x - Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales

C o n f e r e n c i a s sobre teoría de la integral
por
Sixto Ríos
(Conclusión) (*)
§ XIV.
FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA
Llamamos curva en un espacio R„ a un sistema de u funciones uniformes
Xj = .r¡(t) u = 1 , 2 ,
, //) de un parámetro / definidas en un intervalo
a ^_ t < l>. (Sobre estas funciones no añadimos hipótesis alguna).
Los razonamientos que siguen los hacemos por comodidad para n — 2, pero
son inmediatamente aplicables al R,, .
Consideremos un número finito de puntos de la curva correspondientes a
los valores tí = a, A2,
, tm= b del parámetro t; La longitud de la poligonal que los tiene por vértices es
A = y V[x (t,) - * (¿/-TÜM7 lYvJ^yïtj^Y
= 1 l/(Ä^j«~+7A v/)!
y se llama longitud de la curva al extremo superior, supuesto finito, de las longitudes de las poligonales inscritas (Peano).(**). En este caso, la* curva se dice
1*1 los continuación de lo publicado en esta Revista (tomo XXXVI. págs. 30(1-354).
(**) I.a definición que figura en los .cursos corrientes de cálculo es la de Jordan y Scheffel
que es menos general, pues exige la existencia del límite de las longïtudes de cualquier sucesión
de poligonales y su independencia de la sucesión auxiliar de puntos elegida, con tal que la máxima cuerda tienda a cero. En el caso de curvas continuas se demuestra que ambas definiciones son1
equivalentes.
— 419 —
rectificable o de longitud finita; en caso contrario se dice que no es rectificable
o de longitud infinita.
La condición necesaria y suficiente para que mm curva sea rectificable es que
las sumas
in
m
ï l A -v (t) I = y/ [ x (tj) — .r (/,_,) J
„
S ' A v (t) \ = ^ | _v (tj) - y (;•/_,) l
tengan un ext. finito.
En efecto: es evidente que
y i .v aA-,v (tj_¿ \ <\
_2" i_v(¿/)—v(¿/_,) i <\
>~ '
V
.
¿/j
l ,- / J .\
.-.(>•
l
. L.
1
XT
>
luego si la curva es rectificable las sumas de [i] y [2] están acotadas superiormente y tienen un extremo superior finito, y si esto ocurre, A está acotada superiormente según 3], es decir, la curva es rectificable.
Si al ext. de los números lli A x (t) \ correspondientes a todas las subdivisiones posibles del intervalo (v?, b] lo llamamos variación total de la función
-r(t] en'dicho intervalo (y lo análogo para j'.(/)), el teorema anterior se puede
enunciar asi: La condición n'ecesaria v suficiente para que la curva
.v = . v ( 0 )
(a <,t<t>)
, V =
V (/) \
sea rectificable es que las dos funciones tengan variación total finita. Tales funciones fueron llamadas por Jordán de variación acotada.
Propiedades.—Sea y =f\.r) una función unívoca y acotada en un intervalo
finito (a, b}. A cada subdivisión de (a, f>) mediante puntos intermedios le corresponde un número z> = S'|/(#,•) —/(*/•-O I que es lo que hemos llamado la
variación total de la función correspondiente a esa subdivisión. Designemos
— 420 —
por p la suma de aquellas diferencias que son positivas y por — n la suma de
las negativas; es claro que se tienen las igualdades siguientes:
v — p^-n ; S [/(*;) -./>,•_,)] =/(*) —/(a) =-p - n
luego
» = 2/+/»-/(*)
» = 2 »+/(*)—/(a).
M
[5]
Haciendo todas las subdivisiones posibles, p, n -y v reciben sucesivos valores
y, sif(x) es de variación acotada, es finito V = ext. v y, en virtud de [4] y
[5], también son finitos P = ext. / y N = ext. n, y será:
V = 2 P + /»_/(¿) ; V = i.N f/(¿)-/(<7)..
Consideremos ahora un intervalo variable (a, x) contenido en el (a, b}. A cada
valor de x corresponderán sendos valores de V,P y N (llamados, respectivamente, variaciones total, positiva y negativa), que serán funciones de x, entre
las que existirán las igualdades
V(.v) = 2P(x)+f(a)
-f(x)
V(*)^2N(-r)-f./(*)-/(<7)
de las que por resta se deduce
/ (.r) =/ (a) -f P (.r) — N (.v) ,
expresión que recibe el nombre de descomposición canónica o de Jordan, y
como P (x) y N (x) son no decrecientes, resulta:
Toda función de variación acotada es diferencia de dos funciones no decrecientes.
Todavia más; poniendo
/ (.vi = \ f ( n ) -f P (.v) + .r] - [N í.r) 4- .Y]
se puede asegurar que f ( x ] es diferencia de dos funciones efectivamente crecientes.
— 421 —
Recíprocamente: la diferencia de dos funciones no decrecientes es una función
de variación acotada. En efecto: si f ( x ) = <p (x) — § (x) tendremos:
| /(*,-) -/(*,-_,) | = | < p (*,-) - » (*,-_,) - 6 (.v,) + <}, (*,-_,) | <. | <p (*,-) - ? (A:/,,) | +
-f | 4 (-v/) - <], (*/_,) |' = » (.xv) - <p (*/_,) + '} (*V) - <]< (*,•_,)
por ser tp y ij> no decrecientes. De aquí:
Si !/(*,) -/te, O I < £í [<? M - <? (*/-,) + + (*¿) - '* (*'•- 01 =
= <p (¿) - ,p («) + | (¿) _ <(, (a)
y como esta cantidad es finita, -f(x] es de variación acotada.
Esta propiedad se puede tomar como definición de las funciones de variación acotada y su aplicación conduce a la demostración inmediata de los siguientes teoremas que pueden servir de ejercicio al lector.
La suma, diferencia y producto de dos funciones de variación- acotada es fitmbie'n una función de la misma clase. La recíproca-
f (x)
de una 1 tuición de varia-
don-acotada también lo es siempre que \ f (x) | se conserve superior a un número
positivo fijo.
Teorema.—Si f (x) es continua y de variación acotada, V (x) es continua.
Dado s >• o arbitrariamente pequeño, se puede determinar una subdivisión
del intervalo (a, x] con un punto de división x suficientemente próximo a .v y
tal que la variación correspondiente sea v >> V (x) — e y, además, | f ( x ) —>
—/(•*"') I < E.--La variación v = z / — \ f ( x ) — f ( x ' ) \ es una de las correspondientes al intervalo (a, x'}, y, por tanto, V (x'} > v' > V (x) — 2 e.
Como V (x') es'no decreciente, resulta que V (x') -*• V (x) cuando x' -+.x.
Análogamente resulta la continuidad por la derecha.
Corolario.— Una función continua de variación acotada es la diferencia de dos
funciones continuas no decrecientes.-\Puss de las expresiones
V(*) = 2 ?(*)+/<«)—/(*) , V = 2N(*)+/(*)-/(a)
resulta que por ser f(x) y V (*) continuas, lo son P (x) y N (x).
Notas y ejercicios
I.—Hay curvas rectificables (P) y no rectificables (J). He aquí un ejemplo.
i
'2 r + i
Definimos en (0,1), /(.v) = —— para ,r = ——-— (r, racional) y J (x) = o en los
— 422
—
demás puntos. Probar que con la definición del texto (que es la'.de Peano) la longitud de este
«
2»- i
arco es i -f 2 J-^ - 2
„ =,
2 "
= 2. En cambio con la definición, de Jordán no es rectificable.
2.— Sea y = f ( x ) una función uniforme en (a, b) y rt = ,i'j, ,r2 . . . " . . ,r„ = b una
subdivisión dei intervalo. Sea M , - , y ni,- ios extremos superior e interior de / (.i") en
(xr, .r,-f,). Study (Math. Ann, t. 47) dice que/(.r) es de fluctuación total acotada en
(a, ó) si el ext S ( M / — m r ~ ) es finito, y demuestra que la clase de estas funciones
coincide con las de variación acotada\
3.—La función /'(-'') = X* sen —- , f\o) — o es contínua y diferenciable en cualquier
intervalo que contenga .i' = o, pero no es de variación acotada.
4.—Funciones dé intervalo. Funciones de conjunto.—Sea r ~ / (.r) una función de
variable real definida en un intervalo (a, //}='!„. Llamarnos •incremento de /(.(') en el intervalo (p, q) = I -<( I0 a j (q)—f {P) — I1' (I)- -^ cada intervalo I corresponde un valor
F (I) y se dice que F es unse función de intervalo. Recíprocamente: dada una función de
intervalo F (I), queda definida inmediatamente (salvo una constante aditiva) una función de
punto f(x\ cuyos incrementos son los valores de F (I), pues
f(t) =/(/>) 4- [/(?) -/(/)] =/w + * O).
Por generalización natural se llega al concepto de función de conjunto y — F (C) en
R„ . Llamaremos así a 'una correspondencia que define para cada subconjunto C de un
conjunto E de K« un nùmero real y. P. e., definida una función / | P ) sumable en E, la
/ ( P i ¿ l ' = F (C)
es una función de conjunto definida para todos los subconjuntos C medibles.
Caso particular db éstas son las funciones de dominio que se presentan en Física de
modo más natural que las funciones de punto. Así, dado un cuerpo no homogéneo, el volumen, la masa, el calor necesario para elevar un grado su temperatura, son funciones de
dominio.
§ XV.
INTEGRAL INDEFINIDA (L) Y FUNCIÓN PRIMITIVA. — NÚMEROS DERIVADOS.—
DERIVACIÓN DK VAS KUNCIONKS »E VARIACIÓN'ACOTADA
Nos limitamos en lo que sigue a considerar funciones de una variable real,
aunque las demostraciones se pueden generalizar.
4^3
Dado un intervalo lineal (a, ó) = K utilizaremos la notación
b
í f ix) d x — i f (x) d.v
¥•
"
y convendremos que
a
b
}dx.
ff(*)<l*=*-jf(.
Se dice que tp (#) es una función primitiva de f (x) en el intervalo (a, ò) si
para todo punto de él es <?' (#)=/(#),, y se llama integral indefinida de/(»
a toda función F (x) tal que sea
x
.F(*) = C + I f (t) ä t
(*).
En la integral de Cauchy se verifica, según sabemos (§ IV), que la integral
indefinida es una función primitiva.
Si prescindimos de la continuidad y consideramos la-integral (R) ya no se
puede afirmar que la integral indefinida
x
F(.v) = C-f (
f(x)dx
li
admita derivada, y aun teniéndola, puede no ser igual a /(.r).
I*)
Frecuéntemele se upl¡« la locución integral infinida a la función de intervalo:
?.
>t> ( « , ? ) = =
^f.(x)d.\:
K
El paso de esta forma de la integral indefinida ala anterior como función de punto e, inmediata (véanse notas al g XIV), pues:
< D ( < * , ß ) = K(ß) — F í « ) A veces se aplica I»-noción de integral indefinida en un sentido más amplio: como función de
conjunto inedible:
>F(E)=
if(x)dxE
Veremos más adelante que esta función Y (E) se deduce también de la anterior.
(Ver los ejemplos en el § IV). En este caso la integral indefinida no es una
función primitiva. También puede ocurrir (ejemplo de Volteira, citado en el
§ IV) (*) que una derivada $' (x) = f ( x ) no sea integrable (R); una tal función
tiene primitiva, pero no integral indefinida.
Vemos, pues, que en cuanto se sale del campo de las funciones continuas
(y, por tanto, de la integral (C)), aparece una divergencia entre los conceptos de
función primitiva e integral indefinida.
Mérito grande de la teoría de Lebesgue es haber logrado relacionar estrechamente estas ideas, mediante su concepto de integral, demostrando que:
Si f (x) es una fundón snmable en un intervalo (a, b) la función
jk
F(A.-) = C+
+
\f(x)tlx
ff(*)
tiene en can todos los puntos del intervalo una derivada que coincide con f (x).
Si generalizamos el concepto de función primitiva de f(x\ llamando así a
una función O (x) tal que en casi todos los puntos del intervalo exista í>' (x) y
sea igual a f(x), el teorema anterior expresa la identidad de los conceptos de
función primitiva e integral indefinida (L).
(*) Pongamos
F(*) =
.v2 sen —r-
para
o <^ x <» i
Resulta que F (x) es continua en el intervalo (o, i) y como es
x* sen —lim. —:
í—= o
x —*• o
X
resulta:
F (o) = o
I
2
.V1
X
, F' (x) = 2 x sen —;
t
cos —
:
X¡
para o <; x <> i. Esta función F' (x) tiene evidentemente primitiva, pêro vamos a vèr que no es integrable (R). Desde luego basta observar que no es acotada, ya que poniendo
i
.Y, = (2 n it)
resulta
j
F' (A-,,) = - '_ ~- cos A-~s = - 2 (í n x) * -»• — w
En el ejemplo de Volterra, citado, la función F' (.r) es acotada, pero el conjunto de sus punto?
ile discontinuidad es de medida no nula. En cambio, la función del ejemplo que consideramos .^"
esta nota es continua salvo en el punto x ~ o,
— 435 —
Nuestro objeto va a ser ahora la demostración de este importante teorema
que permite considerar la integración y la derivación como operaciones inversas.
Números derivados (Dini).—Su definición y notación es la siguiente:
/
)
ZV,)=
a5.C'+*>-^*'
; /;«*,)=
um-i ^t±^-¿w.
~i
i
i
/2
~t~
•
n
A —>-f-o
7~<*,)-
— •. •
«S -J^L+^/feL
A-*-.
