sen cos = d x x dx cos sen = − d x x dx tan sec = d x x dx cot csc

Guía de estudio
Derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
Unidad C: Clase 46 y 47
Camilo Ernesto Restrepo Estrada, Lina María Grajales Vanegas y Sergio Iván
Restrepo Ochoa1.
5. Derivadas de las funciones trigonométricas
Teorema 7: Derivadas de las funciones trigonométricas son:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
d
[sen x ] = cos x
dx
d
[ cos x ] = − sen x
dx
d
[ tan x ] = sec2 x
dx
d
[ cot x ] = − csc2 x
dx
d
[sec x ] = sec x. tan x
dx
d
[csc x ] = − csc x.cot x
dx
Si u = u ( x) es derivable en x por la regla de la cadena se sigue que
1.
2.
3.
4.
5.
6.
d
[sen u ( x)] = cos u ( x) ⋅ u '( x)
dx
d
[ cos u ( x)] = − sen u ( x) ⋅ u '( x)
dx
d
[ tan u ( x)] = sec2 u ( x) ⋅ u '( x)
dx
d
[ cot u ( x)] = − csc2 u ( x) ⋅ u '( x)
dx
d
[sec u ( x)] = sec u ( x) ⋅ tan u ( x) ⋅ u '( x)
dx
d
[ csc u ( x)] = − csc u ( x) ⋅ cot u ( x) ⋅ u '( x)
dx
Camilo Ernesto Restrepo Estrada. Facultad de Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección
electrónica: [email protected]. Lina María Grajales Vanegas. Facultad de Ciencias Económicas Universidad
de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected]. Sergio Iván Restrepo Ochoa. Facultad de
Ciencias Económicas Universidad de Antioquia. Dirección electrónica: [email protected].
1
252
Demostración
cos ( x + ∆x ) − cos x
d
[ cos x ] = ∆lim
x →0
dx
∆x
cos x ⋅ cos(∆x) − sen x ⋅ sen ∆x − cos x
= lim
∆x → 0
∆x
cos x [1 − cos(∆x) ] − sen x ⋅ sen (∆x)
= lim
∆x → 0
∆x
1 − cos(∆x)
sen (∆x)
= lim cos x ⋅
− sen x ⋅ lim
= −sen x
∆x → 0
∆x →0
∆x
∆x
d
= [ cos x ] = −sen x
dx
2.
d
d
sen x ] .cos x − sen x [ cos x ]
d
d  sen x  dx [
dx
=
3.
[ tan x ] = 
dx
dx  cos x 
cos 2 x
=
cos 2 x + sen 2 x
1
=
= sec 2 x
2
2
cos x
cos x
d
d
1  0 ⋅ sen x − 1 ⋅ cos x
=
[ csc x ] = 
dx
dx  sen x 
sen 2 x
cos x 1
=−
⋅
= − csc x.cot x
sen x sen x
6.
Ejemplo 1
Encontrar la deriva de las siguientes funciones
a. f ( t ) = sec t tan t
b. y = x 2sen x + 2 x cos x
Solución
a. f ( t ) = sec t tan t
f ′ ( t ) = Dt (sec t ) ⋅ tan t + Dt (tan t ) ⋅ sec t
= sec t tan t ⋅ tan t + sec2 t ⋅ sec t
= sec t tan 2 t + sec3 t
b.
dy
= 2 x sen x + x 2 cos x + 2 cos x − 2 x sen x
dx
= x 2 cos x + 2 cos x
= cos x ⋅ ( x 2 + 2)
253
Ejemplo 2
Determine Dx [cos 2 ( sen( x 2 ))]
Solución
Dx [cos 2 (sen( x 2 ))] = Dx [cos(sen( x 2 ))]2
= 2[cos(sen( x 2 ))]Dx cos(sen( x 2 ))
= 2[cos(sen( x 2 ))][− sen(sen( x 2 ))]Dx sen( x 2 )
= 2[cos(sen( x 2 ))][− sen(sen( x 2 ))]cos( x 2 ) Dx x 2
= 2[cos(sen( x 2 ))][− sen(sen( x 2 ))]cos( x 2 )2 x
= −4 x ⋅ cos(sen( x 2 )) ⋅ sen(sen( x 2 )) ⋅ cos( x 2 )
Ejemplo 3
Determine f ′ ( x ) , f ′′ ( x ) , f ′′′ ( x ) si f ( x ) = tan x
Solución
f ( x ) = tan x
f ′ ( x ) = sec 2 x
f ′′ ( x ) = 2sec x sec x tan x = 2sec 2 x tan x
f ′′′ ( x ) = 4sec x sec x tan x tan x + sec 2 x ( 2sec2 x )
= 4sec 2 x tan 2 x + 2sec 4 x
Teorema 8: Derivadas de las funciones exponenciales
1. Si f ( x ) = e x entonces f ′ ( x ) = e x .
2. Si f ( x ) = eu ( x ) entonces f ′ ( x ) = eu ( x ) ⋅ u ′( x) .
3. Si f ( x ) = a x entonces f ′ ( x ) = a x ⋅ ln a .
4. Si f ( x ) = a u ( x ) entonces f ′ ( x ) = a u ( x ) ⋅ u ′( x) ⋅ ln a .
Ejemplo 4
dy
para las siguientes funciones
dx
a. y = e x + 3x + x 3 + 8
Encuentre
b. y = 6 2 x
c. y = x 2 ⋅ e5 x
Solución
a. y ' = e x + 3x ⋅ ln 3 + 3 x 2
b. y ' = 62 x ⋅ 2 ⋅ ln 6
254
c. y ' = 2 x ⋅ e5 x + e5 x ⋅ 5 x 2
Teorema 9: Derivada de funciones logarítmicas
1
d
[ log a x ] =
dx
x ⋅ ln a
d
u '( x)
con u ( x) una función derivable de x .
2.
[ log a u( x)] =
dx
u ( x) ⋅ ln a
d
1
3.
[ ln x ] = ; x > 0
dx
x
d
1 du u′( x)
4.
; u > 0 con u ( x) una función derivable de x .
[ ln u ( x)] = ⋅ =
dx
u dx u ( x)
1.
Ejemplo 5
d
5 1
ln ( 5 x )  =
=
dx
5x x
d
2x 2
ln ( x 2 )  = 2 =
b.


