Relación de problemas: Tema 1

Relación de problemas: Tema 1
1.- Dos bloques 1 y 2 unidos por una cuerda, se deslizan hacia abajo por un plano
inclinado. Ambos bloques tienen igual masa, pero los coeficientes de rozamiento de los
bloques con la superficie del plano son respectivamente µ1 y µ2. El sistema se acelera
hacia abajo por la pendiente y la cuerda que mantiene a los bloques se mantiene tensa.
Determinar:
a) La tensión de la cuerda.
b) La aceleración del sistema.
c) El ángulo del plano para el cual el sistema se desliza con velocidad constante.
m1= m2=m
µ1 , µ2
Fr = µ N
1) mgsenθ - T - µ1 m g cos θ = m a
2) T+ mg sen θ - µ2 m g cos θ = m a
2) ⇒ T= m a + µ2 m g cos θ - mg sen θ ⇒ T= m (a + µ2 g cos θ - g sen θ ) (a)
T
T
1) ⇒ a = gsenθ - µ1 g cos θ ⇒ a = g ( senθ - µ1 cos θ ) (b)
m
m
Sustituimos (b) en (a) y obtenemos:
T
+ µ2 g cos θ - g sen θ ]
m
T
T = m [ g ( senθ - µ1 cos θ ) + g ( µ2 cos θ - sen θ )]
m
T = m g ( senθ - µ1 cos θ ) - T + m g ( µ2 cos θ - sen θ )
T = m [ g ( senθ - µ1 cos θ ) -
2T = m g ( senθ - µ1 cos θ + µ2 cos θ - sen θ )
T=
mg cos θ
( µ2 − µ1 )
2
a = g ( senθ - µ1 cos θ ) -
a=0 ⇔ sen θ =
g cos θ
( µ2 − µ1 ) ⇒
2
a = g[ senθ -
cos θ
( µ2 + µ1 )]
2
1
1
cos θ ( µ1 + µ2 ) ⇔ θ = arctg ( µ1 + µ 2 )
2
2
1
2.- Un objeto de 1,2 kg de masa se ata al extremo de una cuerda fina de longitud 75 cm
y se desliza por una rampa de 37º con rozamiento despreciable. El otro extremo de la
cuerda se fija a un punto de la rampa y el objeto describe una trayectoria circular. En el
punto más bajo la tensión de la cuerda es de 110 N. Determinar:
a) El módulo de la velocidad del objeto en ese punto.
b) El módulo de la velocidad del objeto en el punto más alto de la circunferencia.
c) La tensión en el punto más alto.
a)
mv02
L
T − mgsenθ =
⇒ v0 =
(T − mgsenθ )
L
m
v0 = 8.02 m / s
b)
1
1
mv02 = mv 2 + mgh
2
2
h
senθ =
⇒ h = 2 Lsenθ
2L
1
1
mv02 = mv 2 + 2mgLsenθ
2
2
2
2
v0 = v + 4 gLsenθ
v = v0 2 − 4 gLsenθ ⇒ v = 6.38 m / s
c)
mv 2
T ′ + mgsenθ =
r
2
mv
T′ =
− mgsenθ ⇒ T ′ = 67.56 N
r
2
3.- Una bolita rueda en el interior de un recipiente cónico de eje vertical y semiángulo
en el vértice de 30o. ¿A qué altura h sobre el vértice se encontrará la bolita en órbita
estable con una velocidad de 2m/s?
v = 2m / s → h ?
r = radio de la órbita circular
r = h tg 30º
v2
Fresultante = F centrípeta = m
r
⇒
v2
r
N sen 30º - m g = 0
N cos 30º = m
⇒ tg 30º =
⇒
r ⋅ g h ⋅ tg 30º ⋅ g
h⋅ g
v 2 22
=
⇒
=
⇒
h
=
=
m = 0.4082m ⇒ h = 40.8cm
1
v2
v2
v2
g 9.8
4.- El bloque A tiene una masa 5 kg y el bloque B de 15 kg. El coeficiente de
rozamiento entre todas las superficies es 0.20. Calcule la magnitud de la fuerza F
necesaria para arrastrar el bloque B hacia la derecha a velocidad constante, en cada uno
de los casos que se muestran en la figura.
mA= 5 Kg mB = 15 Kg
µc = 0.20
F=? / vB = cte
a)
Fr = µc ( mA + mB) g = 0.20 (5+15) 9.8 =
=39.2 N
vB = cte ⇒ F- FrC = 0 ⇒ F = 39.2 N
3
b)
Fr AB =FrBA
A : T- FrBA=0
B:
F – Fr - FrAB = 0
F = Fr + FrAB = µ (mA + mB ) g + µ ⋅ mA ⋅ g =
= µ ⋅ g (2mA + mB ) = 0.20 ⋅ 9.8(2 ⋅ 5 + 15) = 49 N
⇒ F = 49 N
c)
A : T- FrAB = 0
T= FrAB
B : -T – FrAB – Fr + F = 0
