La superposición de ondas[13]

Fundamentos de espectroscopía
Marcelo Fco. Lugo Licona
La superposición de ondas[13]
Fundamentos de espectroscopía
Marcelo Fco. Lugo Licona
Esta no es una sustitución obvia pero será legítima siempre que se pueda
despejar E0 y a. Con ese fin, se eleva al cuadrado y se suman (7.7) y (7.8) para
Cada componente del campo de una onda electromagnética (Ex, Ey, Ez, Bx, By
obtener
y Bz) satisface
2
2
E 02 = E 01
+ E 02
+ 2E 01 E 02 cos(a 2 - a1 )
y luego, dividiendo (7.8) por (7.7)
2
2
2
2
¶ y ¶ y ¶ y
1 ¶ y
+ 2 + 2 = 2
2
¶x
¶y
¶z
v ¶t 2
[2.54]
tan a =
y es lineal.
n
y(r, t) = åC i y i (r, t)
(7.1)
i=1
es una combinación lineal de soluciones individuales (principio de superposición) de [2.54] y es, a su vez también solución de la misma ecuación diferen-
E 01 sin a1 + E 02 sin a 2
E 01 cos a1 + E 02 cos a 2
(7.9)
(7.10)
La perturbación total queda entonces
E = E 0 cos a sin wt + E 0 sin a cos wt
o
cial; Ci son constantes arbitrarias. Así, la perturbación resultante en cual-
(7.11)
E = E 0 sin(wt + a)
La onda compuesta (7.11) es armónica y de la misma frecuencia que las cons-
quier punto en un medio es la suma algebraica de sus ondas constitutivas
titutivas aunque su amplitud y fase son diferentes.
separadas.
Como puede observarse en la ecuación (7.9), al término
2E 01 E 02 cos(a 2 - a1 )
se le conoce como término de interferencia.
Suma de ondas de la misma frecuencia
A)
El método algebraico
El factor crucial es la diferencia de fase entre las dos ondas que interfieren
Una solución de [2.59] es
E( x, t) = E 0 sin(wt - (kx + e))
Sea
(7.2)
a( x, e) = -(kx + e)
tal que
(7.3)
E( x, t) = E 0 sin[wt + a( x, e)]
Si se tuvieran dos ondas
(7.4)
E1 = E 01 sin(wt + a1 )
(7.5)
E1 y E2, dº(a2-a1).
Cuando d=0, ±2p, ±4p,... la amplitud resultante es un máximo
mientras que cuando d=±p, ±3p,...
da un mínimo.
(7.6)
E 2 = E 02 sin(wt + a 2 )
la perturbación resultante es la superposición de estas dos ondas, entonces
E = E1 + E 2
1 (ver archivo suma de ondas.mcd).
En el último caso las ondas (azul y
rojo) están 180° fuera de fase y los
valles están sobre las crestas como
E = E 01 (sin wt cos a1 + cos wt sin a1 ) + E 02 (sin wt cos a 2 + cos wt sin a 2 )
en la figura 2 (ver archivo suma de
E = (E 01 cos a1 + E 02 cos a 2 )sin wt + (E 01 sin a1 + E 02 sin a 2 ) cos wt
Sean
ondas.mcd).
E 0 cos a = E 01 cos a1 + E 02 cos a 2
y
(7.7)
E 0 sin a = E 01 sin a1 + E 02 sin a 2
(7.8)
1
En el primer caso, se dice que las
ondas (azul y rojo) están en fase, Figura 1 Dos ondas en fase y su suma.
cresta sobre cresta como en la figura
B)
El método complejo
Figura 2 Dos ondas fuera de fase y su suma.
A menudo es matemáticamente conveniente hacer uso de la representación compleja de las funciones
2
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Marcelo Fco. Lugo Licona
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trigonométricas cuando se está manejando la superposición de perturbacio-
magnitud y fase; a menudo se escribe simplemente en la forma E 0 Ða. El mé-
nes armónicas. La onda
todo de la suma de fasores se puede emplear sin apreciar su relación con el
E1 = E 01 cos(kx ± wt + e1 )
o
formalismo de los números complejos. Supopnga que se tiene un aperturba-
E1 = E 01 cos(a1 m wt)
se puede escribir como
E1 = E 01 sin(wt + a1 ),
En la figura 3a se representa la onda poe un vector de longitud E01 girando
(7.24)
E1 = E 01 e i( a 1 m wt )
considerando solamente la parte real. Supongamos que hay N de tales ondas
yección en el eje vertical es E01 sin(wt+a1). Si se hubiera usado el coseno, se
ción descrita por
con la misma frecuencia y que se superponen viajando en la dirección positiva de x. La onda resultante está dada por
ö
÷e+ iwt .