dx
x
x
6 x2
d
log 3 (2 x3 − 3)  =
c.
(2 x 3 − 3) ln 3
dx
1/ 2
d 
d
d 1
2x
x

d.
ln x 2 + 1  = ln ( x 2 + 1)  =  ln ( x 2 + 1)  =
= 2
2
 dx 
 dx  2
dx 
 2 ( x + 1) x + 1
a.
Derivación logarítmica
Aplicando primero la función logaritmo y usando sus propiedades se puede
simplificar el trabajo de derivar expresiones que incluyan productos, cocientes
y potencias. Este método se llama derivación logarítmica.
Ejemplo 6
Derive y =
x2 5x + 2
(x
3
+ 1)
3
Solución
Tomando logaritmo natural en cada lado de la ecuación se tiene que
x2 5x + 2
( x 3 + 1)3
ln y = ln x 2 + ln(5 x + 2)1 2 − ln( x3 + 1)3
ln y = ln
Prop. de ln para el produto y
cociente
1
ln y = 2 ln x + ln(5 x + 2) − 3ln( x 3 + 1)
2
255
Prop. de ln para la potencia
y′ 2
5
3(3x 2 )
= +
− 3
y x 2(5 x + 2) x + 1
derivando a ambos lados de la
ecuación
y′ 2
5
9 x2
= +
−
y x 2(5 x + 2) x 3 + 1
y′ =
x2 5x + 2  2
5
9 x2 
+
−
( x3 + 1)3  x 2(5 x + 2) x 3 + 1 
Referencia
•
Haeussler, Ernest F, Jr. y Richard, S. Paul. Matemáticas para
administración y economía. Pearson – Prentice Hall. Décima segunda
edición, 2008
•
Larson, R., Edwards, B.H., Hostetler, R.P. Cálculo Esencial. Editorial
CEGANGE Learning. Primera edición, 2010.
•
Purcell, Edwin. Dale, Varberg y Steven E. Rigdon. Cálculo. Pearson Prentice-Hall. Novena edición, 2007.
•
Simons, Geroge, F. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw - Hill.
Segunda Edición, 2002.
•
Stewart, James. Cálculo conceptos y contextos. International Thomson
Editores, 1998.
256