
3

0
0 
−1
R3 → −R3
−−−−−−−→

1
 0
0
0 −1 | − 56
2
1
2 |
3
0
1 | − 11
6
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.
3
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.
(continuación...)
1 0 −1 | − 65
2
 0 1
2 |
3
11
0 0
1 | −6

2
3
− 13
5
3

0
0 
−1
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − 2R3
−−−−−−−−−−−→

1 0 0
 0 1 0
0 0 1
| − 83
13
|
3
| − 11
6
7
3
11
−3
5
3

−1
2 
−1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
Procedimiento:
1
Se escribe la matriz aumentada (A|I).
2
Se utiliza la reducción por renglones
para poner la matriz A a su forma
escalonada reducida por renglones.
3
Se decide si A es invertible:
Si la forma escalonada reducida
por renglones de A es una
matriz identidad I, entonces A−1
es la matriz que se tiene a la
derecha de la barra vertical.
Si la reducción de A conduce a
un renglón de ceros a la
izquierda de la barra vertical,
entonces A es singular.
Finalmente, la inversa A−1 es:


7
− 83
−1
3
A−1 =  13
− 11
2 
3
3
11
5
−6
−1
3
factorizando el término 16 , tenemos:


−16
14 −6
1
A−1 =  26 −22 12 
6
−11
10 −6
Se puede demostrar que AA−1 = I.
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB es
invertible y es:
(AB)−1 = B −1 A−1
Si A es una matriz de 2 × 2 y det A = a11 a22 − a12 a21 . Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.
Si det A 6= 0, entonces
1
a22
A−1 =
−a21
det A
−a12
a11
Si A es invertible, entonces la solución única de Ax = b está dada por
x = A−1 b.
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB es
invertible y es:
(AB)−1 = B −1 A−1
Si A es una matriz de 2 × 2 y det A = a11 a22 − a12 a21 . Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.
Si det A 6= 0, entonces
1
a22
A−1 =
−a21
det A
−a12
a11
Si A es invertible, entonces la solución única de Ax = b está dada por
x = A−1 b.
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB es
invertible y es:
(AB)−1 = B −1 A−1
Si A es una matriz de 2 × 2 y det A = a11 a22 − a12 a21 . Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.
Si det A 6= 0, entonces
1
a22
A−1 =
−a21
det A
−a12
a11
Si A es invertible, entonces la solución única de Ax = b está dada por
x = A−1 b.
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Teoremas importantes sobre la inversa de una matriz
Teoremas:
Si una matriz A es invertible, entonces su inversa es única.
Si A y B son dos matrices invertibles de n × n. Entonces AB es
invertible y es:
(AB)−1 = B −1 A−1
Si A es una matriz de 2 × 2 y det A = a11 a22 − a12 a21 . Entonces
A es invertible si y solo si det A 6= 0.
Si det A 6= 0, entonces
1
a22
A−1 =
−a21
det A
−a12
a11
Si A es invertible, entonces la solución única de Ax = b está dada por
x = A−1 b.
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Transpuesta de una matriz
Definición:
Sea A = (aij ) una matriz de m × n. Entonces la transpuesta de A, que se
escribe At , es la matriz n × m obtenida al intercambiar los renglones por las
columnas de A. De forma simplificada, se puede escribir At = (aji ). Esto es:



si A = 

a11
a21
..
.
am1
a12
a22
..
.
am2
···
···
···
a1n
a2n
..
.
amn






t
 , entonces A = 


a11
a12
..
.
a1n
a21
a22
..
.
a2n
···
···
···
am1
am2
..
.
amn





Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Ejemplo:

Teorema:
Sea A = (aij ) una matriz de n × m y B = (bij )
una matriz de m × p. Entonces:
1
(At )t = A.
2
(AB)t = B t At .
3
4
Si A y B son de n × m, entonces
(A + B)t = At + B t .
Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At )−1 = (A−1 )t .
Observación: Si en una matriz se cumple que
A = At , entonces se dice que A es una matriz
simétrica. De igual forma, si en una matriz se
cumple que A = −At , entonces se dice que A es
una matriz antisimétrica.
1
Consideremos A =  2
0
Entonces:
1 2 0
At =
1 0 1
y

