CÁLCULO VECTORIAL TEMA II FUNCIONES VECTORIALES

CÁLCULO VECTORIAL
Notas de clase
TEMA II
FUNCIONES VECTORIALES
Profesor: A. Leonardo Bañuelos Saucedo
TEMA II
FUNCIONES VECTORIALES
Puesto que la naturaleza de las cantidades es distinta, conviene dar a cada categoría
un enfoque de estudio diferente. Así, para las cantidades vectoriales se ha desarrollado un
análisis que simplifica considerablemente los cálculos. El análisis vectorial proporciona
una serie de herramientas útiles para que el ingeniero pueda resolver problemas que de
otra forma le serían muy difíciles.
INTRODUCCIÓN
En el capítulo pasado se estudiaron funciones escalares de variable vectorial
,
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL
que se presentaron como una generalización de las funciones escalares de variable
escalar 1
vistas en los cursos de Cálculo Diferencial (CD) y Cálculo Integral
Definición 2.1
(CI). Ahora, en este capítulo se presentarán las funciones vectoriales, que son una
Una función vectorial es una regla de transformación tal que a cada punto
generalización de las funciones escalares vistas anteriormente.
de un dominio le corresponde un vector.
Muchos de los problemas a los que se enfrentan los ingenieros, consisten en el
análisis de fenómenos físicos, y por lo tanto requieren de la descripción de magnitudes
físicas. Estas cantidades, las podemos clasificar en dos grandes categorías: escalares y
vectoriales.
Si se tiene una sola variable independiente se dice que es una función vectorial de
variable escalar (real).
Si hay más de una variable independiente (dos o más), se dice que es una función
Algunos ejemplos de cantidades escalares son:
Temperatura
Voltaje
Masa
Densidad
Tiempo
vectorial de variable vectorial.
Para hacer referencia a una función vectorial de
notación
función
. Donde la notación
es en general un subconjunto de
a
, se utiliza la siguiente
indica que el dominio
de la
.
Los siguientes son algunos ejemplos de funciones vectoriales.
Volumen
Presión
EJEM PLOS GEOM ÉTRICOS
Números ordinarios
- Ecuación vectorial de la recta en el espacio.
Mientras que dentro de las cantidades vectoriales se tiene:
Fuerza
Donde
es un punto de la recta con dirección del vector
.
Posición
Velocidad
- Ecuación vectorial del plano.
Aceleración
Campos eléctricos y magnéticos
Donde
es un punto del plano y
vectores no paralelos contenidos en el plano.
- Ecuación vectorial de una curva en el espacio.
1
Tam bién llam adas funciones reales de variable real.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
,
son dos
CÁLCULO VECTORIAL
Donde
son funciones escalares de variable escalar.
2
Los ejemplos físicos que se presentaron de funciones vectoriales, son ejemplos
también de campos vectoriales. Algunos otros ejemplos de campos vectoriales son los
siguientes.
- Ecuación vectorial de una superficie.
Donde
son funciones escalares de variable vectorial.
EJEM PLOS FÍSICOS
EJEM PLOS DE CAM POS VECTORIALES
- La velocidad en cada punto de un disco circular giratorio.
Si se desea conocer la velocidad lineal en cada punto de un disco circular, por
- Función vectorial que describe la velocidad de flujo en una tubería.
Imagínese que se desea modelar la velocidad en cada punto de un fluido que
corre por una tubería. Entonces se tiene un función vectorial de variable
vectorial del tipo
Donde
ejemplo un disco compacto, se tiene un vector de velocidad en
punto de
para cada
.
- La fuerza de atracción de la Tierra sobre un cuerpo.
El campo de fuerza gravitacional, modelado de acuerdo con la ley de Newton
, es un campo vectorial en
son funciones escalares de variable de
.
vectorial.
- Función vectorial que describe la dirección y la magnitud del flujo de calor.
Si se calienta un extremo de una placa metálica, es posible modelar el flujo
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
DE
VECTORIALES
DE VARIABLE
FUNCIONES
ESCALAR
de energía mediante una función vectorial.
Es importante observar que un caso particular de funciones vectoriales de variable
Al igual que las funciones estudiadas en los cursos de CI, CII, y el primer capítulo de este
vectorial, se tiene cuando las dimensiones del dominio y recorrido de la función son
curso, las funciones vectoriales pueden representarse de manera gráfica. Por ejemplo, la
iguales, cuando esto sucede, a las funciones se les llama campos vectoriales.
función vectorial
Definición 2.2
Un campo vectorial en
que asocia un vector
, es una función vectorial de variable vectorial
a cada punto
de un dominio. Se denota por
.
representa un familia de vectores que parten del origen, con dirección variable y módulo
constante de tres unidades. Algunos de estos vectores se encuentran trazados en el
siguiente dibujo.
Campo vectorial es un concepto esencial del Cálculo Vectorial., es decir, del curso
de Cálculo III.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
Puede observarse, que las puntas
y
de los vectores describen una curva.
Esta es una de las aplicaciones de las
funciones vectoriales, donde dichas
funciones pueden representar el
movimiento de una partícula a lo largo
de una curva, o bien pueden
representar la gráfica de una curva. Por
ejemplo, la función anterior describe
una circunferencia con centro en el
origen y radio tres.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.1
Obtener la gráfica de las siguientes funciones vectoriales
a)
Esta última representación para
b)
Resolución
funciones vectoriales de variable
escalar es la más común, y por ello,
a)
como ejemplo de función vectorial se
mencionó la ecuación vectorial de una
Igualando
recta en el espacio, así como la
ecuación vectorial de una curva en el
Finalmente
espacio.
Entonces, una función que va de
a
puede representar, en general, una curva
b)
en el espacio. Por ejemplo la función
representa una porción de hélice.
Entonces:
Finalmente
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
3
CÁLCULO VECTORIAL
4
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
REPRESENTACIÓN
VECTORIALES
GRÁFICA
DE
FUNCIONES
Si la función vectorial proporciona el vector de posición de un punto en
función
(1,0)
(-1,-1)
(2,0)
(0,1)
(3,0)
(0,2)
(1,1)
(0,3)
(2,2)
(-1,1)
, entonces la
puede representar, en general, una superficie en el espacio. Por
ejemplo, la función vectorial
representa un paraboloide hiperbólico rotado 45 o.
Nótese que los campos vectoriales no representan vectores de posición.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CAMPOS VECTORIALES
En la gráfica anterior se puede
observar que los vectores dibujados
presentan una tendencia, y es
precisamente esa tendencia de los
Los campos vectoriales se representan de una manera muy particular, pero antes de
estudiar su representación es conveniente observar la tabulación y dibujo de algunos
vectores de un campo.
vectores la que se dibuja.
Los campos vectoriales se
representan a través de líneas de
campo.
Por ejemplo, si se desea conocer la gráfica del campo vectorial
se puede realizar una tabulación para distintos puntos y posteriormente dibujarlos.
Las líneas de campo son aquellas en las cuales los vectores de campo vectorial son
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
tangentes.
5
entonces:
Definición 2.3
Sea
un campo vectorial. Una línea de campo o línea de flujo de
trayectoria
tal que
es
es una
b)
.
