Programación Lineal y Optimización

Programación Lineal y Optimización
Primer Examen Parcial :Solución
Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2010
Matrı́cula:
Nombre:
1. Una pequeña empresa fabrica artı́culos de dos tipos a partir de tres materias primas, llamadas A, B, C. El artı́culo tipo
1 produce utilidad de $400 por unidad, y para su fabricación se requieren un kilogramo de A, un kilogramo de B y tres
gramos de C. El artı́culo tipo 2 produce utilidad de $300 por unidad, para cuya fabricación se necesitan un kilogramo de
A, 2 kilogramos de B y 2 gramos de C. La empresa dispone de 150 kilogramos de A, 240 kilogramos de B y 420 gramos de
C, para el siguiente periodo de producción (puede ser una hora, un dı́a u otro lapso). La compañı́a desea conocer cuántas
unidades de cada tipo de artı́culo debe producir en el periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los
artı́culos. Se supone que todos los artı́culos producidos se venden.
Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones.
Indique cómo queda la forma estándar del modelo.
Indique cómo queda el tableau inicial.
Solución
Variables de decisión:
• x1 = Numero de unidades del artı́culo 1 a producir.
• x2 = número de unidades del artı́culo 2 a producir.
Objetivo:
Maximizar la utilidad total z = 400 x1 + 300 x2
Sujeta a:
x1
x1
3 x1
Recurso A
+
x2 ≤ 150
Recurso B
+ 2 x2 ≤ 240
Recurso C
+ 2 x2 ≤ 420
Con x1 , x2 ≥ 0.
Solución:
x1 = 120, x2 = 30; Utilidad , z = $57, 000.
2. Una compañı́a produce artı́culos de tres tipos, realizando las operaciones C, F, T. La máquina de la operación C cuesta
$1500/hora de funcionamiento, la de la operación F cuesta $2400/hora y la de la operación T cuesta $1200/hora. El costo
del material para una unidad del artı́culo 1 es $50, para una unidad del artı́culo 2 es de $80 y para una unidad del artı́culo
3 es de $140. Los precios de venta para los artı́culos son respectivamente de $402, $420 y $600, la unidad. Los tiempos de
proceso requeridos por una unidad de cada tipo de artı́culol se dan en la siguiente tabla:
Minutos de operación por unidad
TIPO DE ARTÍCULO C
F
T
A1
A2
A3
2.5
2.0
2.0
2.5
1.0
2.5
2.0
2.5
3.0
La compañı́a necesita conocer cuántas unidades de cada tipo de artı́culo debe fabricar en una hora, para obtener la máxima
utilidad.
TC3001
2
Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones.
Indique cómo queda la forma estándar del modelo.
Solución
Variables de decisión
Xi : cantidad de artı́culos del tipo i a fabricar en una hora (i = 1, 2, 3).
Objetivo
Maximizar: Utilidad Z = 149.5 X1 + 200.0 X2 + 250.0 X3
Restricciones
Sujeto a:
2.5 X1 + 2.5 X2 + 2 X3
2 X1 + 1 X2 + 2.5 X3
2 X1 + 2.5 X2 + 3 X3
≤ 60 Minutos de C / hora
≤ 60 Minutos de F/ hora
≤ 60 Minutos de T/ hora
Con X1 , X2 , X3 ≥ 0. Las restricciones se refieren a que una máquina no puede utilizarse durante una hora por un
tiempo total mayor que la hora. Es decir, el tiempo que una máquina dedique a la producción del artı́culo 1, más
el que dedique al artı́culo 2 más el dedicado al artı́culo 3, no puede exceder a una hora de capacidad, pues ese es el
perı́odo de tiempo que se tomó como referencia.
Solución:
X1 = 0; X2 = 0; X3 = 20; Utilidad Z = $5, 000.
3. Una compañı́a petrolera produce dos tipos de gasolina, la corriente y la extra. La corriente se vende a $3,000 galón y la extra
a $3,600. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos, cuyos análisis de componentes A y B aparecen a continuación:
CRUDO
1
2
COMPONENTES
A
B
Costo por galón
60 %
30 %
40 %
70 %
150
120
La gasolina corriente debe contener máximo 60 % de B, mientras que la extra debe contener mı́nimo 50 % de A. El oleoducto
de la compañı́a puede suministrar un máximo de 4 millones de galones de crudo 1, y 3 millones de crudo 2, al dı́a. La compañı́a
ya tiene pedidos por 5 millones de galones de gasolina corriente y 1 millón de gasolina extra, cada dı́a. ¿Cómo debe proceder
la empresa para obtener la máxima ganancia diaria?
Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones.
Indique cómo queda la forma estándar del modelo.
Solución
Variables de decisión
Xi,j : el número de galones de crudo i que se dedican a producir la gasolina j (i = 1, 2);(j = (1 = corriente, 2 = extra).
Función objetivo
Maximizar: Utilidad = 3000 (X1,1 + X2,1 ) + 3600 (X1,2 + X2,2 ) − 150 (X1,1 + X1,2 ) − 120 (X2,1 + X2,2 )
Restricciones
Sujeto a:
Solución
4. El administrador de una caseta de peaje determinó que el número de empleados que necesita se distribuyen durante el dı́a
ası́:
TC3001
3
Periodo
Intervalo de Tiempo
Número Mı́nimo de Empleados
1
2
3
4
5
6
6 - 10
10 - 14
14 - 18
18 - 22
22 - 2
2-6
8
6
8
7
5
3
Cada empleado trabaja 8 horas diarias consecutivas. El administrador desea conocer el número mı́nimo de empleados que
debe tener para cumplir con las necesidades de personal durante el dı́a.
Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones.
Indique cómo queda la forma estándar del modelo.
Variables de decisión:
Xi = Número de personas contratadas que inician en el perı́odo i
Función objetivo:
Minimizar el total de personas contratadas Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
Restricciones
Cumplir que en cada perı́odo se tenga al menos el mı́nimo número de trabajadores. Personal necesario en cada intervalo:
• X1 + X6 ≥ 8 de 6 - 10
• X2 + X1 ≥ 6 de 10 - 14
• X3 + X2 ≥ 8 de 14 - 18
• X4 + X3 ≥ 7 de 18 - 22
• X5 + X4 ≥ 5 de 22 - 2
• X6 + X5 ≥ 3 de 2 - 6
con Xi ≥ 0.
Solución
X1 = 6, X2 = 0, X3 = 8, X4 = 4, X5 = 1, X6 = 2; z = 21
5. Considere el siguiente tableau
z
x1
x2
x3
x4
s1
s2
s3
1
0
0
0
3
1
2
0
−2
0
1
−2
2
1
0
1
−1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
RHS
10
1
4
6
Indique cuál es la SBF que se representa. VB: z = 10, s1 = 4, s2 = 6, s3 = 1; VNB: x1 , x2 , x3 , x4
Si el problema es de maximización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF.
Solución
• Entrante: x2
• Saliente: s1
• Hacer: R0 → R0 + 2 R2 y R3 → R3 + 2 R2
• Queda: VB(z = 18, x2 = 4, s2 = 14, s3 = 1)
Si el problema es de minimización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF.
Solución
TC3001
4
• Entrante: x1
• Saliente: s3
• Hacer: R0 → R0 − 3 R1 y R2 → R2 − 2 R1
• Queda: VB(z = 7, x1 = 1, s1 = 2, s2 = 6)
6. Para el siguiente PL, encuentre su solución.
Maximizar Z = 3 x + 2 y
sujeta a:
2x +
x +
x +
y
y
2y
≤ 8
≤ 5
≤ 8
Con x, y ≥ 0.
Solución
Resolviendo a pares las restricciones tenemos los extremos de la región factible con sus correspondientes evaluaciones son:
P1 (0, 0), Z(P1 ) = 0
P2 (4, 0), Z(P2 ) = 12
P3 (3, 2), Z(P3 ) = 13 Máximo
P4 (2, 3), Z(P4 ) = 12
P5 (0, 4), Z(P4 ) = 8
7. Determine una SBF para:
Maximizar Z = 100 X1 + 90 X2
sujeta a:
6 X1
20 X1
3 X1
Con X1 , X2 ≥ 0.
+ 4 X2
+ 8 X2
+ 2 X2
X2
≥
≤
≥
≤
24
160
15
5