1
(At )t =  2
0

1
0 =A
1

1
0 .
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Teorema:
Sea A = (aij ) una matriz de n × m y B = (bij )
una matriz de m × p. Entonces:
1
(At )t = A.
2
(AB)t = B t At .
3
4
Si A y B son de n × m, entonces
(A + B)t = At + B t .
Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At )−1 = (A−1 )t .
Observación: Si en una matriz se cumple que
A = At , entonces se dice que A es una matriz
simétrica. De igual forma, si en una matriz se
cumple que A = −At , entonces se dice que A es
una matriz antisimétrica.
Ejemplo:
Consideremos:


1 1
A= 2 0 yB =
0 1
donde

1 4
t
(AB) =  2 6
0 1
1 2
=
4 6
Entonces,
1
B t At =
3
1
=
4
0
1
2
6
0
1
1
0
3
1
0
1
.
t

1
1
0
1
.
2
0
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Ejemplo:

Teorema:
Sea A = (aij ) una matriz de n × m y B = (bij )
una matriz de m × p. Entonces:
1
(At )t = A.
2
(AB)t = B t At .
3
4
Si A y B son de n × m, entonces
(A + B)t = At + B t .
Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At )−1 = (A−1 )t .
Observación: Si en una matriz se cumple que
A = At , entonces se dice que A es una matriz
simétrica. De igual forma, si en una matriz se
cumple que A = −At , entonces se dice que A es
una matriz antisimétrica.
1
Si A =  3
1
Entonces,


1
2
2 yB= 1
1
1
t
3 2
(A + B)t =  4 5 
2 2
3 4 2
=
2 5 2

De igual forma,
At + B t =
3
2
4
5
2
2

1
3 
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Propiedades de la transpuesta de una matriz
Ejemplo:
1
0
1
0
1
3
−3
1
0
1
1
−3
0
1
Consideremos A =
Teorema:
donde
Sea A = (aij ) una matriz de n × m y B = (bij )
una matriz de m × p. Entonces:
1
(At )t = A.
2
t
(AB) = B A .
3
Si A y B son de n × m, entonces
(A + B)t = At + B t .
4
3
1
t
t
Si A es no singular, entonces At es
invertible y (At )−1 = (A−1 )t .
Observación: Si en una matriz se cumple que
A = At , entonces se dice que A es una matriz
simétrica. De igual forma, si en una matriz se
cumple que A = −At , entonces se dice que A es
una matriz antisimétrica.
A−1 =
At =
(At )−1 =
De aquı́ podemos observar que:
(At )−1 = (A−1 )t
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Contenido
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
2
Matrices elementales y matrices inversas
Matrices elementales y matrices inversas
Resumen
3
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Resumen
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definición y operaciones de las matrices elementales
Definición:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puede
obtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una sola
operación elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1
Multiplicar el renglón i por un número
c diferente de cero.
2
Sumar un múltiplo del renglón i al
renglón j.
3
Permutar los renglones i y j.
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definición y operaciones de las matrices elementales
Definición:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puede
obtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una sola
operación elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1
Multiplicar el renglón i por un número
c diferente de cero.
2
Sumar un múltiplo del renglón i al
renglón j.
3
Permutar los renglones i y j.
Nomenclatura: cRi


1 0 0
 0 1 0  R2 → 4R2
−−−−−−→
0 0 1


1 0 0
 0 4 0  = 4R2
0 0 1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definición y operaciones de las matrices elementales
Definición:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puede
obtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una sola
operación elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1
Multiplicar el renglón i por un número
c diferente de cero.
2
Sumar un múltiplo del renglón i al
renglón j.
3
Permutar los renglones i y j.
Nomenclatura: Rj + cRi


1 0 0
 0 1 0  R3 → R3 − 2R2
−−−−−−−−−−−→
0 0 1


1
0 0
 0
1 0  = R3 − 2R2
0 −2 1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Definición y operaciones de las matrices elementales
Definición:
Una matriz cuadrada E de n × n se llama matriz elemental si se puede
obtener a partir de la matriz identidad, In de n × n mediante una sola
operación elemental con renglones.
Tipos de operaciones elementales:
1
Multiplicar el renglón i por un número
c diferente de cero.
2
Sumar un múltiplo del renglón i al
renglón j.
3
Permutar los renglones i y j.
Nomenclatura: Pij