A—>•-}-•
; /'W-
«
1U.
_/£d4=¿ÍSL
A-Í.-O
*
y se llaman números derivados superior e inferior a la derecha y a la izquierda,
respectivamente.
Estos cuatro números existen en todo punto para toda función y pueden ser
finitos o infinitos. Si son iguales su valor se llama derivada o coeficiente diferencial de la función en el punto considerado y se representa por
.
,.
/(*i+A)-/(*i)
fll
/'(*i)=
Um
A-*»
h
Si es f'+ (x¿) =f'+ (x±¡ se dice que hay derivada lateral a la derecha y se
denota así f'+ (x^. Análogamente se define la derivada a la izquierda /'_. (¿q).
Es claro que si /'+ (x¿) = /'- (x¿) existe la derivada /' (xj.
Ejemplo: sea f(x) — x sen — para x 4= o y /(o) = o; en el origen los núx
meros derivados son:
f'+ (o) — i
; /^ (o) — — i
V
/
T
Ç'
'
K i
•j <?'
{ ~
!
o
~*
r
X
m.
Fig. is.
; /l(o) =: — i.
Teorema de Sierfiinski-.— El conjunto
de los puntos en que las derivadas f ' ^ _ ( x ) ,
f'-( x ) de cualquier función f(x) exilien y
jo« desiguales es numerable.
í
l
!
"T
; /1 (o) = i
~v
Sea E el .conjunto en que /'_(;r)<T
<^f'^.(x). Consideremos todos los números racionales, ordenados en una sucesión
r A , /',, . . . . , / „ ,
Si ^ es un punto de
E, existe un entero mínimo /t, tal que
/'_(#)• <C ''A <C /'+(-1')- Además existe
otro entero mínimo m tal que r,H<^x que
verifica
^
^ © - / ( • * • ) < > • * ( £ — A-)
fi]
-
4 26
-
para r,„ <C S; <C -t", y. un índice.niínimo » para el que .r <C >'«• y
/(Ç)-/» > r« (£ --v)
[2!
siendo .r <1 5 < /•„ .
Las relaciones [ i ] y [2] pueden reunirse en la siguiente
/(ç)-/í*) >>-*(£--v)
<'•„,<£<>•„
[3l
; ,5^i.v)
A cada punto r de E corresponde un entorno definido por la terna (¿, ;//, w),
en el que se verifica (3).
Además, a puntos diferentes de li corresponden siempre ternas distintas.
Pues si a A\ y ,r2 r|= .r{ correspondiese la misma, terna, haciendo en. [3] x — xl
resultaría
lo que es absurdo.
Como el conjunto de ternas (k, in. n) es numerable, resulta que K es numerable, c,- q. d.
De> ií't/t'ión ile las funciones de variación <ic<tt<i<¿a.
Nos proponemos probar que toda ¡unción tie variación acotada en un intervalo (a, b) fosee derivada linha ci/ cnsi toiio ci intervalo.
No deja de sorprender esto si se compara con la existencia de funciones
continuas que carecen de derivada en todos sus puntos (Xotas §-lVi,
Antepondremos el siguiente lema, análogo al de Borel-Lebesgue, pero válido para conjuntos no medibles.
Lema de Sicrpinski (*).—Supongamos que cada piti/!n x df un conjunto b contenido en (a, b) es c.vlietiio izquierdo de al menos un intervalo o (x) = ( x , x -f- h , !
de una família êf. Dado un'número arbitrariamente pequeño s ^ > o , existe u>1
nit nte f o finito N = N (s) de intervalos S (x t ), â (x2), . . . ., o ( x - j ) de 3 na raspantes •}' tales que Ia medida exterior dei conjunto de los puntos de E no cubiertos
por estos intervalos es < e.
(*i Futi J. Alatli., t. IV, p. 2 0 l .
4^7 —
Sea E, el conjunto de todos los puntos x de E para los cuales existe al menos un intervalo ô (.r) de ff, que tiene x por extremo izquierdo y de longitud
i
h, > — . Evidentemente es:
«
E !=
lim
H •• -> OC
luego para un k suficientemente grande:
I EI-
| E* ¡ < -?-
Sean a^ b, los extremos inferior y superior de E¿ y pónganlos
¿i - a, = / , T] =
e
í(*/+.i) '
Como flj es el extremo inferior de E¿ , existe un punto xí de E¿ tal que
a
i > *i <C ai + TÍ- Sea ?(.r1) = (A-1, ^ + /*„) el intervalo de ^de longitud //,, > —
K
que desde luego existe por definición de E¿ .
Si existen puntos x de E¿ tales que x >-_*, -^- hXi, sea a., su extremo .inferior. Entonces existe un punto ,v.2 de E* tal que a,¡ <_ x.,_ < aa + ri Y un intervalo \ (xt) = (*•,, .r, -f- /z,tj de ^ de longitud hxt > — . Si existen puntos .r
R
de EA tales que x > .v.2 -\- /ix¡ se llegaría del mismo modo al intervalo í (.•»•„) y
así sucesivamente.
i
Como los intervalos ô (^), 5 (*,)
son de longitud "> —- y E*- está contenido en (<i, ó), la sucesión de dichos intervalos es finita. Si 8 Uv) es el último, se tiene:
.VN < ¿i <, -v,N -f A«s
Üesde luego será:
•*», + ^.+
+*.„_,<' : A , , . > j ( / = r . a , . . .
y por tanto:
. N ~ ~ ' < / , es decir:
N < k / -+- i
— 428 —
Si designamos por S el conjunto suma de los intervalos cerrados
5 (*i) , § (xt)
, S (*»)
y por T el conjunto suma de los intervalos cerados d(x;) = (x ¡ — y¡ x;) resulta inmediatamente: E¿ -< S -\~ T, y, como E¿ -< E está E¿ -< E (S +T); luego
I E* I < | E (S + T) | ,
El conjunto S + T es medible, de donde:
|E| = | E(S + T) | + | E —(S + T) |
luego teniendo en cuenta [ij:
I E - (S + T) | <: | E | _ | E* |< -Î-
y como
E — S -< [E — (S -(- T)] -j- T
resulta:
E-S | < | E-(S + T) | + W ( T ) < ± + N . 1 < ^ - + -1 = 8 ,
c. q.d.
Teorema 1.— Tuda función monótona (continua o no) en un intervalo (a, b) tiene en casi todos los puntos de él derivadas laterales f'+ (x] }> f'_ (x).
Supongamos, p. e., que la función sea no decreciente. Se trata de demostrar
que el conjunto
N = E.[/+ (*) >/+ (*)]
es de medida nula. Si son « >.t/ dos números racionales, N es la suma de la
infinidad numerable de,conjuntos:
N (w , v) = E \f'+ (x) > « > v >f'+ (x]\
y bastará probar que cada uno de estos N («, v) es de medida nula.
Supongamos que uno de estos conjuntos A = N (M, v) no sea de medida
nula, es decir que | A | = ¡ x > o ; dado el número arbitrariamente pequeño
E > o, existe un conjunto abierto G tal E X G X («, b) y m (G) <^ ¡j. -(- s. (*).
(*) El teorema li del § li sólo afìnmi que | G | < u. -j- =. pero como G es abierto, es medible,
luego | G | = m (G)/
429 —
En un punto x de A es: v^>j'+(.r); como A ^ G , existe un //.,>• o tal,
que el intervalo 8, = (x, x -^ k, ) es interior a G y que
J^±^f=f^L<v
hx.
[2]
Según el lema de Sierpinski existe un número finito de intervalos
[3]
no rampantes, interiores a G, y tales que la parte A t de A interior a la suma
de estos intervalos es de medida exterior | AÍ >• ¡t — z.
Como m (G) -< ¡i -f e, resulta:
/»*,-!-A« +
+ A* M <ii4-i
[4]
Si designamos por V [/(.r), ^,
S*J la suma de incrementos de / (x)
relativos a los intervalos 8,,
î*/;, se tiene
V [/(-r),?,,,
0,,,10^ + s)
Por ser Aj -< A, y de la definición de N («, a) resulta que para todo punto /
de A! es /'+ (t) > ¡i; luego existe para todo nùmero / de A! un número K, > o
tal que el intervalo dt== (t, t-\-Kt} es interior al mismo intervalo [3] a que
pertenece t y es:
-^±ft=Ä.>„
K<
[5]
Según el lema de Sierpinski hay un número finito de intervalos
at^dtí
d,m
[6]
no rampantes y tales que la parte A, de A t cubierta por los intervalos [6] es de
medida exterior | A, | > | A t | — s > ¡t — 2 s, luego la suma de las longitudes
de los intervalos [6] es
K,, + K„-f
+ K,„, >|i • 2 î
-
4^0 —
y, en virtud de '[5],
v [/W , i rf,
4 l>«(n — 2 . )
[7l
Por ser f (x) no decreciente y cada intervalo [6] interior aun intervalo [3] es:
. V [/(*>,8*,,5«,
',»*„] > V[/(*),¿,
¿y
estoes: f (¡i-|-s) >• M (¡t ^ — 2 s), y como s es arbitrariamente pequeño resulta
v \i > it ¡t, y al ser ¡i ^> o, es ?'> «, contra la hipótesis de que v <^u.
Para la derivada a la izquierda la demostración es completamente análoga
(o bien se considera la función —/(— x).
Además dichas derivadas son finitas en virtud del siguiente teorema:
"U.—Si f (x:) es fio decreciente en (a, b), el conjunto E de los puntos x en que es
f '.j. (x) = -)- ao ¿r c/f medida mila.
Sean ¡i =' | E | y / un nùmero natural cualquiera. Por ser /'4. (x) = -f °°
exisfe un número hx > o, tal que .r -j- Â t < é y que
/(* + /;,) -/(*)
¿
^? •
Todo punto x de E es, pues, extremo izquierdo de un intervalo S c = (#, x 4"
-)- Ã r ) y, en virtud del lema de Sierpinski, existe un número finito de intervalos *5V., , í r j
Bts no rampantes y tales que la medida exterior del conjunto
de puntos de E que no pertenecen a dichos intervalos es < —
; luego la medi2
da exterior del conjunto de puntos de E contenidos en ellos, y, con mayor rali
zón, la suma de las longitudes de los mismos es ~^>— •
Pero por ser / (.r) no decreciente:
/(b) -/i«) -^ y] \f (A-, + h^} -/(•»•*)] > / 2" *'* '
í="i
*= i
luego
„^Jj/i^-/^]
;
P
y como/ es arbitrariamente grande, resulta ¡i <¿ o, esto es, ;« (E) = o, c. q- d-
— 431 —
Demostrada la existencia de derivadas laterales-f' + (x) y /". (.r) finitas en
casi todos los puntos del intervalo, como consecuencia inmediata del,teorema
de Sierpinski resulta:
III.—-Toda función f (x) monòtona en.(a, , b) tiene en ccisi to<l¡> el intervalo una
derivada f (x) finita.
Como toda función de variación acotada es diferencia de dos monótonas
resulta: •
IV.— Toda fundón de variación acotada en la , h) tiene en casi todo el intendilo derivada finita.
Xotas y ejercicios
1.—El teorema IV fue demostrado p.or Lebesgue .utilizando su integral .al final de su
famoso libro (l." ed., pág. 128). Como se ve, el resultado es independiente de la teoría de
la integración y aún de la teoría de la medida, ya que únicamente interviene la de conjunto de medida nula que es inmediata. Ello ha dado origen a una serie de trabajos de
Faber, Young, Carat'iéodory, Vallée-Poussin, Steinhaus, Banach, etc., dedicados a la simplificación de la demostración. Nosotros hemos adoptado el metodo de Rajchman y Saks (*)
que es quizá el más breve. Merece destacarse un método ingeniosísimo de F. Riesz (**) que
no utiliza teoremas especiales de recubrimiento y que le ha permitido hacer una exposición
de la teoría de la integración a la manera clásica, comenzando por la teoría de derivadas.
2.—-KVmétodo utilizado en esta lección permite demostrar fácilmente el siguiente teorema de Fubini: ('na serie convergente de funciones no decrecientes f>nede ser diferenciada
termino a término cu casi lodo punto del intervalo de convergencia.
3.— El teorem». Je Sierpinsla es particularmente notable porque no hace ninguna hipótesis sobre la función í(x]. Muy escasos son los teoremas que se refieren a propiedades
de todas las funciones reales (en el sentido de Dirichlet). ('¡temos un bello teorema de
Froda: Toda función de variable real posee, a -lo sumo, un confunto numerable df discontinuidades de i." especie.
4.—La función
,- /
i\
/ (.v) --.- y .v 11 -f- .v sen — I
para .v .> o,
/(.*)'=--- I/-.V |i
/(o) = o, admite derivada /"' (.r) en todo punto y es /' (oj ~ 4- -^ .
5.—La función
/"(.->•)--.vji -h-'- sen flog .Vs)I . pfira
.\- jr: o ,
es continua y monótona, pero no tiene derivada en x — o (***).
(*) FiiiidaiHfitta Math., t. IV, j\ 204..
(**) Acias del Cong'-esp Internacional de Zurich, t. I. p. 258.
Annali della'R. Scuola A*. Sup. di Pisa, 1936, p. u»i.
(***) Pnngshcim, Enciclopedia, II, A, I, p. 22.
432
§ XVI. DERIVACIÓN DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS
Hemos llamado integral indefinida de una función f(x), sumable en un intervalo (a , b}\ a la función
X
F(*) = F(«) +
f/(t] dt
para todo a < x < è.