Fr AB = FrBA
F = T + FrAB + Fr = 2 Fr AB + Fr = 2 µ ⋅ mA ⋅ g + µ (mA + mB ) g =
= µ ⋅ g (2mA + mA + mB ) = µ ⋅ g (3mA + mB ) = 0.20 ⋅ 9.8 (3 ⋅ 5 + 15)= 58.8 N
⇒ F = 58.8 N
4
5.- Se lanza una pelota de 0.2 kg con una velocidad inicial de 25 m/s formando un
ángulo de 530 hacia arriba respecto a la horizontal. Determinar:
a) La energía total inicial.
b) La energía cinética inicial en función de las componentes de la velocidad.
c) El punto para el cual la energía cinética durante el vuelo de la pelota es mínima y su
valor.
d) La altura máxima alcanzada por la pelota.
m=0.2 Kg
vo =25 m/s
θ=53º
v 0 = v0 x iˆ + v0 y ˆj ⇒ v0 = v0 x 2 + v0 y 2
v0 x = v0 cos 53º = 15.05m / s
v0 y = v0 sen53º = 19.97 m / s
a)
ETo ?
ETo = Ec + E p =
1
1
m ⋅ v02 + 0 = ⋅ 0.2 ⋅ 252 = 62.50 J
2
2
ETo =62.50 J
b)
ECo =
1
⋅ 0.2 ⋅ (15.03) 2 = 22.63 J
2
ECx =22.63 J
1
⋅ 0.2 ⋅ (19.97) 2 = 39.88 J
2
ECy =39.88 J
1
1
m ⋅ v02 = m(v0 x 2 + v0 y 2 ) =
2
2
c)
EC min cuando E p max ⇒ hmax ⇒ v0 y = 0 ⇒ EC max =
1
m ⋅ v0 x 2 = 22.65 J
2
ECmin =22.65 J
d)
hmax ?
ECo = EC min + EP max ⇒ EP max = ECo − EC min = 62.50 − 22.65 = 39.85 J
5
EP max = m ⋅ g ⋅ hmax ⇒ hmax =
EP max
= 20.33m
m⋅ g
hmax =20.33 m
6.- Una persona de 60 kg está en un ascensor que acelera desde el reposo hacia arriba.
Durante 2 s el valor de esta aceleración es 1 m/s2, después se mueve a la velocidad
alcanzada durante 10 s y por último desacelera a –1 m/s2 durante 2 s. Determinar:
a) El trabajo realizado durante el trayecto por la fuerza que ejerce el suelo del ascensor
sobre el pasajero,
b) El trabajo total realizado por el peso del individuo.
c) La potencia media total suministrada por el suelo.
d) La potencia instantánea proporcionada por el suelo a los 7 s y a los 13 s.
m = 60 Kg
lº) t = 0 → t = 2, a1 = 1m / s 2
v0 = 0
y1 =
1
1
a ⋅ t 2 = ⋅1 ⋅ 4 = 2m
2
2
2º) t = 2 → t = 12 s, a = 0 → v f = v0 + a1 ⋅ t = 0 + 1 ⋅ 2 = 2m / s (velocidad alcanzada a los
2 segundos)
v = ve = 2m / s → y2 = v2 ⋅ t = 20m
1
1
3º) t = 12 s → t = 14 s, a3 = −1m / s 2 → y = v0 ⋅ t − a ⋅ t 2 = 2 ⋅ 2 − ⋅1 ⋅ 4 = 2m
2
2
yT = y1 + y2 + y3 = 24m
a) WFN = m ⋅ g ⋅ yT = 60 ⋅ 9.8 ⋅ 24 = 14112 J
FN = Peso (equilibrio)
b) Wpeso = − m ⋅ g ⋅ yT = −14112 J
c) P =
W 14 KJ
=
≃ 1.01KW
t
14 s
WFN=14.11 kJ
Wpeso= -14.11 kJ
P=1.01 kW
d) Pi = F ⋅ v = FN ⋅ v = m ⋅ g ⋅ 2 = 60 ⋅ 9.8 ⋅ 2 = 1176W
t = 7 s → estamos en el 2º intervalo (v = 2m / s )
Pi=1176 W
6
N=P ya que a2 = 0
t = 13s → 3º intervalo ⇒ a negativa
N ⋅ m ⋅ g = m ⋅ a ⇒ N = m ⋅ ( g + a ) = 60(9.8 − 1) = 530 N
De t=12s a t=14s ; a3 = −1m / s 2
t= 13s el ascensor ha sido desacelerado durante 1s
v0 = 2m / s
t = 1s
a = −1m / s
⇒ v f = v0 − a ⋅ t = 2 − 1 = 1m / s
2
Pi 3 = F ⋅ v = 530 ⋅1 = 530W
Pi3=530 W
7.- Dos partículas de masas 4g y 5g se mueven con velocidades respectivas de 10 cm/s a
lo largo del eje X y de 12 cm/s en una dirección que forma un ángulo de 600 con el eje
X. Determinar:
a) La velocidad del centro de masa,
b) La velocidad de cada partícula en el sistema del centro de masa,
c) El momento lineal de cada partícula en dicho sistema
d) La energía cinética total en el sistema del centro de masa y en el sistema de