1 0 0
 0 1 0
0 0 1

1 0 0
 0 0 1
0 1 0

 R2 R3
−
−−−−−
→

 = P23
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Para realizar una operación elemental en una matriz A, se multiplica A por la
izquierda por la matriz elemental adecuada.
Ejemplo:


1 3 3
Sea la matriz A =  2 1 2  y la matriz elemental E
4 0 7
Entonces,
EA = (R2 − 2R1 )A


1 0 0
1 3
=  −2 1 0   2 1
0 0 1
4 0


1
3
3
=  0 −5 −4 
4
0
7

1
=  −2
0

3
2 
7
0
1
0

0
0 
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental es
una matriz elemental.
Para EcRi : (cRi )−1 = 1c Ri
Para ERj +cRi : (Rj + cRi )−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij )−1 = Pij
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental es
una matriz elemental.
Para EcRi : (cRi )−1 = 1c Ri
Para ERj +cRi : (Rj + cRi )−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij )−1 = Pij

0
c
0

1
0
0  0
1
0
0
Ejemplo: E → 4R2

1 0
 0 4
0 0

1
0
0  0
1
0
0
1
 0
0
1
c
0
1
4
0
 
0
1
0 = 0
0
1
0
1
0

0
0 
1
 
0
1
0 = 0
0
1
0
1
0

0
0 
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental es
una matriz elemental.
Para EcRi : (cRi )−1 = 1c Ri
Para ERj +cRi : (Rj + cRi )−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij )−1 = Pij


0
1
0  0
1
−c
0
1
0
 
0
1
0 = 0
1
0
0
1
0

0
0 
1
Ejemplo: E → R3 + 2R1


1 0 0
1
 0 1 0  0
2 0 1
−2
0
1
0
 
0
1
0 = 0
1
0
0
1
0

0
0 
1
1
 0
c
0
1
0
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Operaciones elementales e inversa de una matriz elemental
Teorema:
Toda matriz elemental es invertible. La inversa de una matriz elemental es
una matriz elemental.
Para EcRi : (cRi )−1 = 1c Ri
Para ERj +cRi : (Rj + cRi )−1 = Rj − cRi
Para EPij : (Pij )−1 = Pij
Ejemplo: E → P23

1 0
 0 0
0 1

0
1
1  0
0
0
0
0
1
 
0
1
1 = 0
0
0
0
1
0

0
0 
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representación de una matriz en términos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices
elementales.
A−1 =Em Em−1 · · · E2 E1
−1
=E1−1 E2−1 · · · Em−1
Em−1
A
Ejemplo: Sea A =
2
4
4
5
, con su matriz aumentada:
2
4
4
5
|
|
1
0
0
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representación de una matriz en términos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices
elementales.
A−1 =Em Em−1 · · · E2 E1
−1
=E1−1 E2−1 · · · Em−1
Em−1
A
Ejemplo: Sea A =
1
E1 : R1
2
−−−−−−→
1
E3 : − R2
3
−−−−−−−→
1
4
2
4
2
1
0
1
0
|
|
, con su matriz aumentada:
1
2
|
|
2
5
1
0
4
5
1
2
2
3
1
E2 : R2 − 4R1
0
−−−−−−−−−→
!
0
E4 : R1 − 2R2
− 31
−−−−−−−−−→
4
5
|
|
−2
2
−3
1
0
|
|
2
4
0
1
1
2
|
|
0
1
− 56
2
3
1 0
0 1
2
3
− 31
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representación de una matriz en términos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices
elementales.
A−1 =Em Em−1 · · · E2 E1
−1
=E1−1 E2−1 · · · Em−1
Em−1
A
Ejemplo: Sea A =
2
4
4
5
, con su matriz aumentada:
2
4
|
|
4
5
Entonces,
1
1
A−1 = (R1 − 2R2 )(− R2 )(R2 − 4R1 )( R1 )
3
2
1
1
0
1 0
1 −2
2
=
−4 1
0
1
0 − 31
0
!
2
− 56
3
=
2
1
−
3
3
0
1
1
0
0
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Representación de una matriz en términos matrices elementales
Teorema:
Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si es el producto de matrices
elementales.
A−1 =Em Em−1 · · · E2 E1
−1
=E1−1 E2−1 · · · Em−1
Em−1
A
Ejemplo: Sea A =
2
4
4
5
, con su matriz aumentada:
2
4
4
5
|
|
1
0
De igual forma,
1
1
A = ( R1 )−1 (R2 − 4R1 )−1 (− R2 )−1 (R1 − 2R2 )−1
2
3
1
−1 −1 −1 1
0
1 0
1
0
2
=
1
−4 1
0
0 −3
0 1
2 0
1 0
1
0
1 2
=
0 1
4 1
0 −3
0 1
2 4
=
4 5
−2
1
−1
0
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Resumen
Resumen
Tarea y problemas
a11 a12
1
Sea
es una matriz con elementos reales no negativos que tienen
a21 a22
las propiedades siguientes:
a11
a21
2 + a2 = 1 y a2 + a2 = 1 y ii)
i) a11
·
= 0.
12
21
22
a12
a22
Demuestre que A es invertible y que A−1 = At .


