Problema 35 - Matemáticas

Programación Matemática para Economistas
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35.- Los alumnos y alumnas de un colegio, con el objetivo de recaudar fondos para el viaje
de fin de estudios, pretenden vender dos tipos de lotes, A y B. Cada lote tipo A consta de
una caja de bombones y cinco participaciones de lotería; cada lote tipo B consta de dos cajas
de bombones y dos participaciones de lotería. Por cada lote tipo A vendido los alumnos
obtienen un beneficio de 8 euros y por cada lote tipo B de 10 euros. Los alumnos disponen
de 400 cajas de bombones y de 1.200 participaciones de lotería, y éstas últimas se tienen
que vender en su totalidad.
a) Determine la cantidad de lotes de cada tipo que han de vender con el fin de maximizar el
beneficio utilizando el algoritmo del simplex. Interprete la solución obtenida e indique a
cuánto asciende el máximo beneficio.
b) Plantee el problema dual asociado y determine su solución a partir de la obtenida en el
apartado anterior. Interprete el valor obtenido de las variables duales.
Solución:
a) Tenemos dos tipos de lotes A y B.
Queremos maximizar el beneficio, B = 8A+ 10B
Max 8A+ 10B
•
Sabiendo que:
-
Cada tipo de lote esta formado por:
A = 1 caja de bombones + 5 participaciones de lotería
B = 2 cajas de bombones + 2 participaciones de lotería
-
Tenemos 400 cajas de bombones, por tanto las que gastemos entre los dos tipos
de lotes vendidos deben ser menor o igual a este número:
1A + 2B ≤ 400
-
Tenemos 1.200 participaciones de lotería, y éstas deben venderse en su totalidad:
5A + 2B = 1.200
•
El problema viene dado por:
Max
s.a
8 A + 10 B
A + 2 B ≤ 400
5 A + 2 B = 1.200
A, B ≥ 0
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Y resolviendo el problema mediante LINDO, su solución es:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
2600.000
VARIABLE
A
B
VALUE
REDUCED COST
200.000000
0.000000
100.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS
2)
0.000000
3)
0.000000
NO. ITERATIONS=
DUAL PRICES
4.250000
0.750000
0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
VARIABLE
A
B
ROW
2
3
OBJ COEFFICIENT RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
8.000000
17.000000
10.000000
INFINITY
ALLOWABLE
DECREASE
INFINITY
6.800000
RIGHTHAND SIDE RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
400.000000
800.000000
160.000000
1200.000000
800.000000
800.000000
La solución es (200, 100), es decir, venderán 200 lotes tipo A, y 100 lotes tipo B.
Obteniendo un beneficio de 2.600€.
Respecto a las restricciones, decir que consumimos todas las cajas de bombones y todas
las participaciones de lotería.
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b) El problema dual será:
Min
400λ1 + 1.200λ 2
s.a
λ1 + 5λ 2 ≥ 8
2λ1 + 2λ 2 ≥ 10
λ1 ≥ 0
cuya solución vendrá dada por la resolución del problema primal, siendo el valor de
la función objetivo el mismo y los valores de las variables duales son (4.25, 0.75),
los precios duales (DUAL PRICES) en el problema primal.
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