Puesto que las funciones escalares de las componentes tiene como dominio
a todos los reales, entonces
Para el campo anterior, las líneas de campo son trayectorias que describen
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
circunferencias concéntricas con centro en el origen y orientadas en el sentido contrario
Ejemplo 2.3
al de las manecillas del reloj.
Determinar el dominio de las siguientes funciones vectoriales de variable vectorial.
Es importante aclarar que las líneas de campo son líneas imaginarias, no existen en
realidad, es decir, sólo ayudan a obtener una aproximación de la gráfica de un campo
a)
vectorial, y no son la función en si; sin embargo, para que las líneas de campo representen
b)
una función, no deben nunca tocarse ni cruzarse.
Resolución
DOMINIO, LÍMITE
VECTORIALES
Y
CONTINUIDAD
DE
FUNCIONES
a)
Si
, puesto que no está definida la división entre cero,
se tiene
Antes del cálculo de límites, es necesario identificar la forma en la que se obtiene el
dominio de una función vectorial. El dominio de una función vectorial, es la intersección
Si
de los dominios de cada una de las funciones escalares que la componen.
, entonces
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.2
Determinar el dominio de las siguientes funciones vectoriales de variable escalar.
Finalmente el dominio de
a)
b)
b)
Para la componente en
:
para la componente en
:
Resolución
a)
Puesto que estudiamos funciones reales de variable real, la función logaritmo
natural sólo está definida, en los números reales, para valores positivos,
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
es la intersección de los dominios de
y
.
CÁLCULO VECTORIAL
6
Definición 2.5
para la componente en
Sea
Finalmente:
entonces
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
una función vectorial tal que
siempre y cuando los límites de las funciones
Para la obtención de límites se analizarán primero las funciones vectoriales de
existan cuando
.
variable escalar.
Definición 2.4
Sea
La definición anterior se presenta para funciones vectoriales
una función vectorial de variable escalar
en un entorno del punto
vector límite de
, definida
, excepto posiblemente en
cuando
se aproxima a
. Entonces
espacio), pero es igualmente útil para funciones
es el
que no existe componente en la dirección
y se expresa como
vectoriales
(en el
(en el plano), considerando
, y puede generalizarse para funciones
. Como puede observarse, para que el límite de la función vectorial
exista, debe existir el límite de cada una de las funciones escalares. Si no existe el límite
de alguna función escalar, entonces no existe el límite de la función vectorial.
Si y sólo si, para cada
existe un correspondiente
tal que
La definición de continuidad en un instante (o en un punto) para una función
siempre que
vectorial es similar a la definición de continuidad para funciones escalares.
Obsérvese que
vector
en la medida en que
cierto valor
tiende al
tiende a
Definición 2.6
Una función vectorial
es continua en
si
, y debe recordarse que no
es necesario que la función vectorial esté
definida en el instante o valor al que
se
Retomando
aproxima.
La definición anterior no es útil para obtener el límite, sólo sirve para comprobar
si el vector
corresponde al límite de
cuando
tiende a
manera práctica es necesario establecer la siguiente definición.
. Para obtener límites de
la definición dada para el límite de una función vectorial puede
concluirse que una función vectorial es continua en un valor si y sólo si, las funciones
escalares de cada componente son continuas en ese mismo valor (instante).
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.4
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
Obtener, si existe, el límite de las siguientes funciones vectoriales.
a)
Para evaluar
que aparece en las tres componentes, se debe cumplir la
condición
o bien
Para la componente en
, se tiene que es continua si
Para la componente en
b)
componente en
Resolución
a)
Puesto que se presentan indeterminaciones en las funciones de la primera y
última componentes, se aplica la regla de L'Hopital, de la siguiente manera:
7
.
.
, la función es continua si
, basta que se cumpla
, y para la
.
Finalmente, la intersección de las condiciones anteriores se da cuando
o bien,
.
Por lo que se concluye que la función sólo describe un punto.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Al igual que para las funciones escalares, también es posible definir funciones
vectoriales utilizando más de una regla de correspondencia, como lo muestra el siguiente
ejemplo.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Aplicando la regla de L'Hopital
Ejemplo 2.6
Sea la función
b)
Para este límite también se aplica la regla de L'Hopital en la tercera
Determinar si la función
componente.
Resolución
es continua en
es continua en
.
si
Por otro lado:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.5
Analizar la continuidad de la siguiente función vectorial
Resolución
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
8
Ahora se analizarán las funciones vectoriales de variable vectorial.
Definición 2.8
Supóngase que se tiene una función
de
variables y recorrido en
Sea
una función vectorial tal que
dimensiones
entonces
donde
toda
,
para
y
para
,
siempre y cuando los límites de las funciones
entonces, se tienen las siguientes definiciones :
.
Definición 2.7
Sea
La definición anterior es un caso particular para funciones
una función vectorial de variable vectorial
definida en un entorno del punto
Entonces
existan cuando
es el límite de
,
,excepto posiblemente en
cuando
se aproxima a
.
puede generalizarse para funciones
Con respecto a la continuidad, se establece la siguiente definición.
y se expresa
como
Definición 2.9
Una función
Si y sólo si, para cada
.
existe un correspondiente
es continua en
si
tal que
siempre que
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.7
Al igual que en el caso de límite de una función vectorial de variable escalar, la
definición formal de límite para una función vectorial de variable vectorial no proporciona
Determinar, si existe, el límite de la siguiente función vectorial cuando
tiende a
dicho límite, por lo que se establece la siguiente definición.
Resolución
Calculando el límite de cada una de las funciones escalares se tiene:
Para la primera componente:
haciendo un cambio de variable
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
, pero
FUNCIONES VECTORIALES
Para el caso de una función
por lo que
9
, se tiene la siguiente definición.
Definición 2.10
Para la segunda componente:
, utilizando límites reiterados
Sea
una función vectorial de variable escalar. Entonces la
derivada de
se define como:
siempre y cuando el límite exista.
Puesto que
es una función de una sola variable, entonces la derivada, es una
derivada ordinaria.
Por lo que
, si existe , es
(cero).
En forma práctica, la derivada de una función vectorial se obtiene al derivar cada
una de las funciones escalares que la componen. La derivada de
con respecto de
,
Para la tercera componente:
, igualmente utilizando límites reiterados
también puede denotarse
o bien utilizando la notación de Newton
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
VECTORIALES DE VARIABLE ESCALAR
DE
FUNCIONES
Al ser otra función la derivada ordinaria de una función vectorial, es susceptible de
volverse a derivar, lo que da origen a las derivadas de orden superior.
Por lo que
, si existe , es
(cero).
Finalmente, el límite de la función vectorial , si existe es
Por ejemplo, para una función
es
,
en general,
, su derivada es
, y su segunda derivada
la n-ésima derivada de
es:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
DERIVACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE
ESCALAR
FÓRM ULAS ESPECIALES DE DERIVACIÓN
Sean
,
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
y
funciones vectoriales derivables y
una función escalar
CÁLCULO VECTORIAL
derivable, entonces
10
b)
a)
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
b)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
c)
La derivada de una función vectorial de variable escalar
geométricamente, un vector tangente a la curva descrita por
representa,
.
d)
e)
f)
Dado que el producto vectorial (producto cruz) de dos vectores no es conmutativo,
el orden en el que aparecen
,
y
en los incisos d), e) y f) debe respetarse.
INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LAS DERIVADAS
Y
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.8
Si
Utilizar las fórmulas especiales de derivación para obtener las siguientes derivadas.
a)
representa la posición de una partícula en el instante de tiempo
variación de la posición con respecto del tiempo en un instante
, entonces, la
, es la velocidad
b)
instantánea de la partícula y se denota
. De la misma forma, la variación de la
Resolución
velocidad con respecto del tiempo en un instante es la aceleración instantánea de la
a)
partícula y se denota por
. Es muy común que al derivar una función con
respecto del tiempo se utilice la notación de Newton, por lo que
y puesto que
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
donde
es la posición de la partícula en el instante
. Determinar el vector
tangente unitario a la curva descrita por la partícula en el instante
Por otro lado al módulo de la velocidad instantánea
se denota por
se le llama rapidez, y
11
.
Resolución
El vector tangente a la trayectoria en cualquier instante es:
.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
y en el instante
Ejemplo 2.9
Obtener
y
para las siguientes funciones vectoriales
Sea
a)
el vector tangente unitario, entonces
sustituyendo
b)
Resolución
a)
Puesto que
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.11
Para la función vectorial
;
, que
representa la posición de una partícula en función del tiempo. Determinar la
se tiene
velocidad, la rapidez y la aceleración, en cualquier instante.
Resolución
derivando nuevamente
De la función de posición
se obtiene la velocidad instantánea
b)
simplificando
Puesto que la rapidez es el módulo de la velocidad instantánea
Rapidez =
derivando nuevamente
Por último, la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad con respecto
del tiempo.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.10
Si la trayectoria de una partícula está descrita por la función
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
Al igual que para las funciones escalares, es posible obtener la diferencial de una
función vectorial, y para el caso en el que la variable es escalar, a la diferencial se le llama
En la última expresión la parte entre paréntesis es la derivada de
12
, por lo que la
diferencial puede escribirse como:
diferencial ordinaria.
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.12
Definición 2.11
Una función
diferenciable en cualquier valor de
es
si y sólo si, su incremento puede
Sea la función vectorial
obtener
escribirse como:
Resolución
donde
cuando
.
o bien
La definición anterior representa la condición de diferenciabilidad de una función
vectorial de variable escalar, puesto que cada componente de
posible afirmar que, para que una función
es una función escalar es
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
sea diferenciable, es condición
necesaria y suficiente el hecho de que sea derivable.
INTEGRACIÓN
DE
VARIABLE ESCALAR
Definición 2.12
Se llama diferencial ordinaria, o simplemente diferencial, de una función
vectorial
a la expresión
o bien
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES
VECTORIALES
DE
FUNCIONES VECTORIALES
sustituyendo en
13
e integrando
Definición 2.13
Sea
una función
vectorial, y si
, son funciones continuas en el intervalo
Para esta integral, el vector constante de integración es
, entonces:
La integral indefinida de
, puesto que se considera
como origen del lanzamiento el origen del sistema coordenado.
es
En el momento que cae la pelota
Y la integral definida de
en el intervalo
es
se descarta, puesto que es el instante del lanzamiento.
Sustituyendo
Es importante observar que al realizar la integral indefinida de la función
agregar un vector constante de integración
en
, se debe
, producto de la constante de integración de
cada una de las funciones escalares de las componentes de la función vectorial. Por lo que
.
Finalmente la rapidez inicial es:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.13
Un jugador de béisbol lanza una pelota con un ángulo con respecto a la horizontal
de 45 o, a una distancia de 75 m. Si la pelota es capturada al mismo nivel del
lanzamiento,
determinar
la
rapidez
inicial
del
lanzamiento.
(Ayuda:
2
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.14
Un proyectil es disparado a una altura de 10 m, con una velocidad inicial de 1500
m/s )
m/s y con un ángulo de elevación de 30 o .
Resolución
Determinar:
Partiendo de:
a) La velocidad en cualquier instante
b) La altura máxima
c) El alcance del proyectil
donde
es la componente de la velocidad inicial en la dirección de
la componente en dirección de
, es decir
.
,y
es
d) La rapidez con la que el proyectil choca con el suelo.
Resolución
,
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
14
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.15
Una bala es disparada por un rifle con una velocidad inicial de 1200 metros por
segundo, y debe dar en un blanco a 3000 metros de distancia. Despreciando la
resistencia del aire, determinar el ángulo mínimo de elevación del rifle.
Ayuda : Utilizar las ecuaciones de tiro parabólico.
Resolución
De la ecuación de posición para un tiro parabólico
La aceleración en cualquier instante está dada por
(aceleración de la gravedad)
de donde:
Si el origen está en la boca del rifle
y puesto que
donde
a)
b)
La altura máxima es cuando
y considerando
es máxima
de donde las ecuaciones paramétricas son:
maximizando
sustituyendo en
se tiene que :
y
se tiene
cuando la bala da en el blanco
c)
El alcance máximo se tiene cuando
, por lo que
se descarta
se descarta por ser un valor
negativo (el tiro parabólico
inicia en
finalmente:
).
. . . (a)
cuando da en el blanco también se cumple que
por lo que
. . . (b)
sustituyendo (a) en (b)
d)
La rapidez es:
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
Definición 2.14
La longitud de arco
de una curva en el intervalo
es
utilizando la identidad trigonométrica
o bien
puesto que
, entonces
si
va de
a
.
El obtener la expresión
. . . (1)
finalmente
a partir de
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
LONGITUD DE ARCO
En CII se estudió la longitud de arco
expresión para obtener
. . . (2)
de una función de la forma
, y la
.
es bastante simple, como se muestra a continuación.
Dada una curva
, se puede expresar en forma paramétrica como
. . . (3)
y a su vez, expresarse en forma vectorial como:
. . . (4)
Obteniendo
Ahora, para una curva expresada en forma vectorial
en un intervalo
a partir de (3) (derivada de función en forma paramétrica)
, la longitud de arco
, está definida como se indica a continuación.
. . . (5)
sustituyendo (5) en (2)
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
15
CÁLCULO VECTORIAL
16
sustituyendo
unidades de longitud.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Para este ejemplo, la función
es una recta en el plano de la cual se puede
obtener su ecuación cartesiana, para ello, se obtienen primero sus ecuaciones paramétricas
,
Despejando
. . . (6)
.
de ambas ecuaciones e igualando
Los límites de integración se modifican puesto que ahora se integra con respecto
de
, y no con respecto de
.
Finalmente si se deriva (4)
. . . (7)
Cuando
y se obtiene el módulo
. . . (8)
la distancia entre los puntos
y
es:
sustituyendo (7) en (5)
que es la expresión que se deseaba obtener.
Por ser una recta
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.16
Obtener la longitud de arco
.
, de la función
unidades de longitud.
si
Ejemplo 2.17
Obtener la expresión general de la longitud de arco
ecuación vectorial es:
Resolución
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
de la curva cuya
FUNCIONES VECTORIALES
Resolución
a)
Obtener la longitud de arco de la curva entre
b)
Cambiar el parámetro
por el parámetro
y
, y obtener
17
.