÷
ø
E 0 e ia = å E 0 j e
vector rotatorio es por supuesto el fasor E01<a1 y las notaciones R e I denoE 2 = E 02 sin(wt + a 2 )
se muestra junto con E1 en la figura 3b. La suma algebraica, E=E1+E2, es la
(7.25)
proyección en el eje I del fasor resultante determinado por la suma de vectores de los fasores componentes, como en la figura 3c. La ley de los cosenos
aplicada al triángulo de lasdos E01, E02 y E0 da
La cantidad
N
habría considerado la proyección sobre el eje horizontal. Incidentalmente, el
tan los ejes real e imaginario. Similarmente, una segunda onda
E = E 0 e i( a + wt )
y después de sumar las ondas componentes
æN
ia j
E =ç
çå E 0 j e
è j=1
en esntido contrario a los puntos de un reloj con una rapidez w tal que su pro-
ia
(7.26)
j
j=1
se conoce com la amplitud compleja de la onda compuesta y es simplemente
la suma de las amplitudes complejas de las constitutivas. Ya que
E 02 = (E 0 e ia )(E 0 e ia ) *,
(7.27)
2
2
+ E 02
+ 2E 01 E 02 cos(a 2 - a1 ),
E 02 = E 01
donde se hizo uso del hecho de que cos[p-(a2-a1)]=-cos(a2-a1). Esta es
idéntica a la ecuación (7.9). Generalmente lo que interesa es encontrar E0 en
lugar de E(t) y ya que E0 no está afectada por el constante girar de todos los
fasores, a menudo será conveniente poner t=0 y así eliminar esa rotación.
siempre se puede calcular la irradiancia resultante de las ecuaciones (7.26) y
(7.27). Por ejemplo, si N=2,
E 02 = (E 01 e ia 1 + E 02 e ia 2 )(E 01 e- ia 1 + E 02 e- ia 2 ),
de donde
2
2
E 02 = E 01
+ E 02
+ E 01 E 02 [ e i( a 1 + a 2 ) +- i( a 1 + a 2 ) ]
o
Figura 3 Suma de fasores.
2
2
+ E 02
+ 2E 01 E 02 cos(a1 - a 2 )
E 02 = E 01
que es idéntica a la ecuación (7.9).
C)
Suma de fasores
La suma descrita en la ecuación (7.26) se puede representar gráficamente
coo la suma e vectores en el plano complejo. En el lenguaje de la ingeniería
electrónica la amplitud compleja se conoce como factor y se especifica por su
3
Referencias
BÁSICA
[1]
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[2]
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COMPLEMENTARIA
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M. Alonso y E. J. Finn, Física Vols. 1 y 2, Addison Wesley Longman 1998
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Susan M. Lea y John R. Burke, Física: La naturaleza de las cosas Vols. 1 y
2, Internacional Thompson Editores, México (1999)
[6]
Hans C. Ohanian, Physics, 2nd. Edition, W. W: Norton, New Cork (1989)
[7]
R. Resnick, D. Halliday, K. S. Krane, Physics, Volume 1, Fourth Edition,
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[8]
R. Resnick, D. Halliday, K. S. Krane, Physics, Volume 2, Fourth Edition,
John Wiley & Sons, Inc. 1992
[9]
Raymond Chang, Principios básicos de espectroscopía, Editorial AC,
Madrid, España, McGraw-Hill, Inc. 1971
[10] Ira N. Levine, Espectroscopía molecular, Editorial AC, Madrid, España,
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[12] A. Requena Rodríguez, J. Zúñiga Román, Espectrocopía, Pearson- Prentice
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[15] Hwei P. Hsu, Análisis de Fourier, Addison Wesley Longman de México, S.
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[16] Herman Haken and Hans Christoph Wolf, The Physics of Atoms and
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[18] Paul A. Tipler, Física para la ciencia y la tecnología, Volumen 1, Cuarta
edición, Ed. Reverté, S. A., 1999.
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