1 2
2
Encuentre la matriz elemental E tal que EA = B si A =  3 4  y
5 6


−5 −6
4 .
B= 3
5
6


0 2 3
3
Sea A =  1 1 4 , expresa A como el producto de matrices elementales.
2 4 1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Resumen
Resumen
Programas:
1
Realizar un programa que genere las n2 matrices elementales cuyo producto
generan la matriz A−1 .
2
Modificar el programa anterior para obtener las n2 matrices elementales cuyo
producto generan la matriz A.
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Contenido
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
2
Matrices elementales y matrices inversas
Matrices elementales y matrices inversas
Resumen
3
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Resumen
Factorización LU de una matriz
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:

2
A= 3
5
1
2
1

4
0 
1
Reduciendo la matriz a una forma escalonada
aplicando la eliminación Gaussiana:


2 1 4
 3 2 0 
5 1 1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:

2
A= 3
5
1
2
1

4
0 
1
Reduciendo la matriz a una forma escalonada
aplicando la eliminación Gaussiana:


2 1 4
 3 2 0 
5 1 1

2
 3
5
1
2
1


2
4
R2 → R2 − 32 R1
0  R → R − 5R  0
3
3
2 1
1
−−−−−−−−−−−→
0
1
1
2
− 32

4
−6 
−9
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:

2
A= 3
5
1
2
1

4
0 
1
Operaciones Elementales
E1 : R2 − 32 R1
E2 : R3 − 52 R1
Reduciendo la matriz a una forma escalonada
aplicando la eliminación Gaussiana:


2 1 4
 3 2 0 
5 1 1

2
 3
5
1
2
1


2
4
R2 → R2 − 32 R1
0  R → R − 5R  0
3
3
2 1
1
−−−−−−−−−−−→
0
1
1
2
− 32

4
−6 
−9
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:

2
A= 3
5
1
2
1

4
0 
1
Operaciones Elementales
E1 : R2 − 32 R1
E2 : R3 − 52 R1
Reduciendo la matriz a una forma escalonada
aplicando la eliminación Gaussiana:


2 1 4
 3 2 0 
5 1 1

2
 0
0
1
1
2
− 32


4
2
−6  R3 → R3 + 3R2  0
−−−−−−−−−−−→
0
−9
1
1
2
0

4
−6 
−27
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Ejemplo:

2
A= 3
5
1
2
1

4
0 
1
Operaciones Elementales
E1 : R2 − 32 R1
E2 : R3 − 52 R1
E3 : R3 + 3R2
Reduciendo la matriz a una forma escalonada
aplicando la eliminación Gaussiana:


2 1 4
 3 2 0 
5 1 1

2
 0
0
1
1
2
− 32


4
2
−6  R3 → R3 + 3R2  0
−−−−−−−−−−−→
0
−9
1
1
2
0

4
−6 
−27
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operación elemental en una matriz A, se multiplica A por la
izquierda por la matriz elemental adecuada.
E3 E2 E1 A = U
[R3 + 3R2 ][R3 −