laboratorio.
m1 = 4 g
m2 = 5 g
v1 = v1x = 10cm / s
v2 x = v2 cos 60º = 6cm / s
v2 y = v2 sen60º = 10.38cm / s
pcm = p1 + p2
M ⋅ vcmx = m1 ⋅ v1x + m2 ⋅ v2 x
M ⋅ vcm = m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2
M ⋅ vCmy = m1 ⋅ v1 y + m2 ⋅ v2 y
9 ⋅ vcmx = 4 ⋅10 + 5 ⋅ 6 = 70
9 ⋅ vcmy = 4 ⋅ 0 + 5 ⋅10.39 = 51.96
vcm = (
70 51.96
,
) = (7.78, 5.77)cm / s
9
9
vcm = 9.69m / s
7
b) v = vcm + v′
⇒ v′ = v − vcm
v → v respecto del laboratorio
vcm → v del cm respecto del laboratorio
v′ → v del cuerpo respecto del cm
Masa 1)
v1′x = v1x − vcm = 10 − 7.78 = 2.22cm / s
→ v1′ = 6.18m / s
v1′y = v1 y − vcm = 0 − 5.77 = −5.77cm / s
v΄1=6.18 m/s
Masa 2)
v2′ x = v2 x − vcm = 6 − 7.78 = −1.78cm / s
→ v2′ = 4.95m / s
v2′ y = v2 y − vcm = 10.39 − 5.77 = 4.62cm / s
c)
v΄2=4.95 m/s
p1′x = m1 ⋅ v1′x = 8.88 g ⋅ cm / s
p1′ = m1v1′
→ p1′ = 24.73 g ⋅ cm / s
p1′y = m2 ⋅ v1′y = −23.08 g ⋅ cm / s
PM1=24.73 gcm/s
p2′ x = m2 ⋅ v2′ x = −8.9 g ⋅ cm / s
p2′ = m2 ⋅ v2′
p2′ = 24.76 g ⋅ cm / s
p2′ y = m2 ⋅ v2′ y = 23.1g ⋅ cm / s
PM2=24.76 gcm/s
d) Laboratorio
v1 = v1x = 10cm / s
v2 = 6iˆ + 10.39 ˆj → v2 = 12cm / s
1
1
1
1
ECsit = EC1 + EC 2 = m1 ⋅ v12 + m2 ⋅ v2 2 = ⋅ 4 ⋅100 + ⋅ 5 ⋅144 = 560ergios
2
2
2
2
Sistema de referencia del CM
v1′ = 2.22iˆ − 5.77 ˆj → v1′ = 6.18cm / s
v2′ = −1.78iˆ + 4.62 ˆj → v2′ = 4.95cm / s
EC′ =
1
1
⋅ 4 ⋅ 38.14 + ⋅ 5 ⋅ 24.5 = 138ergios
2
2
8
8.-Para el sistema de la figura:
a) Calcular la aceleración y la tensión de la cuerda,
despreciando el rozamiento.
b) ¿Cuál debe ser el coeficiente de rozamiento
dinámico para que el movimiento sea uniforme?
5kg
2kg
30º
a)
m1 =5 kg
m2 =2 kg
m2 g − m1 g sin 30º = ( m1 + m2 ) a ⇒ a =
m2 g − T = m2 a,
T = m2 ( g + a ) = −
m2 g − m1 g sin 30º
g
=−
14
( m1 + m2 )
13
g = −18, 2 N
7
a = -g/14
T = -18.2 N
b)
m2 g − m1 g sin 30º + µ m1 g cos 30º = 0 ⇒ µ =
−m2 g + m1 g sin 30º
= 0,115
m1 g cos 30º
µ = 0,115
9.-Dos automóviles marchan en caravana a una velocidad v = 60 km/h, separados una
distancia s. De repente el primero de ellos sufre un accidente, quedando detenido
bruscamente. En ese mismo instante, el segundo acciona el freno, con una aceleración
de 10 m/s2. Teniendo en cuenta que el conductor tiene un tiempo de respuesta de 0.5 s
(desde que ve el accidente hasta que pisa el pedal),
a) Calcular la separación s mínima para que el segundo no entre en colisión con el
primero.
b) Escribir la expresión general de s en función de v.
a)
0 = v0 − at ⇒ t =
smin
v0 60 / 3, 6
=
= 1, 67 s
a
10
60
=
( 0, 5 + 1, 67 ) − 12 10*1, 67 2 = 22, 22 m
3, 6
Smin=22.22 m
b)
s = v0t1 + v0t − 12 at 2 = v0 ( t1 + t ) − 12 at 2
9
10.- Una carretera está peraltada de modo que un vehículo que circula a 80 km/h pueda
tomar una curva de 30 m de radio aún en las condiciones más desfavorables en que el
rozamiento entre los neumáticos y el firme sea nulo (carretera helada). Determine la
velocidad máxima a la que un vehículo puede tomar esa curva en el caso de que el
coeficiente de rozamiento valga 0.25.
v = 80 Km / h
R = 30m
Condición más desfavorable:
⇒ µe = 0
Si µe = 0.25 → vmax = ?
N cos θ p − m g = 0
N ⋅ senθ p = m
 v2 
v2
tgθ p =
⇒ θ p = arctg 