Veamos algunas propiedades:
1.— Toda integral indefinida es una función continua. Pues
x 4. /í
%
.t -)- A
F (,v 4- /;) — F (.v) = f f (x) d x'— f f (.v) dx = f f (x) d x
que tiende a cero con h (§ VII!, teorema V).
\\.-La integrai indefinida de una función no negativa es una función no decreciente.
Ya que
,+*
F (x 4- h) — F (x) = I f (x) d x > o
pues
f (x) > o
III.— Toda integral indefinida es una función de-variación acotada. En efecto:
si f (x) > o lo demuestra la propiedad anterior y sí f (x) no es de signo constante sabemos que es f (x) =/t (x) —/j (x) (siendo /t (x) > o ;/3 (*•) > o, § VIII, c),
luego
x
x
F (x) = F (a) -f J/, (*) í/ * - j"/5 (*)rf-v
es decir, F (x) es la diferencia de dos funciones acotadas (por ser / (x] sumable)
y no decrecientes, luego es de variación acotada.
Derivación de la integral indefinida.—Por ser
x
F(*) = F(«)+ j
f(t)dt
de variación acotada tiene derivada finita F' (x) en casi todo el intervalo (a , ¿),
según el teorema fundamental. Se trata ahora de probar que en casi todo él es
F' (x)—f(x). Necesitamos el siguiente
Lema.I.—Si <p (x) es sumabley
x
/ <?(f)dt>
para todo punto x del intervalo (a , b), es tp (x) = o en casi todo el intervalo.
Si no, seria ip (x) positiva o negativa, o ambas cosas, en conjuntos de medida positiva. Supongamos que- ocurriese lo primero (en los otros casos se razona
igual), es decir, que <p (x) > o en los puntos x -<C E y que m (E) > o. Entonces
sabemos (teorema Vil, § II), que existe un conjunto cerrado F ~\ E, tal que
m (F) ]> o y como, por hipótesis, la integral en cualquier intervalo contenido en
(a , ó) es cero, también será nula en todo conjunto abierto (por ser suma de intervalos) y en un conjunto cerrado (como complementario de uno abierto); luego será
/ ó (x) d x = o
lo cual es imposible, pues tp (x) >> o para todo x X F.
Demostremos ya el
Teorema.—Si f (x) -es acotada en un intervalo (a , b) y F (x) es su integral indefinida, es F' (x) = f (x) en casi todo punto de (a , b).
En efecto: si | f ( x ) | < M es
F(*+*)-F(*)
i !^ r",
Ã
l"! h)fwdt
<M
Por ser F (x] una función de variación acotada; en casi todo el intervalo (a , b)
existe el
lim
jji+^-^m^F'w
A-¿n
A
luego si es hn una sucesión que tiende a cero también será
lim
RBV
_F>-M») —F(.v) _ F,"(/)
DU 1.4 R. AcAOJiMIA DB ClKKCIiS.—»QH
/4«
- 434 —
y según el teorema de la convergencia acotada (§ VII):
lim
fZl^-Z^
h
*,. — J
*„
"
rf,=
/ V', I t ) (f t
J
Pero si hacemos / + /?„== t resulta:
v (t -J- ¡¡„) -• F (¡f)1
;r
;
I
h,,
- at
•/ / =
= ---•-:h,,i J/r\ F? (tu -f+,'/„)
;,„} f<ii tt --
i
-
r
- , - I F (¿) </ t —
k,,
/»;/ J
./
"+/'„
*+/'..
]
I',,
[v(-\d-J
»+ A
í/
.-= !•' (Ï,) - F (;si
}- / Y ( / ) r f / = -li,,
J
«
/!„
fv(t)<i/-
, í.v < ï, < A- + /?„)
-1- f
/!„
J
r
V
(t)
li f :
./
«
, (<7 < f. < a -i //„)
ya que F (/) es continua en casi todo (a, b) y se puede aplicar el teorema del
valor medio (t? V I ) . Haciendo que //„ —> o, el primero }r ultimo miembros se
convierten en
f F' (t) dt = F(.v)-.. F( (a)
Pero, por otra parte, es
F (AT) = F(<i) + l f (t) ti t
luego en casi todo (a, b\ es
Çf(t)di-(?'(t)di
= o .-.
í [ / ( t ) — V'(f)]jit = o
y según el lema anterior será F' (x) =f(x} en casi todo el intervalo (a, h),
c. q. d.
Para extenderlo a las funciones no acotadas es preciso el siguiente
Lema de Vallée-Poussin.—Si cp (x) es continua y no decreciente en un intervalo (a, b) su derivada tp'(x) es sumabley se verifica
o
I if' (x\ d x < (p (*) — œ (a)
•7
v (x -\- h] — » (,r)
En efecto: por ser y> Lr) no decreciente el cociente
es > o
'
h
y tiene por límite 'f'(:r) para casi todos los valores de x del intervalo (a, b), luego
también será
* (.v -|- /i*) — œ (.v)
" - --•/.-— >°
'ln
• i> (x 4- h„} — » (.v)
-••'
- -'- -•- = œ (.r)
lim
«»
A..-* o
para toda sucesión /;„ que tienda a cero, l'or tanto, aplicando el teorema de
Fatou (§ Vili), resulta:
h
lim
l>
C tix-)- hn\ — a(.v)
I
T ,
;;- -—<<*.>*
i.r) <77 .v
y siguiendo una marcha enteramente análoga a la del teorema anterior se llega a
*
!B (b\ -
•i (a) > / ?' (x) d x
,
c. q. d.
Teorema.—5/ f (x) es sumable en un intervalo (a, b) y F (x) es su integra/ indefinida es F'(x) = f (x) en casi todos los puntos de (a, b) Suponiendo como siempre f (x) > o es f (t) — \f(t}[„ > o, luego
x
/t/W-{/W}.]-"
- 436 -
es no decreciente.. Por tanto, su derivada, en, los puntos que exista, es > o, es
decir:
t
dx
x
\jf(t)rf*]> -/-- [ | | /M !„ ¿i\ = {/M („
por ser estas funciones acotadas. En todos los puntos en que exista el primer
miembro (en casi todo (a, b ) ) se tendrá F'(.r)> \f(x)\„ y haciendo «-> oo es
F» >/(*), luego:
| F' (.v) dx^ jS(x)dx=F (b] -F(a).
a
a
Pero el lema anterior da la relación:
h
ÍF'(x)dx<:-F(6) — F(a) ;
(í
por tanto, será:
b
/V(.v)rf.v = F ( * ) - F ( a )
o bien:
*
f [ F ' ( T ) — /(^)]¿.V=0
a
en casi todo punto de (fl,.¿) y, al ser no negativo el integrando, resulta (lema I),
f'(x) —f(x) en casi todo .él, c. q. d.
Notas y ejercicios
i.—Dado un conjunto lineal E medible, se llama densidad de E en el punto x al
•i»
A-*O
W(E H)
-
aA
- 437 -
siendo H el intervalo (x — h, x + ft). Utilizando la integral de la función característica de
E probar que la densidad de SL es i en casi todos los puntos de E y o .en casi todos los
puntos del complementario.
kste teorema, debido a Lebesgue, prueba que un conjunto medible E tal que
o < m (E) •< i, no puede estar distribuido uniformemente en el segmento (o, i); sino que
existen necesariamente partes de (o, i) muy densas y otras muy diluidas.
2.—Si no se supone E medible y en la relación [i] se utiliza la medida exterior, se
tiene un enunciado análogo cuya demostración es debida a Sierpinski.
§ XVII.—CARACTERIZACIÓN DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS.
Hemos visto que toda integral indefinida es una función de variación acotada. La recíproca no es cierta, como vamos a ver en un ejemplo. Esto plantea el
problema de la caracterización de las funciones que son integrales indefinidas
cuya solución es objeto de esta lección.
Ejemplo de una función continua, de variación acotada en el intervalo (o, i)
que no es una integral indefinida.
Sea E el conjunto ternario de Cantor (§ II) y definamos una función f(x)
tal que si x -< E y su expresión en el sistema de base 3 es x = o, al a.¡ <J3
(3)
a¡
(ya vimos que a¡ es o ó 2) sea f(x) = o, b1 b^ b3 . . . . (2) en donde b¡ =
.
Si x' y x" son los extremos de uno de los intervalos suprimidos para obtener
este conjunto, sus abscisas son
a,„o 2 2
(3)
A-" = o , a, a 2 . . . . am i o o
(3)
.Y' == o , aí í¡.¡
En estos puntos es
/(.v') =- O , /), ¿3
bm O l í
(2)
/(*") =
bm I O O
(2)
O , ¿j ¿,
es decir f ( x ' ) = f (x"}. Pues bien: en cada uno de los intervalos de que se compone C E damos í i f ( x ) el valor que tenía en sus extremos.
Probemos: i.° que/(,r) es monótona no decreciente y, por tanto, de variación
acotada. Bastará ver que en dos puntos pertenecientes a E, de abscisas x' <C x"
es f ( x ' ) < f(x"\ ya que en cada intervalo de C E f ( x ) es constante.
En efecto: si
.v = o , u, aì
x" = o , a' a
•
(3)
. - • (3)
habrá un número n tal que para / < < « sea a,-—a/y an<^a„', luego para
los valores correspondientes as f (x) se tendra asimismo b¡ = 6/ para i <^n y
.¿„<¿; luego /(*') <•/(*") (*).
2,°—/(.ar) es continua. Pues
\f(x")—f(x')
\ = o , ü o ,"...'. o b"n
(2), (b'n =-^ - ¿„)
diferencia que tiende a cero cuando
»—>
i ••
,,
| x" — x' 1 = 0 , 0 0 ...... o an
•
\
(2) , (a^ — an — a„]
sea <C s, es decir, para « —>• co .
3.°—Como f ( x ) es de variación acotada tiene derivada f ' ( x ) en casi todo E
y, por tanto, existirá la
/'(x)dx
;
pero al ser f (x) constante en casi todo el intervalo ío, i ) e.-> f\x) = o en casi
todo él, y llegamos a la contradicción
/-
/ ' ( * ) f / A - = 0 (=/(!)—/(0)=1
('*)
es decir, f(.r) no es una integral indefinida (Lì.
(*)
N'o se excluye l¡t posibilidad de que f(x') =y"(.r°) pues si, p. e. es
A'
= O , 2 O 2 O O 2 O 2 2 2 2
.v" = 0 , 2 0 2 0 0 2 2 0 0 0 0 .
.(.O
Í3)
resulta
f(x') = 0 , 1 0 1 0 0 1 0 1 i i i
(2)
f (x") = 0 , 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0
(2)
y es f ^.v'y — /"i.v"). Esto pasará siempre que *•' y x" senn extremos de un intervalo de los suprimidos.
(**) Que /(i) = i resulta de ser /(,) = o , i j i . . . . (2).
— 4;54 —
Punciones absolutamente continuas.—Se dice con Vitali que una función / (x)
definida en un intervalo (a, h) es absolutamente continua en él cuando a cada
número s >> o arbitrariamente pequeño le corresponde otro ï >> o tal que para
todo conjunto numerable de intervalos no rampantes (,rv , .TV -j~ /'v). contenidos
en (u, b) y tales que ü /;v <C 5 sea
2" :/(»v + /'v>-/<>•») <* o .
La función /U") del ejemplo anterior no es absolutamente concima. En efecto: consideremos la suma de los valores de la función correspondientes a los
intervalos (a/,\ ßV) que .quedan después de la supresión de los
I -f i + 2 = - f
+ 2 / » - > = 2# — I
primeros intervalos en el conjunto de ('autor; por ser / ú j monótona resulta:
ï l / Í É U i -/(«*> I = / ' l ) - / í ° i = / ( l ) = I
LI]
y como:
«-j+^+^+
,
?
+ vX¡)
•>>-! \
•>*
/ -> \ f
tiende a cero para/>->oc y [i] es constante/U") no es absolutamente continua.
De la definición se deduce: Toda función absolutamente continua es continua.
Teorema.— Una I unción absolutamente continua es de variación acotad/i.
b—a
En efecto: fijado s, descompongamos el intervalo (a, b] en
N - - intervalos
' •
'
•
Ò
parciales y en cada uno de ellos se tendrá
ï | AX V + A,,! - f(*\] ! < s
V
Para
y //v < ^
V
es decir, la variación total de f(x] es menor que s en cada intervalo parcial,
(*) Paia las funciones de conjunto inedible F (C) se define la continuidad absoluta del nguientt modo: si dado el nùmero arbitrariamente pequeño ; > o, existe un 5 tal que para todo
conjunto medible C tal que m (C) < 5 sea ] F (C) | < 5.
— 440 -
luego en el (a, b) su variación total será menor que1
b—a
e, que es un núrne-
o
ro finito, c. q. d.
La recíproca no es cierta, como vimos en el ejemplo del comienzo del
párrafo.
Una condición necesaria y suficiente para que F (x) sea una integral indefinida
en el intervalo (a, b)'es que F (x) sea absolutamente continua en dicho intervalo.
Comencemos por el teorema directo.
Tendremos
F(*) = F(a) +
jf(t)dt
para todo a<x<b y llamando E al* conjunto de intervalos (#v , xv -{- /¡v) tal
que m (E) = S k*, <C ã resulta:
S|F(*V+AV)-F(*V)I=£
»y + Ay
= s| ( f ( t } d t
f(t)dt~ I
íf(t)di~f
f(f)dt
Xv + /i.
< l l \f(i)\dt=
I \f(t) \ dt
que tiende a cero por ser m (E) <C S.
