2013-apunte-fcontyfderivables

UNRN - MATEMÁTICA I (Lics. en Admin., Turismo y Hotelerı́a)
(A) Teoremas para funciones continuas.
Def.: Una función f : (a, b) → R se dice continua en un intervalo real abierto (a, b), si es continua en cada
punto x0 del intervalo (a, b).
Es decir, para cada punto x0 tal que a < x0 < b , se tiene que: (i) existe f (x0 ); (ii) existe el lı́mite :
limx→x0 f (x) = L, con L ∈ R ; (iii) y además coinciden: f (x0 ) = L.
Def.: Una función f : [a, b] → R se dice continua en el intervalo real cerrado [a, b], si:
(i) f (x) es continua en el intervalo abierto (a, b);
(ii) f (x) es continua a derecha en a. O sea, existen y coinciden f (a) y el lı́mite lateral derecho de f (x)
en a:
f (a) = limx→a+ ;
(iii) f (x) es continua a izquierda en b. O sea, existen y coinciden f (b) y el lı́mite lateral izquierdo de f (x)
en b:
f (b) = limx→b− .
(I) TEOREMAS para funciones continuas en intervalos cerrados:
Sea la función f : [a, b] → R, continua en [a, b]. Se prueba entonces que:
i) f (x) es una función acotada. (Es decir, el conjunto imagen de f está acotado inferior- y superiormente.)
————ii) [Teorema de Bolzano-Weierstrass o Weierstrass] f (x) alcanza (al menos) un valor mı́nimo y un valor
máximo para x ∈ [a, b].
Observación: es importante que se trate de un intervalo cerrado. Por ej.: f (x) = x en (a, b) no tiene
extremos, mientras que la misma función en el intervalo cerrado [a, b]: es mı́nima para x = a y máxima para
x = b.
————iii) [Teorema de Bolzano] si además f (a) y f (b) tienen signos distintos, entonces existirá (al menos) un
valor c ∈ (a, b) para el cual se anula la función: f (c) = 0.
Observaciones:
1) Notar que el teorema de Bolzano expresa que cualquier función continua en [a, b] representada por una
curva que comienza arriba (o abajo) del ejex en un borde del intervalo, y termina abajo (o arriba) del ejex
en el otro borde del intervalo, debe necesariamente cortar el ejex al menos en un punto intermedio.
2) Notar que el teorema de Bolzano brinda un criterio que ayuda a localizar los ceros de una función, o
sea determinar las raı́ces de la ecuación f (x) = 0 (circunscribiendo la búsqueda a intervalos que deben
contenerlos). Muchos algoritmos numéricos para búsqueda de ceros se basan en aplicar iterativamente esto.
3) Ejemplo: El polinomio f (x) = 4x3 − 8x tiene una raı́z en el intervalo [1,2].
Dem.: f (x) cumple todas las condiciones del teorema de Bolzano en [1, 2], ya que es función continua, y en
los extremos tiene distinto signo: f (1) = −4 < 0 y f (2) = 16 > 0. Por el teor. de Bolzano, tendrá entonces
una raı́z en [1, 2].
√
√
2
Es más, podemos aún verificarlo
√ factorizando: f (x) = 4x(x − 2) = 4x(x + 2)(x − 2). En el intervalo
[1, 2] se encuentra la raı́z: x = 2.
————–
iv) [Corolario: Teorema del valor intermedio] Dada f : [a, b] → R, continua en [a, b], si además existe y tal
que f (a) < y < f (b): entonces existe (al menos) un valor intermedio c ∈ (a, b) tal que f (c) = y.
Dem.: Basta aplicar el teorema de Bolzano a la función g(x) = f (x) − y.
Dicha función por hipótesis será continua en [a, b], con g(a) = f (a) − y < 0 y g(b) = f (b) − y > 0. Luego
por el teor. de Bolzano, existe c ∈ (a, b) tal que g(c) = 0 = f (c) − y, con lo cual f (c) = y.
Observación: notar que esto implica que una función continua en un intervalo cerrado, pasa de un valor a
otro tomando todos los valores intermedios (sin saltos o discontinuidades).
(II) Teorema de conservación del signo de una f.continua (en el entorno de un punto).
Si la función f (x) es continua en un punto x0 tal que f (x0 ) 6= 0, entonces existe un intervalo real I alrededor
de x0 , en el cual la función tiene el mismo signo que en x0 :
signo[f (x)] = signo[f (xo )], para todo x ∈ I.
(B) Teoremas para funciones derivables (con ejemplos de aplicación).
