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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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Desde un acantilado a 20 m sobre el nivel del mar,
se observa un helicóptero en prácticas de salvamento.
Una persona desciende verticalmente hasta un barco en
el que alguien está en peligro. Si los ángulos de observación son de 75° para el helicóptero y 38° para el barco, ¿cuánto medirá el cable que va desde el helicóptero
al barco?
75°
38°
20 m
A
P
75°
38°
En el triángulo PQB 8 tg 38° = 20 8 PQ = 25,6 m
PQ
En el triángulo PQA 8 tg 75° = AQ 8 AQ = 25,6 · tg 75° = 95,5 m
PQ
Longitud del cable = 95,5 + 20 = 115,5 m
Q
20 m
B
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Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto del suelo que está entre
los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la
horizontal ángulos de 35° y 20°. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los
dos miden lo mismo?
h
h
tg 20° = h
x
35°
20°
h
x
tg 35° =
150 m
150 – x
h = x tg 20°
°
150 · tg 35°
¢ (150 – x)tg 35° = x tg 20° 8 x = tg 20° + tg 35° = 98,7 m
h = (150 – x) tg 35° £
h = 98,7 · tg 20° = 35,92 m
La altura de los dos edificios es de 35,92 m.
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En dos comisarías de policía, A y C, se escucha la
alarma de un banco B. Con los datos de la figura, calcula la distancia del banco a cada una de las comisarías.
A
B
h
A
27°
x
5 km
35°
C
5 km
35°
C
°
§ h = x tg 27°
°
¢
¢
h = (5 – x)tg 35° £
tg 35° = h §
5–x£
5tg 35°
= 2,89 km 8 h = 1,47 km
tg 35° + tg 27°
AB 2 = x 2 + h2 8 AB = √2,892 + 1,472 = 3,24 km
BC 2 = (5 – x)2 + h2 8 BC = √2,112 + 1,472 = 2,57 km
Unidad 7. Trigonometría
27°
tg 27° = h
x
(5 – x)tg 35° = x tg 27° 8 5tg 35° = x tg 35° + x tg 27°
x=
B
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Conocemos la distancia de nuestra casa a la iglesia, 137 m; la distancia de
nuestra casa al depósito de agua, 211 m, y el ángulo, 43°, bajo el cual se ve desde
nuestra casa el segmento cuyos extremos son la iglesia y el depósito. ¿Cuál es la distancia que hay de la iglesia al depósito de agua?
☞ Traza la altura sobre el lado de 211 m.
En el triángulo IPC:
cos 43° = CP 8 CP ≈ 100,2 m
137
I
7
13
m
43°
C
P
D
211 m
sen 43° = IP 8 IP ≈ 93,43 m
137
PD = 211 – 100,2 = 110,8 m
Distancia de la iglesia al depósito: ID = √ PD 2 + IP 2 = √110,82 + 93,432 ≈ 144,93 m
Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto exterior, P, forman un ángulo de 50°. Halla la distancia PO sabiendo que el radio de la
circunferencia es 12,4 cm.
cm
43
12,4
7
25°
P
O
44
sen 25° = 12,4 8 PO = 12,4 ≈ 29,34 cm
sen 25°
PO
En un trapecio isósceles de bases AB y DC, conocemos los lados AB = 5 m y
BC = 3 √2 m, y los ángulos que forma la base mayor con los lados oblicuos, que son
de 45°. Halla su área.
5m
A
D
B
h
45°
sen 45° = h 8 h = 3 m
3√2
cos 45° = x 8 x = 3 m
3√2
Base mayor: 5 + 3 + 3 = 11 m
—
3√2 m
45°
x
C
Área = (5 + 11) · 3 = 24 m2
2
45
El lado de la base de una pirámide cuadrangular regular mide
6 m y el ángulo APD = 60°. Halla su volumen.
P
P
60°
l
B
A
O
Unidad 7. Trigonometría
D
B
P
6
C
m
A
l 60° l
A
6m
D
C
D
El triángulo APD es equilátero; l = 6 m.
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• Altura de la pirámide:
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d 2 = 62 + 62 8 d = 6 √2 m
d
AO = 6√2 = 3 √2 m
2
6m
En el triángulo APO, PO = √62 – (3√2 )2 = √18 = 3√2 m
Volumen = 1 · 62 · 3√2 = 36√2 m3
3
46
Halla el ángulo que forma la diagonal de un cubo de arista 6 cm con la diagonal de la base.