.
Resolución
a)
Sustituyendo en la expresión:
sustituyendo
y considerando que
cuando
se tiene:
operando
simplificando:
dado que:
y
finalmente
b)
Para cambiar el parámetro, es necesario obtener primero la expresión general
que relaciona la longitud de arco y el tiempo, para ello:
finalmente
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Obsérvese que para realizar la integración de
a
se utilizó en el integrando la
despejando
variable muda
se tiene:
.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Sustituyendo esta última expresión en
Ejemplo 2.18
Sea la función vectorial
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
se obtiene
CÁLCULO VECTORIAL
18
Entonces, si la función vectorial tiene como parámetro la longitud de arco
, es
finalmente
finalmente
decir
la derivada de
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
,
, es un vector tangente a la curva
pero tiene una
característica adicional
El parámetro longitud de arco posee algunas ventajas sobre el parámetro
,
supóngase que se tiene una función vectorial
y se quiere obtener un vector tangente unitario a dicha curva, entonces utilizando la
El vector
es de módulo unitario, es decir
interpretación geométrica de la derivada de una función vectorial se tiene
Las ventajas de expresar una curva a través del parámetro longitud de arco se
estudian con mayor detenimiento al definir las fórmulas de Frenet-Serret. Pero su principal
utilidad está en el hecho de que la parametrización a través de la longitud de arco es única,
mientras que existen infinidad de parametrizaciones de una curva para
representa un vector tangente unitario a la curva
.
.
TRIEDRO MÓVIL Y FÓRMULAS DE FRENET-SERRET
Por otro lado, considerando la expresión de la longitud de arco
Los matemáticos franceses Jean Fréderic Frenet (1816-1900) y Joseph Alfred Serret
(1819-1885) desarrollaron unas fórmulas con las cuales se describe el movimiento de una
partícula en el espacio. En esta sección se estudiarán las fórmulas que describen la
variación
y con base en el teorema fundamental del cálculo integral
del triedro móvil, formado por los vectores unitarios tangente, normal y
binormal,, que actualmente se conocen como: Fórmulas de Frenet-Serret
se tiene
Y puesto que
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
19
TRIEDRO M ÓVIL
Los planos que contienen un par de vectores del triedro reciben los siguientes
Donde:
nombres:
vector tangente unitario.
Plano osculador 3 es aquel que contiene los vectores
vector normal unitario.
Plano rectificador es aquel que contiene los vectores
vector binormal unitario.
El vector unitario tangente
, el vector unitario normal
y
Plano normal es aquel que contiene los vectores
.
y
y
.
.
y el vector unitario
, forman un triedro 2 en cualquier punto de la curva, y forman un sistema
binormal
derecho de vectores unitarios, es decir,
Se le llama triedro móvil porque, en general, para cada punto de una curva, los
vectores
,
y
cambian de dirección, como se puede apreciar en la siguiente figura.
El estudio de los vectores
,
y
es ventajoso para referir los elementos
cinemáticos (velocidades , aceleraciones), por ejemplo: la velocidad siempre tiene la
dirección de
2
Figura form ada por tres sem irectas, llam adas aristas, que p arten del m ism o punto, denominado
vértice del triedro.
3
y la aceleración siempre está contenida en el plano osculador.
La palabra osculador significa literalm ente besador.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
20
FÓRM ULAS DE FRENET-SERRET
Antes de introducir las fórmulas de Frenet-Serret, es necesario definir curvatura
Definición 2.15
Curvatura es la variación de la curva en cada uno de sus puntos, con
respecto del parámetro longitud de arco
= curvatura
.
Q.E.D.
= radio de curvatura
Y se concluye que
es un vector perpendicular a la curva
La curvatura es un valor no negativo
El vector
En CII se vio que, si
, la curvatura está dada por
vector
"gira" o "da vuelta" hacia el
con una razón
, medida con respecto
a la longitud de arco, lo que se expresa como:
Por otro lado, si se tiene una curva
y
es el vector tangente unitario a
, entonces se tiene el siguiente teorema
curvatura
Teorema
La derivada de
con respecto de
es un vector perpendicular a
Demostración
.
Primera. Fórmula de Frenet-Serret
El vector binormal
, el cual está definido por
tiene módulo unitario,
lo cual puede comprobarse de la siguiente manera
Puesto que
es de magnitud constante e igual a uno,
Ahora bien, como
derivando
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
entonces
y derivando ambos lados
FUNCIONES VECTORIALES
21
. . . (1)
y puesto que
y derivando ambos lados con respecto de
Tercera fórmula de Frenet-Serret
Donde:
Torsión
y de la primera fórmula de Frenet-Serret
y a demás, se puede definir a
como:
Radio de torsión
Se han obtenido ya las expresiones para las variaciones de
y de
al arco de curva, sólo resta obtener la variación de
, se concluye que
y
con respecto
con respecto del mismo parámetro.
Partiendo del triedro se tiene
. . . (2)
y derivando con respecto de
De (1) y (2) se tiene que
es paralelo a
, es decir, son vectores proporcionales:
sustituyendo la primera y la tercera fórmulas de Frenet-Serret
Puesto que
sistema derecho, si
, entonces
,
y
forman un
gira alrededor de
gira hacia
y
finalmente
a una cierta
razón denominada torsión y denotada
por la letra griega
hacia
, por lo tanto
a la misma razón
gira
Segunda. fórmula de Frenet-Serret
.
Finalmente:
En forma matricial, las fórmulas de Frenet - Serret se pueden escribir como:
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
dado que
y
22
, entonces:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
OBTENCIÓN DE LA CURVATURA
Ejemplo 2.19
Sea la función vectorial
De la primera fórmula de F.-S.
obtener, para cualquier valor de
el vector
tiene la dirección de
, pero
no es unitario, para que sea unitario, debe
multiplicarse por el recíproco de su módulo, por lo que:
a)
b)
c)
e)
f)
g)
d)
Resolución
a)
...(a)
OBTENCIÓN DE LA TORSIÓN
Para obtener la torsión, podría plantearse, de la segunda fórmula de F.-S.
b)
De (a) y después de un poco de álgebra
, de donde al obtener el módulo en ambos lados de la igualdad, se tiene:
el vector
pero el signo de la torsión no se puede determinar de esta forma.
Por lo tanto, una forma correcta para obtener
del giro de
hacia
tiene la misma dirección que
tanto el vector
se obtiene de plantear la proyección
:
también tiene la dirección de
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
, por lo que
, pero
es unitario, por lo
FUNCIONES VECTORIALES
23
;
e)
finalmente
c)
De
Y con
obtenido en el inciso (b), se tiene:
y de
obtenido en el inciso (c)
De la definición del vector binormal
sustituyendo los valores de
y
simplificando
de donde
d)
Para obtener la curvatura
y
de donde
f)
De la fórmula del radio de curvatura,
g)
De la fórmula para del radio de torsión
, pero en el inciso (b) se obtuvo
, por lo tanto
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Para el ejemplo anterior, fue muy sencillo obtener los resultados debido a que la
finalmente
función tenía como parámetro la longitud de curva
embargo, no siempre se tiene a
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
, es decir se tenía
como parámetro. Si se tiene una función
; sin
un
CÁLCULO VECTORIAL
procedimiento puede ser cambiar el parámetro
por
24
, a través de la expresión general
; puesto que
que los relaciona.
