1 29.- Una empresa puede emplear tres procesos productivos

Programación Matemática para Economistas
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Máquina
29.- Una empresa puede emplear tres procesos productivos diferentes, en cada uno de los
cuales se precisa utilizar tres máquinas. Según el proceso productivo elegido para fabricar
una unidad de producto se necesita usar de cada una de las máquinas las siguientes horas:
M1
1
2
Proceso
2
1
3
3
M2
4
2
3
M3
3
4
2
Cada máquina está disponible 50 horas. El beneficio por unidad de producto fabricado con
el proceso 1 es de 15 u.m., con el proceso 2 es de 18 u.m. y de 10 u.m. si se emplea el
proceso 3. Se pide:
a) ¿Cómo debería organizarse la producción para obtener el beneficio máximo?
b) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una hora más en la máquina M2?
c) Realice un análisis de sensibilidad para el número de horas disponible de la primera
máquina.
Solución:
a) Vamos a repartir los productos que fabriquemos entre los 3 procesos.
Denominaremos “x” a los productos que fabriquemos en el proceso 1, “y” a los
fabricados en el proceso 2, y “z” a los fabricados en el proceso 3.
Debemos maximizar el beneficio, sabiendo que el beneficio por unidad de producto
fabricado por los distintos procesos es respectivamente, 15, 18 y 10, luego:
Max 15x + 18y + 10z
Como restricciones tendremos las horas máximas de cada máquina:
Máquina 1Æ
2x + y + 3z ≤ 50
Máquina 2 Æ
4x + 2y + 3z ≤ 50
Máquina 3 Æ
3x + 4y + 2z ≤ 50
En consecuencia, el problema viene dado por:
Max
s.a
15 x + 18 y + 10 z
2 x + y + 3 z ≤ 50
4 x + 2 y + 3 z ≤ 50
3 x + 4 y + 2 z ≤ 50
x, y , z ≥ 0
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Y resolviendo el problema mediante LINDO, su solución es:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
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OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
240.0000
VARIABLE
X
Y
Z
VALUE
10.000000
5.000000
0.000000
REDUCED COST
0.000000
0.000000
0.200000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
25.000000
0.000000
3)
0.000000
0.600000
4)
0.000000
4.200000
NO. ITERATIONS=
2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE
X
Y
Z
ROW
2
3
4
OBJ COEFFICIENT RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
15.000000
20.999998
0.250000
18.000000
1.999996
10.499999
10.000000
0.200000
INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
50.000000
INFINITY
50.000000
16.666666
50.000000
50.000000
ALLOWABLE
DECREASE
25.000000
25.000000
12.500000
La solución es (10, 5, 0), es decir, produciremos 10 unidades en el proceso 1 y 5
unidades en el proceso 2, en el proceso 3 no produciremos nada. Obtendremos de este
modo un beneficio de 240 u.m.
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Respecto a las restricciones, decir que dejamos de utilizar 25 horas de la máquina 1,
utilizando el resto de las máquinas todas las horas posibles.
b) Estaría dispuesto a pagar el beneficio que le reporte esa hora más en esa máquina,
que podemos averiguarlo fijándonos en la variable dual de la segunda restricción,
pero antes debemos comprobar que esta variación no modifique la base óptima; esto
lo vemos en el intervalo de sensibilidad, observamos que le permite un incremento
de hasta 16,66 horas, por tanto un aumento de 1 hora no afectará a la solución.
Ahora vemos si afecta al beneficio mediante la variable dual, que vale 0.6, por tanto
un incremento de una hora afectará en un aumento de 1*0.6 = 0.6 u.m. de beneficio,
que es por tanto lo que estaría dispuesto a pagar.
c) Nos fijamos en la primera restricción, y el intervalo de sensibilidad será [25, ∞ ):
50 – 25 = 25
50 + ∞ = ∞
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