Problema 24 - Matemáticas

Programación Matemática para Economistas
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24.- Una empresa produce dos bienes, A y B. La empresa tiene tres factorías que producen
conjuntamente ambos bienes en las cantidades por hora dadas en la tabla siguiente:
Factoría I
Factoría II
Factoría III
Bien A
10
20
20
Bien B
20
10
20
La empresa recibe un pedido de 300 unidades de A y 500 de B. El coste operativo
por hora de las factorías I, II y III es de 10.000, 8.000 y 11.000 euros respectivamente.
a)
b)
c)
d)
Formule y resuelva el problema de programación lineal para determinar el número de
horas que debe funcionar cada factoría para minimizar el coste de pedido.
Determine el problema dual y su solución mediante lo obtenido en el apartado
anterior.
¿Cuánto aumentará el coste mínimo del pedido si el coste por hora de la factoría I
aumenta en 100 euros?
¿Cuánto puede aumentar o disminuir el número de unidades del pedido del bien B para
que la tabla óptima obtenida en el apartado a) se mantenga?
Solución:
a) Teniendo en consideración que la información suministrada es de la producción por
hora, conjuntamente, en cada una de las factorías, es decir, por cada hora de
funcionamiento de la Factoría I, se producen 10 unidades del bien A y 20 del bien B
a la vez. Entonces nuestro modelo viene dado por
Min 10000 x1 + 8000 x 2 + 11000 x3
s.a
10 x1 + 20 x 2 + 20 x3 ≥ 300
20 x1 + 10 x 2 + 20 x3 ≥ 500
x1 , x 2 , x3 ≥ 0
cuya solución es:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP
3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
255000.0
VARIABLE
VALUE
X1
20.000000
REDUCED COST
0.000000
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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X2
X3
0.000000
5.000000
2
1500.000000
0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2)
0.000000
-100.000000
3)
0.000000
-450.000000
NO. ITERATIONS=
3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
COEF
INCREASE
DECREASE
X1 10000.000000
1000.000000
1500.000000
X2 8000.000000
INFINITY 1500.000000
X3 11000.000000
1000.000000
1000.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW
CURRENT
ALLOWABLE
ALLOWABLE
RHS
INCREASE
DECREASE
2
300.000000
200.000000
50.000000
3
500.000000
100.000000
200.000000
es decir (20, 0, 5), con un coste de 255.000 euros.
b) El problema dual viene dado por
Max 300λ1 + 500λ 2
s.a
10λ1 + 20λ 2 ≤ 10000
20λ1 + 10λ 2 ≤ 8000
20λ1 + 20λ 2 ≤ 11000
λ1 , λ 2 ≥ 0
cuya solución viene dada por la resolución del problema primal, siendo el valor de la
función objetivo el mismo y los valores de las variables duales son (100, 450), los
precios duales cambiados de signo debido a la estructura del problema primal.
c) Si el coste por hora de la factoría I crece en 100€, ¿cuánto crece el coste mínimo?
Esta pregunta, en principio tiene dos posibles contestaciones, dependiendo de si al
aumentar en 100 unidades el coeficiente de la variable x1, cambia la solución, es decir,
cambia la base óptima o no.
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En nuestro caso no cambia la base pues según el análisis de sensibilidad, dicho
coeficiente en 1.000 unidades sin que cambie la base. Por tanto en este caso tendremos
que la modificación en el coste mínimo será de 100x1 es decir, 2.000 será el incremento
del coste mínimo, debido al incremento del coste unitario.
d) Nos solicitan un análisis de sensibilidad del segundo recurso, que en este caso viene
dado por el intervalo [300, 600].
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