Para demostrar el recíproco necesitamos el siguiente
Lema.—Si la función $ (x) es absolutamente continua en el intervalo (a, b) y
es O'(x) = o en casi todo él, es í' (x) constante en dicho intervalo.
Sea E (casi todo (a, b) ) el conjunto de puntos en el que es Í>'(A") = o;
cada punto x de E es el extremo izquierdo de intervalos (.r, x -\- h) arbitrariamente pequeños, tales que, por ser
<t>' (x) = o, es
j O (x -f h) ~ «D (*) | < h z
[3]
Por el teorema de Sierpinski (§ XV) se puede elegir un número finito de
estos intervalos que cubren todo el conjunto E, salvo, un conjunto de medida
5 y, por tanto, todo el intervalo (a , b) excepto un conjunto de medida 3 -}- o = í.
Sean (xl, x¿}, (xt , #,') .. . (x„ , x„') estos intervalos; según [3] es:
Ï1 ¡ O K ' ) — 4» (A'V> i <
S
-1 i-Vv'
-
A
"v) = * (t>
-
a
)
— 441 —
y por ser <1> (.r) absolutamente continua, la suma análoga correspondiente a los
intervalos contiguos:
y 2 i <Dü- v + I ) -<t>uy) i
tiende a cero con 8. Por consiguiente
| $ (¿) _ <t) (a) | = | S, [<D (.vyl - <t> (X,) ] + ï, [(J) (xv + í) - (D (.vy )] [ < i (/> — u) -f
-f V
<Hvv + 1) -«>(*•,/) !
y cuando â —>• o, resulta:
| O (¿) — <D (a) | < s (¿ - a)
Haciendo que e -> o se obtiene $ (ó) = O (a), y como b es un punto cualquiera
es Í\(;r) = $ (a) = constante, c. q. d.
Demostremos ya el recíproco:
Toda función F (.r) absolutamente continua en un intervalo es una integral indefinida.
Por ser F (x] absolutamente continua, es continua y de variación acotada, es
decir, F (x) = Ft (x) — Fa (#), siendo Fx y F 2 continuas y no decrecientes. Según el lema de Vallée-Poussin (§ XVI), sus derivadas F^ y F^ son integrables (L)
y también lo será
F' (*) = Kj' (x) - F,/ (x)
luego la función
x
/ F ' « dt
es absolutamente continua según el teorema directo.
Lo mismo le pasa a la función
x
<p (je) = F (*•) - jv'(í)dt (*)
(*) Es inmediato ver que la »uma o diferencia de dos funciones
una función absolutamente continua.
absolutamente continuas es
— 442 —
cuya derivada
<i/ (x) = F' (x) — F' (x)
existe y es nula en casi todo el intervalo (a , e), luego :p' (x) es constante en todo
él, según el lema precedente. Es decir:
A
F(;v)
f'(t)dt
X) = C + J/ F'
y para
x=.a
,
F (a) ~ C
de donde resulta, finalmente,
F (x) = F (a) -f I F' (/) d t
c. q. d.
AWtf.v y ejercicios
La propiedad del teorema Fundamental de esta lección se puede tomar como punto de
partida para una definición descriptiva (*) de la integral (L), del siguiente modo:
Dada una función J (x} definida en el intervalo (a,~f>) diremos que es sumafile, si es
la derivada en casi todo (a, ó) de una función absolutamente continua F (x}.
Escribiremos
X
F (»•) = F ( « ) + //(*•)</*•
y llamaremos a F (,r) integral indefinida de f(x) en el sentido de l.ebesgue; Fácilmente
se pasa a la integral definida en un intervalo o conjunto.
i*,i Kste es el camino que sigue Saks (Théorie dt l'intégrale, p. (n). Quizá este método presente ventajas desde el punto de vista de la rapidez; pero por su valor heurístico, preferimos el
método constructivo que seguimos en esta exposición (§ 3). Indiquemos que se llaman definiciones
descriptivas aquellas que caracterizan los entes mediante algunas de sus propiedades.
— 443 -
§ XVIII.—INTEGRACIÓN I)K U N A DERIVADA. — RÉGUA DE B A R R O W .
Sabemos que (véase g IV) si la función /(.v) definida y continua en (a, h]
es la derivada de otra función cp (x\, es decir, y'(x) =f(x), se verifica:
/ f(x) d A' = tí (t) — '¡ï (a]
tomando la integral en el sentido de Cauchy.
Esta régla de Barrow no valeren la intégral (K), pues puede ocurrir (ejemplo
de Volteira citado e.n el § IV) que la función / ' ( x ) = <p' Or) no sea integrable.(R).'
El objeto de esta lección es ver hasta qué punto se pifede generalizar en la
integral (L) la regla de. Barrow.
Desde luego el ejemplo del § XVII prueba que, si se toma el concepto de
primitiva en el sentido generalizado que hemos utilizado en $ XV, no es válida
la regla de Barrow.
Si consideramos la primitiva v (.ri d e / Çr) en el sentido clásico de que tenga
derivada en todos los puntos del intervalo y sea en ellos '^'(jf) =/(.t:), la regla
de Harrow vale para la integrili (L) si f (x)'/.v acotada (Teorema l de este §).
Si se prescinde de la'acotación d*j j (x)•• ya no es válida la regla de Burrow,
como lo prueba el ejemplo del § VIH.-Dicha función de Lebcsgue
d l ,
i
W-d^\xt*tnl*
f
para o<],r< i , /'(o) — o es una derivada finita en el intervalo (o, i) y admite, portanto, primitiva en el sentido clásico, pero no es integrable (L), por
'o cual no hay que pensar en la aplicación de la regla de Barrow, fundamental
del cálculo integral. Resulta, pues, la integración (L) imperfecta en este punto,
habiendo sido creadas, para sobrepasar esta dificultad, las integrales de Denjoy
y Perron (*), que estudiaremos más adelante.
(,*) Una idea de la dificultad del problema de integración de una derivada, a que nos e-sUmoi
reliiieriJo, su tiene considerando una función que tenga la misma singularidad de ¡a (unción de
í-tbesgue en un conjuntó denso (sé puede formar mediante el principio Je condensación de las sin-
444
Teorema.—Si la función f (x) admite en todo el interralo fa, b) derivada f'(x)
acotada, se verifica
k
J/'(*-)¿.v=/(¿)--/(a)
Por suponer que
(*)
f (x) \ < M en todo (a, 6) resulta que
/" + *)-/<*>
= l / ^+ ( ) / i ) 1 < M
lo que nos permite probar que f (x) es absolutamente continua.
En efecto:
n
n
n
'2" J/U- -f ¿v) --/(*.,' I < ¿" M . ¿v = M 2 h<>
/*
que tiende a cero con /, /zv , luego f (x) es una integral indefinida
,T
/-(-.<•) = c +
+ / -'ff (/c d t
y en casi todo («, ¿) serà /'(;r) = y (x] y, por tanto,
x
-*
/ <s(t)dt= í f (t\dt
gularidades, § IV, notas). En las teorías de Perron y Denjoy se demuestra que si f (x) existe v ts
finita en loaos los puntos dei intervalo (a, b) se verifica
I
f'(^dx=f(b)—f(a)
(*) Si la integrai se toma en el sentido de Rie nati n este teorema no es cierto, como prueba el
ejemplo de Volterra (§ IV).
— 445 —
es decir:
ï
f(x) = C-\- í f
(t) ã i
a
de donde:
h
/•(¿) = C + ff'(t)dt
;
/(«) =
=C
(7
o sea, finalmente,
*
f/'(/)<*/=/(*)-/(a),
C. q. d.
Con desarrollo algo más complicado se demuestra (*): 5V f (x) « tal que f (x)
es finita en todo el intervalo (a, b) <? integrable, se verifica:
i,
jf ' (x) dx =/(#)—/ (a)
Señalemos en este orden de ideas los siguientes importantes teoremas de
1-ebesgue:
Si f (x) definida en (a , b) es tal que uno de sus números derivados (p. e.: f/(x))
e* finito en toda punto de (a , bj, la condición necesaria y suficiente para que dicho
número derivado sea suniable en el intervalo es que f i x ) sea de variation acotada
en la , b) (**).
Si f (x) es de variación acotada en (a , b) y uno de f/is números derivados (sfinito en todo pinito de (a , b) se verifica para dicho número derivado:
f
l f+'(x)dx=/\6)
-f(a)
(*) Véase, p. ej., Schlessinger y Plessner, Lebesguesche Intégrale, p. 166. Nosotros lo probaremos como caso particular en la integral de Perron.
(**) La demostración puede verse en Hobson, t. I, p. 596.
446
§ XIX.—ALGUNAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL (L).
Vamos a establecer algunas propiedades muy útiles para el manejo de la
(L) / cuyas aplicaciones son de fundamental importancia en las teorías de series
trigonométricas, series ortogonales, análisis funcional, etc.
Integración por partes.'—Sien un intervalo (a ,,\)}.üi-función f ( x ) es absolutamente continua, la w (x) es sutnable, y ponemos
(J) (.*•)= \ <n(x}dx
/i '
s'e verifica
í
*
Cf (.v) 'i (.r) d x = [ / (x) 0> (.v) J* — f /' W <b(y)<ix
tt
a
Por ser f (x) continua y, por tanto, acolada, es
|/(.r)?(.*-) | < M | (f (.r) |
y com t) * (.v) es sumable, también Io es f (x) . 'f (.t), es decir, existe y es finiti:a
la integral del primer miembro. Como <[> (x) es una integral indefinida, es absolutamente continua (§ XVll), así com o f (x) .fl>(x) (*). Así, pues, existe en casi
todo el intervalo (a , ¿) la derivada
JL [/(*)<*(*)]
(*) El producto de dos liincioues absolutamente continuas en un intervalo (a, i) es una Ix"1"
cióii que también es absolutamente continua en el mismo intervalo.
Si % (.v) y i (.v) son absolutamente continuas, son continuas y, por tanto, acotadas; es decir:
| <í(.v) |-< M
y- - -1 -HV) í < M '
Forniernos, en efecto, las sumas
j = ilv I » (*v+1) '•!• (-vv-vi) — 1? K) '^ (-s) I = ïv I ? K+O 'í1 ( A 'v+1) — <? (' v v+1) «t1 K) +
+ » K + .) '\ W — <P ^ * ^v)• I• =ï
I ?tev+ i) í'i •(*v + i) -• * (*»)] '+
' - > , - • -
+ ^(* v í[»(*- v+l )-«(* v )j i <MS i -HA-; + ,i-4H r+M's i <f í.v v +i)-<pw i
— 447 —
y, por tanto,
n
I -í-[f(x)
d) (.v)] d .v = [/(.v) í) (.r)]*
es decir
n
n
n
f [/' (-v) <J> W -f-/(.r) $' (.v)l rf.v = T/' (*) O (*) ,/.v + i f (x) 0)' (.v) rf.v = 1/f.v) * (.r)]*
de donde
f
n
j" f (x) ep (.-v:) rf.* = [/(*) $ (.v)]* - f f (x) a> (x) d x,
c. q. d.
Primer teorema de la inedia.—Si (tt un intervalo (a , b) la función f (x) es Burnable, la g (x) està acotada (m < g (x) <d M) y la f (x) c,f no negativa en casi todn
(a , b), sf verifica:
n
n
x
x
x
\ f ( ) g ( ) d = f- / f(x) d x siendo m <, \t < i
En efecto: el primer miembro existe y es finito por ser f\x)g(x] sumable,
según vimos en el.teorema anterior. Como los integrandos son no negativos en
casi todo (a , b) es
f
^[M-¿-(*)l/(*)rf.r>o,
pero por ser œ (A-) y cj; (A-) absolutamente continuas resulta que
zy 14 1 (-s +1) — ^ W i < 3i y
s
v
! ? *- v v+1 — ? (-*s) i < 52
siempre que se verifique
S ! *v + l — A V
v
Por tanto, es
<*)
J < M E, -(-M'£, < í , c. q. d.
I [ír<X> —>«]/(*) ¿*> o.
(T
es decir,
i
*
w ff(x)dx<
a
A
¡f(x)g(x)dX<U
l/(x)dx
a
a
luego habrá un Valor ¡i, intermedio entre m y M, para el que sea
í
*
|V (•*•) ff (*) rf * = V j f (x) á x
, c. q- J-
Si £"(.*-) es continua existe un valor £ comprendido entre a y b para el que
es g (5) = ¡i, y la fórmula anterior es en este caso
n
n
ff(x)g(x)dx=g(Ç)
Ç/(x) d x ; ( « < £ < * ) .
Segundo teorema de la media.—Si f (x) es sutnable en (a , b) _y tp (x) <?í acotada
y monótona, existe un punto £ ¿fi/ intervale (a , b) tó/ <?Kif
n
^
c^
^f (x) ,(*)</* = « (a) I"/ (.*) rf ^ + ç (b\ j f, (x) d x.
"
"'
í
Si hacemos una subdivisión del intervalo (a , b] mediante los puntos
a = .\-fr <C .v, <
< .v„ = í
•.
Se tiene:
A
r
I / (.r)
/
*'
?
