1. Métodos clásicos basados en el lema de Watson

c Grupo de investigación en Teorı́a de la Aproximación Asintótica
°
1.
Métodos clásicos basados en el lema de Watson
Hay muchos e importantes métodos basados en el lema de Watson (Lema de Watson, método de
Laplace, método de Perron, método de Saddle point, etc.). Sin hacer una descrición detallada, para hacernos
una idea de estos métodos, analicemos tres de los ejemplos más importantes: el Lema de Watson, el método
de Saddle Point y el método de Laplace.
Todas estas técnicas tienen un aspecto en común y es que están adaptadas a integrandos especı́ficos,
como muestra la siguiente tabla con tres ejemplos.
Método
Lema de Watson
Integral especı́fica Variable Asintótica
Z ∞
f (t)e−zt dt
z→∞
0
Z
b
g(t)exh(t) dt
x→∞
g(w)ezh(w) dw
z→∞
Método de Laplace
a
Z
Saddle point
Γ
Cuadro 1: Métodos clásicos de aproximación asintótica de integrales
donde Γ es un cierto camino en el plano complejo y f (t), g(w) y h(w) deben verificar ciertas propiedades
de analiticidad ası́ como poseer ciertos desarrollos asintóticos.
Lema de Watson (Watson, 1918)
El lema de Watson se utiliza para obtener aproximaciones asintóticas de la transformada de Laplace
para valores grandes del parámetro de transformación. Su expresión más simple es
Z ∞
F (z) =
e−zt f (t)dt, z → ∞,
0
donde asumimos que la función f (t) es analı́tica en el origen y
f (t) =
N
−1
X
ak tk+α + fN (t),
fN (t) = O(tN +α ),
t → 0+ ,
α > −1.
k=0
Observemos que intuitivamente tenemos que cuando <(z) crece, el valor absoluto de la exponencial de
la integral se concentra esencialmente en t = 0. De modo que para z grande, la principal contribución de la
función f (t) en el integrando la tenemos para t = 0, por lo que parece que tan sólo los valores cercanos a
Aproximación asintótica de integrales
2
t = 0 sean relevantes, de modo que tiene sentido sustituir la aproximación anterior de f (t) en 0 e integrar
término a término:
F (z) =
N
−1
X
k=0
Z
ak k!
+ RN (z),
z k+α+1
∞
RN (z) ≡
e−zt fN (t)dt.
0
Vemos claramente que la sucesión φk (z) = z −k−α−1 es asintótica para z → ∞. Además, Watson demuestra
que bajo ciertas condiciones para la función f (t) el resto satisface el orden RN (z) = O(z −N −α−1 ) cuando
z → ∞ (para más detalles ver [11]). De modo que podemos escribir:
∞
X
ak k!
F (z) ∼
.
k+α+1
z
k=0
En muchas ocasiones podemos acotar el error de la aproximación de la función f (t) en la forma
|fN (t)| ≤ cN tN +α , con cN > 0 (por ejemplo si f (t) verifica el test del error), con lo que obtenemos la
siguiente cota para la aproximación:
cN N !
(<(z))N +α+1
|RN (z)| ≤
Los dos otros métodos clásicos que vamos a presentar consisten finalmente en reducir la integral en
otra integral sobre la cual podemos aplicar el lema de Watson.
Método de Laplace (Laplace, 1820)
De forma general, el método de Laplace obtiene aproximaciones de integrales
Z b
F (x) =
exh(t) g(t)dt,
x > 0, x → ∞,
a
donde asumimos que las funciones g(t) y h(t) verifican las condiciones de regularidad necesarias. Vamos a
obtener por ejemplo el término dominante de la aproximación asintótica de la integral para x → ∞.
La idea subyacente en este método es similar al lema de Watson pero ası́ como en éste buscamos la
mayor contribución del integrando en las proximidades de t = 0, ahora buscamos la mayor contribución
donde la función h(t) alcance un máximo, para lo cual supondremos que
h0 (t0 ) = 0,
∃ t0 ∈ (a, b),
h00 (t0 ) < 0.
Sustituyendo en la integral h(t) por su desarrollo en t0
Z
F (x) = e
b
xh(t0 )
x
e
h00 (t0 )
(t−t0 )2 +···
2!
g(t)dt
a
√
y realizando el cambio t = t0 + u/ x queda
exh(t0 )
= √
x
Z
√
√
x(b−t0 )
e
x(a−t0 )
h00 (t0 ) 2
u
2
000
3
u x h 3!(t0 ) xu3/2 +···
g(t0 + √ )e
du.
x
|
{z
}
f (u, x)
Aproximación asintótica de integrales
3
Llamando −c = h00 (t0 )/2, la última integral podemos descomponerla como sigue:
Z
√
√
Z
x(b−t0 )
e
−cu2
∞
f (u, x)du =
x(a−t0 )
Z
−cu2
e
√
x(a−t0 )
f (u, x)du −
−∞
2
e−cu f (u, x)du
−∞
Z ∞
− √
2
e−cu f (u, x)du,
x(b−t0 )
donde se demuestra que los dos últimos sumandos son de orden O(e−αx ) con α > 0. Por tanto
½Z ∞
¾
¡ −αx ¢
exh(t0 )
−cu2
F (x) = √
e
f (u, x)du + O e
,
x
−∞
y desarrollando la función f (x, u) en potencias inversas de x
(
n−1
X
par si k par
ck ϕk (u)
f (x, u) =
+ fn (x, u), ϕk (u) =
k/2
x
impar si k impar
k=0
ϕ0 (u) = 1
tenemos finalmente


