Solución ejercicio 1 a) No circulan corrientes dentro ni fuera del

Solución ejercicio 1
a) No circulan corrientes dentro ni fuera del cilindro, lo que implica
~ =0
r⇥H
~ =
H
)
r
~ = µr · H
~ =
para todo r 6= a. Por otro lado, dentro del cilindro, r · B
r2
µr · r = 0, es decir,
=0
Un análisis análogo prueba que vale Laplace fuera del cilindro.
b) En primer lugar, al no haber corrientes en el interior ni en el exterior del cilindro, el campo
magnético debe ser acotado en ambas regiones y por lo tanto el potencial no puede diverger. En
particular,
|r=0 < +1
(1)
~ < +1
B
lim
r!+1
(2)
~ yH
~ en la interfaz entre
Además tenemos las condiciones que deben cumplir los campos B
ambos medios:
~ · êr |r=a+ = B
~ · êr |r=a
B
@ 1
@ 2
|r=a = µ0
|r=a
@r
@r
⇣
⌘
~ |r=a+ H
~ |r=a
~
êr ⇥ H
=K
)
µ
(3)
1@
@
ẑ
ê'
r @'
@z
◆
@ 2
|r=a = aK0 cos '
@'
êr ⇥ r =
)
✓
@ 1
@'
(4)
c) Como muestran las condiciones de borde, el problema es invariante por translaciones según
ẑ, por lo que el potencial será independiente de dicha coordenada; = (r, '). Además debe
satisfacer la ecuación de Laplace, lo que implica,
1
= A0 + B0 log r +
+1
X
Am r
m
+ Bm r
m
cos (m') +
m=1
2
= C0 + D0 log r +
+1
X
+1
X
0
A0m rm + Bm
r
m
sin (m')
0 m
0
Cm
r + Dm
r
m
sin (m')
m=1
Cm r
m
+ Dm r
m
cos (m') +
m=1
+1
X
m=1
0
d) La condición (1) implica B0 = Bm = Bm
= 0 para todo m > 0. De forma similar, (2)
0
implica Cm = Cm = 0 para todo m > 0.
Tomando en cuenta lo anterior, la condición (3) se escribe
µ
+1
X
Am mam
1
cos (m') + A0m mam
1
sin (m')
m=1
=
µ0
D0
a
µ0
+1 ⇣
X
Dm ma
(m+1)
m=1
1
0
cos (m') + Dm
ma
(m+1)
sin (m')
⌘
(5)
Las funciones 1, cos (m'), sin (m') son linealmente independientes y por tanto sus coeficientes
deben ser iguales;
0
µAm a2m + µ0 Dm = µA0m a2m + µ0 Dm
=0
y D0 = 0.
Finalmente, la condición (4),
+1
X
m
( Am a m sin (m') +
A0m am m cos (m'))
m=1
+1
X
Dm a
m
0
m sin (m') + Dm
a
m
m cos (m') = aK0 cos '
m=1
implica
A01
Am a2m
D10
= K0
a2
Dm = A0m a2m
0
Dm
=0
por el mismo argumento de independencia lineal. Sustituyendo estos resultados en los obtenidos
con la condición (3) se obtiene,
(µ + µ0 ) Am a2m = 0 ) Am = Dm = 0 para todo m = 1, 2, 3, . . .
0
(µ + µ0 ) A0m a2m = 0 ) A0m = Dm
= 0 para todo m = 2, 3, 4, . . .
µ
µ0
µK0 a2 + (µ + µ0 ) D10 = 0 ) D10 = µ+µ
a2 K0 , A01 = µ+µ
K0
0
0
Es decir,
(
µ0
K0 r sin '
si r < a
(r, ') = µ+µµ0
a2
K
sin
'
si r > a
µ+µ0 0 r
e)
~ =
B
(
µr 1 =
µ0 r 2 =
µµ0
µ+µ0 K0 (êr
µµ0
a2
µ+µ0 K0 r 2 (
2
sin ' + ê' cos ')
êr sin ' + ê' cos ')
si r < a
si r > a
Solución Problema 3
a) La impedancia puede calcularse como un paralelo:
Z=
1
1/j!C(R + j!L)
R + j!L
k (R+j!L) =
=
=
j!C
1/j!C + R + j!L
1 + j!C(R + j!L)
1
R + j!L
! 2 LC + j!RC
Multiplicando por el conjugado arriba y abajo, se expresa finalmente en
parte real e imaginaria:
Z=
R(1
! 2 LC) + ! 2 RLC + j(!L(1 ! 2 LC)
(1 ! 2 LC)2 + (!RC)2
!R2 C)
b) Basta igualar el denominador de la parte imaginaria a cero y despejar:
0 = !0 L(1 !02 LC)
L = C(R2 + !02 L2 )
L
C =
2
R + !02 L2
!0 R2 C
c) Calculamos la impedancia conectada al secundario para el valor de
frecuencia !0 . Ignoramos la parte imaginaria pues sabemos que será nula.
Z =
L
L
2
! 2 L R2 +!
2 L2 ) + ! RL R2 +! 2 L2
R(1
(1
0
!2L
0
L
)2
R2 +!02 L2
+
L
2
(!R R2 +!
2 2)
0L
R(R2 + !02 L2 !02 ) + !02 RL2
Z =
(R2 + !02 L2 !02 L2 )2 + !02 R2 L2
Z =
1
R2 +!02 L2
1
(R2 +!02 L2 )2
!02 L2 + R2
R
Luego planteamos las mallas para resolver el circuito:
V0 = R1 I1 + j!L1 I1 + j!M I2
ZI2 = j!L2 I2 + j!M I1
De la segunda ecuación:
I2 =
j!M
I1
Z + j!L2
Sustituyendo en la primera:

V0 = I1 R1 + j!L1 +
1
!2M 2
Z + j!L2
Operando, finalmente se llega a:

I1 = V0
R1 Z + ! 2 (M 2
Z + j!L2
L1 L2 ) + j!(L1 Z + L2 R1 )
Sabemos que i(t) = |I1 |cos(!t + '), con ' = arg(I1 ). Por lo tanto, solo
resta calcular los parámetros:
s
Z 2 + ! 2 L22
(R1 Z + ! 2 (M 2 L1 L2 ))2 + (!(L1 Z + L2 R1 ))2
✓
◆
✓
◆
!(L2 R1 + L1 Z)
!L2
' = arctan
arctan
Z
R1 Z + ! 2 (M 2 L1 L2 )
|I1 | = V0
Con Z =
!02 L2 +R2
R
2R
2