Supóngase que se tiene una función vectorial en función de
y que se desea
sustituyendo (2)
obtener su curvatura, un procedimiento sería el siguiente:
Si se tiene
, puede considerarse que
y aplicar la regla de
la cadena
despejando
, se tiene:
. . . (1)
Obteniendo el módulo de los vectores a cada lado de la igualdad
simplificando la notación
. . . (2)
Y de las fórmulas de Frenet-Serret:
Realizando una análisis similar, utilizando la regla de la cadena y las fórmulas de
. . . (3)
De (1) derivando con respecto de
Frenet-Serret, para una función vectorial
se tiene
:
. . . (4)
Además:
Sustituyendo (3) en (4)
. . . (5)
si se multiplica
. . . (6)
Las expresiones anteriores son más fáciles de recordar si se utiliza la notación de
la velocidad y la aceleración, teniéndose:
Obteniendo el módulo:
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
25
finalmente
b)
La componente tangencial de la aceleración, se obtiene de la componente
escalar de
sobre
.
y de los resultados del álgebra vectorial, y relacionando con la cinemática, las
componentes escalares tangencial y normal de la aceleración se pueden escribir como:
Mientras que la componente normal de la aceleración se obtiene de
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
por lo que
Ejemplo 2.20
Para la función vectorial
representa el tiempo y
donde
la posición de una partícula, obtener:
a) La velocidad en cualquier instante y la rapidez.
b) Las componentes tangencial y normal de la aceleración.
c) El vector tangente unitario
.
d) La curvatura de la curva en función del tiempo.
Resolución
a)
Dado que la velocidad es la variación de la posición con respecto del tiempo
finalmente la componente tangencial de la aceleración es
La rapidez es el módulo de la velocidad
Rapidez
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
Puesto que ya se han calculado la aceleración y la componente tangencial de
Ejemplo 2.21
la aceleración, entonces del teorema de Pitágoras se tiene la relación
Dada la curva descrita por la función vectorial
26
Obtener los vectores tangente, normal y binormal; planos normal, osculador y
rectificante; la torsión, curvatura y el radio de curvatura en el instante en el que
.
de donde,
Resolución
De la función vectorial
Se obtiene
sustituyendo
y
Puesto que
c)
Para obtener el vector tangente unitario se tiene que:
d)
Valuando en
Para el vector normal
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
entonces
FUNCIONES VECTORIALES
de donde
27
Para obtener
valuado en
,
Para la curvatura
, de donde
y el radio de curvatura es
Para el vector binormal
Y el radio de torsión es
Para el plano normal se utiliza el vector tangente y el punto que se obtiene de
Para el plano osculador se utiliza el vector binormal.
En
Para obtener la torsión y el radio de torsión, de la segunda fórmula de Frenet-Serret
Para el plano rectificante se utiliza el vector normal.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
c)
Obtener el punto donde
28
tiene el mínimo radio de curvatura.
Ejemplo 2.22
Comprobar que la curva de ecuaciones:
Resolución
a)
Si la torsión es cero, entonces la curva se encuentra contenida en un plano.
está contenido en un plano.
Resolución
Del enunciado se obtiene la función vectorial
calculando
de donde
al ser
, el producto
es igual a cero, y
, por lo que
la curva está contenida en un plano.
b)
El plano osculador tiene como vector normal a
, y la dirección del vector
está dada por
por lo que
,
Y un vector con la misma dirección es:
puesto que
es constante, la curva está contenida en un plano.
Por otro lado, un punto de la curva se puede obtener el valuar
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
ejemplo en
Ejemplo 2.23
y se tiene el punto
Dada la curva
.
Finalmente, la ecuación del plano osculador es:
a)
Demostrar que la curva
se encuentra contenida en un plano.
b)
Obtener la ecuación del plano osculador.
simplificando:
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
, por
FUNCIONES VECTORIALES
c)
Para obtener el punto con el mínimo radio de curvatura, se debe obtener
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
primero la función de radio de curvatura.
Ejemplo 2.24
Si la posición de una partícula está dada por
sustituyendo y simplificando se tiene:
determinar el instante
Para obtener el mínimo de
Resolución
se deriva, se iguala a cero y se resuelve la
ecuación
radio de torsión
De donde:
Por lo que
Y el punto de mínima curvatura es:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
En el ejemplo anterior, la curva es una parábola en el espacio, la cual se muestra en
la siguiente figura.
De donde
Sustituyendo en
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
, para el cual el radio de torsión es mínimo.
29
CÁLCULO VECTORIAL
Obtener el centro de curvatura de la trayectoria en el punto
30
.
Resolución
Para obtener el centro de curvatura es necesario obtener primero la curvatura.
Para obtener el mínimo se deriva y se iguala a cero
La curvatura está dada por
Finalmente:
es mínimo en
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
La gráfica de la función anterior es:
Para obtener el valor de
para el cual la función vectorial tiene como valor al
vector de posición del punto
paramétricas y se resuelve para
, se utilizan las ecuaciones
.
))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))
De donde
.
Ejemplo 2.25
Sustituyendo
Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita por
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
en
y
se obtiene
FUNCIONES VECTORIALES
31
por lo que
Finalmente el centro de curvatura es:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
ANÁLISIS DE FUNCIONES VECTORIALES
Como se mencionó al principio del capítulo una función vectorial
y el radio de curvatura es
puede representar una superficie, el caso más simple es el de la ecuación vectorial del
El
ce ntro
de
cu rv a tu ra
e stá
en
la
dirección
del
ve cto r
plano pero en general una función vectorial de
a
se representa gráficamente como
4
una superficie alabeada .
normal:
Una función vectorial
En el instante
puede expresarse fácilmente en forma paramétrica:
y a su vez se puede obtener la ecuación cartesiana de la superficie eliminando los dos
De la figura
parámetros (
y
) del sistema de ecuaciones.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.26
Dada la siguiente función vectorial, determinar su ecuación en forma cartesiana.
Resolución
Las ecuaciones paramétricas son:
Se observa que:
En
; donde
es el centro de curvatura.
4
Superficie curva generado por una línea que cam bia continuam ente de dirección en los tres sentidos
de sus dim ensiones.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
. . . (a)
32
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
. . . (b)
. . . (c)
DERIVACIÓN PARCIAL DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Sustituyendo (a) y (b) en (c)
que es la ecuación cartesiana buscada,
es un paraboloide hiperbólico rotado 45 o.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Una función vectorial de
Ejemplo 2.27
variables puede derivarse con respecto a cada una de sus
variables, lo que da origen a la derivación parcial de funciones vectoriales.
Dada la siguiente función vectorial, determinar su ecuación en forma cartesiana.
Definición 2.16
Resolución
Sea
Obteniendo las ecuaciones paramétricas
una función vectorial, donde
. . . (a)
y
. . . (b)
.
. . . (c)
Entonces la derivada parcial de
De (a) y (b)
con respecto de
se
define como:
y sustituyendo (c)
por lo que
y representa un semi-cono.