R⋅g
 R⋅g 
v2
R
 (80 ⋅103 / 3600) 2 
θ p = arctg 
 ⇒ θ p = 59.23º
30 ⋅ 9.8


vmax 2
R
N ⋅ cos θ p − µe ⋅ N ⋅ senθ p − m ⋅ g = 0
N ⋅ senθ p + µe ⋅ N ⋅ cos θ p = m
N (cos θ p − µe ⋅ senθ p ) = m ⋅ g ⇒
⇒N=
m⋅ g
cos θ p − µe ⋅ senθ p
10
2
vmax
N ( senθ p + µe cos θ p ) = m
R
m ⋅ g ⋅ ( senθ p + µe ⋅ cos θ p )
v2
= m max
R
cos θ p − µe senθ p
1
vmax
 R ⋅ g ⋅ ( senθ p + µe ⋅ cos θ p )  2
=

cos θ p − µe ⋅ senθ p


vmax
 30 ⋅ 9.8 ⋅ ( sen59.23º +0.25cos 59.23º )  2
=

cos 59.23º −0.25sen59.23º

1
vmax = 31.27 m / s = 112.6 Km / h
11.- En la figura se representa un péndulo simple de longitud l, cuyas oscilaciones están
limitadas por la existencia de un clavo horizontal situado a una distancia 2l/3 del punto
de suspensión y en su misma vertical. Determine el ángulo θ desde el que debemos
abandonar la masa pendular para que el hilo de suspensión se enrolle en el clavo.
θ = ? / describa la circunferencia vertical de radio ℓ / 3
⇒ vmin( P ) = R ⋅ g = ℓ ⋅ g/ 3
θ
ya que:
ℓ
ℓ/3
Clavo
m
2
vmin(
P)
R
= m⋅ g
EC (0) = 0
EP (0) = m ⋅ g ⋅ h0 = m ⋅ g ⋅ (ℓ − ℓ ⋅ cos θ ) = m ⋅ g ⋅ ℓ ⋅ (1 − cos θ )
1
1
1
1
2
m ⋅ vmin(
⋅m⋅ ℓ⋅ g = ⋅m⋅ g ⋅ℓ
P) =
2
2
3
6
ℓ 2
= m ⋅ g ⋅ hp = m ⋅ g ⋅ 2 = m ⋅ g ⋅ ℓ
3 3
EC ( p ) =
EP ( p )
1
2
m⋅ g ⋅ℓ + m⋅ g ⋅ℓ ⇒
6
3
1 2 5
5 1
1
⇒ 1 − cos θ = + = ⇒ cos θ = 1 − = ⇒ θ = arccos( ) ⇒ θ = 80.4º
6 3 6
6 6
6
Em (0) = Em ( p ) ⇒ m ⋅ g ⋅ ℓ ⋅ (1 − cos θ ) =
11
12.- Un ascensor de 600 kg arranca hacia arriba con una aceleración de 1 m/s2 durante 2
s, y después mantiene constante su velocidad. Represente de forma adecuada la fuerza y
la potencia desarrolladas por el motor en función del tiempo, desde t = 0 hasta t = 4 s.
Para obtener resultados numéricos completos falta el valor de la masa. En función de m:
t = 0:
se supone v0 = 0;
F0 = mg ;
P0 = 0
F2 = F0 − 2 ;
P2 = 2m ( g + 1)
Intervalo 2 ≤ t < 4 :
F2 − 4 = ma + mg = mg ;
P2 − 4 = Fv = mgv = 2mg
t = 4 s:
F4 = mg ;
P4 = 2mg
Intervalo 0 ≤ t < 2 :
t = 2 s: v2 = at = 2 m s
-1
v 4 = v2 = 2 m s -1
F0− 2 = mg + ma = m ( g + 1)
P0− 2 = F0 − 2 v = m ( g + 1) t
13.- a) Un péndulo está en su posición de equilibrio. Calcular la velocidad inicial
mínima para que alcance la posición más elevada. Se desprecia la masa del hilo.
b) Lo mismo, pero la bolita está suspendida de una varilla de masa despreciable.
c) Explicar por qué los resultados no coinciden.
a)
En el punto más alto, el péndulo conserva la trayectoria circular bajo la única acción de
la fuerza peso:

v2
m = mg ;

vo= 5gR
2
R
 mgR = mv0 − 4mgR ⇒ v0 = 5 gR