Z
Z
n−1

∞
∞
X ck
¡ −αx ¢
e
−cu2
−cu2
F (x) = √
e
ϕ
(u)du
+
e
f
(u,
x)du
+O
e
,
k
n

x  k=0 xk/2 −∞
−∞
|
{z
}
Rn (x)
xh(t0 )
considerando que los términos impares anulan la integral, y que se puede demostrar que bajo ciertas
¡
¢
condiciones sobre la función f el orden Rn (x) = O x−n/2 , tomando el término dominante, resulta
µ xh(t0 ) ¶
√
e
π
exh(t0 )
F (x) = √ c0 √ + O
,
x3/2
x
c
por tanto
x → ∞,
s
F (x) ∼
2π
g(t0 )exh(t0 ) ,
−xh00 (t0 )
x → ∞.
La expresión asintótica completa la podemos ver en ([16], pag 58).
Método de saddle point (Debye, 1909)
El objeto es aproximar integrales de contorno del tipo
Z
I(z) =
g(w)ezh(w) dw,
C
con g(w) y h(w) funciones analı́ticas, y z un parámetro grande. La función h(w) tiene un punto de silla
en w0 de orden m − 1 y es posible deformar el camino C en un camino Γ de descenso rápido de la parte
real de h(w) que pase por w0 (ver [[16], cap.2] para más detalles). Se demuestra que sobre el camino Γ
la función h tiene parte imaginaria constante =h(w) = cte, por lo que f (w) − f (w0 ) es real sobre dicho
camino de modo que a la integral
Z
Z
zh(w)
zh(w0 )
I(z) =
g(w)e
dw = e
g(w)ez(h(w)−h(w0 )) dw,
C
Γ
Aproximación asintótica de integrales
4
le podremos aplicar las ideas de Laplace anteriores, teniendo en cuenta que la máxima contribución está en
el punto w0 . Con estas ideas se tiene para z > 0, z → ∞,
Z
∞
X
Γ(k/m)
zh(w)
zh(w0 )
g(w)e
dw ∼ e
ck k/m ,
z
C
k=1
donde los coeficientes ck dependen de los coeficientes en el desarrollo analı́tico de g(w) y h(w) en w0 y del
camino C.
Re(h)
Im(w)
w0
Γ
Re(w)
Figura 1: Camino de descenso para Re(f (w)) en el punto de silla w0
Aplicando este último método puede obtenerse por ejemplo, un desarrollo asintótico de la función de
Airy cuando z → ∞ uniformemente en Arg(z) para |Arg(z)| < π/3,
Ai(z) ∼
2 3/2 ∞
e− 3 z X (−1)k Γ(3k + 1/2)
.
2πz 1/4 k=0
(2k)!9k z 3k/2
Referencias
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Aproximación asintótica de integrales
5
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[16] R. Wong, Asymptotic approximations of integrals, Academic Press, New York, 1989.
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