M
(.r) rf :v — V
•''—'
V ^^ T
"v
v
/
%-,
·í—w /
V
^v_,
- f
"f
-í (A:,,) I / (.v) dx= V I /"(.v) [ (.v) - (f (.v )] a .r
*/
\J = T
./
?
v
[ i]
— 449 —
Por ser <p (x] monòtona, en el intervalo :rv _ , < x < x es-
^ 1 <f (-vv -O
<P (*) — <f (*v)
<? W I
y además es
V
j -í (.rv _ ,) - -í (.rv)
Dado el número arbitrariamente pequeño s > o es posible hacer una subdivisión de (a, b) de tal modo que en cada subintervalo sea
/
Entonces resulta de [i]:
r,
\ / (vi f (.r) d x — '^ <p (Jr.,) ! / (-v) if x < a [» (*) — tp (a)]
ly - I
luego,
•v
lim
^ÇK)
V=ci
/
í
/(.v)^A-=
./
//(.^«(.V)^-.
./
en que el Hm. indica que consideramos una sucesión de subdivisiones tales que
el máximo subintervalo tiende a cero.
Si ponemos
FM = //(*
R U Y - PB LA R. A O A P E M I A DB C l B N O l A S . — . Q J J
dx
— 45° —
resulta
2* w jM
.<•„ = T « K) { /(.r) ,/.v = 2"? (*v) [F (.r,,) - F (*•,, - 0] =
v -- i
»v — i
"-I
= y If (-«"v) - 'í <*v + ')] F K) + f (*) F (b) ('}
V -- f)
Llamemos M al máximo y m al mínimo de F (.r) en (n , A) si <p es decreciente, y
M al mìnimo y w al máximo si » es creciente. Se tiene:
m [((> (a) — <p (¿)| -f » (¿) F (S) < JM <; M [ç (a) - tç (A)] -f y (b) F (¿)
y también:
t
m [i (ai - œ (¿)J + a (¿l F (í) ¿ // (je) -ç (x) d x < M [(ç (a) - * (*)] -f- <e (h) F (*).
íí
luego existe un número r, (w < vj < M) tal que:
h
f f(x)v(.r)d.v
= r¡[<t(ai - <p (*)] -f ÍP (*) F (»)
y como F(ír) es continua, existe un punto Ç del intervalo (a , b) en que F (?•) = •Q,
es decir:
f /Yv) ï (.r) rf ,r = [<p (a) - <p (t)] F (Ç) + ? (b) F (¿)
o sea:
*
£
*
/ /(.v; <p (.v) d x = tj> (a) / /(.*) «/-v.-l- » (¿) / f (x) d x
(")
Se aplica aquí la transformación de Abel.
Teorema de Lebesgue.—Hemos demostrado (§ XVI) que si f (.r) es sumable
la integral indefinida
(.r) = \/"/(.•
F(.r)=
f(x)d.v
admite derivada igual a f (x) en casi todos los puntos de (a , b). Esto es, que
*+A
lim -- i/(f)dt
*-*" ' J
=f (X).
Consideremos la integral
F («,*) =
f\f(t)-i\dt.
l'or dicho teorema sabemos que, fijado a, la relación D F (a, x) = | / (.r| — a |
se verifica, salvo en un conjunto E («) de medida nula. ;Si a toma todos los valores reales el conjunto suma de los F, (ai será de medida n u l a r FI teorema de Lebesgue afirma esto:
-S/ f (x) es sumable, existe
r-l-/,
7-
i™ 4/,-+*"
I !/('>-* I rf/ = |/(x)-^!
para todos los valores de « «W intervalo (i— oo , ^ -j- se ) _v CAJÎ icife.r /(7j valores de
x rfí/ intervalo (a, b).
Si suponemos que a toma todos los valores racionales a,', «,, .. . . , a, , . . .
el conjunto E — S E («,•) es de medida nula. Supongamos que x no pertenece a
</,•
E y es a irracional }' ß racional próximo a a. Se tiene.
l/W-al-l/W-PI^IP-«!,
452 -
Itifiro:
x+k
|/!/(rì-«l^-^[ f(t)-ï\dt
AT
.¥
*4./i
*/
ll/w-"l-l/«-ßl]rf'
»4-A
| / ( / ) - « | — |/(/)
i/ I/
-pi
rf/<
| f —„
Por ser ß racional:
x*+•
+A
-/'•/ W - ß | ^ - l / W - ß
:«
si
|A|<A„(ß,i).
Tenemos.
*+A
.LA Jr.
/(/) — a l a / — !•/(*)— ci
.r+A
T/I/«-*""—!-/
|/(/)-ß
dt
+
»+A
+
/(/)-? <//-']/(*)- ß l +
-/-
4- l ;/(*) - ? l - l/M - « l ^ l p - « | + s + l ß - «
que tiende a cero cuando | ß — et | —> o, esto es, \f(x) — a 1 es la derivada
de su integrai indefinida para todos los valores irracionales a, si x no pertenece a E.
— 453 —
Como caso particular, si ponemos a =f(x) resulta que en casi todo el intervalo es:
^+A
lim — / \/(t) -/(.v) I < / / = * o
o bien, mediante el cambio de variable t = t -f A-,
limi j
i/(.v-f T) _./>•) ! < / - : =
El conjunto de puntos en que se verifica esto se llama el conjunto de
Lebesgue.
Desde luego los puntos de continuidad pertenecen al conjunto, pues si x es
tal, sale | J '(x -f- t) — f (x) \ <^ e lomando - suficientemente pequeño y por
tanto
fi
i \f(x + ')~f(x)
\ <it<*h.
Esté teorema tiene importantes aplicaciones en la teoría de series trigonométricas.
§ XX.
INTEGRAL GENERAI DE DENJOY o TOTALIZACIÓN
Viemos visto algunos inconvenientes del método (L) para definir la integral
para funciones no acotadas: existen funciones no integrables (L) que lo son según Cauchy (ejemplo de Lebesgue, § Vili, Notas).
Un problema de capital importancia, el de la integración de derivadas de
que hemos hablado repetidamente, ha llevado a dar generalizaciones de la integral (L) distintas de las vistas en el § XII. Se han generalizado, en primer lugar, los mismos artificios de Cauchy que se utilizan en los cursos clásicos para
la integral (R) en el caso de un número finito de puntos de discontinuidad.
Si el conjunto de estos puntos es infinito, hay dos tipos de definiciones:
unas mediante un solo paso al límite, otras valiéndose de una infinidad de pasos al límite. El primer camino corresponde a la integral de Harnack-Lebesgue:
— 454 —
el segundo a las integrales de Diriclilet-Lebesgue y culmina con las integrales
de Denjoy.
Integral de Haniack-Lebesgue.—El conjunto Z de los puntos de no acotación es cerrado y supongámoslo de extensión nula, es decir, que se puede recubrir mediante un número finito de segmentos de suma z tan pequeña como
se quiera. Definamos una función así:
/, (.v) = o en los segmentos de suma E
fi (x) =_/"(*•) en el complementario,
v la integral de Harnack se define así
t
i,
f(x) dx — lim I /, (x) d x
supuesta la existencia de dicho limite.
Se puede, demostrar que esta definición de Harnack es equivalente a la de
Lebesgue (§-Ylll), en el caso de integrales absolutamente convergentes, si el
conjunto de puntos de discontinuidad es de medidad nula.
Observemos que en los puntos de no acotación puede ser su mahle la función; pues bien, a veces se generaliza la definición anterior tomando la integral
(L) en el sentido generalizado (§ VIH). Diremos que un punto es /le no snmabilidad, o impunto de Harnack, si la función no es sumahle en. ningún intervalo
que lo contenga. El conjunto H de puntos de no sumabilidad es un conjunto
parcial del conjunto Z antes considerado. El conjunto H de estos puntos es cerrado, pues si P es punto límite de puntos de H, en todo entorno suyo hay
puntos de Harnack, es decir, la función no es sumahle en todo entorno de P y
éste, por tanto, pertenece a H.
En cualquier intervalo interior a un intervalo contiguo a H,/(.r) es sumable,
aunque no necesariamente acotada.
Se obtiene la llamada integral de Harnack-Lehesgue modificando la. definición anterior de modo que se utilice el conjunto H en lugar del Z.
Integral de Dirichlct-Lebesgim.—Vamos a ver otra' generalización iniciada
por Dirichlet para la integral (C) (§ IV).
Supongamos que el derivado Z' del conjunto Z de puntos de no sumabilidad tenga un número finito de puntos j-j .12 ,
, xn. Excluidos estos pun-
— 455 —
tos Xf mediante entornos (x¡—s¡, .^ ~\-1.) fuera de cada uno de ellos hay un
número finito de discontinuidades y la integral se define así:
-M
.|/(.v)rf.v= V
lim
i^0 -rrn J
J
''-l
//-(.v•Iff x-
siendo estas últimas integrales (Lì.
y
'g- "9-
Para esta definición hemos utilizado dos principios:
i.°. — Si existe la integral en los intervalos consecutivos
(a. , ají , iaa , as)
(a,_, , a„)
2.°.—SÍ
» — t" '
J
- + 8'
existe para cada s' y s" y existe el
s
lim
I
!, "* ° J
f"
este límite es,1a/.
k a
i
;s
c
"»
"/.
Jr- =vè Jc
— 456 —
El razonamiento de Dirichlet es inmediatamente aplicable al caso en que Z'
no sea finito, pero lo sea Z" y, en general, al caso en que esté formado por un
número finito de puntos el conjunto Z< a) , siendo a finito o transfinito de la segunda clase, esto es, si Z es lo que se llama un conjunto reductible, pero si uno
de los derivados es perfecto, Z y todos sus derivados tienen la potencia del
continuo y el método de Dirichlet falla (*).
La diferencia entre las definiciones de integral de Harnack-Lebesgue y de
Üirichlet-Lebesgue es que en la primera se supone que el conjunto de puntos
de no sumabilidad es de extensión nula y en la segunda se supone reductible.
Ahora vamos a dar un nuevo concepto de integral, más general que los anteriores, aplicable a las funciones en que el conjunto de sus puntos de no sumabilidad puede ser más general; por ej., no numerable.
Iiitegal general de Denjoy.—Vamos a dar una breve idea de la integral de
Denjoy o totalización siguiendo a'Romanowski (**) .que ha logrado evitar el
empleo de los números transfinitos.
Se llama variación de una función continua F (.r), sobre un conjunto perfecto
P contenido en el intervalo (a , b) el número
VP F (.v) = F (ß) - F (a) - v [p (?y _
F (Q.)]
donde a y ß son los extremos de P y a,- y ß,- los extremos de los subintervalos
que forman el complementario (que es abierto). Se supone que la serie
2 [F (p,-) - F («,)]
es absolutamente convergente (*) y, en c.aso contrario, no se le atribuye sentido al símbolo Vp.
(*) Se puede probar la equivalencia de la anterior definición con la siguiente: Senf (x) definida en el intervalo (a , t) y tal que i.°) el conjunto de sus puntos de no sumabilidad es reductible,
2.a) existe una función F (.r), continua en (a , b) y tal que, si es a < X <C u. < b y f ( x ) es sumable
en (X , ¡i), se.verifica
F (u.)'(u) - F
' (/.), = (I.)
. . i / (x) d x
í.
Con estàs hipòtesis/"(x) es integrable en el sentido de Dirichlet-Lebesgue y es:
í
(DL) f f (x) d x = F (¿) - F i a )
(*•)
Fund. Math., t. XIX.
-
457 —
Definición I.—Diremos que/(#), definida en casi todo (a , b), es integrable
(D) en dicho intervalo, si existe una función F (x), continua en (a , b), tal que,
sobre cada conjunto perfecto P contenido en (a, ó) exista, al menos, un subconjunto P* tal que para todo subconjunto P** de P* sea
V F(*) = (L) //»</*•.
P"
J
f
Definición H.—Sea/(;r) integrable (D) en (a, b). Llamaremos integral (D) de
f (x) en el intervalo (a, b) ai número F (b) — F (a).
Para que esta definición II sea admisible hay que probar que si dos funciones F (x) y O (x) verifican las condiciones de la definición I es F (x) — <I> (x) =
constante en todo el intervalo (a, b).
Para ello utilizaremos el siguiente
Lema.—Sea f una familia de intervalos contenidos en (a, b) que posee las
cuatro propiedades siguientes:
i).—Si (a, p) y (P, K) pertenecen a ?, pertenece (a, f)-.
2).—Si (a, P) ~< F) todo intervalo contenido en (a, ß) pertenece a f.
3).—Si iodo intervalo interior a .(a, P) pertenece a f, también (a, ß) -< f.
4).—Si todos los intervalos contiguos a un conjunto perfecto cualquiera 11 pertenecen a f, existe un intervalo de F que contiene en su interior un punto de I I .
De estas cuatro hipótesis se deduce que (a, b) X F.
Diremos que un punto de (a, b) es interior a f si existe un intervalo de F al
cual dicho punto es interior" (salvo en el caso de que sea el punto a o el b, los
fi
Fig. 20.
cuales se dicen interiores a f si existe un intervalo de F al que pertenece a o b.
De las tres primeras hipótesis resulta que el conjunto de puntos no interiores a
F es perfecto y que los intervalos contiguos pertenecen a F. ;,Sólo falta ver que
dicho conjunto carece de puntos. Si no fuera así se obtendría de 4) fácilmente
un absurdo.
(*) Como consecuencia de esta condición resulta que el valor ile \'f K ,.v) eü i n d e p e n d i e n t e
de la manera ea que hayan sido enumerados los subiniei valos («/, fa/.
- 458 -
Ahora resulta, como consecuencia sencilla, que la diferencia F (x) — $ (.r)
entre dos funciones que verifican la definición r es una constante.
Designando por ? la familia de los intervalos en que dicha diferencia es
constante se ve inmediatamente que f verifica las cuatro condiciones del lema
y coincide, pues, con (a , b).
