Teoremas de las funciones continuas

Teoremas de las funciones continuas
1.- Teorema de Bolzano (o de los ceros): “Si f , continua, tiene distinto signo en
los extremos de un intervalo cerrado, se anula en algún punto intermedio”.
f : [a, b] → R, f continua en [a, b], f (a) · f (b) < 0 =⇒ ∃c ∈ (a, b) / f (c) = 0.
D: Dividimos [a, b] por la mitad. Si en el punto medio f vale 0, hemos concluido.
Si no, elegimos el semiintervalo [a1 , b1 ] en cuyos extremos f tiene distinto signo.
Lo dividimos de nuevo. . . Repitiendo la operación, obtenemos una sucesión de intervalos encajados [an , bn ], de longitud (b − a)/2n , que define un punto c en el que
la función es nula. De lo contrario, al ser f continua, lı́m f (x) = f (c) 6= 0 y exisx→c
tirá un entorno de c en el que f toma el signo del lı́mite (prop. 3 de los lı́mites).
Pero en todo entorno de c existen puntos en que f es mayor que 0 y puntos en los
que es menor. Entonces, por reducción al absurdo, f (c) = 0.
2.- Propiedad de Darboux (del valor intermedio):“Si f , continua, toma distinto
valor en a y en b, toma todos los valores intermedios al menos una vez.”
Sea, por ejemplo, f (a) < f (b). ∀y / f (a) < y < f (b) =⇒ ∃c ∈ (a, b) / f (c) = y.
D: Definimos g(x) = f (x) − y, que cumple g(a) < 0, g(b) > 0. Entonces, por el
teorema de Bolzano, ∃c ∈ (a, b) / g(c) = f (c) − y = 0 =⇒ f (c) = y.
3.- Teorema de Weierstrass: “Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza en él un máximo y un mı́nimo”.
D: a) f está acotada en [a, b]. Supongamos que no. Dividimos [a, b] en dos semiintervalos. Elegimos aquél en que f no está acotada (al menos no lo está en uno
de ellos). Lo dividimos de nuevo. . . Repitiendo la operación, obtenemos una sucesión de intervalos encajados que define un punto α, tal que f no está acotada en
ningún entorno suyo. Pero, al ser f continua, lı́m f (x) = f (α) y f está acotada en
x→α
un entorno de α (prop. 2 de los lı́mites), con lo que llegamos a una contradicción.
b) Al ser f acotada en I = [a, b], f (I) tiene supremo M e ı́nfimo m. Veamos que
son máximo y mı́nimo (f los alcanza). En efecto, si M no es alcanzado por f , la
función g(x) = 1/(M − f (x)) será continua en I, por lo tanto acotada. Entonces
1
∃k /
< k, ∀x ∈ I =⇒ f (x) < M − 1 , y M no serı́a el supremo.
k
M − f (x)
Es decir, ∃x1 , x2 ∈ I / f (x1 ) = m, f (x2 ) = M .
4.- “Una función continua transforma un intervalo cerrado en un intervalo cerrado (es
decir, un intervalo compacto en un intervalo compacto)”.
D: a) Por el teorema de Weierstrass, f , continua en [a, b], alcanza en él un máximo
M y un mı́nimo m.
b) Por la propiedad de Darboux, f alcanzará todos los valores comprendidos entre
m y M , con lo que [a, b] se transforma en [m, M ].
c) Si además f es monótona, [a, b] se transformará en [f (a), f (b)] (si es creciente)
o en [f (b), f (a)] (si es decreciente).
5.- “Una función continua transforma un intervalo en un intervalo” (J. Burgos, pg. 152).
Ese intervalo será (α, β), [α, β], [α, β) ó (α, β], con α = ı́nf f (I), β = sup f (I).