1
mv 2 = 12 mv02 − mg 2 R 
2
b)
El péndulo alcanza el punto más alto con velocidad nula:
2
1
⇒ v0 = 4 gR
2 mv0 = mg 2 R
vo= 4gR
12
c)
Porque la varilla puede ejercer fuerzas de tensión en los dos sentidos, el hilo no.
14.-Una partícula de 1 kg de masa describe una trayectoria circular de 0,5 m de radio,
con módulo de velocidad constante y periodo π s. Dar la expresión vectorial de la fuerza
que actúa sobre la partícula en función de:
a) el espacio recorrido,
b) el tiempo transcurrido.
a) F (e) = −mω 2 R cos
eɵ
e
i + mω 2 R sin ɵj = −2 cos 2eɵi + 2 sin 2eɵj
R
R
F(e) = −2 cos 2eɵi + 2sin 2eɵj
b) F(t ) = mω 2 R cos ωt ɵi + mω 2 sin ωt ɵj = 4 cos 2t ɵi + 4sin 2t ɵj
F(t ) = 4 cos 2t ɵi + 4sin 2t ɵj
15.- Una ametralladora lanza 3 proyectiles/segundo, de 50 g de masa, a 400 m/s de
velocidad.
a) Hacer una representación gráfica aproximada de la fuerza ejercida sobre la
ametralladora en función del tiempo.
b) ¿Cuál es el valor medio de esta fuerza?
c) Si los proyectiles inciden en un blanco que se encuentra a la misma altura que el
arma y se empotran en él, ¿cuál es la fuerza media ejercida sobre éste?
d) Calcular la masa por unidad de tiempo que debería expulsar un reactor por sus
toberas, a la misma velocidad que los proyectiles, para ejercer un empuje sobre el
reactor igual a la fuerza media calculada en b).
a) Suponiendo que la fuerza varía con el tiempo de manera senoidal positiva, la gráfica
aproximada sería la de la figura.
F
t
60 N
1s
t
13
b)
F =
∆P
∆m
=v
= 400 × 3 × 0, 05 = 60 N
∆t
∆t
c)
La misma que en b), ya que la variación de la cantidad de movimiento de los proyectiles
por unidad de tiempo es la misma.
d)
Si se entiende “a la misma velocidad respecto al cohete que los proyectiles respecto al
arma”, entonces debe expulsar la misma masa por unidad de tiempo, ya que es
Fempuje = vrel Φ másico :
Φ másico =
∆m
= 3 × 0, 05 = 0,15 kg s -1 .
∆t
16.- Encuentre el centro de masa de un sólido macizo homogéneo que consiste en un
cono circular recto de radio a y altura h sobre el que descansa un hemisferio de radio a.
ycm =
a
∫ y ⋅ dm
∫ dm
h
h
∫ dm1 = ∫ ρ ⋅ π ⋅
0
h
h y
a
= ⇒r= y
a r
h
2
a
dm1 = ρπ 2 y 2 dy
h
a2 2
a 2 h3 1
⋅
y
dy
=
ρ
⋅
π
⋅
⋅ = ⋅ ρ ⋅π ⋅ a2 ⋅ h
2
2
h
h 3 3
∫ ydm1 = ∫ ρ ⋅ π ⋅
0
ycm1 =
dm1 = ρπ r 2 dy
a2 3
a2 h4 1
ρ
π
⋅
y
dy
=
⋅
⋅
⋅ = ⋅ ρ ⋅ π ⋅ a 2 ⋅ h2
h2
h2 4 4
(1/ 4 ) ρ ⋅ π ⋅ a 2 ⋅ h 2 ⇒
(1/ 3) ρ ⋅ π ⋅ a 2 ⋅ h
ycm1 =
3
1
h m1 = ρπ a 2 h
4
3
dm2 = ρ ⋅ π ⋅ r 2 dy
r 2 + y 2 = a2 ⇒ r 2 = a2 − y 2
dm2 = ρ ⋅ π ⋅ (a 2 − y 2 )dy
14
a

