TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. MATEMÁTICAS II Pág. 1

TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. MATEMÁTICAS II
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Teorema de conservación del signo: Si f (x) es una función continua en x = a y f (a) 6= 0,
existe un entorno de x = a, de la forma (a − δ, a + δ) en el que la función tiene el mismo signo que f (x)
Demostración:
Supongamos f (a) > 0 (el caso f (a) < 0 se demuestra de forma similar). Como f (x) es continua en x = a, para
cualquier valor > 0 existe un valor δ > 0 tal que si |x − a| < δ, entonces |f (x) − f (a)| < , lo cual se puede escribir
ası́: x ∈ ((a − δ, a + δ)) ⇒ f (x) ∈ (f (x) − , f (x) + )
f (a)
> 0, para el que existirá el correspondiente valor δ0 , de forma que si
Como f (a) > 0, podemos coger 0 =
2
f (a)
f (a)
f (a) 3f (a)
x ∈ (a − δ0 , a + δ0 ) ⇒ f (x) ∈ f (x) −
, f (x) +
=
,
) ,
2
2
2
2
f (a)
> 0, c.q.d.
con lo que x ∈ (a − δ0 , a + δ0 ) ⇒ f (x) >
2
TEOREMA DE BOLZANO: Si f es una función continua en el intervalo [a, b], y f (a)·f (b) < 0,
existe al menos un punto q ∈ (a, b), en el que la función se anula, o sea, f (q) = 0.
Demostración:
Supongamos que f (a) < 0 y que f (b) > 0 (el caso f (a) > 0, f (b) < 0 se demuestra de forma similar).
Sea A = {x ∈ [a, b]
/
f (x) < 0}.
Es evidentemente un conjunto acotado superiormente, pues está incluido en el intervalo [a, b].
Es también un conjunto no vacı́o, pues f (a) < 0 y por tanto a ∈ A.
Entonces, podemos afirmar que existe ”q”, supremo del conjunto A (”Todo conjunto no vacı́o acotado superiormente tiene supremo”; esta última afirmación se conoce como ”axioma del supremo”; un axioma es una proposición
tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración).
Como ”q” es cota superior de A, y a ∈ A, es obvio que q ≥ a.
Como ”q” es la menor de las cotas superiores de A y ”b” también es cota superior, q ≤ b.
Por tanto q ∈ [a, b], y podemos usar si hace falta que f es continua en q.
Vamos a probar que f (q) no puede ser ni mayor ni menor que cero:
1o
Si f (q) < 0, q 6= b, pues f (b) > 0; como f es continua en [a, b], en particular continua por la derecha en
el conjunto [a, b), en el que está ”q”, por el teorema de conservación del signo, podemos encontrar un conjunto del
tipo [q, q + δ), en el que f tiene el mismo signo, (f < 0), pero entonces q + 2δ ∈ A, en contra de que ”q” es cota
superior de A.
2o
Si f (q) > 0, q 6= a, pues f (a) < 0; como f es continua en [a, b], en particular continua por la izquierda en
el conjunto (a, b], en el que está ”q”, por el teorema de conservación del signo, podemos encontrar un conjunto del
tipo (q − δ, q], en el que f tiene el mismo signo, (f > 0), pero entonces q − 2δ es cota superior de A en contra de
que ”q” es la menor de las cotas superiores.
Por tanto f (q) = 0, y ”q” no puede ser ni ”a” ni ”b”, pues f (a) · f (b) < 0.
Hemos encontrado q = sup A,
q ∈ (a, b),
f (q) = 0,
c.q.d.
I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matemáticas - Curso 2011 - 2012
TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD. MATEMÁTICAS II
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Teorema de acotación sobre un intervalo:
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces está acotada en [a, b]
Demostración:
Se hace por reducción al absurdo. Supongamos que no está acotada. Dividimos el intervalo a la mitad,
obteniendo dos intervalos; en al menos uno de ellos, f no estará acotada. Tomamos este intervalo y lo volvemos
a dividir a la mitad, y ası́ sucesivamente, obteniendo una sucesión infinita de intervalos, cada uno conteniendo al
anterior y en los que la función no está acotada. Cada intervalo tiene una amplitud mitad que la del anterior, por
lo que la intersección de todos ellos se reduce a un punto, llamémosle ”p”, que pertenece a [a, b].