Teorema.— Toda función integrable en .el sentido de Lebesgue-Dirichlet y, en
particiilar, toda función sumable es siempre integrable en el sentido de D enjoy y
su valor coincide con el de aquélla.
Sea, en efecto, f (x) integrable en el sentido de Lebesgue-Dirichlet en el intervalo (a , b) y F (x) la integral indefinida correspondiente. El conjunto E de
puntos de no sumabilidad de/(,r) es un conjunto cerrado numerable; por consiguiente ningún conjúnto'pèrfecto P puede estar contenido en E. Séa P una
parte situada enteramente en el interior de un intervalo contiguo a E. Es claro
que P satisface a las condiciones de la definición I, c. q. d.
Se demuestra (véase la memoria de Romanowski citada) el siguiente teorema que es una de las propiedades más notables de la integral (D).
Si F (x) es una función que posee una derivada finita en el intervalo cerrado
(a , b) se verifica:
(D)/ ¥' (x) d x = ¥ (¿>) - F (a)
Este teorema pone de manifiesto la superioridad de la integral (D) sobre la
(L) en el problema de la integración de derivadas.
Señalemos también sin demostración las siguientes propiedades notables:
Si ï (x) es integrable (D) en un intervalo cerrado (a, b) , f (x) es mediable en (á , b)
.y finita eu casi iodo (a , b).
Toda función no negativa integrable (D) es necesariamente smnable.
§ XXI.
LA i M K d R A i , i)K I ' K K K O N
liemos visto en la lección anterior córv.o el deseo de dar a! problema de la
integración soluciones más generales ha dado lugar a conceptos de integral
cada vez más extensos que, a su vez, han hecho ampliar sucesivamente la idea
de función primitiva. Justamente el camino inverso es el que ha seguido Perron;
partiendo de una generalización de la idea de primitiva y llegando con una
— 459 —
sencillez insuperable a su concepto de integral definida de generalidad análoga
análoga al de Denjoy (*).
Como veremos la integral (P) comprende a la integral (L) y a la integral de
Newton o primitiva ordinaria, realizando una síntesis de las ideas de integral
indefinida y función primitiva que era imperfecta según vimos (§ XV) en la
integral (L).
Dada una función real y ( x ) de variable real, definida y finita en un.intervalo (a , b) llamamos derivada superior de la función en el punto ,TJ al número
„ D ? ( * , ) = ¡¡m ?^-J?J*ll
x
* -» *i
' xi
y derivada inferior al número
D «(*,) = Ü^_
—
?(*)-?(*!)
*-»•*!
tf
— *1,
las cuales existen (finitas o infinitas) en cada punto de (a , b) (**).
Consecuencias inmediatas de las definiciones son las relaciones siguientes:
«).—_D<p(*i)< D ?(*,).
*).-Df^- ( p(*,)]=-D ç (* 1 )
c).—D [? (*,) + <¡, (.r,)ì < D ? (*,) + D $ (*,)
;
D [? (x,) + J, (^,)] > D <p (o.-,) -f D i (*,).
Todas ellas traducen con la nueva notación propiedades conocidas de
'os límites superior e inferior y son válidas incluso cuando son infinitas las derivadas con las restricciones indicadas en el § VIH.
Lema.—Si la función <p'(x) es finita y continua en el intervalo (a , b) y es en
todo él D <p (x) < c es
iíïilzLíM^í
X
*2
l
Para todo par de puntos a < x t < x a < b.
(*) Véase al final de este §.
(**) No se confundan estas definiciones con las de los números derivados (§ XV).
[i]
— 4^O —
En efecto; supongamos c finito y que los puntos x^ y x^ no verificasen [i],
es decir, que fuese
^^±^íl
=c +r¡>c
xt - xt
Fijado x^ como es
—' Jf (*j) — <f-(xi)
hm
,-*„
*'
-v'
para todo valor de ,r mayor que .t^ y suficientemente próximo a él, será
ltoPl*i)<f + ,
y como ese cociente, que es función continua de .r, pasa de un valor menor
que r -)- -/¡ a éste, cuando .r varía entre .r, y -i'"s, habrá un valor mínimo :r3 (que
puede coincidir con x.¡) para el que sea
9 (*a) — f í*i) _ ,. i rT
—' i ¡
y, por tanto, para todo .r tal que \\ <C x <C -*'si resulta
Jiííii^i'iL^^..,
v"
i-«
' i
es decir,
(f (.v) — if (.r,) <; (c + r,) (A- — .v,)
para todo
,\-, < .v < :v„
** í-v3) — <p (*',) = (c -f- r¡) (a-j — a.-,,
y restando miembro a miembro
f ^3) — <f (a-) >(f f r,) (x3 — .v)
es decir,
f>'3>- ^(- v >
.r, — .r
>¿ .
i_r
^~ '
— 461 —
luego su límite D <p (x9) seria > c -f- f\ contra la hipòtesis de que D o (x) fuese
<c en todo el intervalo (a , b).
Dada una función/(.*•) definida en un intervalo (a , b] diremos que y (x) es
una función subprimitiva as f (x] en (a , ¿) si se verifican las siguientes condiciones:
i. a
2.a
3.a
4.a
(p (.v) es finita y continua.
<p (d) = o.
D tp (.r) 4: -j- oc' en todo punto del intervalo.
D- f (.r) </(.r)
' »
Análogamente se dice que fy(.v) es superprimitira de /(.r) en (/? , A) si se
verifica:
i .a ty (.r) es finita y continua.
2.a <¡> (a) =o.
3.a
4-
a
D $(*):£ --00.
D H*) >/W.
Pasemos ahora a demostrar el siguiente
Teorema.—Si <p (x) íí ««« subprimitiva y $ (x) «w« sufierpritnitiva de f (x) w
í/ in t errai o (a, b) fi 'f (x) < <¡> (x)_j/ /« función ^ (x) — * (x) « monoton a creciente.
Por ser » (.r) subprimitiva es
D-í(.r)</(,r)
Por ser •}> (.i'l superprimitiva es
n ^ i r ) >/(*•)
luego:
D(f(.v-|</(.r)<D^iv).
Ahora bien, según las consecuencias b\ y ci:
D [i (.r)
, 9 (.v)] ..- D (ò (*) ^H [
-f M]) > £ i (.v) + D [ -
? (,v)]
D f, (.r) - ò (.v)] = n (?(.v)+ [- «K.«)]) < D «P M + Õ t- * M] -- D'? (^ - 2'í (-r' ^ °
'uego, según el lema, como xt — x, >> o, será
^ (.r,) - «j. (vj) - [<? (*i) - '> (*i)l ^ °
-
4 Í>2
-
para todos los valores a < .r, < .v.¿ < b, y al ser para ,rt = a, tp (a) =fy(a), resulta finalmente ^ (.r) > <p (.r), c. q. d.
Veamos un ejemplo de una función que no admite superprimitiva. Sea la
función f ( x ) —
definida en el intervalo abierto (o, i). Si ò (x) fuese una
i —x
superprimitiva d c f ( x ) en dicho intervalo, en virtud de la demostración sería
x
D <!> ((x)
) ì?
>
— Y aplicando el lema anterior al punto i y a otro cualquiera de
i —x
(o, i) resultarla
<M')-<K^
osea, -<]>([) — ty (x)> i, es decir t|> (^r) no sería continua en el punto t y, por
tanto, no es <[> (.r) una superprimitiva de/(^) en (a, A).
Definición de integral de Perron.—Sea/(;r) una función definida en el intervalo (¿, b) que suponemos admite en él una subprimitiva <p (x) y una superprimitiva <¡> (*). Como todas las primeras son < <]> (^) y ésta es finita, resulta que
existe y es finita la función í> (x) = ext tp (x) y a su valor en el extremo b del
intervalo se le llama integral inferior de Perron de la función f(x\ representándose así:
b
(P)J/(.r) í /sr=d)(¿).
Análogamente: si *F (x) =*= ext i|> (x), es
i
(P)JV(*)rf* = Y(*)
la integral superior de_/(*•), y si ambas son iguales, la función se dice integrable
Perron en el intervalo (a, b) y se pone
(P)^/(*)af *• = <&(*) = T(*)
Teorema II.—/'ar« que un número 1 ,ría la integral definida
(P) «> la fu"'
- ¿6., -
cían f (x) eu el intervalo (a, b) es condición necesaria v suficiente (//te, por pequeño
que sea s ]> o, la función f (x) posea una super primitiva •]) (x) r una xubprnnitiva
ep (x) tales que
•j; (í) - !?(*)<£
y
T (A) < 1 < $ (¿).
En efecto: si existe la integral (P) ésta es igual al ext ep (/;) e igual al ext '\> (b)
luegb coincide con I.
Recíprocamente, si para cada s > o la función f (.v) tiene una s u p e r p i i m i t i v a
<1> (.r) y -una subprimitiva tp (.r) tales que •])(*) — tp (A) -< s y » (A) < I < •!>(/'),
serà 1 = ext ep (¿) = ext ^ (b]
Integral indefinida (P).—Si consideramos un punto variable .r del intervalo
(a, ¿), a < .r < è, la integral
.r
(P) /'/(•'r) d x
se ¿lama integral indefinida (P); luego:
Si existe la integral indefinida (P) también existe la definida, y recíprocamente, pues si son y (,r) y • !> (.f) una subprimitiva y una superprimitiva tales, que
dado £ > o es § ( b ) — y-(/ñ<^£, como por el teorema 1 es fy (x) — -o (x) << t,
para a < .f < /;, resulta:
f (x) < l'P) / /"i K) ¿ -v < (P) f /j.v). dx<
•lì ( X )
y esto, en virtud del teorema II, demuestra la existencia de la integral indefinida.
El gran interés de la integral (P) está en que en ella vale con toda generalidad la regla de Barrow, Io que no pasaba, como liemos Visto, correi concepto de integral (L) en que había que suponer que/'(.ri fuera acotada o sumable para deducir que
*
(L) Í/' (xi dx =-/(*) — f (à).
En la intégral de Perron desaparecen estas restricciones, como consecuencia
del siguiente teorema, que prueba que la integral (P) comprende a la integral de
Newton, o función primitiva ordinaria.
'leonina.—.SV la f tuición. F.(x) tiene en el in f er va/o (a, h) una derivada finita (*) y es f (x) — F'(x), la función f (x) es integrable (P) y se verifica
(P) í/ (.r) d x = F (b) - F (a).
En efecto: la función F (x) — F (a) es subprimitiva y superprimitiva de
f(x\ pues se comprueba inmediatamente que verifica las condiciones que definen dichas funciones. Es, pues, la integral indefinida de/(*), es decir:
-T
(P)Jf(x)Jx
= V(x)-f(a)
y para x = ¿,
k
(P).j"/(x)áx
= F(6)-F(a),
c. q. d.
Vamos a probar que la integral (P) es más general que la integral (L). Comencemos por el siguiente:
Lema.—-Dados un conjunto M de medida nula en un intervalo (a, b) y un número'positivo s, existe tina función continua y monótona creciente g (x) tal que
g (a) = o, ö < g (x) <C £ en todo punto de (a, b) 'y D g (x) = -(- oo en M.
Siendo M de medida nula, a cada n existe un conjunto abierto J» que cubre
a M y talque | J„ |<-^- (§11).
Si ponemos
T« í*)
(*) Obsérvese que no se supone acotada.
2»
SÍ
X X •'«
o
>
* -^ C J„
- 4^5 -
as funciones g„ (x) definidas por la igualdad
(*)=(!) J >(*;«?.r.
gn(x) =
son continuas y monótonas crecientes en (a, ò), se anulan todas en el punto
x = a, y para ellas es válida la acotación
O < i'« (*•) < 2» [ J„
<
^
Además, como el integrando es una función continua en cada punto del
conjunto abierto ,!„ y está M -< J„ en los puntos de J„ , se verifica
D í« ;.v) — £•'» (-v) = y,, (.v) = 2"
La función #(.v) definida por la igualdad
00
g(x) = ^j S»(x}
I — I
es: i.°, continua en (a, b), por serlo g„ (x) \ la serie uniformemente convergente; 2.°, nula en el punto x = a, ya que #•„ (a) = o; 3.°, monótona creciente
en (a, /;), y 4.°, o <£•(#) •< e, en todo punto de dicho intervalo.
Falta, pues, demostrar la última parte. En virtud de [ i ] y puesto que el resto
de la serie [2] es una función monótona creciente en (a, b), resulta que si es
x
X M se tiene
^
^
-^
>rvS
DA-(*) ^^2L^(x^^.Z-¡ z* ('v) + - 2j s'"('v} > 2* ? ^"("r) = 2j= l2"'
»— i
«= i
» = w4-i
"~ '
"
c q d
- - -
Generalización de ios conceptos de sitbprimitiva y super-primitiva.—Toda función <p* (x) que verifique las condiciones i. a , 2.a y 3.a de la definición de subPrimitiva y la 4.a, en casi todo (a, b] se llama subpnmitiva generalizada de la
f(x) en el intervalo.
R B V . UK I.A R. A o A D Ü M I A DB ClBPOlAS. — 1 Q 4 3
¿o
— 466 —
Análogamente se define una función if* (x) super primitiva generalizada.
