k•e-λ •λk λ•e-λ λ•e-λ λ•e-λ

SOLUCIÓ AL PROBLEMA PROPOSAT
AL VOLUM 25 N. 1
PROBLEMA N. 88
Admitiendo que el número X de artı́culos evaluados por cada experto sigue la distribución de Poisson
λk
fλ (k) = e λ
k = 0; 1; 2; : : :
k!
como sólo tenemos datos de los expertos que evaluaron algún artı́culo, debemos considerar la distribución de X condicionada a X > 0, es decir
fλ (k=X
>
0) =
e λ λk
(1 e λ)k!
k = 1; 2; : : :
El valor medio de esta variable es
∞
µ
=
=
La probabilidad de X
=1
ke
∑ (1
k=1
λe
(1 e
λ
e
λ
λ)
λk
λ )k!
eλ =
=
λe
(1 e
λ
1 e
condicionada a X
p(λ) =
>
λk
λ ) ∑ (k
k=1
1
1 )!
:
0 es
λe
1 e
La probabilidad de X = 1 condicionada a X
frecuencias siguientes:
a = 80
b = 66
λ
∞
λ
>
λ
λ
p(λ). Hemos observado las
0 es 1
expertos que evaluaron un artı́culo,
expertos que evaluaron más de un artı́culo.
A fin de estimar λ, la función y la ecuación de verosimilitud son:
L
=
p(λ)a (1
ln L
=
a ln p(λ) + b ln (1
∂ ln L
∂λ
=
a p 0 (λ )
p (λ )
369
p(λ))b
p(λ))
b p0 (λ)
(1 p(λ))
=0
Como p0 (λ) > 0 para todo λ > 0, la ecuación se reduce a
a
p(λ)
La solución de la ecuación
(1
b
p(λ))
λe
1 e
)
=0
λ
λ
=
p (λ ) =
a
:
a+b
80
80 + 66
es λ̂ = 1:10. La estimación máximo verosı́mil de µ es
µ̂ =
λ̂
1
e
λ̂
= 1:65
Respuesta: los expertos (referees) consultados por Qüestiió (1987-1997) evaluaron, por
término medio, 1.65 artı́culos cada uno.
C.M. Cuadras
Universitat de Barcelona
370