1
 0
0
Donde:
0
1
3

1
0
0  0
1
− 25
0
1
0
5
3
R1 ][R2 − R1 ]A = U
2
2

1
0
0   − 23
1
0

2
U= 0
0
1
1
2
0
0
1
0

0
2
0  3
5
1

4
−6 
−27
1
2
1

4
0 =U
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operación elemental en una matriz A, se multiplica A por la
izquierda por la matriz elemental adecuada.
E3 E2 E1 A = U
[R3 + 3R2 ][R3 −

1
 0
0
Donde:
0
1
3

1
0
0  0
1
− 25
0
1
0
5
3
R1 ][R2 − R1 ]A = U
2
2

1
0
0   − 23
1
0

2
U= 0
0
1
1
2
0
0
1
0

0
2
0  3
5
1

4
−6 
−27
1
2
1

4
0 =U
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operación elemental en una matriz A, se multiplica A por la
izquierda por la matriz elemental adecuada.
E3 E2 E1 A = U
[R3 + 3R2 ][R3 −

1
 0
0
Donde:
0
1
3

1
0
0  0
1
− 25
0
1
0
5
3
R1 ][R2 − R1 ]A = U
2
2

1
0
0   − 23
1
0

2
U= 0
0
1
1
2
0
0
1
0

0
2
0  3
5
1

4
−6 
−27
1
2
1

4
0 =U
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operación elemental en una matriz A, se multiplica A por la
izquierda por la matriz elemental adecuada.
E3 E2 E1 A = U
[R3 + 3R2 ][R3 −

1
 0
0
Donde:
0
1
3

1
0
0  0
1
− 25
0
1
0
5
3
R1 ][R2 − R1 ]A = U
2
2

1
0
0   − 23
1
0

2
U= 0
0
1
1
2
0
0
1
0

0
2
0  3
5
1

4
−6 
−27
1
2
1

4
0 =U
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales
Teorema:
Para realizar una operación elemental en una matriz A, se multiplica A por la
izquierda por la matriz elemental adecuada.
E3 E2 E1 A = U
[R3 + 3R2 ][R3 −

1
 0
0
Donde:
0
1
3

1
0
0  0
1
− 25
0
1
0
5
3
R1 ][R2 − R1 ]A = U
2
2

1
0
0   − 23
1
0

2
U= 0
0
1
1
2
0
0
1
0

0
2
0  3
5
1

4
−6 
−27
1
2
1

4
0 =U
1
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1
2
Donde:
−1 −1
−1 −1 −1
E−1
1 E2 E3 E3 E2 E1 A = E1 E2 E3 U
A = [R2 −

2
A= 3
5

2
U= 0
0
3
E3 E2 E1 A = U
Multiplicamos por la
matriz inversa que
corresponda por la
izquierda

1
2
1
1
1
2
0
4
0 
1

4
−6 
−27
Finalmente tenemos:
A = LU
3
5
R1 ]−1 [R3 − R1 ]−1 [R3 + 3R2 ]−1 U
2
2
A = [R2 +

1
A=
3
2
0
A=
0
1
0
3
5
R1 ][R3 + R1 ][R3 − 3R2 ]U
2
2

0
1
0  0
5
1
2
0
1
0
1
!
3
2
5
2
0
1
−3
0
0
1

0
1
0  0
0
1
2
0
0
1
1
2
0

0
0 U
1
0
1
−3
4
−6
−27
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1
2
Donde:
−1 −1
−1 −1 −1
E−1
1 E2 E3 E3 E2 E1 A = E1 E2 E3 U
A = [R2 −

2
A= 3
5

2
U= 0
0
3
E3 E2 E1 A = U
Multiplicamos por la
matriz inversa que
corresponda por la
izquierda

1
2
1
1
1
2
0
4
0 
1

4
−6 
−27
Finalmente tenemos:
A = LU
3
5
R1 ]−1 [R3 − R1 ]−1 [R3 + 3R2 ]−1 U
2
2
A = [R2 +