Teorema.—Si la función f (x) tiene una subprimitiva generalizada <p*(x) en
el intervalo (a, b), existe una subprimitiva ordinaria <p (x) tal que, dado £ > o, es
<f (*')>' tp* (X)--
[3]
*
Sea M el subconjunto de (¿i, b) en el que D cp* (x] ~^> f(x)\ como | M | = o,
existe una función g (x) con las propiedades del lema anterior, luego la función
tp (x) definida por la igualdad tp (x) = <p* (x) — g (x) satisface la condición [3] y
es una subprimitiva ordinaria, pues:
i.° es finita y continua en (a, b) porque lo son tp* y g,
2.° es g (a) = o por ser nulas <p* (x) y g (x) en el punto x = a,
3.° 13 tp (x) < D tp* (x) — D g (x) y como D tp* (x) ^p -f oo y D g (T) > o por
ser g (x) monótona credente resulta D <p (.r) =}= -f- 00 , y
4.° según lo anterior es D <p (x) < D <p* (x), luego si .r < M es D <p (x) <!/(*'•
Tin los puntos del intervalo (a, b) es finita D tf* y en los de M es — D g- (x\ =
— co , luego en estos es D tp (x) < — «3 < f ( x ) . Por tanto, el todo (a, b) se verifica ï) tp (x) <. f (x).
Es, pues, tp Ur) una subprimitiva ordinária de f (x) en el intervalo (a, b) y,
por tanto,
i
ext <p* (x) = ext (p ( V)=
•
P)
/
/"(s-) rf .v
Análogamente se demuestra que si
f (x) tiene -tuta super primitiva generalizada fy* (x) tiene también una sitperpnmitiva ordii/aria tal que § (x} < §P(x) 4"£'
es 'decir, que ext tj>* (jr) = ext t|> (x).
La demostración se hace siguiendo
la misma marcha que para la anterior o
bien reduciéndolo al caso precedente, teniendo en cuenta que — t[>* (x) es una
función subprimitiva generalizada &
— /'(*)> luego existe una subprimitiví1
ordinaria tal que, según el teorema an'
tenor, es
v(x)>—>y-(x)~s
y como
Fig. 2 .
cj, (A.-; = — !ß U-)
— 467 -
será:
<!< (.v)< 4" (x) -f- a
c. q. d.
Teorema.—-Toda función f (x) integrable (L) í« (a, b) « integrable (P) ¿w
úfcAo intervalo y es
h
h
(P) j" f (x) d x = (L) j"/(x) d x.
En efecto: sea F (x) la integral indefinida (L) de / (.r) para todo a < A'< é,
es decir,
.r
F (*) = (L) f f (x) if x
Esta función F (.r) es continua en (</, b] y F (//) = o.
Además, su cociente incremental está acotado, luego D F (x) =|= -\- ^
D F (x) ^= — oo , y como en casi todo (a, ò) es F' (x) = f (x] (§ XV), F (.r) es
una subprimitiva y una superprimitiva generalizadas de/{;r), luego
F(*) = (P) í/(x)'d x.
a
y para x = ¿
*
*
F (i) = (L) J/(*)</* = (P) [/(.» rf *:.
El recíproco no siempre es cierto, pero para funciones acotadas, si. Para las
no acotadas la integral (P) es más general que la (L), como lo demuestra el siguiente ejemplo:
Sea
v(x)=~ (x* sen -^-j = - ~- cos -~- + 2 x sen ~- , Pa.ra x 4:0
<í (o) = o
— 468 —
Ya vimos (§ VIII) que esta función no es integrable (L), pero sí en el concepto de Cauchy generalizado. Y también es integrable (P), -pues
F (.v) = .r2 sen
2
, F (o) = o
es superprimitiva y subprimitiva. La función te (x) no es integrable tampoco en
el sentido de Rieinann estricto (véase 2.a nota al pie del § XV) aunque si en
e\ sentido de Riemann generalizado. Se puede demostrar en general que la integral (P) comprende a la de Riemann generalizada para funciones no acotadas.
Todas estas propiedades nos dan ya vina idea de la gran amplitud de la integral (P), que aclara de una manera definitiva el teorema de Hake-AlexandroffLooman, que afirma la equivalencia de la integral (P) con la llamada integral
restringida de Denjoy (*).
§ XXII.
INTEGRAL DE STIELTJES
Dadas dos funciones acotadas/(Y) y tp (x) en un intervalo (a , ¿), consideremos una sucesión de subdivisiones A,, del mismo
a„ = .r„ < x, <
< ,v¿^ )<*•*.<
< x„ = b
v las sumas
S„ = ^/(5*)
[?(•*•*) — ? ( * > _ , ) ]
^1
siendo
xk _ , < Ç* < Xk
Cuando existe el límite de estas sumas y es independiente de la sucesión de
subdivisiones del intervalo (a , e), con tal que la amplitud del máximo subintervalo de A,, tienda a cero, a dicho límite se le llama integral de Stieltjes de f (x)
respecto a tp (x) y se representa asi:
h
l/(x)<i<f(x>.
(") La demostración puede astudiarse en Saks, pág. 216.
Si f (x) es una función continua y ep (x) de variación acotada, la existència
de la integral de Stieltjes se prueba, según veremos más adelante, como en el
caso de la integral de Cauchy (§ IV).
En los cursos elementales se manejan integrales de Stieltjes frecuentemente.
Así, toda integral curvilínea relativa a una curva rectificable es una integral de
Stieltjes. En efecto: sean X = a (t), Y = ß (t) las ecuaciones paramétricas de
una curva rectificable L; son, pues, a (/) y ß (/) funciones de variación acotada
(§ XIV). La integral curvilinea de la función continua F (X , Y) a lo largo de la
curva L es, por definición,
/ F ( X , Y ) ¿ X = limSF(X¿,Y¿)[X¿
X*_,];
L
pero el segundo miembro es igual a
Hm ü F [a (tk) , ß (tk)} [o- (¡k) — 'J- (tk-í)\ — '¡m I <D (ik) [a (t i<) — 'i (tk- ,')] =
=
I (J) (t)d rj. |7),
c. q d.
El recíproco se demuestra estableciendo las igualdades anteriores en orden
inverso.
Del mismo modo, una integral de variable compleja
/'f(¿\dí
L
se reduce a suma de integrales curvilíneas y, por tanto, a suma de integrales
de Stieltjes.
O
3
\.{
*i
*t
b
l-'ig. 22.
En la Geometría de masas (momentos estáticos, de inercia, etc.), se presenta
de modo natural. Pongamos un ejemplo. Si en el intervalo (a , b) la masa del
47o
segmento a x es una cierta función de .1 , <p (x), el momento estático del segmento (a , ¿(respecto al punto O es el límite de las sumas
n
~\* £7 [f
(*Y)
— 4p fe — i)]
•y si <p (;r) es de variación acotada, dicho límite es la integral
u
í xdv(x)
(')
Análogamente para los momentos de orden superior.
La gran ventaja de la integral de Stieltjes, en este caso y en otros, reside en
poder expresar sumas de un número finito o infinito de sumandos, aplicándose
así a distribuciones de masas continuas y discontinuas. En efecto: si en el in-
)
X
Fig. 23.
tervalo (a , b) ,f(x) es una- función continua y tp (x) una'función escalonada
(§.XIII), la integral
/'
\f(x)dv(x)—
J
j*
lira _y/e-)[?(^)-<pfe-,)]
»-*•«• f^.
(*) Véase Navarro Borras, Curso de Análisis superior para ingenieros (Madrid, 1942), libro
de matemática aplicada en que se concede la atención que m&rece a la integral de Stieltjes y
sus aplicaciones técnicas.
— 471 —
se reduce a la suma finita il/(Ç/) A <p (£,•), en donde A tp-(£,) es el salto de la función tp (.r) en los puntos \¡ de discontinuidad, pues son nulas todas las diferencias «p (xì) — cp(.r,-_,j cuando los puntos #,-_, y .r/ están comprendidos entre
;*-. y-£*-.
Si el número de puntos de discontinuidad es infinito, ía integral de Stieltjes
representa una serie, y recíprocamente, una serie se puede representar mediante
una integral de Stieltjes. Así, para las series de Dinchlet es:
•o
00
"^1
/1 a„ e
—i
/•
—X *
I ' — ks
" = I (
J
d a (X) ,
siendo
a 0.) =
'ST'
/1 a,,.
\„<\
/Existencia de la integral de Stieltjes-Caucliy.—$i suponemos que la subdivisión A, ±f contiene todos los puntos de la A„ , e l s u m a n d o /"(:;*)[?(**)—
— <f (xk- ,)] de la suma S„ correspondiente a ésta, resulta sustituido en la S„ +/,
de aquélla por la suma
i'l/ (^l/) [<?(Xj)
-<?(*>•_,)]
y la diferencia entre aquél y ésta es:
S. [/(?*) ;7fy)]-[?(*;) -H^_,)] ^ V>* I «P W - T (*>--.) I =-
= "•* s iI T'Í^)-?(*/•-,) !^«»* v *.
siendo o)¿ la oscilación de/"(.r) .en el intervalo (^ ^ , , ^) y V*.la variación total
de 'o (x) en dicho intervalo.
L)e aquí se deduce que
S.+/> -S„ l < S w ^ VA < o j V ,
donde w es la oscilación de/(,r) y V la variación total de cp (x) en el intervalo
(a , ¿>). Y -como V es finita por ser <p (#) de variación acotada, y co —>• o por ser
/(^r) continua, según el criterio de Cauchy resulta que la sucesión de sumas
S„ tiene límite, al cual se llama integral de Stieltjes-Cauchy de f ( x ) respecto a
<p (x) en el intervalo (a , b).
_
47 J —
La independencia de este límite de la sucesión de subdivisiones se demuestra exactamente igual que en là integral de Gauchy (§ IV).
Propiedades.—Son inmediatas las siguientes:
!*H
t
i,
II.
b
J ( / + ? ) < / • > = J/<M-H j
fdfi
III.— Valor medio. —Sì es \ f ( x ) | < M y V la variación total de * (x) en el
intervalo (a , ¿), es
í.
*
/f(x)dy(x)
|<M.V
pues
j V(S*) [V (*») -
? (*-* _ ,)] ! <• M S j <p (A>) _ <p (xk _ ,) | < M . V
Prescindimos de la exposición detallada de las propiedades de la integral de
Stieltjes, cuyo establecimiento es sumamente sencillo. Su estudio puede hacerse
en la obra clásica de Perron, Die Lehre von den Keltenbritchen en que se estudia
el concepto de integral de Stieltjes-Riemann •(*), algo más general que el expuesto en esta lección, y sus aplicaciones a la teoría de Tracciones continuas.
Dejando para otra lección la generalización más importante, llamada integral de Stieltjes-Lebesgue, señalemos aquí las generalizaciones más modestas
debidas a Steffensen (**) y Fréchet (***) cuyas-aplicaciones al cálculo de probabilidades y estadística son de extraordinario interés.
(*) Se supone cp (x) de variación acotada y no se yppone a /(.v) la condición de continuidad,
sino solamente la acotación, obteniéndose una condición de integrabilidad de Stieltjcs-Riein*1111
análoga a la expuesta en el § IV.
(**) Journal of the Actuarial Institute (1932).
(***) Duke .Mathematical Journal (1935).
— 473
§ XXIII.
—
FUNCIONALES LINEALES
Una funcional, en su concepto más amplio, .es una correspondencia que se
establece entre los elementos de ua cierto conjunto (de líneas, superficies, funciones, etc.) y un conjunto de números. Sólo estudiaremos el caso en que el
elemento variable es una función real f(x] y el valor de la funcional lo designaremos por V [ /'].
Entre éstas vamos a fijarnos especialmente en las llamadas funcionales lineales (Hadamard), que están definidas en el campo de las funciones continuas
en un intervalo (a , /;) y cumplen las dos condiciones siguientes: .
I.—La funcional V [/ ] es distributiva; es decir, que si c¡ y ct son constantes, se verifica
V [<\A + <»/,] - c, V [/,1 + ct V [/„].
II.—La funcional es acotada; es decir, que para toda función f(x) continua
en (a , b) existe un número M tal que
lín virtud de esta condición la funcional es continua, o sea, que si es
/ — /„ j •< £ también es
Vl/J
V[/,,] < Í ,
pues
I V [/] - V [/„] | =- J V [/-/„] ^ M . max
/-/« |<
M . =.
y, por tanto, si la sucesión/, ,/ä ,
,/„
de funciones continuas converge uniformemente hacia//también V [f„] converge hacia Y ' / ].
Se demuestra fácilmente la reciproca, es decir, que toda funcional que tiene
la propiedad 1 y es continua es acotada en todo dominio acotado del campo
funcional.
La condición I puede sustituirse por esta otra, menos restrictiva:
V[/,+/ s ] = V[/,]-!-VI/,]
De aqui resulta: i.° si es c entero: V \cf] = cV [/].
— 474 —
2.°.—Si 'c es racional:
Vlf/j-vd/j-iv,/,:
esta última igualdad resulta inmediatamente, pues
v[/] = v[«.-¿.J = «v[/|
3.°.—Si c es real, es limite de una sucesión convergente de números racionales y según las consecuencias de la condición 11 también es V [c f] = c V [f].
Extensión de la definición de funcional.—Con objeto de poder demostrar el
teorema de Kiesz, que permite la representación de las funcionales lineales por
UK. 24.
integrales de Stieltjes, vamos a ver cómo es posible extender la definición de
funcional a un campo más extenso que el de las funciones continuas. Como veremos, nos interesan las funciones características de intervalos semiabiertos'.