NOTA: Usamos la notación habitual para la derivada de la función f en el valor x0 de su variable (real):
df
d f (x) f 0 (x0 ) =
(x0 ) =
dx
dx x=x0
Def.: Una función f : (a, b) → R se dice derivable en el intervalo real abierto (a, b), si existe f 0 (x0 ) para cada
punto x0 ∈ (a, b).
Def. (Extremos): Sea la función f : I → R, donde I es un intervalo real (abierto o cerrado),
x0 ∈ I:
i) x0 es un máximo de f en I, si: f (x0 ) ≥ f (x) para todo x ∈ I.
ii) x0 es un mı́nimo de f en I, si: f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ I.
——————————————————(I) T EOREM A: (de Fermat)
Sea la función f : (a, b) → R, derivable en el intervalo abierto (a, b), y sea x0 un extremo (máximo o mı́nimo)
de f en (a, b).
Entonces: f 0 (x0 ) = 0.
Dem.: Supongamos que x0 es un máximo de f(x) en (a,b), por ejemplo, con lo cual: f (x) ≤ f (x0 ), para todo
x ∈ (a, b). (Análogamente se dem. para x0 mı́nimo.)
Considere las dos derivadas laterales de f(x) en x0 :
0
f+
(x0 ) = lim
x→x+
0
f (x) − f (x0 )
≤ 0,
x − x0
0
f−
(x0 ) = lim
x→x−
0
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
Como f es derivable en x0 (x0 ∈ (a, b)), ambas derivadas laterales deben coincidir, por lo cual resulta:
f 0 (x0 ) = 0.
Ejemplos:
i) la parábola f (x) = x2 tiene un mı́nimo en x = 0, y se verifica que allı́ su derivada (f 0 (x) = 2x) se anula:
f 0 (0) = 0.
ii) análogamente, la parábola f (x) = −x2 tiene un máximo en x = 0, en donde su derivada se anula:
f 0 (0) = 0.
——————————————————(II) T EOREM A: (de Rolle)
Sea una función f : [a, b] → R, continua en el intervalo real cerrado [a, b], y derivable en (a, b),
tal que: f (a) = f (b).
Entonces, existe al menos un punto x0 ∈ (a, b) tal que: f 0 (x0 ) = 0.
Ejemplo:
Considere la función cuadrática f (x) = x2 , en el intervalo [-1, 1].
Allı́ la función cumple las condiciones requeridas por el teorema de Rolle: es continua en [-1,1], derivable en
(-1,1), y: f (−1) = f (1) ( = 1 ).
Y efectivamente, como implica el teorema de Rolle, existe un punto del intervalo (-1,1) en el cual la derivada
de f se anula: x = 0, según vimos ( que corresponde al mı́nimo de la parábola).
——————————————————-
* (III) T EOREM A: (del valor medio de Lagrange)
Sea una función f : [a, b] → R, continua en el intervalo real cerrado [a, b], y derivable en (a, b).
Entonces, existe al menos un valor x0 ∈ (a, b) tal que:
f 0 (x0 ) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Ejemplos:
* i) El caso presentado en el ejemplo de aplic. del teorema de Rolle, nos sirve aquı́ también como ejemplo:
f (x) = x2 , en el intervalo [-1, 1],
Cumple las condiciones del teorema de Lagrange: x2 es continua en [-1,1] y derivable en (-1,1).
Según el teorema de Lagrange, existe entonces algún punto intermedio x0 ∈ (−1, 1) tal que f 0 (x0 ) =
f (1)−f (−1)
= 0, en este caso. El punto intermedio que cumple f 0 (x0 ) = 0, (por lo ya visto) sabemos que
1−(−1)
es: x0 = 0.
* ii) Considere la función lineal f (x) = x, en el intervalo [0, 2].
Cumple las condiciones del teorema de Lagrange: la función es continua en el intervalo [0,2] , y derivable en
el intervalo (0,2).
Según el teorema de Lagrange, entonces existirá algún punto intermedio x0 ∈ (0, 2) tal que f 0 (x0 ) =
f (2)−f (0)
2−0
= 2−0
= 1.
2−0
Efectivamente, se verifica el teorema: y vemos que inclusive hay más de un punto intermedio, en las condiciones del teorema. Cualquier x0 ∈ (0, 2) servirá, porque satisface que: f 0 (x0 ) = 1.
(La derivada de esta función particular es f 0 (x) = 1, para todo x)
OBSERVACIONES:
-a) Como muestra la figura, notar que el teorema de Lagrange implica que existe al menos un punto intermedio
como x0 , en el cual la recta tangente a f(x) es paralela a la recta secante que pasa por los puntos del plano
A = (a, f (a)) y B = (b, f (b)).