Para el caso particular en el cual una función
representa una
superficie se tiene la siguiente interpretación geométrica .
Supóngase que se tiene la función vectorial
entonces
representa un vector tangente a la curva
igual a constante (curva
contenida dentro de la superficie) y por lo tanto, también es tangente a la superficie
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
descrita por
. De igual forma
y a la superficie
es un vector tangente a la curva
. Los vectores
y
33
igual a constante
se muestran en la siguiente figura.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Para una función vectorial
para una función
se define como:
Por lo tanto, un vector
, normal a la superficie se puede obtener mediante:
en particular, si
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
donde
entonces
Ejemplo 2.29
Obtener un vector normal a la superficie
desarrollando cada una de las diferenciales:
en el punto en el que
y
.
Resolución
Valuando las derivadas parciales obtenidas en el ejemplo anterior
reagrupando
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
es posible obtener su diferencial. Así
la diferencial de
CÁLCULO VECTORIAL
34
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))
la cual se puede escribir como
CONCEPTOS CON LOS QUE SE MIDEN LAS VARIACIONES DE
LOS CAMPOS VECTORIALES
con lo que se demuestra que la estructura de la diferencial se mantiene a pesar de obtenerse
En el curso de CII se estudiaron las funciones escalares, y se definió el gradiente de una
una diferencial de función vectorial.
función escalar, el cual describe la razón de cambio de dicha función. Ahora, para los
campos vectoriales (que son un caso particular de las funciones vectoriales) se estudiarán
dos nuevos conceptos para medir sus variaciones : la divergencia y el rotacional.
La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar (función escalar) que
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
indica en cada punto el grado de "explosión" o "divergencia" del campo en dicho punto.
Ejemplo 2.30
Sea la función vectorial
Obtener
Resolución
Puesto que
. . . (a)
sustituyendo en (a) las derivadas parciales se obtiene
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
35
o sumidero.
Definición 2.17
Si
en un punto, significa que sale lo mismo que entra.
La divergencia de un campo vectorial
Si para cualquier punto
entonces el campo
recibe el nombre de
donde
campo solenoidal, en particular si el campo representa flujo, entonces se dice que el fluido
se define como
es incompresible.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.31
Sea el campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial
se denota
; sin embargo, una forma
obtener:
práctica de recordar la expresión que define la divergencia de un campo vectorial es la
a) La divergencia en cualquier punto.
siguiente:
b) La divergencia en el punto (0,0).
c) La divergencia en el punto (1,1).
d) La divergencia en el punto (-1,-1).
Resolución
a)
b)
c)
es decir:
d)
donde
es el operador nabla.
En física, la divergencia de un campo representa el flujo neto por unidad de
volumen de un fluido en cada punto. Por supuesto, puede interpretarse como el flujo neto
por unidad de volumen y por unidad de tiempo.
Un punto de un campo vectorial se puede clasificar en punto fuente, pozo o
sumidero e incompresible.
Si
en un punto, significa que sale más de lo que entra, se tiene un punto
fuente.
Si
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
En el ejemplo anterior se observa que un mismo campo puede tener puntos fuente,
pozo e incompresibles.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.32
Obtener un campo vectorial en
cuya divergencia sea 3 en cualquier punto.
Resolución
Este ejemplo tiene múltiples soluciones, algunas de ellas son
en un punto, significa que entra más de lo que sale, se tiene un pozo
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
Si para cualquier punto del dominio de
,
36
entonces el campo se
llama irrotacional o conservativo, de lo contrario se dice que el campo es rotacional o
no conservativo, y si el campo representa flujo entonces el flujo es turbulento.
;
etc.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Es importante observar que es posible obtener la divergencia de un campo en
utilizando la expresión
Por otro lado, el rotacional de un campo vectorial indica en cada punto, los
está definido en
, sin embargo; el rotacional de un campo sólo
, pudiéndose calcular el rotacional de un campo en
al considerarlo
remolinos que forma el campo cerca de dicho punto.
como un caso particular de un campo en
cuya componente en
es igual a cero.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.33
Definición 2.18
Obtener el rotacional del siguiente campo vectorial
El rotacional de un campo vectorial
Resolución
donde
se define como
Una forma fácil de recordar la expresión que define el rotacional de un campo se
obtiene al utilizar el operador nabla.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Propiedades de la Divergencia
Sean
y
campos vectoriales ,
y
funciones escalares, entonces:
1)
2)
3)
4)
Es decir
Donde
es la divergencia del gradiente de
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
, es decir
.
FUNCIONES VECTORIALES
37
Propiedades del rotacional
se tiene finalmente que
Sean
y
campos vectoriales en
y
una función escalar , entonces:
1)
La divergencia del gradiente de un campo escalar es a su vez, otro campo escalar
2)
que tiene una especial importancia para los físicos, matemáticos e ingenieros.
3)
4)
Definición 2.19
5)
La divergencia del gradiente de un campo escalar
Es importante destacar la última propiedad
es
, la cual es fácilmente
demostrable
y se llama laplaciano de
.
Por simplicidad, es muy común denotar al laplaciano mediante el operador nabla
de la siguiente manera
Si la función escalar
entonces la función
satisface la ecuación de Laplace
se llama función armónica.
El Laplaciano de un campo escalar
proporciona una medida de la diferencia entre
alrededor del punto
y por el teorema de derivadas parciales mixtas
en un punto
y el promedio de la función
.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.34
Utilizando las propiedades del rotacional para obtener
Resolución
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
CÁLCULO VECTORIAL
38
Por otro lado
puesto que
. . . (b)
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.35
. . . (c)
Dadas las funciones
y
, obtener
De donde se observa que (a) es igual a (b) más (c)
b)
Se tiene
es irrotacional
Por otro lado
Resolución
no es solenoidal
Efectuando operaciones
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.37
Si
finalmente
es un campo vectorial solenoidal, cuyas componentes
y
son
la componente
y
del campo.
Resolución
Por ser campo solenoidal
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
es decir
Ejemplo 2.36
Sea al función
y el campo vectorial
obteniendo las derivadas parciales
a) Comprobar la siguiente propiedad
b) Determinar si
es irrotacional y si es solenoidal.
sustituyendo
Resolución
de donde
a) Se tiene
. . . (a)
finalmente
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
determinar
FUNCIONES VECTORIALES
39
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.38
Dado el siguiente campo vectorial de un fluido
determinar si el fluido es incompresible y si un pequeño cuerpo introducido en
el fluido tendría sólo movimiento de traslación.
Resolución
Para la compresibilidad:
Si
Sin embargo, si los problemas que se estudian poseen alguna simetría en particular,
entonces el fluido es incompresible.
su análisis puede simplificarse utilizando algún otro sistema de referencia. Los sistemas
Calculando
coordenados que han resultado de mayor utilidad, a demás del cartesiano, son: el polar en
el plano, y los sistemas cilíndrico y esférico en el espacio.
el fluido es compresible.
Para el movimiento:
Si
el campo es irrotacional y el cuerpo
tendrá sólo
INTRODUCCIÓN
movimiento de traslación.
Calculando
En el sistema cartesiano rectangular
mediante l a intersección de las rectas
, un punto cualquiera
y
se localiza
.