(a , f — o). Una tal función se puede considerar catuo límite de la sucesión
/„ (x) = / o en (/ , ¿)
( lineal en it — ' , /1
\
» I
Como se vé, tal sucesión es monótona no decreciente. Vamos, pues, a expender la definición de funcional a las funciones límites de sucesiones no de-
~ 475 crecientes de funciones continuas (*). Si cp (*) es una de estas funciones es
también el límite de una sucesión creciente de funciones continuas; pues si
i
f„ (x) no lo fuera, basta reemplazar/„ (x) por/„ (x)-.
.
Definiremos la funcional V [tpl como el límite finito y determinado de V [/„]
cuando n -> oo, siendo /„ \x] una sucesión creciente de funciones continuas
en (rt, b).
•
Habrá, pues, que probar: i.°, la existencia de aquel límite, y 2.°, su independencia de la sucesión /„ de funciones que converge hacia cp.
Demostremos que V [/„ ] tiende hacia un límite finito cuando « —»• oo 'y
dicho límite será, por definición V [cp]. Tenemos:
V [<p] .= lim V [/„] = lim V [/, + (ft _/,) +
« —>- oo
= lim (V [/,] + V [/,-/,]+
,
+ (/„ -/„_,)] =
« —>• oc
ft •—>
' + V [/.-/»_,])
50
y esta serie es absolutamente convergente. En efecto: si es d¿ ===== ± i, resulta:
m
tu
m
2 | V [/„ -/„_,] | = £fl»V [/. _/._•,)] = ^1 V [6* (/-/»_,)] =
I
2
Î
^ v l ^ O ^ / » - / , - , ) ^ M . -.imáx 2 8 - (/"-/--i)
V,r
< M . máx ^j
(/«-/„J,) < M . máx | /« —/, | < M . máx | » — /t
2
pues es tp >/„,. Estando acotadas estas sumas parciales, la serie dada es absolutamente convergente y su suma es V [cp].
Se obtiene el mismo límite V [tp] considerando otra sucesión creciente
Kj << F2 <
< F„ <C • • • • que converja hacia tp. En efecto: cualquier función ff de la primera sucesión es inferior a todas las posteriores a una cierta
función Ff de la segunda, pues si fuese ff > Ff para todo valor de ç, la diferencia ff — Fg > o tendría un límite Jf — cp > o, es decir, ff > tp, contra lo supuesto. Análogamente, cada función F/, es superada por todas las posteriores a
alguna f/¡ . Es, pues, posible formar la sucesión
^<FJt<f.-.<vJt<
(*) Estas i'unciones se llaman semicontinuas inferiormente.
— «70
cuyo límite es <p, luego
lim V[/„]= lim V [F,] = V [ç].
n —> oc
*
p —>• oo
Probemos ahora que V [<p] es una funcional lineal, es decir, que si es
if =- lira fn
y
<1 = lim
F„.
se verifica
vi'iV + '>W = 'tVM + '*vWEn efecto: basta pasar al límite en la igualdad
V \c,/„ + ct F„] = c, V [/.] + c, V [F„] .
Teorima'de Riesz.—Cualquier funcional lineal definida para todas las funciones continuas en (a, b) es de la forma
f (x) d a (x)
1*1
siendo a (x¡ una función de variación acotada que caracteriza a. la funcional.
w* >
1
1
'
â
x i-í
?<i
b • X
Kig. 25.
En efecto: sea tf, (x) la función característica del intervalo semiabierto
(a, i — o) y definamos la función a (t) = V [*, (^)J. Vamos a demostrar que a (/)
477 —
es de variación acotada en (<i, b}. Para ello, consideremos una subdivisión del
intervalo (a, b) mediante los puntos
a = .v„- < .r, <
< .v« = b
< ,\v_, < x; <
y representemos por <j>/ (.r) la función característica dei intervalo semiabierto
U',-_,1 xi — o)- líntonces, para t = .f,- resulta
¡p
(.r) = ò, (.v) -(- (¡ij f.v) -f-
-f 6; (.v)
luego
„(*,•) = V K. (.v)] = V [é, (.v)-f-
:|-4;^] = Y [.>,(*)!-[-
+ Vft«»]
y por tanto:
* ( * , • ) - « UV_ ,)=: V H,,'(.*)]
de donde, siendo 6/ = ± i ,
'
ï | a-(.v,-; - íz (*«_,) . -— ï
.
V [i/ (.vi) ! = S 6,-V [<!<,• f*)] = V [I t), •!,,• i.r)] <
<: M • máx S O/-i,-(.r) — M.
pues la suma l O,- ^, (.r) no excede a la unidad, ya que en cada punto x son
nulas todas las y. {.r) excepto una, a Io más. « (/) es, pues, de variación
acotada.
Demostremos-'por último que, bi/(-i') es continua en ( / ? , / > ) , toda funcional
lineal V [ / ] está definida por la integral de Stieltjes \z . luí efecto: la función
'XJ
^ /(.v/l <l)¿ (.v) =/ (.r,) -i, (jr) -f / (,r2) !J,S U-i ^
converge uniformemente hacia la función continua f(x\ luegc teniendo en
cuenta que f(x¡) es un número y •]),• (x) = yx¡(x) — ?.r/_ (x}i l'esulta
47 S -
I
lim
-
H
• ^^
•
/. YI.VI) V [^.-'(jc1)] =
Ì
" S*i
-.
«
"V f (.vi) ò;(x) — lini *y \7 í AV/) -j/ f.v)] =
"i '
J " ~* » ^
lim
1
^T
>/(.v,-) V [(i» r .(.r)—¡p.,..
n—>X f^Tj
' '
(.r)] =
'~i
b
=
lim
v.7 /(.v;) [_'/. '.vi,:) — 'ci (.v; _ , ) = Jr /(.v) d i (.v),
c,' q. d.
»—i
A'o/as
El teorema de Ries'z, que aquí hemos demostrado para el espacio de las funciones continuas en (a.b), se generaliza por método análogo a otros espacios funcionales (*).
Las aplicaciones de la integral de Stieltjes son innumerables y algunas pueden verse
en la bibliografía precitada. Aplicación importante a la Teoría de sumación dé series divergentes puede verse en la tesis de San Juan (**). Aplicaciones técnicas de gran interés se
encuentran en las memorias de Tarradas (***).
§ XXIV.
IDEA DE LA INTEGRAL DB STIELIJES-L-EBESGUE \ DE LA INTEGRACIÓN
EN ESPACIOS ABSTRACTOS
La definición de integral de Stieltjes expuesta ha sido el punto de partida
de una serie de generalizaciones del concepto de integral, cuyo interés es muy
grande.
Prescindiendo del método de Lebesgue, que, mediante un cambio de variable logra definir la integral para 'todas las funciones medibles y acotadas, el
método más fecundo es el de Radon que, mediante la teoría de las funciones de
conjunto, llega a la integral corrientemente llamada de Stieltjes-Lebesgue por
un camino completamente paralelo al que hemos seguido en el § HI para
la integral (L). Pero el interés principal del método de Radon está en ser el punto de partida de la integración en espacios abstractos iniciada por Frechet y
proseguida por Danieli, Kolmogoroff, Ridder, Carathéodory, Hahn, Birkhoff,
etcétera, etc.
Aquí vamos a indicar el concepto de integral debido a Frechet y de él obtendremos como caso particular la integral de Stieltjes-Lebesgue.
(•) Véase el libro da Banach, Théorie des opérations linéaires, Varsòvia, 1932.
(**) Sumación de series de radio nulo (Revista de la R. Academia de Ciencias, 1932).
(***) Sobre el Método de Cdlcn'lo de [{eaviside, «Revista Matemática Hispano Americana».
1930.'»—Integrales de Fourier-Sticltjes (Discurso inaugural del Curso 1930-31 en la Universidad
de Madrid).
— 479 —
Supongamos un conjunto 5* de elementos P, en el cual está definida una
clase Ç de subconjuntos E de elementos P con las siguientes propiedades:
i ) . Si E t y E2 peitenecen a 9, también pertenecen E, 1Í2 y 1C, -f- E2.
2) Si E! , E 2 , ... , E,, , ... sort conjuntos pertenecientes a 9, también £ F,„
pertenecen a 9.
Los conjuntos de la familia aditiva Casi definida los llamaremos conjuntos
niedibles (6).
Una función real finita F (E) definida en los conjuntos niedibles (Ç) se llama
completamente aditiva si verifica la condición
F ( X E „ ) = i;iMK„)
n
n
suponiendo los conjuntos E„ disjuntos.
Por un procedimiento completamente análogo al del § XIV se demuestra
el siguiente
Teorema.— J rìda función completamente aditiva de conjunto inedible (Ç) es la
diferencia de dos funciones completamente aditivas //o negativas de conjunto inedible (9).
Tales funciones completamente aditivas, no negativas, se llaman Monótonas.
Dada una función cualquiera ¡i (E) de conjunto medible ( Ç ) , monótona y
completamente aditiva, el número ¡i (E) se llama medida (\>.) del conjunto E.
Los subconjuntos (medibles o no) de conjuntos de medida (\\.} nula (sean
medibles o no) se dirán de medida (¡i.) nula.
Si todo conjunto de medida (ji) nula pertenece a Ç esta familia se dice completa. En el caso de una familia 9 no completa, la familia ç de los conjuntos
que difieren de los conjuntos E -< 9 a lo sumo en un conjunto de medida (|i)
nula, es completa y se ve fácilmente que es la mínima familia aditiva completa
que contiene a Ç (*).
Supongamos definida en el conjunto £P una función de punto /(P). Tal
función se dirá medible (Ç) si para todo número real c es medible el conjunto
R[/(P)>4
[•
Siendo ésta la misma definición dada en el $ 111 para funciones medibles
en R„, se ve fácilmente que se generalizan inmediatamente las propiedades de
las funciones medibles allí establecidas.
Vamos ahora a la definición de integral. Supongamos una familia 9completamente aditiva de subconjuntos de un espacio £P y una medida ¡i (P) definida
para dichos subconjuntos. Designemos por Ç la familia 9 completada.
(*) S¡ Ces la familia de los conjuntos medibles (B) de R„ y y. la medida (B), Ç es la familia
de los conjuntos medibles (L).
— 480 —
Comencemos considerando una función/(P) medible (Ç) y acotada. Dividamos el intervalo de variación de la función mediante los puntos
A= v
„ o <y\ <
O-i <> = B
y llamemos
EI
a los conjuntos de }
puntos en que es
yo </(P)<^i
<f(p)<\v
>-,</(P)<>
conjuntos que, en virtud de las hipótesis, son medibles (|i).
Formemos la suma:
S = v, [i (E,) + V2 y. VE2) +
-f y n ¡j. (E„1 ;
la integral definida (¡t) rtV {'(!') en el conjunto 1C se define asi:
l¡t) / / - ( I W i ' - li m Svilii'. *ï
siendo este limite correspondiente a cualquier sucesión-,de subdivisiones de
IA , B) Uü que el máximo subintervalo tienda a cero.
Con la misma sencillez que en el § 111 se prueba, con las hipótesis hecha*
aquí, la existencia de dicho límite y su independencia de la sucesión de subdivisiones.
I.a definición de la integral para funciones no acotadas y el concepto de
función sumable son idénticos a los ya expuestos en el § VIII y siguientes.
Dada la índole introductoria de estas Conferencias no insistiremos sobre ell°
ni sobre las propiedades que se derivan fácilmente: propiedad aditiva de la integral, teorema de l.ebesgúe, teorema de Kubini, etc. (*).
Si suponemos que 3? es un intervalo lineal (a , ¿), Cía clase de los conjuntos
medibles (L) de (ir, h) y ¡j. (1C) es la medida (L) tenemos la integral (L) estudiada
con todo detalle en gran parte de estas conferencias.
Si & es el intervalo (a , b) , ¡i. (E) la función de conjunto definida, mediante
I*) Un excelente resumen tontiene el apéndice de la obra de Saks citada. La edición en ingle 5
(19371 de esta obra desarrolla en forma muy completa la teoría de la integración en espacios abst"actos.
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la función monótona no decreciente ep (,r) y Ç la clase de todos los conjuntos
de puntos medibles respecto a |i (E), tenemos la llamada integral de StieltjesLebesgue que, para y (x) = x, re reduce a la integral (L).
Análogamente se puede ver cómo otros conceptos de integral (de Young,
Pierpont, etc.), establecidos en el curso de estas conferencias quedan contenidos
en este concepto general de integral en un conjunto abstracto. ' Hl método de
Rey Pastor, resumido en el § XIII, para la integral en R n , ha sido generalizado
por el mismo autor a la integración en espacios abstractos. (Véase su Curso de
Funciones reales, t. II.)
Notas
Modernamente se ha establecido el concepto de integral para correspondencias más
generales que las aquí estudiadas, para el caso en que la función definida en un cierto
espacio abstracto no tome valores numéricos sino que haga corresponder a los puntos de
aquel espacio puntos de otro espacio. Tales correspondencias t se llaman operaciones. He
aquí la bibliografia más saliente:
Rirkhoff.—Integration of functions with values in a Banach space (T. A. M. S., 1935).
Bochner.— Integration von funktionen.... ( F u n d . Math., 1933).
I)umford.—Integration in general Analysis (T. A. M. S., 1935). Integration of vector
valued functions (Bull. Am. Math. Soc., IQ37).
Gowurin. — Ueber die Stieltjes Integration abstrakter F u n k t i o n e n (Fund. Math., 1936).
Pettis. —On integration in vector space (T, A. M. S., 1938).
Price.—The Theory of integration (T. A. M. S., 1940).
Carathéodory. — Entwurf für eine Algebraisierung des Integralbegriffs (Sitz. Munich.,
1938, p. 27).
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