a
 y 3  
 3 a3  2
2
3


dm
(
a
y
)
dy
a
y
=
ρ
⋅
π
−
=
ρ
⋅
π
−
=
ρ
⋅
π

 a −  = ρ ⋅π ⋅ a
∫ 2 ∫0
0  3  
3 3
  0 


a
2
2
  y 2  a  y 4  a 
 a4 a4  1
2
4
∫ ydm2 = ∫0 ρ ⋅ π (a y − y )dy = ρ ⋅ π  a 2  −  4   = ρ ⋅ π  4 − 4  = 4 ρ ⋅ π ⋅ a

0
0

a
2
ycm2 =
3
(1/ 4) ρ ⋅ π ⋅ a 4 3
= a
(2 / 3) ρ ⋅ π ⋅ a3 8
3
pero con referencia al origen tomado para m1 ⇒ ycm2 = a + h
8
m2 =
2
ρ ⋅ π ⋅ a3
3
1
3
2
3

ρ ⋅ π ⋅ a 2 ⋅ h ⋅ ⋅ h + ⋅ ρ ⋅ π ⋅ a 3  a + h  3 a 2 ⋅ h 2 + 2 ⋅ a3h + 3 a 4
m1 ⋅ y1 + m2 ⋅ y2 3
4
3
8