El sistema se llama cartesiano en
honor de René Descartes, y rectangular
porque un punto se localiza por medio
El cuerpo NO tiene sólo movimiento de traslación, tiene rotación.
de la intersección de rectas. a
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
intersección de las rectas.
COORDENADAS CURVILÍNEAS
Hasta ahora, se han estudiado curvas y superficies referidas al sistema cartesiano
rectangular, cuya base de vectores ortonormales es
en el espacio, o
en
En el sistema polar
, un punto cualquiera
intersección de los lugares geométricos
el plano.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
y
se localiza mediante la
.
CÁLCULO VECTORIAL
y
Representa una circunferencia de
radio
es un vector unitario en la dirección de
.
Por ejemplo, si se desea localizar el punto
y centro en el origen.
40
y dibujar
y
, se tiene:
Representa una semi-recta que
forma un ángulo de
con
respecto a la horizontal (eje
polar).
A simple vista los vectores
y
parecen ortogonales. Es conveniente verificar
si en efecto, dichos vectores forman un ángulo de 90 o en cualquier punto, y para
Finalmente un punto en coordenadas polares se localiza mediante la intersección
comprobar su ortogonalidad es necesario que se cumpla
referir los vectores
de una circunferencia y una recta.
y
a la base
.
De la figura,
Definición 2.20
Si al localizar un punto en un sistema coordenado se utiliza al menos una
curva, entonces el sistema coordenado se llama sistema curvilíneo.
pero
, por lo que se puede reescribir
Al igual que en el sistema cartesiano, el sistema polar también tiene vectores
unitarios que forman una base
. Donde
es un vector unitario en la dirección de
de forma análoga, se tiene
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
. Para ello, es necesario
FUNCIONES VECTORIALES
Por ejemplo, si se tiene una ecuación vectorial en función de un parámetro
pero
referida a la base
, por lo que
entonces la derivada de
con respecto de
es
Finalmente
de donde
lo que implica que los vectores unitarios
y
son ortogonales.
. . . (1)
Para calcular
Definición 2.21
y
se utilizan las expresiones
Si para un sistema coordenado curvilíneo cualquiera, los vectores unitarios
. . . (2)
forman siempre un ángulo de 90 o entre si, entonces el sistema se llama
sistema curvilíneo ortogonal.
y
Si ahora se localizan dos puntos cualquiera
y
en el sistema
. . . (3)
De (2), y aplicando la regla de la cadena se tiene
polar y se dibujan sus respectivos vectores unitarios, se observa que dichos vectores
cambian de dirección, o lo que es lo mismo, los vectores no son constantes.
, y sustituyendo (3)
. . . (4)
de (3),
Al variar los vectores unitarios
y
sus respectivas derivadas son distintas
de cero, y es necesario obtenerlas.
, y sustituyendo (2)
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
41
y
CÁLCULO VECTORIAL
representa la posición de una partícula en función del tiempo
. . . (5)
42
y referida a la base
, la velocidad y la aceleración de la partícula están dadas por:
Finalmente, sustituyendo (4) y (5) en (1),
reagrupando
LONGITUD DE ARCO EN COORDENADAS POLARES
Considérese ahora una porción de curva y los puntos
y
, en un sistema rectangular.
FÓRM ULA
Para una función vectorial
Como las distancias son infinitesimales
referida a la base polar
, entonces
se obtiene mediante:
Debe observarse que la expresión anterior fue generada para una función cualquiera
referida a la base polar, si se desea en particular expresar la posición de una partícula en
función del tiempo y referida a la base polar, se tiene que
En el caso polar se tiene
y solo existe componente radial. Si bien para localizar un punto en el sistema polar es
necesario determinar el radio y el ángulo, el vector de posición de un punto no tiene
componente transversal puesto que el valor del ángulo queda determinado con el vector
.
Entonces si
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
Puesto que la longitud de un arco en función del ángulo central es
Si
, para encontrar
de donde
43
se utilizará el concepto de derivada direccional,
.
La derivada direccional en la dirección de
en coordenadas polares
La
Donde
,
derivada
, son factores de escala.
direccional
en
la
(
constante) es
dirección
de
puesto que el elemento longitud arco
.
Por lo tanto, si
entonces
Los factores de escala son aquellos elementos que multiplican a las diferenciales
de las coordenadas de referencia curvilíneo.
DIFERENCIAL DE ÁREA EN COORDENADAS POLARES
Para el cálculo de áreas, el elemento de área en coordenadas polares es:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.39
Sea la función
, obtener
.
Resolución
obteniendo las derivadas
, sustituyendo:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.40
Referir
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN EN COORDENADAS POLARES
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
a la base
.
(
.
constante)
en la dirección de
es
es
CÁLCULO VECTORIAL
de acuerdo al siguiente teorema.
Resolución
Teorema
pero
Sean
, sustituyendo
una región en el plano
y
una región en el plano
relacionadas mediante las ecuaciones de transformación
de forma que un punto de
Reagrupando
de
. Si
continuas en
y
es imagen de un único punto
es distinto de cero en
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
C A M B I O D E V A R I A BL E S :
TRANSFORMACIÓN
JA C O B I A N O
DE
LA
PROPIEDADES DEL JACOBIANO
En el curso de Cálculo II se estudió al jacobiano como un determinante que resultaba al
resolver sistemas de ecuaciones, pero el jacobiano es mucho más que sólo eso. La
1)
Dada una transformación
aplicación más importante e interesante del jacobiano es utilizarlo como un factor al
realizar un cambio de un sistema coordenado a otro.
Considérese una región
que es transformada en una región
mediante una
si
, entonces
regla de correspondencia biunívoca,
2)
Si existe una composición tal que:
donde
entonces
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
dada por:
Ejemplo 2.41
,
Sea la regla de transformación
entonces el jacobiano de
e
con respecto a
y
,
, recibe el nombre de
jacobiano de la transformación y proporciona una relación entre las áreas de
y
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
y
son continuas y tienen primeras derivadas parciales
y
,
entonces:
44
FUNCIONES VECTORIALES
y
, la región limitada por las gráficas de
a) Dibujar
en el plano
,
y
.
.
b) Obtener el área de la región
.
c) Dibujar la imagen de la región
d) Obtener el área de la región
en el plano
.
.
e) Calcular la relación entre las áreas
.
f) Obtener el jacobiano de la transformación
.
Finalmente
Resolución
a)
45
Se traza la gráfica de cada una de las rectas en el plano
c)
, y la región
Para dibujar la imagen en
es necesario aplicar la transformación a cada
una de las rectas que limitan la región en
.
es la porción del plano contenida por las tres rectas.