1
A=
3
2
0
A=
0
1
0
3
5
R1 ][R3 + R1 ][R3 − 3R2 ]U
2
2

0
1
0  0
5
1
2
0
1
0
1
!
3
2
5
2
0
1
−3
0
0
1

0
1
0  0
0
1
2
0
0
1
1
2
0

0
0 U
1
0
1
−3
4
−6
−27
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1
2
Donde:
−1 −1
−1 −1 −1
E−1
1 E2 E3 E3 E2 E1 A = E1 E2 E3 U
A = [R2 −

2
A= 3
5

2
U= 0
0
3
E3 E2 E1 A = U
Multiplicamos por la
matriz inversa que
corresponda por la
izquierda

1
2
1
1
1
2
0
4
0 
1

4
−6 
−27
Finalmente tenemos:
A = LU
3
5
R1 ]−1 [R3 − R1 ]−1 [R3 + 3R2 ]−1 U
2
2
A = [R2 +

1
A=
3
2
0
A=
0
1
0
5
3
R1 ][R3 + R1 ][R3 − 3R2 ]U
2
2

0
1
0  0
5
1
2
0
1
0
1
!
3
2
5
2
0
1
−3
0
0
1

0
1
0  0
0
1
2
0
0
1
1
2
0

0
0 U
1
0
1
−3
4
−6
−27
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1
2
Donde:
−1 −1
−1 −1 −1
E−1
1 E2 E3 E3 E2 E1 A = E1 E2 E3 U
A = [R2 −

2
A= 3
5

2
U= 0
0
3
E3 E2 E1 A = U
Multiplicamos por la
matriz inversa que
corresponda por la
izquierda

1
2
1
1
1
2
0
4
0 
1

4
−6 
−27
Finalmente tenemos:
A = LU
3
5
R1 ]−1 [R3 − R1 ]−1 [R3 + 3R2 ]−1 U
2
2
A = [R2 +

1
A=
3
2
0
A=
0
1
0
5
3
R1 ][R3 + R1 ][R3 − 3R2 ]U
2
2

0
1
0  0
5
1
2
0
1
0
1
!
3
2
5
2
0
1
−3
0
0
1

0
1
0  0
0
1
2
0
0
1
1
2
0

0
0 U
1
0
1
−3
4
−6
−27
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1
2
Donde:
−1 −1
−1 −1 −1
E−1
1 E2 E3 E3 E2 E1 A = E1 E2 E3 U
A = [R2 −

2
A= 3
5

2
U= 0
0
3
E3 E2 E1 A = U
Multiplicamos por la
matriz inversa que
corresponda por la
izquierda

1
2
1
1
1
2
0
4
0 
1

4
−6 
−27
Finalmente tenemos:
A = LU
3
5
R1 ]−1 [R3 − R1 ]−1 [R3 + 3R2 ]−1 U
2
2
A = [R2 +

1
A=
3
2
0
A=
0
1
0
5
3
R1 ][R3 + R1 ][R3 − 3R2 ]U
2
2

0
1
0  0
5
1
2
0
1
0
1
!
3
2
5
2
0
1
−3
0
0
1

0
1
0  0
0
1
2
0
0
1
1
2
0

0
0 U
1
0
1
−3
4
−6
−27
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Factorización LU aplicando matrices elementales ...
Procedimiento:
1
2
Donde:
−1 −1
−1 −1 −1
E−1
1 E2 E3 E3 E2 E1 A = E1 E2 E3 U
A = [R2 −

2
A= 3
5

2
U= 0
0
3
E3 E2 E1 A = U
Multiplicamos por la
matriz inversa que
corresponda por la
izquierda

1
2
1
1
1
2
0
4
0 
1

4
−6 
−27
Finalmente tenemos:
A = LU
3
5
R1 ]−1 [R3 − R1 ]−1 [R3 + 3R2 ]−1 U
2
2
A = [R2 +