B
6 cm
6 cm
—
a 6√2
C
A
C
AC 2 = 62 + 62 8 AC = 6 √2 cm
6 cm
tg a = 6 = 1 8 a = 35° 15' 52''
6√2 √2
A
■ Problemas “+”
Para iluminar una parcela rectangular se han colocado
tres focos en P de modo que los ángulos de iluminación
APB , BPC y CPD son iguales.
Una avería apaga el foco central. ¿Cuál es el área y el perímetro de la zona oscurecida, si AP = 50 m?
A
P
B
30° 30°
30°
C
D
A
B
P
D
En el triángulo PAB 8 tg 30° = AB 8 AB = 28,9 m
50
En el triángulo PAC 8 tg 60° = AC 8 AC = 86,6 m
50
En el triángulo PAC 8 cos 60° = 50 8 PC = 100 m
PC
Área rectángulo = 50 · 86,6 = 4 330 m2 °
§ Área PBC:
Área APB = 28,9 · 50 = 722,5 m2
¢
2
2
§ 4 330 – (722,5 + 2 165) = 1 442,5 m
Área PDC = 86,6 · 50 = 2 165 m2
£
2
Calculamos ahora el perímetro de PBC:
En APB, cos 30° = 50 8 PB = 57,7 m
PB
BC = 86,6 – 28,9 = 57,7 m
Unidad 7. Trigonometría
C
50 m
47
50 m
7
°
§ Perímetro de PBC:
¢
§ PB + BC + PC = 215,4 m
£
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Desde un faro F se observa un barco A bajo un ángulo de 43° con respecto a
la línea de la costa; y un barco B, bajo un ángulo de 21°. El barco A está a 5 km de
la costa, y el B, a 3 km. Calcula la distancia entre los barcos.
A
Calculamos FA y FB:
sen 43° = 5 8 FA = 5 = 7,33 km
sen 43°
FA
sen 21° = 3 8 FB = 3 = 8,37 km
sen 21°
FB
Para calcular d utilizamos el triángulo de la derecha:
sen 22° = 5
7,33
h = 7,33 · sen 22° = 2,74 km
cos 22° = x 8 x = 7,33 · cos 22° = 6,8 km
7,33
y = 8,37 – x 8 y = 8,37 – 6,8 = 1,57 km
d
B
43°
F
5 km
3 km
21°
A
7,33
F
km
y
x
8,37 km
22°
d
h
B
Utilizando el teorema de Pitágoras: d = √h2 + y 2 = √2,742 + 1,572 = 3,16 km
La distancia entre A y B es de 3,16 km.
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En una circunferencia de 6 cm de radio inscribimos un triángulo isósceles cuyo ángulo desigual mide 70°. Halla el perímetro y el área del triángulo inscrito.
A
En el triángulo ACD, cos 35° = AC 8 AC = 9,8 cm
12
35°
12 cm
En el triángulo AHC, sen 35° = HC 8 HC = 5,6 cm
55°
B
C
AC
H
En el triángulo AHC, cos 35° = AH 8 AH = 8 cm
D
AC
2
Área de ABC = 5,6 · 8 = 44,8 cm
Perímetro de ABC = 9,8 · 2 + 5,6 · 2 = 30,8 cm
^
^
^
En la parcela ABCD conocemos B = D = 90°; A = 120°;
AD = 18 m y AB = 29 m. Queremos averiguar la longitud de
la diagonal AC. Un amigo topógrafo nos sugiere prolongar
los lados BA y CD hasta que se corten en un punto P y
averiguar cuánto mide el ángulo APD . Hazlo tú.
B
C
A
B
C
29 m
50
A
18
m
D
PAD = 180° – 120° = 60°
29 m
7
120°
18
m
60°
D
30°
P
Unidad 7. Trigonometría
APD = 90° – 60° = 30°
En el triángulo APD, sen 30° = 18 8 AP = 36 m
AP
BP = 29 + 36 = 65 m
En el triángulo BCP, tg 30° = BC 8 BC = 37,5 m
65
En el triángulo ABC 8 AC = √292 + 37,52 = 47,4 m
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