Para la recta
se
sustituyen
e
utilizando
simplificando
b)
Existen varias formas para calcular el área de la región,puesto que la región
es un triángulo, el área se obtiene mediante:
Para
la base es el lado del triángulo que coincide con el eje
,y vale 3 unidades;
la altura es la abscisa del punto de intersección de las rectas
y vale
y
.
entonces
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
las
reglas
de
transformación
CÁLCULO VECTORIAL
Para
En el ejemplo anterior se puede observar con facilidad como
a la relación entre las áreas
46
es igual
; sin embargo, debe tenerse en cuenta que, en general,
entonces
el jacobiano es una función cuyo valor dependerá del punto en el que se evalúe, por lo que
cuando el jacobiano de transformación no es constante, el mapeo o relación entre las
finalmente la imagen de la región
en el plano
es
regiones, debe hacerse punto por punto. Esta relación entre regiones punto por punto tiene
su principal aplicación al calcular áreas y volúmenes de superficies y cuerpos utilizando
un sistema coordenado distinto del cartesiano. Ejemplos relacionados con estos cálculos
se estudiarán en el capítulo IV del curso.
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.42
Sean las ecuaciones de transformación
d)
Puesto que la región
es triangular, su área es
Obtener
en función de
y
, utilizando las propiedades del
jacobiano.
Resolución
e)
La relación entre las áreas es
Puesto que se proporcionan las ecuaciones de transformación de
se puede obtener de forma directa el jacobiano
f)
El jacobiano de la transformación
primera propiedad
, se tiene
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
de donde
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
a
,
, pero utilizando la
FUNCIONES VECTORIALES
47
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.43
Dada la transformación
b)
a)
Dibujar la región de
plano
del plano
en la cual se transforma la región
limitada por las gráficas de
,
,
y
del
.
c) Puesto que
b)
Calcular
c)
Determinar la relación entre el área de
y el área de
,
la relación entre las áreas es
.
Resolución
a) Aplicando la transformación a cada una de las ecuaciones
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
La transformación entre las coordenadas de un punto
Por lo que la región
es
curvilíneas a un punto
en coordenadas
en coordenadas cartesianas se define por medio de :
. . . (1)
donde
,
y
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
tienen sus primeras derivadas parciales continuas y su jacobiano es
CÁLCULO VECTORIAL
48
distinto de cero en una cierta región, es decir
Los puntos en los que
Y si renombramos
, se llaman puntos singulares, y en
dichos puntos no existe la transformación inversa.
Por otro lado, para los puntos no singulares se puede obtener la transformación
inversa
. . . (3)
entonces se puede escribir
. . . (2)
Si la función vectorial
. . . (4)
representa el vector de posición de un punto en el espacio,
entonces
y al sustituir (1), se tiene
donde
Esta función representa un "mapaeo" o cambio de coordenadas de un punto en
coordenadas
ortonormales
a un punto en coordenadas
,
,
, entonces
son los factores de escala y satisfacen
Por otro lado, al considerar la transformación inversa (2),
y referido a la base de vectores
.
. . . (2a)
. . . (2b)
. . . (2c)
se fijan dos variables, por ejemplo
es una curva coordenada, y se puede obtener un vector
tangente a dicha curva al derivar la función
obtener curvas coordenadas al fijar a
tanto, en un punto
y
.
Si en la función vectorial
y
,
y
, de igual manera, se pueden
,y a
y
, respectivamente, por lo
se observa que cada función escalar representa una hipersuperficie y para representarla en
un espacio de 3 dimensiones es necesario utilizar el concepto de superficies de nivel. Por
ejemplo, si en la ecuación (2a) se fija el valor de
, entonces
, los vectores unitarios y tangentes a las curvas coordenadas son:
. . . (2a')
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
representa una superficie de nivel, y el vector normal unitario a la superficie coordenada
(de coordenada
) está dado por
debido a que, de (2a)
. Es decir, los vectores
y sustituyendo (1)
normales en el punto
a las superficies coordenadas
,
derivando con respecto de
son:
se tiene
. . . (8)
sustituyendo (7) en (6)
. . . (5)
finalmente
NOTA:
Los vectores unitarios tangentes a las curvas coordenadas y los vectores
unitarios normales a las superficies coordenadas en un punto
son los
de manera análoga
y
mismos vectores, sólo si el sistema coordenado es ortogonal.
Puesto que
forman un sistema ortogonal y
,
y
son de módulo
unitario se tiene
es decir :
. . . (9)
. . . (6)
recordando que
Y sustituyendo (9) en (5)
y
entonces
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
. . . (10)
49
CÁLCULO VECTORIAL
50
El elemento diferencial de longitud de arco en coordenadas curvilíneas ortogonales es:
El elemento diferencial de volumen en coordenadas curvilíneas ortogonales es:
El laplaciano de la función escalar
o bien
GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL
COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
Si
Coordenadas cilíndricas
EN
es una función escalar, el gradiente en coordenadas curvilíneas es
Si
es una función referida a la base
, entonces:
Función escalar
Función vectorial
La divergencia es:
Los factores de escala son :
El rotacional se obtiene mediante:
Coordenadas esféricas
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
en coordenadas curvilíneas es:
FUNCIONES VECTORIALES
51
de donde
El jacobiano de la transformación
es
Función escalar
Función vectorial
Los factores de escala son :
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.44
Obtener los factores de escala y el jacobiano de transformación de las coordenadas
cilíndricas parabólicas
, si las ecuaciones de transformación son
Obsérvese que el valor absoluto del producto de los factores de escala es igual al
jacobiano de la transformación.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.45
Sea el sistema de coordenadas curvilíneas
Resolución
cartesiano
Para obtener los factores de escala se plantea primero la función
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
por medio de las relaciones:
,
, el cual está referido al sistema
CÁLCULO VECTORIAL
a)
Verificar que el sistema
b)
Dibujar la región
plano
sea ortogonal.
del plano
en la que se transforma la región
del
limitada por las rectas
,
c) Calcular
,
,
.
d)
d) Determinar la relación entre las áreas de
y
.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Resolución
a)
52
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE GRADIENTE Y
DERIVADA DIRECCIONAL
De las ecuaciones de transformación
Anteriormente se estudió el gradiente de una función escalar ,
de donde
por lo que el sistema
es ortogonal
Sin embargo, el concepto de gradiente es mucho más general , y es aplicable a
funciones vectoriales, es decir,
b)
Para la región
se tiene que reacomodar
,
,
de donde; transformando al sistema
,
,
por lo que la región
,
si
entonces:
, se tiene
,
es
Con esta generalización del gradiente, la derivada direccional definida para una
función escalar como
c)
Se tiene
también se generaliza, teniéndose
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
FUNCIONES VECTORIALES
53
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.46
Obtener el gradiente de la función vectorial
, si
o bien
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Resolución
Ejemplo 2.48
El campo de velocidades de un fluido está dado por
en donde
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
están en metros y
en metros por segundo.
Calcular la rapidez de crecimiento del campo
dirección al punto
,
en el punto
y en
.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ejemplo 2.47
Obtener la derivada direccional de
y en dirección de
Resolución
(del ejemplo anterior) en el punto
La rapidez de crecimiento está dada por el módulo de la derivada direccional.
La matriz gradiente del campo
Resolución
para la dirección
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S.
es:
CÁLCULO VECTORIAL
Entonces sustituyendo en:
54
1980.
Fundamentos de Cálculo Avanzado.- Taylor, Angus E. y Mann, W . Robert.- Editorial
Noriega-Limusa.- México, 1989.
se tiene
Problemas y ejercicios de análisis matemático.- Demidovich, B. .- Editorial MIR.- URSS,
que es la rapidez pedida.
1977.
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A.L.B.S.