=4
4 =
ycmsist =
=
2
3
1
2
m1 + m2
a
⋅
h
+
2
⋅
a
ρ ⋅ π ⋅ a2 ⋅ h + ⋅ ρ ⋅ π ⋅ a3
3
3
3 2
3
3 2
h + 2ah + a 2
( h + a 2 ) + 2ah
4
4
4
=
⇒ ycmsist =
h + 2a
h + 2a
17.- Una bola rebota escaleras abajo, escalón por escalón, como se indica en la figura.
Se observa que la pelota rebota siempre en el centro de cada escalón y que después de
cada bote se eleva justamente a la altura del escalón anterior. Calcule el valor del
coeficiente de restitución entre la pelota y la superficie de los escalones. Se supone que
la superficie de los escalones y de la bola son perfectamente lisas.
(v
pf
h
− vsf ) = −e ( v pi − vsi )
vsf = vsi = 0 ⇒ v f = −e ⋅ vi
h
Desde A hasta B (antes del choque): m ⋅ g ⋅ 2h =
Desde B (después del choque) hasta C:
1
m ⋅ vi2
2
1
m ⋅ v 2f = m ⋅ g ⋅ h
2
1
1
2
m ( −e ⋅ vi ) = m ⋅ g ⋅ h ⇒ m ⋅ vi2 ⋅ e2 = m ⋅ g ⋅ h
2
2
1
m ⋅ vi2 = m ⋅ g ⋅ 2h
2
e2 =
1
1
⇒ e=
≃ 0.71
2
2
15
18.- Dos esferas de masas m1 y m2 están suspendidas según se indica en la figura. La
esfera m1 se desvía un ángulo α y a continuación se suelta sin velocidad inicial. Si
después del choque la esfera m2 se desvía un ángulo β, determine el coeficiente de
restitución de las esferas durante el choque.
(Aplicación numérica: m1=100g, m2=10g, α=50º, β=60º).
α
m1 (α )
β
m2 ( β )
m2 = 10 g
m1 = 100 g
β = 60º
α = 50º
(v
1f
1: m1 ⋅ g ( ℓ − ℓ cos α ) =
⇒e=?
− v2 f ) = −e ( v1i − v2i ) ⇒ e =
v2 f − v1 f
v1i
1
m1 ⋅ v12i ⇒ v1i = 2 g ⋅ ℓ (1 − cos α )
2
1
m2 ⋅ v22 f = m2 ⋅ g ( ℓ − ℓ cos β ) ⇒ v2 f = 2 g ⋅ ℓ (1 − cos β )
2
2:
choque: m1 ⋅ v1i = m1 ⋅ v1 f + m2 ⋅ v2 f ⇒ v1 f =
e=
v2 f − v1 f
v1i
v2 f − v1i +
=
v1i
m2
v2 f
m1
=
v2 f
v1i
m1 ⋅ v1i − m2 ⋅ v2 f
−1+
=
2 g ℓ (1 − cos β )  m2 + m1 

 −1 ⇒ e =
2 g ℓ (1 − cos α )  m1 
e=
1 − cos 60º  100 + 10 

 − 1 ⇒ e = 0.3
1 − cos 50º  100 
m1
m2 v2 f v2 f
⋅
=
m1 v1i
v1i
⇒ v1 f = v1i −
m2
v2 f
m1
 m2 
1 +
 −1 =
 m1 
(1 − cos β )  m2 + m1  − 1
(1 − cos α )  m1 
16
19.-En el esquema adjunto, calcular la masa M y su aceleración para que la masa m2 no
se acelere. Se desprecia el peso de las poleas y de la cuerda. Los valores de las masas
son m1 = 0,5 kg y m2 = 1 kg.
m1 g + T1 = m1 a1
m g + T = m a
 2
1
2 2
2º principio: 
 Mg + TM = MaM
TM − 2T1 = 0
Mg − TM = − M ( a1 + a2 )
Ligaduras : a1 + a2 + 2 aM = 0
T  
T 
1 
TM
2T

 1
+
= − 1 = g − aM = g + a1 + a2 = g +  g − 1  +  g − 1  = 3 g − T1 

m1  
m2 
M
M
 m1 m2 

 1
1  2 
3g
+
T1  
−  = 3g ⇒ T1 =

 1
1  2 
  m1 m2  M 
 m + m  − 
M
2 
 1
La condición a2 = 0 se traduce en T1 = m2 g :
1  2
 1
 m + m  −
M
2 
 1
1  3 3
 3
2  1
⇒
= +
=
− 2 = 2;
m
m
2
M

1
2


M=
4
kg
3
17
20.-Una bolita se encuentra ensartada en un alambre rígido de forma helicoidal, de
diámetro d y paso de hélice h, colocado con su eje vertical. Debido al rozamiento, la
bolita desciende con velocidad constante, a razón de una vuelta cada 2 s. Calcular:
a) Las ecuaciones paramétricas del c.m. de la bolita.
b) La aceleración de la bolita.
c) El coeficiente de rozamiento dinámico.
a)
En coordenadas polares cilíndricas ρ, y, φ:
2π
h
ρ = d / 2,
ϕ = ωt =
t, y =
2
2
b)
an = ω 2 ρ = π 2 ρ ;
at = 0
c) La pendiente constante del alambre helicoidal es θ = arcsin
h
2π ( d / 2 )
= arcsin
h
,
πd
y con velocidad constante ha de ser :
µ = tan θ = tan  arcsin

h 

πd 
18