( NOTA: la función de la figura presenta además un segundo punto intermedio, x1 , en las condiciones del
teorema de Lagrange)
-b) Notar que el teorema de Rolle puede obtenerse como un caso particular del teorema de Lagrange: cuando
f (a) = f (b).
Gráficamente, el teorema de Rolle indica entonces que si la gráfica de f(x) tiene un par de puntos tales que
la recta secante por ellos es horizontal, entonces f(x) tendrá una tangente horizontal para algún valor de la
variable ubicado entre dichos puntos.
** Verifique las interpretaciones geométricas (a) y (b), gráficamente, para los ejemplos de aplicación de los
teoremas de Rolle y Lagrange que se presentaron.
——————————————————-
(IV ) Otros teoremas: (que se prueban a partir del teorema de Lagrange)
–1) Sea una función f : [a, b] → R, continua en el intervalo real cerrado [a, b], y derivable en (a, b).
-i) Si: f 0 (x) = 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces f (x) = k, con k ∈ R ( o sea, f es constante en el intervalo [a, b] ).
-ii) Si: f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces f(x) es estrictamente creciente en el intervalo [a, b].
-iii) Si: f 0 (x) < 0 para todo x ∈ (a, b),
entonces f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo [a, b].
–2) Sean dos funciones f, g : [a, b] → R, ambas continuas en el intervalo real cerrado [a, b],
y derivables en (a, b).
Si f 0 (x) = g 0 (x) para todo x ∈ (a, b),
entonces: f (x) = g(x) + k , con k ∈ R, para x ∈ [a, b].
(es decir, las dos funciones a lo sumo difieren en una constante).
———————————————————
V. EJEMPLOS DE APLICACIÓN ADICIONALES
-1) Verificar que la función f (x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos
[-1,0] y [0,1]. Hallar los valores correspondientes del valor medio x0 que implica el teorema.
Solución:
f(x) es continua en los intervalos cerrados [-1,0] y [0, 1]; y derivable en los correspondientes intervalos abiertos
(-1,0) y (0,1). Evaluemos aún f(x) en los puntos extremos de cada intervalo:
f (−1) = −1 − (−1)3 = −1 − (−1) = 0,
f (0) = 0,
f (1) = 1 − 1 = 0
Es decir, f(x) toma mismo valor en ambos puntos extremos de cada intervalo considerado.
Luego, f(x) satisface todos los requisitos del teor. de Rolle, respectivamente, en cada uno de los intervalos
considerados.
Por lo cual, sabemos que existirá al menos un punto intermedio x0 en cada intervalo, en el cual la derivada
de f se anulará. Encontremos dichos ceros de f’(x):
f 0 (x) = 1 − 3 x2 ,
(1)
f 0 (x0 ) = 0 = 1 − 3x20 ,
o sea : x20 =
1
3
(2)
−1
De modo que: x0 = √
en el intervalo (-1,0), y x0 = √13 en el intervalo (0,1), respectivamente, son los
3
ceros de f’(x) predichos por el teorema de Rolle para cada intervalo.
-2) Considere la función: f (x) = (x + 1)(x − 1)(x − 2).
Demuestre que la ecuación f 0 (x) = 0 tiene dos raı́ces reales.
Solución:
El teorema de Rolle puede servirnos para demostrar lo pedido, ya que bastará con encontrar dos intervalos
cerrados que cumplan todas las condiciones del teorema, para que nos asegure que existe al menos un cero
(raı́z real) de f’(x) en el interior de cada intervalo.
Por de pronto, la función polinómica f(x) es continua y derivable en todos los reales (y en particular, en
cualquier intervalo real).
Buscamos aún, entonces, dos intervalos cerrados tales que f(x) tome igual valor en los puntos extremos
de cada intervalo: en este problema, esto es simple porque f(x) aparece factorizada. De inmediato vemos
entonces que f(x) se anula (tomando mismo valor: cero) para x= -1, 1, 2. Es decir, f(-1) = f(1), y también:
f(1) = f(2). Ası́ identificamos los puntos extremos de los dos intervalos en las condiciones del teor. de Rolle
buscados.
En resumen, por cumplirse todas las condiciones del teorema de Rolle: f’(x) tendrá una raı́z real en el
intervalo [-1,1] y otra raı́z real en el intervalo [1,2].
(Comentario: además, no habrá otras raı́ces. Ya que f’(x) será un polinomio de segundo grado, al obtenerse
como derivada del polinomio f(x) de tercer grado).