Problema 21 - Matemáticas

Programación Matemática para Economistas
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21.- La empresa Aceites Timonio produce dos tipos de aceite vegetal de girasol y de oliva,
en cantidades x e y respectivamente (en toneladas). El beneficio unitario de cada tonelada
producida de aceite de girasol y de oliva es, respectivamente, de 1 y 2 u.m. A fin de
mantener operativa la empresa, es necesario producir al menos 1 tonelada de aceite en total
cada mes. Por otro lado, un estudio de la demanda en el mercado de aceites permite obtener
la siguiente relación entre las cantidades a producir:
x ≥ 3y − 6
Finalmente, el coste de producción de una tonelada de aceite de girasol es de 3 u.m.
y el de una tonelada de aceite de oliva es de 1 u.m. La empresa no desea sobrepasar unos
costes totales mensuales de 12 u.m.
a)
b)
c)
Determine las cantidades mensuales que se deben producir cada mes a fin de obtener
el máximo beneficio. ¿Cuál es el beneficio obtenido? Señale las restricciones activas e
inactivas en el óptimo, e interprete su significado.
¿Es rentable para la empresa aumentar el presupuesto mensual destinado a cubrir los
costes totales?
El precio en el mercado del aceite de girasol está experimentando muchas variaciones
últimamente, por lo que su beneficio unitario fluctúa bastante. Determine el intervalo
en el que se puede variar dicho beneficio óptimo sin que se alteren los niveles óptimos
de producción.
Solución:
En primer lugar deberemos formular el problema. Como ya nos han identificado las
variables y el problema es un problema típico de producción sólo deberemos formular la
función objetivo ( se desea maximizar el beneficio y tenemos los beneficios unitarios)
B(x,y) = x + 2y
Y las restricciones, que son tres, si no contamos las de no negatividad de las cantidades
producidas: La primera es la formulada en “A fin de mantener operativa la empresa, es
necesario producir al menos 1 tonelada de aceite en total cada mes”:
x+y≥1
La segunda es la restricción derivada del estudio de la demanda:
x ≥ 3y − 6
que la transformamos en
–x + 3y ≤ 6
Y la tercera, que es la que se refiere a los costes:
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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2
3x + y ≤ 12
En consecuencia, el problema viene dado por
Max x + 2 y
s.a
x+ y ≥ 1
− x + 3y ≤ 6
3 x + y ≤ 12
x, y ≥ 0
Si resolvemos el problema mendiante LINDO, obtenemos:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
9.000000
VARIABLE
VALUE
REDUCED COST
X
3.000000
0.000000
Y
3.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
5.000000
0.000000
3)
0.000000
0.500000
4)
0.000000
0.500000
NO. ITERATIONS=
2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
X
1.000000
5.000000
1.666667
Y
2.000000
INFINITY
1.666667
ROW
RIGHTHAND SIDE RANGES
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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2
3
4
1.000000
6.000000
12.000000
5.000000
30.000000
INFINITY
3
INFINITY
10.000000
10.000000
a) La solución óptima es (3, 3), es decir producir 3 toneladas de cada tipo de aceite,
siendo activas las restricciones 2ª y 3ª, por tanto se da con igualdad la relación del
estudio de la demanda y por otro lado se consumen las 12 u.m. destinadas a la
producción, mientras que se excede en 5 toneladas la producción mínima para
mantener operativa la empresa.
b) Para que la contestación a dicha pregunta fuera afirmativa, tendría que ocurrir que
los beneficios derivados de incrementar en una unidad el presupuesto, es decir,
incrementar en una unidad el término independiente de la tercera restricción, fueran
positivos (suponemos no existen costes adicionales y que la función objetivo recoge
los beneficios, no los ingresos, y por tanto allí van ya imputados los costes), y esa
información viene aportada en la tercera variable dual, que en nuestro caso es 0.5, y
por tanto, es rentable.
c) La respuesta a esta cuestión viene contestada por el intervalo de sensibilidad del
primer coeficiente de la función objetivo, y dicho intervalo es [0, 6].
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz