hiperbólicos

TRANSMISIÓN ENTRE EJES QUE SE CRUZAN
MEDIANTE ENGRANAJES CILÍNDRICO
HELICOIDALES (HIPERBÓLICOS)
1. RELACIONES FUNDAMENTALES
Mediante engranajes cilíndrico helicoidales es posible transmitir movimiento entre
ejes que se cruzan sin cortarse, que estén formando un cierto ángulo según vemos en la figura
siguiente:
w1
w2
Si analizamos un plano tangente a ambos cilindros primitivos en el punto de contacto
y representamos los ángulos de hélice de las dos ruedas obtenemos la figura siguiente:
B1
B2
v2
B2
1
B1
v1
2
1
Como la velocidad de ambos dientes en la dirección normal al contacto es común,
tendremos que:
v2 . cosß2 = v1 . cos ß1
y
v2 / v1 .= cos ß1 /cosß2
Con lo cual la relación de transmisión será:
v2
w2
R1 v2 R1 cos β 1 m1 . z 1 .cos β 1 m n . z 1 z 1
i= = R2 = . =
.
=
=
=
w1 v1 R 2 v 1 R2 cos β 2 m 2 . z 2 . cos β 2 m n . z 2 z 2
R1
La distancia entre ejes en el engrane será:
d = R1 + R2 =
m1 . z 1 m 2 . z 2
mn . z 1
m .z
m
z1
z2
+
=
+ n 2 = n[
+
]
2
2
2.cos β 1 2. cos β 2 2 cos β 1 cos β 2
Vemos cómo la relación de transmisión resulta ser el cociente de los números de
dientes como en todas las transmisiones por engranajes.
A continuación obtendremos la expresión del grado de recubrimiento. Para ello
realizaremos el análisis del cociente entre el arco de conducción medido en circunferencia
primitiva y el paso, también en el mismo circulo primitivo.
Puesto que el ángulo girado por la rueda durante el engrane es común al radio base y
al radio primitivo, se cumplirá la siguiente relación entre los arcos de conducción:
( E 1 E 2 )p
r
( E )
= E1 2 b
rb
( E1 E 2 ) p =
( E )
.( E1 E 2 )b = E 1 2 b
cos α t
rb
r
En la figura siguiente podemos ver el conjunto de las dos ruedas cilíndrico
helicoidales engranando, el dentado está inclinado según la dirección AB y los ángulos de
hélice en la circunferencia primitiva son: β 1 y β 2 . Analizamos la sección frontal de la rueda 2
y la sección normal.
2
EN LA SECCIÓN FRONTAL:
La longitud de engrane es E”2 E”1 y el ángulo de presión frontal α t2 .
Correspondiente con esa longitud de engrane, tenemos un ancho útil de rueda b’1 .
Recordamos que el salto medido en circunferencia base era:
s 1b = b1 . tgβ b
Para medir el salto, ahora en circulo primitivo, s 1 debemos tomar β en lugar de β b y
tener en cuenta además que la longitud útil de contacto no será ahora b1 sino b’1 .
3
EN LA SECCIÓN NORMAL:
La longitud de engrane será E2 E1 y el ángulo de presión tomará el valor normalizado α n
Analizando la sección frontal, el coeficiente de engrane será la longitud de engrane en círculo
primitivo (E” 2 E”1 ) p más la longitud del salto, también en el círculo primitivo, divididos por
el paso frontal, también en circulo primitivo.
(E”2 E”1 ) p = (E”2 E”1 ) b/ cosα t
El grado de recubrimiento por lo tanto será:
ξ = ((E” 2 E”1 ) b/ cosα t + s 2 ) / pt2
Ahora se obtiene el valor de la longitud de engrane en el círculo base (E”2 E”1 ) b
E’1 E’2 = E1 E2 . cos α n
b’2 = E’1 E’2 . sen β 2 = E1 E2 . cos α n . sen β 2
b’1 = E1 E2 . cos α n . sen β 1
(E”2 E”1 ) b =b’1 / cos α t2 = ( E1 E2 . cos α n . sen β 1 ) / cos α t2
Y el salto en el círculo primitivo:
s 2 = b’2 . tgβ 2 = E1 E2 . cos α n . sen β 2 . tgβ 2
Finalmente el paso frontal será:
pt2 = pn / cosβ 2 = (π . mn ) / cosβ 2
El mismo valor del coeficiente de engrane se habría obtenido si hubiésemos realizado
el cálculo sobre la sección aparente o frontal de la rueda 1.
4
PROBLEMA
Sea una transmisión formada por engranajes cilíndrico helicoidales cuyos ejes están
dispuestos con un ángulo π = β 1 + β 2 = 60º. La relación de transmisión es i = 2/3. Están
construidos con módulo normal mn = 5. Se cumple además que R1 = R2 y deben estar
dispuestos de tal forma que la distancia entre ejes sea aproximadamente a ≈ 91,5 mm .
Calcular:
a)
Número de dientes z1 y z2
b)
Angulos de inclinación de la hélice ß1 y ß2
SOLUCIÓN.
cos β 1 cos β 1 z 1 2
i = w2 = R1 .
=
= =
w1 R2 cos β 2 cos β 2 z 2 3
ß = ß1 + ß2 = 60º ; ß2 = 60º - ß1
cos β 1
cos β 1
2
i = w2 =
=
=
w1 cos β 2 cos(60 - β 1 ) 3
3 cosß1 = 2 cos (60-ß1 ) = 2 ( cos 60º.cosß1 + sen 60º.senß1 )
2 cosß1 = 1,732 sen ß1 ; tgß 1 = 1,154 ;
ß1 = 49º 6' 24" ( 49,106º) ;
ß2 = 10º 53' 36" ( 10,893º)
Veamos el número de dientes:
3
. z1
5
m
z
z
z
n
1
2
1
2
d=
[
+
]= [
+
]
2 cos β 1 cos β 2
2 cos β 1 cos β 2
resultando:
z1 = 11,974 ⇒ 12
z1 = 12
z2 =18
5
Con estos nuevos valores redondeados del número de dientes, recalculamos la
distancia entre ejes, los radios primitivos y los ángulos de hélice.
R1 = mt1 . z1 /2 = (mn .z1 ) / 2 cosß1
R2 = mt2 . z2 /2 = (mn .z2 ) / 2 cosß2
como R1 = R2
R1 = R2 = 45.825
(mn .z1 ) / 2 cosß1 = (mn .z2 ) / 2 cosß2
d=
z1 = z2 . cosß1 / cosß2
mn
z1
z2
m
z
[
+
] = n [ 2. 2 ] = 2R
2 cos β 1 cos β 2
2
cos β 2
i = cos ß1 / cos ß2 = 2/3
ß1 + ß2 = 60º
Los ángulos permanecen constantes
ß1 = 49º 6' 24"
ß2 = 10º 53' 36"
luego
R=
5
18
[
] = 45,825 mm
2 cos β 2
d = 2R = 91,654 mm
6