1
A=
3
2
0
A=
0
1
0
5
3
R1 ][R3 + R1 ][R3 − 3R2 ]U
2
2

0
1
0  0
5
1
2
0
1
0
1
!
3
2
5
2
0
1
−3
0
0
1

0
1
0  0
0
1
2
0
0
1
1
2
0

0
0 U
1
0
1
−3
4
−6
−27
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Método simplificado de la factorización LU
Procedimiento:
1
Se expresa A = LU
2
Se iguala el producto
escalar del primer renglón
de L y la primera columna
de U al elemento a(1,1) de
A y se determina la
primera incógnita.
3
Se repite el procedimiento
para el renglón i de L y la
columna j de U y se iguala
al elemento a(i,j) de A para
encontrar todas las
incógnitas.
A=
1
a
b
0
1
c
Por lo tanto, tenemos:
0
0
1
!
d
0
0
e
f
0
g
h
i
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Método simplificado de la factorización LU
Procedimiento:
1
Se expresa A = LU
2
Se iguala el producto
escalar del primer renglón
de L y la primera columna
de U al elemento a(1,1) de
A y se determina la
primera incógnita.
3
Se repite el procedimiento
para el renglón i de L y la
columna j de U y se iguala
al elemento a(i,j) de A para
encontrar todas las
incógnitas.
1
a
b
A=
2
3
5
1
2
1
4
0
1
0
1
c
!
=
Por lo tanto, tenemos:
0
0
1
1
a
b
!
0
1
c
d
0
0
0
0
1
!
e
f
0
g
h
i
d
0
0
!
e
f
0
g
h
i
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Método simplificado de la factorización LU
Procedimiento:
1
Se expresa A = LU
2
Se iguala el producto
escalar del primer renglón
de L y la primera columna
de U al elemento a(1,1) de
A y se determina la
primera incógnita.
3
Se repite el procedimiento
para el renglón i de L y la
columna j de U y se iguala
al elemento a(i,j) de A para
encontrar todas las
incógnitas.
1
a
b
A=
2
3
5
1
2
1
4
0
1
0
1
c
!
=
0
0
1
1
a
b
!
0
1
c
Por lo tanto, tenemos:
2=d
2
0
0
0
0
1
!
e
f
0
g
h
i
d
0
0
!
e
f
0
g
h
i
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Método simplificado de la factorización LU
Procedimiento:
1
Se expresa A = LU
2
Se iguala el producto
escalar del primer renglón
de L y la primera columna
de U al elemento a(1,1) de
A y se determina la
primera incógnita.
3
Se repite el procedimiento
para el renglón i de L y la
columna j de U y se iguala
al elemento a(i,j) de A para
encontrar todas las
incógnitas.
1
a
b
A=
2
3
5
1
2
1
4
0
1
0
1
c
!
=
0
0
1
1
a
b
!
0
1
c
Por lo tanto, tenemos:
2=d
2
0
0
0
0
1
!
e
f
0
g
h
i
d
0
0
!
e
f
0
g
h
i
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Método simplificado de la factorización LU
Procedimiento:
1
Se expresa A = LU
2
Se iguala el producto
escalar del primer renglón
de L y la primera columna
de U al elemento a(1,1) de
A y se determina la
primera incógnita.
3
Se repite el procedimiento
para el renglón i de L y la
columna j de U y se iguala
al elemento a(i,j) de A para
encontrar todas las
incógnitas.
1
3
2
A=
b
2
3
5
1
2
1
4
0
1
0
1
c
0
0
1
!
1
a
b
=
!
0
1
c
Por lo tanto, tenemos:
3 = 2a
2
0
0
0
0
1
!
e
f
0
g
h
i
2
0
0
!
e
f
0
g
h
i
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Método simplificado de la factorización LU
Procedimiento:
1
Se expresa A = LU
2
Se iguala el producto
escalar del primer renglón
de L y la primera columna
de U al elemento a(1,1) de
A y se determina la
primera incógnita.
3
Se repite el procedimiento
para el renglón i de L y la
columna j de U y se iguala
al elemento a(i,j) de A para
encontrar todas las
incógnitas.
2
3
5

1
A=
3
2
5
2
1
2
1
4
0
1
!

0
1
−3
0
0 
1
1
=
3
2
5
2
0
1
−3
2
0
0
0
0
1
1
4
−6
i
1
2
0
!
Por lo tanto, tenemos:
5
1 = 4( ) − 6(−3) + i
2
2
0
0
1
1
2
0
!
4
−6
i
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Método simplificado de la factorización LU
Procedimiento:
1
Se expresa A = LU
2
Se iguala el producto
escalar del primer renglón
de L y la primera columna
de U al elemento a(1,1) de
A y se determina la
primera incógnita.
3
Se repite el procedimiento
para el renglón i de L y la
columna j de U y se iguala
al elemento a(i,j) de A para
encontrar todas las
incógnitas.