Como f es continua en [a, b], f es continua en p, por lo que existe un entorno de p donde f está acotada.
Pero, por pequeño que sea este entorno, contendrá alguno de los de la sucesión anterior, en los que f no está acotada,
llegándose a una contradicción.
Esto implica que la hipótesis de partida, que f no está acotada, es falsa, por lo que f sı́ está acotada en
[a, b], c.q.d.
Teorema de Weierstrass: Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces alcanza en
[a, b] su máximo y mı́nimo absolutos.
Que f alcanza el máximo significa que: ∃ c ∈ [a, b]
/
f (c) ≥ f (x)
∀x ∈ [a, b]
Que f alcanza el mı́nimo significa que: ∃ d ∈ [a, b]
/
f (d) ≤ f (x)
∀x ∈ [a, b]
Demostración:
Vamos a demostrar que se alcanza el máximo (la demostración de que se alcanza el mı́nimo es similar,
inténtese como ejercicio).
Por el teorema anterior, f está acotada en [a, b]. Entonces el conjunto imagen f ([a, b]) es un conjunto acotado,
en particular, superiormente, y como no es vacı́o, tendrá supremo, llamémosle M . Si demostramos que hay un valor
”p” tal que f (p) = M , habremos terminado la demostración.
Supongamos que no, que no hay ningún x ∈ [a, b]
/
f (x) = M, o sea f (x) 6= M
∀x ∈ [a, b]
1
es
continua
en
el
intervalo
[a,
b],
pues
f
lo
es
y el denominador
Entonces la función auxiliar(∗) g(x) = M −f
(x)
no se anula en dicho intervalo. Obsérvese además que g(x) > 0, ∀x ∈ [a, b], por ser M el supremo. Como g es
continua, por el teorema anterior, g está acotada en [a, b], o sea, ∃K > 0 tal que:
1
1
1
K > g(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] de donde:
K > M −f
f (x) < M − K
< M,
(x) > 0;
K < M − f (x);
1
∀x ∈ [a, b], lo cual contradice que M es la menor de las cotas superiores (hemos encontrado otra cota, M − K
,
evidentemente menor).
Como al suponer que no hay ningún x ∈ [a, b]
/
f (x) = M, hemos llegado a una contradicción, , se
deduce lo contrario, o sea, que existe un valor ”p ∈ [a, b]” tal que f (p) = M. c.q.d.
(A las demostraciones de este tipo se les suelen llamar ”demostraciones por reducción al absurdo”; se supone lo
contrario de lo que pretende demostrar y se llega a una contradicción, por lo cual lo que se quiere probar es cierto.)
Teorema de los valores intermedios:
Si f es una función continua en el intervalo [a, b], y ”k” está comprendido entre su máximo ”M ” y mı́nimo ”m”
absolutos, o sea, si m < k < M, entonces existe al menos un valor
p ∈ [a, b], para el cual f (p) = k.
Dicho de otra forma, Si f es una función continua en el intervalo [a, b], f toma todos los valores intermedios ”k”
comprendidos entre su mı́nimo ”m” y su máximo ”M ”
Demostración:
Por el teorema de Weierstrass, se alcanzan el mı́nimo ”m” y el máximo ”M ”, por lo que existen c, d ∈ [a, b]
/
f (c) =
m, mı́nimo
y
f (d) = M, máximo.
Dado un valor k, m < k < M, sea la función auxiliar(∗)
g(x) = f (x) − k; g es continua
en [a, b], por serlo f.
g(c) = f (c) − k < 0; ( si fuera g(c) = 0, f (c) = k y ya habrı́amos terminado.)
Además,
g(c) · g(d) < 0
g(d) = f (d) − k > 0; ( si fuera g(d) = 0, f (d) = k y ya habrı́amos terminado.)
Entonces, por el teorema de Bolzano,
∃ p comprendido entre ”c” y ”d”, y por tanto p ∈ [a, b] que cumple
que g(p) = 0;
f (p) − k = 0;
f (p) = k, c.q.d.
(∗)
Se habla de elementos auxiliares en las demostraciones cuando nos ”inventamos” algo que nos ayuda a
realizarlas.
I.E.S. ”Carolina Coronado” - Departamento de Matemáticas - Curso 2011 - 2012