Principio de Trabajo-Energía en 2 y 3 dimensiones

Fuerza Conservativa
El trabajo hecho por una fuerza
conservativa depende sólo de los
puntos 1 y 2.
Definición 1: El trabajo
realizado por una fuerza
conservativa es
independiente de la
trayectoria seguida por la
partícula cuando se mueve
de un punto a otro.
Definición 2: Una fuerza es
conservativa si el trabajo
que hace para mover una
partícula a través de una
trayectoria cerrada,
volviendo al punto de
partida, es cero.
Energía Potencial
G G
dW = F ⋅ ds = − dU
2 G
G
W = ∫ F ⋅ d s = − ∆U
1
G G
dU = − F ⋅ ds
2 G
G
∆U = − ∫ F ⋅ ds
1
Energía potencial gravitatoria próxima a la
superficie de la Tierra
U = ∫ mg dy = mgy + U 0
Si U es 0 cuando y = 0, entonces U0=0.
Entonces
G
U
F = − mg ˆj
G
ds = dx iˆ + dy ˆj + dz kˆ
= mgy
Ejemplo:
Un animal de 2 kg cuelga de
la rama de un árbol a una
altura de 5 metros. Calcula la
energía potencial con
respecto al piso y con
respecto al balcón. Calcula el
cambio en energía potencial
con respecto al piso y al
balcón si el animal cae al
piso.
Energía potencial de un resorte
G
F = − kx iˆ
G
ds = dx iˆ
1 2
U = − ∫ ( − kx )dx = kx + U 0
2
Si U es 0 cuando x = 0,
entonces U0=0. Entonces
1 2
U = kx
2
Conservación de energía mecánica
Considera un sistema sobre el cual solo actúan fuerzas
internas las cuales son conservativas. Estamos asumiendo
que no hay fuerzas externas que hagan trabajo sobre el
sistema, o sea, el sistema está aislado. El principio de trabajo
energía dice:
Wneto = ∆K
Como todas las fuerzas que hacen trabajo son conservativas,
Wneto = −∆U1 − ∆U 2 − "
Wneto = −∆U
donde U es la energía potencial total:
U = U1 + U 2 +"
Combinando las ecuaciones anteriores tenemos
−∆U = ∆K
∆K + ∆U = ∆ ( K + U ) = 0
La suma de la energía cinética y las energías potenciales de
un sistema se conoce como la energía mecánica Emec:
Emec = K + U
Combinando ecuaciones tenemos:
∆Emec = 0
La ecuación anterior dice que la energía mecánica de un
sistema aislado no cambia si las fuerzas que hacen trabajo
son conservativas. Esta es la ley de conservación de energía
mecánica.
Ejemplo:
Una nena de masa m está
inicialmente en reposo en el
tope de una chorrera
acuática de altura h = 8.5 m.
Asumiendo que no hay
fricción (debido al agua),
calcula su velocidad al llegar
a la parte baja de la chorrera.
Usa conservación de energía
mecánica.
Una fuerza conservativa puede expresarse en
términos de su función (energía) potencial
G G
dU = − F ⋅ ds
= − Fx dx − Fy dy − Fz dz
Si tratamos las variables (y, z) como constantes, entonces
∂U
Fx = −
∂x
Similarmente tenemos,
∂U
∂U
, Fz = −
Fy = −
∂y
∂z
Podemos usar estas relaciones para desarrollar un método para
demostrar si una fuerza es conservativa.
Energía potencial y equilibrio en una
dimensión: caso de masa/resorte
En el equilibrio estable un pequeño desplazamiento da lugar
a una fuerza restauradora que acelera la partícula hacia
atrás en busca de su posición de equilibrio.
Equilibrio inestable
En el equilibrio
inestable un pequeño
desplazamiento de
lugar a una fuerza que
acelera la partícula
alejándola de la
posición de equilibrio.
Conservación de energía, caso general
En la discusión de conservación de energía mecánica
asumimos que todas las fuerzas que hacen trabajo son
conservativas. En la práctica siempre existen fuerzas noconservativas, las cuáles están asociadas con otras clases de
energía. Una de estas fuerzas es la de fricción, cuyo trabajo
reduce la energía mecánica del sistema. Esta disminución
está asociada con un aumento en la energía térmica.
La energía total E de un sistema es la suma de la energía
mecánica, la térmica y otras asociadas con fuerzas no
conservativas internas adicionales a la fricción:
E = Emec + Eter + Eint
Conservación de energía, caso general
En general, el principio de trabajo-energía dice:
Wext = ∆E
Si el sistema está aislado, entonces el trabajo hecho por
fuerzas externas es cero y la energía total E se conserva:
∆E = 0
( sistema aislado )
Ejemplo:
Una caja de 2 kg se desliza en una superficie horizontal
suave con una rapidez de 4 m/s. De momento se encuentra
con un resorte de constante elástica k = 10,000 N/m
colocado en una parte de la superficie donde hay fricción.
Calcula la distancia d que se comprime el resorte si la fuerza
de fricción cinética sobre la caja es igual a 15 N.