1
A=
3
2
5
2
0
1
−3
Por lo tanto, tenemos:

0
0 
1
2
0
0
1
1
2
0
4
−6
−27
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
1
3
2
5
2
0
1
−3
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
4
0
1
2
0
0
!
x1
x2
x3
1
1
2
0
!
4
−6
−27
=
!
1
4
2
!
x1
x2
x3
!
=
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
1
3
2
5
2
0
1
−3
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
4
0
1
2
0
0
!
x1
x2
x3
1
1
2
0
!
4
−6
−27
=
!
1
4
2
!
x1
x2
x3
!
=
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
1
3
2
5
2
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
0
1
−3
1
3
2
5
2
0
1
−3
4
0
1
2
0
0
0
0
1
!
x1
x2
x3
1
1
2
0
!
!
=
4
−6
−27
y1
y2
y3
!
!
=
1
4
2
!
x1
x2
x3
!
1
4
2
=
!
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
1
3
2
5
2
0
1
−3
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
y1
y2
y3
4
0
1
!
2
0
0
!
=
x1
x2
x3
1
1
2
0
!
4
−6
−27
=
!
1
4 − 32 y1
2 − 25 y1 + 3y2
1
4
2
!
x1
x2
x3
!
!
=
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
1
3
2
5
2
0
1
−3
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
4
0
1
2
0
0
y1
y2
y3
!
x1
x2
x3
1
1
2
0
!
!
=
4
−6
−27
1
=
5
2
7
!
!
1
4
2
!
x1
x2
x3
!
=
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
1
3
2
5
2
0
1
−3
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
2
0
0
1
1
2
0
4
0
1
!
2
0
0
x1
x2
x3
1
1
2
0
y1
y2
y3
!
4
−6
−27
!
!
=
!
4
−6
−27
1
1
4
2
!
x1
x2
x3
!
=
!
5
2
=
7
x1
x2
x3
!
1
=
5
2
7
!
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
1
3
2
5
2
0
1
−3
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
4
0
1
2
0
0
y1
y2
y3
x1
x2
x3
!
=
!
x1
x2
x3
1
1
2
0
!
1
=
!
x1
x2
x3
!
=
4
−6
−27
!
1
4
2
!
!
5
2
7
1
2 (1
− x2 − 4x3 )
2( 25 + 6x3 )
7
− 27
!
=
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Factorización LU de una matriz
Aplicación a la solución de sistemas de ecuaciones lineales: Ax = b
Ejemplo:
Procedimiento:
El método consiste en resolver
el sistema Ax = b mediante la
factorización de la matriz de
coeficientes A en LU.
Se expresa el sistema
como: LUx = b.
1
3
2
5
2
0
1
−3
2
3
5
1
2
1
0
0
1
!
4
0
1
!
2
0
0
x1
x2
x3
1
1
2
0
!
=
4
−6
−27
!
Se sustituye y = Ux y se
resuelve el sistema
resultante Ly = b.
Se resuelve el sistema
y = Ux para el vector x.
x1
x2
x3
!
=
2
27
51
27
7
− 27
!
1
4
2
!
x1
x2
x3
!
=
1
4
2
!
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Resumen
Resumen
Tarea y problemas
1
Resuelve el siguiente sistema usando la factorización LU. Esto es, resuelva
Ax = LUx = b




3
9 −2
3
8 ;
A =  6 −3
b =  10 
4
6
5
4
2
Encuentre una matriz de permutación P y las matrices triangulares inferior y
superior L y U tales que PA = LU; utilice el resultado para resolver el sistema
Ab = b.




0 2 4
−1
A =  0 3 7 ;
b= 0 
4 1 5
2
Inversa y transpuesta de una matriz
Matrices elementales y matrices inversas
Factorización LU de una matriz
Resumen
Resumen
Programas:
1
Realizar un programa que obtenga la factorización LU de una matriz A de n × n.
2
Modifica el programa anterior para obtener la factorización LU de una matriz A
de n × m, donde la matriz L es una matriz triangular inferior de n × n con unos
en su diagonal.